2025年中考數學圖形的旋轉知識點

真題練習含答案解析

一、單選題

1.（2024?湖北?中考真題）平面坐標系x帆中，點A的坐標為（-4,6）,將線段。4繞點。順時針旋轉90。,

A.（4,6）B.（6,4）C.（-4,-6）D.（-6,-4）

【答案】B

【分析】本題考查坐標系下的旋轉.過點A和點4分別作x軸的垂線，證明A/O50ACM'C（AAS）,得到

HC=O5=4,OC=4B=6,據止匕求角單即可.

【詳解】解：過點A和點H分別作x軸的垂線，垂足分別為2,C,

「點A的坐標為(-4,6),

OB=4,AB=6,

???將線段。/繞點。順時針旋轉90。得到,

：.OA=OA,,N4CU'=90。，

??.ZAOB=90°-AAOC=AOAC,

.?.△/OBg△CMC(AAS),

A'C=OB=4,OC=AB=6,

1

二點/'的坐標為（6,4）,

故選：B.

2.（2024?吉林?中考真題）如圖,在平面直角坐標系中，點/的坐標為（-4,0）,點C的坐標為（0,2）.以04OC

為邊作矩形若將矩形CMBC繞點。順時針旋轉90。，得到矩形。?夕。，則點"的坐標為（）

少

A----16'

B______C

AOCx

A.（-4,-2）B.（-4,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】C

【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化一旋轉，矩形的性質等等，先根據題意得到04=4,OC=2,再

由矩形的性質可得N3=OC=2,AABC=90°,由旋轉的性質可得CM'=CM=4,A'B'=AB=2,

ZOA'B'=90°,據此可得答案.

【詳解】解：?.?點/的坐標為（-4,0）,點C的坐標為（0,2）,

OA=4,0c=2,

?.?四邊形0/8C是矩形，

AB=OC=2,ZABC=90°,

??,將矩形OABC繞點0順時針旋轉90°,得到矩形OA'B'C,

.?.O4=O/=4,A'B'=AB=2,ZOA'B'=90°,

??Wy軸，

點"的坐標為（2,4）,

故選：C.

3.（2024?天津?中考真題）如圖，“BC中，ZB=30°,將。BC繞點C順時針旋轉60。得到AOEC,點4臺

的對應點分別為。,E,延長94交。E于點尸，下列結論一定正確的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

2

C.AB=EFD.BFICE

【答案】D

【分析】本題考查了旋轉性質以及兩個銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關性

質內容是解題的關鍵.先根據旋轉性質得/BCE=//CD=60。，結合48=30°,即可得證瓦FCE,再根

據同旁內角互補證明兩直線平行，來分析NC〃。石不一定成立；根據圖形性質以及角的運算或線段的運算

得出A和C選項是錯誤的.

【詳解】解：記小與CE相交于一點如圖所示：

???AABC中，將AABC繞點C順時針旋轉60°得到ADEC,

NBCE=NACD=60°

■:ZB=3,0°

在ABHC中，ZBHC=180°-NBCE-25=90°

:.BFVCE

故D選項是正確的，符合題意；

設/4CH=x。

ZACB=60°-x°,

NB=30°

ZEDC=ABAC=180。-30。-（60。-x。）=90°+x。

"EDC+4CD=90°+x°+60°=150°+x°

???x。不一定等于30°

"EDC+//CD不一定等于180。

AC//DE不一定成立，

故B選項不正確，不符合題意；

■.■ZACB=60o-x0,ZACD=60°,x。不一定等于0。

ZACB=ZACD不一定成立，

故A選項不正確，不符合題意；

?.?將AABC繞點C順時針旋轉60。得到GEC,

：.AB=ED=EF+FD

■■.BA>EF

故C選項不正確，不符合題意;

故選：D

4.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，0（4,-2）,將Rd。。繞點。逆時針旋轉90。

到位置，則點8坐標為（）

B.(4,2)C.(T-2)D.(-2,4)

【答案】A

【分析】本題考查坐標與圖形，三角形全等的判定和性質.由旋轉的性質得到RdOCD/RgAO/B,推出

0A=0C=4f45=CO=2即可求解.

