專題2-1直線與圓對稱問題八大題型匯總

。常考題型目錄

題型1點關于點對稱..............................................................2

題型2點關于直線對稱............................................................3

題型3直線關于點對稱............................................................5

題型4直線關于直線對稱..........................................................5

題型5圓關于點對稱..............................................................7

題型6圓關于直線的對稱..........................................................8

題型7圓與圓關于直線對稱........................................................9

題型8反射光線問題.............................................................11

但知識梳理

知識點一.軸對稱

1.兩點關于直線對稱設Pl,P2,關于直線?對稱，則直線P1P2，與I垂直，目P1P2的中

點在I上。這類問題的關鍵就是根據"垂直"和"平分”構造方程組。

特別的，A(x,y)關于x軸對稱的點為A1(x,-y)

A(x,y)關于y軸對稱的點為A1(-x,y),

A(x,y)關于x=a對稱的點為A(2a-x,y),

A(x,y)關于y=b對稱的點為A1(x,2b-y),

A(x,y)關于y=x+b對稱的點為A1(y-b,x+b),

A(x,y)關于y=-x+b對稱的點為A1(b-y,b-x)0、、//

2.兩直線關于直線對稱：設k,12關于直線I對稱。

(1)當三條直線11,12,1共點時,I上任一點到11,12,的距離相等，且k上的

任意一點關于I的對稱點一定在直線12上。

(2)當11//12//1時,11到I的距離等于L至！11的距離。

知識點二.中心對稱

1、兩點關于點對稱：設匕f,yiJ,P(a,b),貝!IP】(xr,yr)關于P(a,b)對稱

的點為P2(2a-%1,2b-yi)，即P為線段PF2P的中點。

特別的，A(x,y)關于原點的對稱點A1(-x,-y)

2、兩直線關于點對稱：設直線li,b關于點P對稱，這時k上的任意一點關于P的對稱點

在b上.且k〃b

但題型分類

題型1點關于點對稱

【方法總結】

點關于點對稱實質：該點是兩對稱點連線段的中點

方法：利用中點坐標公式

說明：平面內點關于P(a㈤對稱點坐標為(2。-%,26-2))平面內點

AG,%),A'(X2,乃)關于點五產,歸比]對稱；

I227

【例題U2023?全國?高二課堂例題)已知不同的兩點P(a,-b)與Q(b+1,。-1)關于點(3,4)

對稱，則防=()

A.—5B.14C.—14D.5

【變式1-1]1.(2023?全國?高二專題練習)已知直線2x—y+r=。與圓C：(x+l)2+

(y—3/=產(r>o)交于A,B兩點，且線段4B關于圓心對稱，則r=()

A.1B.2C.4D.5

【變式1-1】2..(2023?全國?高二專題練習)點4(-3,l),C(l,y)關于點8(-1,-3)對稱，則

【變式1-U3.(2023秋?高二課時練習)已知不同的兩點P(a,-b),Q(b+l,a-1)關于點

（3,4）又寸稱，貝!Jab=.

【變式1-U4.（2023秋?高二課時練習）已知A,B兩點是圓C:/+（y-I）2=4上的兩

點，若A,B關于直線x+ay-3=0對稱，則實數a=_；若點A,B關于點（1,2）對

稱，則直線AB的方程為.

題型2點關于直線對稱

【方法總結】

實質：軸（直線）是對稱點連線段的中垂線

1.當直線斜率存在時：方法：利用"垂直"和"平分"這兩個條件建立方程組，就可求出

對稱點的坐標，

一般地：設點（府,yo）關于直線Ax+By+C=0的對稱點（乂，y'）,則

-1；

<x-%IBJ

A』+3^±A+C=0

[22I

2.當直線斜率不存在時：點（%,%）關于x=加的對稱點為（2m-x.,凡）

【例題2]（2022秋?四川瀘州?高二統考期末）點（0,0）與點（-2,2）關于直線I對稱，則I的方

程是（）

A.x+y+2=0B.x—y+2—0C.x+y—2=0D.x—y—2=0

【變式2-1]L（2023?全國?高二課堂例題）已知直線=3x+3,則點P（4,5）關于I的

對稱點的坐標為.

【變式2-1】2.（多選）（2023秋?江西宜春?高二江西省宜豐中學校考開學考試）下列說法

正確的是（）

A.過(久】，乃),(切，火)兩點的直線方程為上江=工

y2~yi%2Tl

B.直線％-y-4=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是8

C.點(1,0)關于直線y=x+1的對稱點為(-1,1)

D.直線7nx+y+m=0(mGR)必過定點

【變式2-1]3.(多選)(2022秋?廣東珠海?高二珠海市第一中學校考期末)下列結論正確

的是()

A.若直線a尤+y+l=0與直線4x+ay+2=。平行，則它們的距離為?

B.點(5,0)關于直線y=2x的對稱點的坐標為(-3,4)

C.原點到直線々％+(2k+l)y-3k-1=0的距離的最大值為世

D.直線土+產匕=1與坐標軸圍成的三角形的面積為租2+m

m2m+2

【變式2-1]4.(2023?全國?高二專題練習)已知半徑為3的圓C的圓心與點P(-2,1)關于

直線x-y+l=0對稱,則圓C的標準方程為()

A.(x+I)2+(y—l)2=9B.(x—l)2+(y—l)2=81

C.x2+(y+l)2=9D.x2+y2-9

【變式2-l]5.(2023,全國偏二專題練習居點4(a+2,b+2),B(b—4,a—6)關于直線4x+

3y—11=0又寸稱，貝！Ja=；b=.

【變式2-1]6.(2023?全國?高二專題練習)設點P(2,5)關于直線久+y=1的對稱點為Q,

則點Q的坐標為過點Q且與直線x+y-3=0垂直的直線方程

為.

【變式2-1]7.(2023秋?河北保定?高二河北省唐縣第一中學校考階段練習)已知直線，的

方程為3x-4y+2=0.

⑴求圓心為(1,0)且與直線而切的圓的標準方程；

⑵求直線X-y-l=。與2%+y-2=0的交點力坐標，并求點4關于直線/的對稱的點的坐

標.

題型3直線關于點對稱

【方法總結】

直線關于點對稱實質：兩直線平行

法一：轉化為"點關于點”的對稱問題（在/上找兩個特殊點（通常取直線與坐標軸的交點），

求出各自關于A對稱的點，然后求出直線方程）

法二：利用平行性質解（求出一個對稱點，且斜率相等或設出平行直線系，利用點到直線

距離相等）

【例題3]（2023?全國?高二專題練習）直線2%-y+3=0關于點P（3,2）對稱的直線的一般

式方程為—.

【變式3-1]1.（2023秋?高二課時練習）直線/：2%-3y+1=0關于點4（-1,-2）對稱的

直線，'的方程為.

【變式3-1]2.（2023?全國?高二課堂例題）求直線3x-y-4=0關于點（2,-1）對稱的直

線I的方程.