【詳解】解：???。（4,-2）,

0C=4,CD=2,

???將RtAOCD繞點O逆時針旋轉90°到AOAB,

RtAOCD^Rt^OAB,

OA=OC=4,AB=CD=2,

???點B坐標為（2,4）,

故選：A.

5.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，在中，48=80。，NC=65。，將繞點A逆時針旋轉得

到△NB'C.當/"落在/C上時，/A4C'的度數為（）

A

70°C.80°D.85°

【答案】B

4

【分析】本題主要考查了旋轉的性質，三角形內角和定理，由旋轉的性質可得/B'/C'=/A4C,

由三角形內角和定理可得出/8'/C'=/A4C=35。，最后根據角的和差關系即可得出答案.

【詳解】解:由旋轉的性質可得出Z8'/C'=/8NC,

ZBAC+ZB+ZC^180°,

Z8/C=180°-80°-65°=35°,

；.NB'AC'=NBAC=35°,

ABAC=ABAC+ZB'AC=70°,

故選：B.

6.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，在矩形/BCD中，/3=10,5c=6,點M是邊的中點，點N

是4D邊上任意一點，將線段MN繞點M順時針旋轉90。，點N旋轉到點N',則AWBN'周長的最小值為

A.15B.5+575C.10+5收D.18

【答案】B

【分析】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，勾股定理，確定點M的軌跡是解題的關鍵.由旋轉的性質

結合AAS證明△4W絲△GW,推出MG=/A/=5,得到點N'在平行于Z2,且與N2的距離為5的直

線上運動，作點/關于直線E尸的對稱點刊'，連接MB交直線E尸于點N',此時AWBN'周長取得最小值,

由勾股定理可求解.

【詳解】解:過點N'作EF//4B,交4D、BC于E、F,過點/作所垂足為G,

ANED

?.■矩形/BCD,

AB//CD,

.-.AB||EF||CD,

???四邊形AMGE和BMGF都是矩形,

5

NA=NMGN'=90°,

由旋轉的性質得NAMV，=90。，MN=MN',

ZAMN=90°-ZNMG=ZGMN',

AAMNAGMN'(AA0,

：.MG=AM=5,

點M在平行于N8,且與的距離為5的直線上運動，

作點/關于直線環的對稱點連接MB交直線E尸于點N',此時AWBN'周長取得最小值，最小值為

BM+BM',

■：BM=-AB=5,AW,=5+5=10,

2

■■BM+BM'^5+sj52+\02=5+575，

故選：B.

7.(2024?內蒙古赤峰?中考真題)如圖，“5C中，AB=BC=\,ZC=72°.將。3C繞點/順時針旋轉

得到△A8'C',點"與點8是對應點，點C，與點C是對應點.若點C'恰好落在8C邊上，下列結論：①

點3在旋轉過程中經過的路徑長是:"；@B'A//BC；③BD=C'D；④嘿=能.其中正確的結論是

3ACBL)

BCC

A.①②③④B.①②③C.①③④D.②④

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，旋轉的性質，弧長公式，等腰三角形的判定和性質，三角

形內角和定理.根據旋轉的性質結合等腰三角形的性質求得各角的度數，再逐一判斷各項，即可求解.

【詳解】解：???/8=8C，ZC=72°,

ABAC=ZC=72°,ZABC=180°-2ZC=36°,

由旋轉的性質得/Z8'C=/43C=36。，AB'AC=ABAC=12°,NACB=NC=72。,

ZAC'B'=ZADC=72°,ACAC,

ZAC'C=ZC=12°,

ZCACr=36°,

6

ZCAC=ABAC=36°,

；"B'AB=72。-36。=36°,

由旋轉的性質得48'=48,

ZABB'=AAB'B=1(180°-36°)=72°,

=g》；①說法正確;

②???NB/B=/ABC=36。,：.B'A//BC-②說法正確;

③???ZDC'B=1800-2x72°=36°,

ADCB=ZABC=36°,

；.BD=C'D；③說法正確;

(4)vZBB'D=/ABC=36°,ZB'BD=ABAC=72°,

AB'BDSABAC,

ABB'B廠\、"、工-T-T-丘

~7C=~RV,'④說法正確;

AL,DD

綜上，①②③④都是正確的,

故選：A.