題型4直線關于直線對稱

【方法總結】

1：當卜與/相交時方法：此問題可轉化為"點關于直線"的對稱問題

2：當11與/平行時方法：對稱直線與已知直線平行

【例題4】（2023秋?山西大同?高二大同一中校考階段練習）已知直線■.l1-.y=ax+3與關

于直線y=X對稱，，2與，3：X+2y-1=。平行，貝！ja=（）

A.-iB.iC.-2D.2

22

【變式4-1]1.（2023?全國?高二專題練習）若直線、：y-2=（k-1）久和直線％關于直線

y=x+1對稱,則直線%恒過定點（）

A.（2,0）B,（1,-1）C.（1,1）D.（-2,0）

【變式4-1J2.（2023?全國?高二專題練習股直線％-2y-2=。與%關于直線刀2%-y-

4=。對稱，則直線12的方程是（）

A.llx+2y—22=0B.llx+y+22—0

C.5x+y—ll=0D.10x+y-22=0

【變式4-1]3.（多選X2023?江蘇?高二假期作業）已知直線%:ax-y+1=0,l2-.x+ay+

1=0,aeR,以下結論錯誤的是（）

A.無論a為何值，I1與％都互相平行

B.當a變化時，。與%分別經過定點4（0,1）和以-1,0）

C.無論a為何值，4與%都關于直線％+y=。對稱

D.若11與0交于點M,則|MO|的最大值是世

【變式4-1]4.（2022秋?湖北黃岡?高二統考期中）過直線y=x+l上的點P作圓

2

C：（x-I）+（y-6尸=2的兩條切線4,12,當直線k，I2關于直線y=x+1對稱時，兩切

點間的距離為（）

A.1B.2C.V3D.V6

【變式4-1]5.（多選）（2023秋?河北唐山?高二唐山一中校考期末）如圖所示，邊長為2的

等邊△04B從起始位置（。&與y軸重合）繞著。點順時針旋轉至。B與x軸重合得到△OA2B2,

在旋轉的過程中，下列說法正確的是（）

A.線段4B的中點在圓/+y2=3上運動

B.直線4遇2與直線8/2關于直線比-y=0對稱

C.邊&&與邊Bi/所在直線的交點為(3-舊,3-g)

D.4WB的角平分線所在直線方程是y=^-x,直線。4的方程為y=乎比

Z4

【變式4-1】6(2023秋?湖南邵陽?高二校考階段練習直線53x-y-3=。關于直線S%+

y-l=。的對稱直線方程為.

題型5圓關于點對稱

【方法總結】

轉化為圓心關于點對稱問題

【例題5](2021秋?江蘇南通?高二金沙中學校考階段練習)圓(x+2)2+外=6關于點

P(l,l)對稱的圓的方程為()

A.(x—4)2+(y—2)2=6B./+(y—4)2=6

C.(x+2)2+(y+2產=6D./+(y+4)2=6

【變式5-1】1.(2023?全國?高二專題練習)已知圓C:。+y2=25，則圓C關于點(-3,4)對

稱的圓的方程為()

A.(x+3)2+(y-4)2=16B.(x+3)2+(y-4)2=25

C.(x+6)2+(y—8)2=16D.(x+6)2+(y—8)2=25

【變式5-1]2.(2023?全國?高二課堂例題)已知P是圓C：(x-5)2+(y-5)2=r2(r>0)

上的一個動點，它關于點力（9,0）的對稱點為Q,O為原點，線段OP繞原點。逆時針方向

旋轉90。后，所得線段為OR,求|QR|的最小值與最大值.

題型6圓關于直線的對稱

【方法總結】

轉化為直線過圓心問題

【例題6]（2023?全國?高二課堂例題）若圓C:/+/+2%-4y+3=。關于直線2ax+

by+6=。對稱，則由點（a,6）向圓所作的切線長的最小值是（）

A.2B.3C.4D.6

【變式6-1]1.（2023秋?重慶沙坪壩?高二重慶南開中學校考階段練習）公元前3世紀，古

希臘數學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第

七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如:平面內到兩定點距離之比等于定

值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點

2（-1,0）和B（2,l）且該平面內的點P滿足|P4|=V2|PB|若點P的軌跡關于直線山久+ny-

2=0（m,n>0）對稱，則。+:的最小值是（）

A.10B.20C.30D.40

【變式6-1]2.（2023?全國?高二專題練習）已知圓0-1）2+（y—2）2=4關于直線ax+

by-2=。對稱，則-a?+爐的最小值為（）

A.B.謔C.-D.1

555

【變式6-1】3.（2023?全國?高二專題練習）點M、N在圓C：/+y2+2"+2my—4=0

上，目M、N兩點關于直線x-y+l=0對稱，則圓C的半徑（）

A.最大值為了B.最小值為'C.最小值為學D.最大值為瞥

【變式6-1]4.（多選）（2023秋?全國?高二隨堂練習）（多選）若圓上的點（2,1）關于直線

x+y=。的對稱點仍在圓上，且圓的半徑為一,則圓的標準方程可能是()