8.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，將“3C繞點/順時針旋轉90。得到點8,C的對應點分別

為點D,E,連接CE,點。恰好落在線段CE上，若CD=3,BC=1,則4D的長為（）

B.V10C.2D.272

【答案】A

【分析】此題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，由旋轉得/C=/E,

=90°,DE=BC=l,推出是等腰直角三角形，CE=4,過點N作/于點”，得到

7

HD=1,利用勾股定理求出4D的長.

【詳解】解：由旋轉得△48C之△/￡>￡1,ZCAE=90°,

:.AC=4E,ZCAE=90°,DE=BC=1,

.??△/CE是等腰直角三角形，CE=CO+OE=3+1=4,

過點/作/HLCE于點〃，

HD=HE-DE=2-1=1,

???AD=^AH2+HD"=A/22+12=V5，

故選：A.

9.（2024?重慶?中考真題）如圖，在正方形48CD的邊CD上有一點E,連接把/￡繞點￡逆時針旋

轉90。，得到FE,連接CF并延長與的延長線交于點G.則峭的值為（）

A.V2B.V3C.*D.必

22

【答案】A

【分析】過點尸作。。延長線的垂線，垂足為點〃，則NW=90。，證明ANOE也則4D=EH=1,

設DE=HF=x,得到HF=CH=x,則NACE=45。，故CF=?x,同理可求CG=J^C=JL貝U

FG=CG-CF=y/2（l-x）,因此型=仞j）=也.

CE1-x

【詳解】解：過點尸作QC延長線的垂線，垂足為點〃，則N*=90。，

8

由旋轉得EA=EF,ZAEF=90°,

???四邊形Z3CQ是正方形，

???/。=90。，DC//AB,DA=DC=BC,^DA=DC=BC=1,

=/H,

???/AEH=Z1+ZAEF=Z2+ZZ）,

???Z1=Z2,

公ADE”小EHF,

DE=HF,AD=EH=\,設DE=HF=x,

貝UCE=OC-OE=l-x,

：,CH=EH-EC=\-（\-x）=x,

HF=CH=x,而/H=90°,

??.ZHCF=45°,

.?.CF="=缶,

sin45°

-DC//AB,

："HCF=/G=45。,

同理可求CG=亞BC=V2,

：.FG=CG-CF=42-42x=yl2（l-x）f

AFG=V2（1-X）=^>

CE1-x

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，解直角三角形，旋轉的性質，正確添加輔

助線，構造“一線三等角全等”是解題的關鍵.

10.（2024?四川內江?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，/2，了軸，垂足為點8,將A/3。繞點A

逆時針旋轉到的位置，使點B的對應點區落在直線了=-%上，再將繞點耳逆時針旋轉到

△4302的位置，使點a的對應點。2也落在直線了=-：尤上，如此下去，……，若點8的坐標為（0,3）,

則點名7的坐標為（）.

9

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

【答案】C

【分析】本題考查了平面直角坐標系、一次函數、旋轉的性質、勾股定理等知識點.找出點的坐標規律以

及旋轉過程中線段長度的關系是解題的關鍵.

通過求出點A的坐標，AB、CM、08的長度，再根據旋轉的特點逐步推導出后續點的位置和坐標，然后

結合圖形求解即可.

【詳解】軸，點8的坐標為(0,3),

3

OB=3,則點A的縱坐標為3,代入y=

4

得：%=-4,則點A的坐標為(-4,3).

；.OB=3,AB=4,

OA=V32+42=5，

由旋轉可知，OB=€)出[==…=3,OA=OXA=O2AX=...=5,AB=AB、=A、B[=AzB2=…=4,

OBi=OA+ABl=4+5=9,片用=3+4+5=12,

B&3=B3B5=...=B35B37-12,

(37-1)

OB31=OB1+4837=9+\2'*12=225.