A.x2+y2=5B.(x—l)2+y2—5C.x2+(y+l)2=5D.(x—l)2+(y+I)2=5

【變式6-1]5.(多選)(2023秋?廣東廣州?高二廣州市天河中學校考期末)已知圓

M-.(X一1)2+(y-2)2=1,則()

A.mM關于直線x-y+l=0對稱

B.圓M關于直線x+y+l=。對稱的圓為(％+3)2+(y+2尸=1

C.直線/過點(2,0)且與圓M相切，則直線/的方程為3x+4y-6=0

D.若點P(a,6)在圓M上,則J(a+3Q+(6—2尸的最小值為3

【變式6-1]6.(2023?全國?高二課堂例題)圓。：/+(y—2)2=16關于直線a久+by-12=

。對稱，動點S在直線y+b=0上，過點S弓|圓C的兩條切線S4sB,切點分別為4B,則直線

48必過定點，那么定點的坐標為.

【變式6-1]7.(2023?全國?高二專題練習)已知圓C經過點4(1,2)和8(5,-2),且圓C關于

直線2x+y=。對稱.

(1)求圓C的方程；

⑵過點。(-3,1)作直線1與圓C相切，求直線]的方程.

題型7圓與圓關于直線對稱

【方法總結】

轉化為圓心關于直線對稱問題

【例題7](2023?全國?高二專題練習)已知圓C1：%2+y2=4與圓。2關于直線2久+y+5=0

對稱，則圓的標準方程為()

A.(%+4)2+(y+2)2=4B.(%—4)2+(y—2)2=4

C.(%+2)2+(y+4)2=4D.(%—2)2+(y—4)2=4

【變式7-1]1.(2023秋,高二課時練習)若圓％2+y2-ax+2y+1=。與圓％2+y2=1

關于直線y=%-1對稱，且過點C(-a,a)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為

()

A.y2—2%+2y+8=0

B.y2+2%—2y+8=0

C.y?+4%—4y+8=0

D.y2—4%+4y+8=0

【變式7-1]2.(2023?全國?高二專題練習)已知圓Ci：/+y2+2%_2y+1=0,圓C?與

圓Ci關于直線％-y-l=0對稱，則圓的方程為()

A.%2+y2—4%+4y+7=0B.%2+y2-4%—4y+7=0

C.%2+y2+4%4-4y+7=0D.%2+y2+4%—4y+7=0

【變式7-1]3.(2022秋?浙江?高二浙江省余姚市第五中學校聯考期中)在平面直角坐標

2

系%。y中，若圓Ci：(%+4/+(y-1/=r(r>0)上存在點P,且點尸關于直線y=久+1的

對稱點Q在圓。2：(%-4)2+*=4上，貝什的取值范圍是()

A.(3,7)B.[3,7]

C.(3,+00)D.[3,+oo)

【變式7-1]4.(多選)(2023?全國?高二專題練習)已知圓％2+y2+2x-4y+l=0關于

直線2a%-by+2=0(a,beR)對稱，則下列結論正確的是()

A.圓％2+y2+2%_4y+1=0的圓心是(一1,2)

B.圓％2+y2+2%-4y+1=。的半徑是2

C.a+b=1

D.ab的取值范圍是（-82

【變式7-1]5.（多選）（2023秋?全國?高二階段練習）已知直線I:3久+2y+m=0,圓C:

/+*+4久一）/+：=0,則下列說法錯誤的是（）

A.若m=5+g或5-g,則直線I與圓C相切

B.若爪=5,則圓C關于直線I對稱

C.若圓E：/+*+1久一2y-*=0與圓C相交，且兩個交點所在直線恰為I,則巾=2

D.若m>5,圓C上有且僅有兩個點到I的距離為1,則5+V13<m<5+3舊

【變式7-1]6.（2023?全國?高二專題練習）已知圓C[:Q+3）2+（y-2）2