設點B37的坐標為

則O537=卜=225,

3

解得a=-180或180(舍去)，則-7a=135,

4

.??點區7的坐標為(T80,135).

故選C.

10

11.(2024?四川南充?中考真題)如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦

圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成.在正方形/BCD中，43=10.下列三個結論:

①若tan//世=i，貝1］跖=2；②若的面積是正方形即面積的3倍，則點尸是/G的三等

分點；③將“8G繞點/逆時針旋轉90。得到△NOG',則BG'的最大值為56+5.其中正確的結論是

()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

Ap3

【分析】根據tan/4DF=——=—,設4F=3x,得到。尸=4x,進而得到AD=5x==10,求出x的值,

DF4

3

判定①，根據的面積是正方形環G/f面積的3倍，求出NG=53G,進而得到

FG=AG-BG=^AG,判斷②；旋轉得到//G'D=44G3=90。，進而得到點G'在以為直徑的半圓

上，取4D的中點。，連接80,0G',得到3GY50+0G',判斷③.

AF3

【詳解】解：在RM4Q廠中，tanZ.ADF==—,

DF4

?,?設AF=3x,則：DF=4x,

***AD=5x=AB=10,

AX=2,

AF=6,DF=8,

???小DFAAAGBABHCACED,

DE=AF=6,

：.EF=DF-DE=2；故①正確；

17

若RS48G的面積是正方形EFG8面積的3倍，貝八-AG-BG=3FG2=3(AG-BGy,

：.AG-BG=6(AG-BG『,即：6AG2-UAG-BG+6BG2=Q,

11

32

.-.AG=-BG^AG=-BG（舍去），

23

：.FG=AG-BG=-AG,

3

???點尸是ZG的三等分點；故②正確；

?.?將AABG繞點/逆時針旋轉90°得到△4DG',

ZAG'D=NAGB=90°,

.?.點G'在以為直徑的半圓上，

取AD的中點O,連接8O,OG，，貝U：BG'<BO+OG',OG'=OA=-AD=5,

2

???BO=sJOA2+AB2=5y/5，

BG,<30+0G=5石+5，

即：BG'的最大值為5行+5;故③正確；

故選D.

【點睛】本題考查解直角三角形，勾股定理，旋轉的性質，解一元二次方程，求圓外一點到圓上一點的最

值，熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵.

12.（2024?北京?中考真題）如圖，在菱形/BCD中，ABAD=60°,。為對角線的交點.將菱形/BCD繞點

。逆時針旋轉90。得到菱形/'5'C'D',兩個菱形的公共點為E,F,G,H對人邊形BFB'GDHD'E給出下

面四個結論：

①該八邊形各邊長都相等；

②該八邊形各內角都相等；

③點O到該八邊形各頂點的距離都相等；

④點。到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

12

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【分析】根據菱形ABCD,ABAD=60°，則ZBAO=ZDAO=30°,NAOD=ZAOB=90°,結合旋轉的性

質得到點4,。',夕,。一定在對角線上，5.0D=0D'=0B=0B',OA=OA'=OC=OC,繼而得到

AD'=CD,/D'AH=/DC'H=30。,結合ND'HA=/DHC',繼而得到A4D月也AC'D”,可證

D'H=DH,CH=AH,同理可證。￡=/=8戶,8'G=Z)G,證“'BE注AC'DH,繼而得到

DH=BE,得至"DH=BE=D'H=D'E=BF=FB'=B'G=DG,可以判定該八邊形各邊長都相等，故①正

確；根據角的平分線的性質定理，得點O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，可以判定④正確；根據

題意，得NED'H=120。,結合/。'。。=90°,/OD'H=NODH=60°,得到=150。，可判定②該

八邊形各內角不相等；判定②錯誤，證AD'OH峪ADOH,進一步可得ODwOH,可判定點。到該八邊形

各頂點的距離都相等錯誤即③錯誤，解答即可.

本題考查了旋轉的性質，菱形的性質，三角形全等判定和性質，角的平分線性質定理，熟練掌握旋轉的性

質，菱形的性質，三角形全等判定和性質是解題的關鍵.

【詳解】向兩方分別延長8。，連接

根據菱形/BCD,^BAD=60°,則Z8/。=ZD/。=30。，/40D=N40B=90°,

?.?菱形ABCD繞點。逆時針旋轉90°得到菱形A'B'C'D',

.?.點H,D',2',C'一定在對角線上，S.OD=OD'=OB=OB',OA=OA'=OC=OC,

：.AD'=CD,ND'AH=NDC'H=30。,

:ND'HA=ZDHC,

:.AAD'H知C'DH,

D'H=DH,CH=AH,同理可證D'E=BE,BF=B'F,B'G-DG,

???NEAB=ZHCD=30°,A'B=CD,/ABE=ZCDH=120°,

,"A'BE%C'DH,

:.DH=BE,

13

:.DH=BE=D'H=D'E=BF=FB'=B'G=DG，

該八邊形各邊長都相等，

故①正確；

根據角的平分線的性質定理，得點。到該八邊形各邊所在直線的距離都相等,

??.④正確；

根據題意，得NED'H=120°,

???ZD'OD=90°,ZOD'H=NODH=60°,

ND/HD=150°,

該八邊形各內角不相等；

.?.②錯誤，

根據OD=OD',D'H=DH,OH=OH,

：.AD'OHADOH,

ZD'HO=ZDHO=75°,

ZODH=60°,

故OD力OH,

.??點。到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤

二③錯誤，

故選B.

二、填空題

13.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，在443c和中，AB=AC,NBAC=/DAE=40。,LADE

繞點/順時針旋轉一定角度，當ND13C時，/8/E的度數是.

14

A

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質，旋轉的性質，分兩種情況分別畫出圖形，再結合等腰三角形的

性質與角的和差運算可得答案;

【詳解】解：如圖，當4D18C時，延長交3C于

AB=AC,NBAC=NDAE=40。，

.-.ZBAJ=ZCAJ=2.0°,

.?.N24E=20°+40°=60°；

如圖，當ND/8C時，延長。/交于J,

?：AB=AC,ZBAC=ZDAE=40°,

:.ZBAJ=ZCAJ=20°,

ZBAE=180°-20°-40°=l20°,

故答案為：60。或120。

14.（2024?吉林長春?中考真題）一塊含30。角的直角三角板N3C按如圖所示的方式擺放，邊N8與直線/重

合，AB=ncm.現將該三角板繞點3順時針旋轉，使點。的對應點。落在直線/上，則點/經過的路徑

長至少為cm.（結果保留力）

15

A

【答案】8兀

【分析】本題主要考查了旋轉的性質、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關鍵.

由旋轉的性質可得/43c=44'3。=60。,即NZ的=120°,再根據點/經過的路徑長至少為以B為圓心,

以AB為半徑的圓弧的長即可解答.

【詳解】解：???將該三角板繞點8順時針旋轉，使點C的對應點C'落在直線/上，

.?"ABC=ZA'BC=60。,即乙4國=120°,

???點A經過的路徑長至少為12:0°。?:萬J2=8兀.

Io0

故答案為：8兀.

15.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在中，ZACB=90°,tan/A4c=（，BC=2,

AD=\,線段40繞點A旋轉，點P為CD的中點，則2P的最大值是.

B

C

【答案】2行+；

【分析】本題考查了解直角三角形，三角形中位線定理，旋轉的性質，解題的關鍵是找出8P取最大值時

B、P、河三點的位置關系.

取/C的中點連接PM、BM,利用解三角形求出BM=+8c2=2頂,利用三角形中位線定理

推出尸當4D在/C下方時，如果8、P、M三點共線，則5尸有最大值.

【詳解】解：取ZC的中點連接尸河、BM.

16

■：ZACB=90°,tanNB/C」，BC=2,

2

BCc1,

/.AC=-------------=2-r—=4,

tanABAC2

.-.AM=CM=-AC=2,

2

BM=y]MC2+BC2=A/22+22=2A/2，

,:P、M分別是C。、NC的中點,

：.PM=-AD=-

22

如圖，當40在ZC下方時，如果8、P、M三點共線，則AP有最大值,

故答案為：2>/2+—.

16.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，直線了=2無+2與x軸、V軸分別相交于點A,B,將“08繞點A

逆時針方向旋轉90。得到ANCO,則點。的坐標為.

【分析】本題考查一次函數圖象與坐標軸的交點，旋轉的性質，正方形的判定和性質等，延長。。交y軸

于點E,先求出點/和點2的坐標，再根據旋轉的性質證明四邊形。NCE是正方形，進而求出。E和

的長度即可求解.

【詳解】解：如圖，延長DC交y軸于點E,

17

?.?y=2x+2中，令x=0,貝l]y=2,令y=2x+2=0,解得x=-l,

OA=1，OB=2，

???"。5繞點A逆時針方向旋轉90。得到ANCO,

ZACD=ZAOB=ZOAC=90°,OA=OC=\,OB=CD=2,

，四邊形04CE是正方形.

CE=0E=0A-1,

DE=CD+CE=2+1=3,

.?.點。的坐標為(-3,1).

故答案為：(-3,1).

17.(2024?江蘇鹽城?中考真題)如圖，在“3C中，NACB=90°,/C=8C=2后，點。是4C的中點,

連接助，將ABCD繞點B旋轉,得到ABE尸.連接C/，當CF〃/2時，CF=

【答案】2+V6/V6+2

【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質，勾股定理，平行線的性質，全等三角形的性質的綜合，掌

握等腰直角三角形的性質，勾股定理，旋轉的性質是解題的關鍵.

根據等腰直角三角形的性質可得48CD,BD,8尸的值，作8GLCF,根據平行線的性質可得ABCG是

等腰直角三角形，可求出CG,BG的長，在直角尸G中，根據勾股定理可求出產G的長度，由此即可求

解.

【詳解】解：???在A48C中，4c5=90。，AC=BC=2垃,

：.ZCAB=ZCBA=45°,AB=42AC=4,

:點。是/C的中點,

18

.-.AD=CD=-AC=42,

2

.?.在Rt^BCD中，BD=4CD-+BC1=，(血『+(2及『=V10,

,將ABCD繞點8旋轉得到ABEF,

,“BCD之&BEF,

:.BD=BF=M,EF=CD=亞,BC=BE=2亞,

如圖所示，過8Gle廠于點G,

???CF||AB,

ZFCB=NCBA=45°,

.?.△3CG是等腰直角三角形，&BC=2歷,

.-.CG=BG=—BC=—x2yl2=2,

22

在火必3尸G中，FG=’8尸2-3G2=《回j=&,

■■■CF=CG+FG=2+y/6,

故答案為：2+后.

18.（2024?四川瀘州?中考真題）定義：在平面直角坐標系中，將一個圖形先向上平移。（々＞0）個單位，再

繞原點按逆時針方向旋轉。角度，這樣的圖形運動叫做圖形的「（。,夕）變換.如：點/（2,0）按照夕（1,90。）

變換后得到點4的坐標為（T2）,則點可若T）按照2（2,105。）變換后得到點Q的坐標為.

【答案】（-V2,V2）

【分析】本題考查了解直角三角形，坐標與圖形.根據題意，點8（道,-1）向上平移2個單位，得到點

再根據題意將點C（退』）繞原點按逆時針方向旋轉105。，得至iJO*=OC=2,ZB'OD=45°,據此求解即

可.

【詳解】解：根據題意，點2（后-1）向上平移2個單位，得到點「

19

???oc==2,sinZC(9￡=^|=|,

ZCOE=30°,

根據題意，將點C(6,1)繞原點按逆時針方向旋轉105。,

NB'OE=105°+30°=135°,

作2力，x軸于點。，

OB'=OC=2,ZB'OD=180°-135°=45°,

B'D=OD=OB'-sin45°=啦，

二點"的坐標為卜后,后)，

故答案為：卜血,血).

19.（2024?江蘇蘇州?中考真題）直線4：y=x-l與x軸交于點力,將直線4繞點/逆時針旋轉15。，得到直

線4,則直線4對應的函數表達式是.

【答案】y-A/3X—V3

【分析】根據題意可求得K與坐標軸的交點/和點8,可得ZOAB=AOBA=45°,結合旋轉得到ZOAC=60°,

則/OC4=30。，求得OC=VL即得點C坐標，利用待定系數法即可求得直線4的解析式.

【詳解】解：依題意畫出旋轉前的函數圖象4和旋轉后的函數圖象4,如圖所示：

20

令x=0,得y=-l；令>=0,即x=l,

”(1,0),5(0,-1),

???OA-1,OB=1,

即/。/2=/03/=45°

??,直線4繞點/逆時針旋轉15。，得到直線4,

-.ZOAC=60°,ZOCA=30°f

■■OC=CM*tan60°=瘋%=退,

設直線右的解析式為y=b+b,則

0=k+b

“解得

6=-行

那么，直線4的解析式為昨岳-6，

故答案為：y=43x-^3.

【點睛】本題主要考查一次函數與坐標軸的交點、直線的旋轉、解直角三角形以及待定系數法求一次函數

解析式，解題的關鍵是找到旋轉后對應的直角邊長.

20.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點A的坐標為（0,4）,點反C

均在x軸上.將.ABC繞頂點A逆時針旋轉30°得到AAB'C',則點C'的坐標為.

21

------------//--------->

B0彳Cx

【答案】（4,4-孚）

【分析】本題主要考查旋轉的性質，三角函數的計算，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.作

求出。尸，C/的值即可得到答案.

【詳解】解：作交了軸于點尸，

是等邊三角形，A01BC,

是/A4c的角平分線，

/CMC=30。，

OC=-AC,

2

在Rt“OC中，AO2+OC2=AC2,

即16+（；/C）2=/C2,

解得/C二型

3

-,AC=AC=—

3

4J3

OF=AO-AF=4-AC^os600=4—--,

3

8G百

FC=AC-sm600-----x----4,

32

22

三、解答題

21.(2024?山東濟寧?中考真題)如圖，“3C三個頂點的坐標分別是/(1,3),8(3,4),C(1,4).

yk

O123456x

(1)將。3c向下平移2個單位長度得△44G，畫出平移后的圖形，并直接寫出點耳的坐標;

(2)將△4耳。繞點耳逆時針旋轉90°得.畫出旋轉后的圖形，并求點￡運動到點C2所經過的路徑

長.

【答案】⑴作圖見解析，4(3,2)

⑵作圖見解析，兀

【分析】本題考查了作圖一平移變換和旋轉變換，弧長公式，解題的關鍵熟練掌握平移和旋轉的性質,

(1)利用平移的性質作出對應點，再連線即可，

(2)利用旋轉的性質分別作出對應點，再連線，G運動到點所經過的路徑長即為弧長即可可求解

【詳解】(I)解：△48G如下圖所示：

23

由圖可知：4(3,2)；

(2)解：如上圖所示:

萬x81Gx90°_萬x2x90°

G運動到點。2所經過的路徑為:=71

180180

22.(2024?廣東廣州?中考真題)如圖，RtZ\/5C中，/8=90。.

(1)尺規作圖：作/C邊上的中線3。(保留作圖痕跡，不寫作法);

(2)在(1)所作的圖中，將中線8。繞點。逆時針旋轉180。得到D。，連接40,CD.求證：四邊形/BCD

是矩形.

【答案】⑴作圖見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質,旋轉的性質;

(1)作出線段/C的垂直平分線斯，交/C于點O,連接3。，則線段80即為所求；

(2)先證明四邊形/BCD為平行四邊形，再結合矩形的判定可得結論.

【詳解】(1)解：如圖，線段5。即為所求；

A

專

——

(2)證明：如圖,

24

??,由作圖可得：AO=CO由旋轉可得：BO=DO,

???四邊形/BCD為平行四邊形,

???NABC=90°,

四邊形/3CD為矩形.

23.（2024?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐

【問題情境】在數學綜合實踐課上，同學們以特殊三角形為背景，探究動點運動的幾何問題，如圖，在“3C

中，點"，N分別為4B,/C上的動點（不含端點），且AN=BM.

【初步嘗試】（1）如圖1,當“3C為等邊三角形時，小顏發現：將抽繞點M逆時針旋轉120。得到MD,

連接8。，則上W=請思考并證明：

【類比探究】（2）小梁嘗試改變三角形的形狀后進一步探究：如圖2,在“8C中，AB=AC,

ABAC=90°,AELMN于點,E,交BC于點、F,將繞點M逆時針旋轉90。得到MD,連接。/,DB.試

猜想四邊形4打。的形狀，并說明理由；

【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3,在“3C中，4B=4C=4,ABAC=90°,連接

BN,CM,請直接寫出BN+CM的最小值.

A

【答案】（1）見詳解，（2）四邊形工總。為平行四邊形，（3）4追

【分析】（1）根據等邊三角的性質可得々=60。,奶=/C,再由旋轉的性質可得

DM=AM,ZAMD=l20o,從而可得NDVffi=乙4=60。，證明△㈤W咨AA?D（SAS）,即可得證；

（2）根據等腰直角三角形的性質可得//3C=45。，再根據旋轉的性質可得M4=MD,ZMAD=ZMDA=45°,

NDMA=NDMB=90°,從而可得=NNAF=45。，由平行線的判定可得4D〃3F,證明

△ANM咨AMBD（SA0,可得NAMN=NMDB,利用等量代換可得尸，再由平行線的判定可

得DB〃AF,根據平行四邊形的判定即可得證;

25

(3)過點/作N8NG=45。，使4G=CB,連接GM、GC,BG,延長C8,過點G作G。，C2于點O,

根據等腰三角形的性質可證NG4M=NBCN=45。，證明AG/AGA8CN(SNS),可得GM=BN,從而可

得當點G、M、C三點共線時，8N+CM的值最小，最小值為CG的值，根據平行線的性質和平角的定義

可得NG8O=45。，再根據等腰直角三角形的性質和勾股定理求得OG=O8=2收，從而可得。C=6啦，再

利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明???O3C為等邊三角形，

ZA=60°,AB=AC,

繞點M逆時針旋轉120。得到M),

DM=AM,ZAMD=120°,

ZDMB=60°,

AN=BM,NDMB=N4=60°,

：.AANM%MBD(SAS),

:.MN=DB；

(2)解：四邊形NEB。為平行四邊形，理由如下，

?；AB=4C,4c=90°,

.-.ZABC=45°,

vMA繞點、M逆時針旋轉90°得到MD,

MA=MD,/MAD=AMDA=45°,/DMA=ZDMB=90°,

??./MAD=NABF=45°,

則AD//BF,

在△4W和△A"。中，

'MA=DM

</MAN=/DMB,

AN=MB

.-.△^W^AM^D(SAS),

??.ZAMN=/MDB,

???AEVMN,

ZAMN+ZMAE=90°,

???ZMDB+ZMBD=90°,

???/DBM=ZMAF,

zo

:?DB〃AF,

則四邊形AFBD為平行四邊形；

(3)解：如圖，過點4作NA4G=45。，使4G=CB,連接GM、GC,BG,延長C5,過點G作

于點。，

vAB=AC=4,ZBAC=90°f

??./ABC=ZACB=45°,

:"GAM=/BCN=A5。，

vAN=BM,

??.AM=CN,

又???AG=CB,

.”GAMaBCN(SAS),

??.GM=BN,

：.BN+CM=GM+CM>CG,

???當點G、M、C三點共線時，BN+CN的值最小，最小值為CG的值,

???ZGAM=/ABC=45°,

??.AG//BC,

??.ABAC=/ABG=90°,

ZGBO=180°-ZABG-/ABC=45°,

??.ZGBO=45°,

OG=OB,

、GB=丘OB=41OG，

???OG=OB=2V2,

??OC=6五，

在用ziGOC中，GC=J(2后『+(6&y=46，

??.BN+CM的最小值為4>/5.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、勾股定理、平行四邊形的判定、旋轉

27

的性質及等邊三角形的性質，熟練掌握相關定理得出當點G、〃、C三點共線時，2N+CN的值最小，最

小值為CG的值是解題的關鍵.

24.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，矩形紙