專題23反比例函數題型分析題型分析題型演練題型演練題型一根據定義判斷是否是反比例函數題型一根據定義判斷是否是反比例函數1．下列函數中，不是反比例函數的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據反比例函數的三種形式判斷即可．【詳解】解：反比例函數的三種形式為：①（為常數，），②（為常數，），③（為常數，），由此可知：只有不是反比例函數，其它都是反比例函數，故選：C．2．下列屬于反比例函數的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據反比例函數的定義進行判斷．【詳解】解：A．由原式得到，符合反比例函數的定義，故本選項符合題意；B．該函數式表示與成正比例關系，故本選項不符合題意；C．該函數式不屬于反比例函數，故本選項不符合題意；D．該函數式不屬于反比例函數，故本選項不符合題意；故選：A．3．下列函數，①，②，③，④是反比例函數的個數有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據反比例函數定義直接逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，①，②，是正比例函數，③是反比例函數，④不是反比例函數，故選B．4．函數①；②；③；④；⑤；⑥；⑦和⑧中，是y關于x的反比例函數的有：__________（填序號）．【答案】②③⑧【分析】根據反比例函數的定義：形如的函數，由此可直接進行求解．【詳解】解：由題意得：函數①；②；③；④；⑤；⑥；⑦和⑧中，是y關于x的反比例函數的有②③⑧；故答案為②③⑧．題型二求反比例函數值題型二求反比例函數值1．下列各點不在雙曲線上的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將選項中的點的橫坐標代入解析式中求出y值，若等于點的縱坐標，則該點在函數圖象上，若不等于則不在，進而可作出判斷．【詳解】解：A、當時，，則在雙曲線上，不符合題意；B、當時，，則不在雙曲線上，符合題意；C、當時，，則在雙曲線上，不符合題意；D、當時，，則在雙曲線上，不符合題意；故選：B．2．下列各點中，不在反比例函數圖象上的是（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】將每個選項中點的橫坐標代入反比例函數解析式中，看函數值是否一致，如果一致，說明點在函數圖象上，反之則不在.【詳解】A選項中，當時，，故該選項不符合題意；B選項中，當時，，故該選項不符合題意；C選項中，當時，，故該選項符合題意；D選項中，當時，，故該選項不符合題意；故選C3．已知反比例函數，則它的圖象不經過點（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出四個選項中點的橫縱坐標之積，比照k即可得出結論．【詳解】解：A、，故反比例函數圖象經過點，不合題意；B、，故反比例函數圖象不經過點，符合題意；C、，故反比例函數圖象經過點，不合題意；D、，故反比例函數圖象經過點，不合題意；故選：B．4．在平面直角坐標系中，某反比例函數的圖象經過點和點，則的值為_____．【答案】【分析】根據利用待定系數法求出反比例函數解析式，再根據函數解析式求出點的坐標．【詳解】解：設反比例函數的解析式是∵反比例函數經過點∴即∵反比例函數經過點∴故答案為：5．已知點、、在反比例函數的圖象上，則的大小關系是______________________．【答案】【分析】分別把點、、代入反比例函數求出，即可比較出大小．【詳解】解：∵點、、在反比例函數的圖象上，∴，，∴．故答案為：題型三反比例函數的圖像問題題型三反比例函數的圖像問題1．如圖1，已知A，B是反比例函數（，）圖像上的兩點，軸，交y軸于點C，動點P從坐標原點O出發，沿（圖中“”所示路線）勻速運動，終點為C，過P作軸，垂足為M．設三角形的面積為S，P點運動時間為t，則S關于t的函數圖像大致如圖2，則k的值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】當點P在上運動時，此時S隨t的增大而增大，當點P從點A到點B的過程中，三角形的面積S是定值，再根據此時的面積為4，列式計算，即可求解．【詳解】解：由圖1可知，點P從點A到點B的過程中，三角形的面積S是定值，由圖2可知：點P從點A到點B的過程中，，，解得：，，，故選：A．2．反比例函數的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據反比例函數的性質，時，圖象在一、三象限，進行判斷即可．【詳解】解：∵反比例函數，，∴圖象分布在第一、三象限，即：故選C．3．在平面直角坐標系中，點，，分別在三個不同的象限，若反比例函數的圖象經過其中兩點則的值為（）A．1 B．-1 C．-6 D．6【答案】B【分析】根據已知條件得到點在第二象限，求得點一定在第三象限，由于反比例函數的圖象經過其中兩點，于是得到反比例函數的圖象經過，，于是得到結論．【詳解】在第二象限，在第一象限，且點、、在三個不同象限，又點的橫坐標為，在第三象限，反比例函數的圖象經過其中兩點，，兩點在該反比例函數圖象上，解得故選：．4．已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．當電阻為時，電流是________A．【答案】12【分析】設該反比函數解析式為，根據當時，，可得該反比函數解析式為，再把代入，即可求出電流I．【詳解】解：設該反比函數解析式為，由題意可知，當時，，，解得：，設該反比函數解析式為，當時，，即電流為，故答案為：12．5．如圖，直線與雙曲線交于兩點，直線與雙曲線在第一象限交于點C，連接．（1）點A的坐標是______；（2）的面積是______．【答案】

【分析】（1）根據點B的坐標可以求得雙曲線的解析式，然后即可求得點A的坐標；（2）根據反比例函數的中心對稱性求出點C的坐標，再用割補法即可求得的面積．【詳解】（1）∵點在雙曲線上，∴，∴．∵點在雙曲線上，∴，∴故答案為：（2）如圖，過點B作軸，過點C作軸，和交于點G，過點B作軸，過點A作軸，和交于點E，與交于點F．∵直線BO與雙曲線在第一象限交于點C，點，∴點C的坐標為．∵點，,，∴，∴．故答案為：題型四判斷反比例函數的增減性題型四判斷反比例函數的增減性1．關于反比例函數，下列說法不正確的是（）A．函數圖象分別位于第一、三象限B．y隨x的增大而減小C．圖像與坐標軸沒有交點D．若點都在函數圖像上，則【答案】B【分析】當時，圖象分別位于第一、三象限，在同一個象限內，y隨x的增大而減小；當時，圖象分別位于第二、四象限，在同一個象限，y隨x的增大而增大．【詳解】解：A、因為，所以反比例函數y（k＞0），的圖象經過第一、三象限，故本選項不符合題意；B、反比例函數（k＞0）的圖象是雙曲線，經過第一、三象限，在每一象限內，y的值隨x值的增大而減小，故本選項符合題意；C、該函數圖象與坐標軸無限接近，但無交點，故本選項不符合題意；D、若點都在函數圖象上，∴，，∴，故不符合題意；故選：B．2．下列事件中，不是隨機事件的是（

）A．函數中，當時，y隨x的增大而減小B．平分弦的直線垂直于弦C．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線D．的半徑為5，若點P在外，則【答案】A【分析】根據隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，然后依據定義可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而得出答案．【詳解】解：A.函數中，當時，y隨x的增大而減小是必然事件，故選項A符合題意；B.因為平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，所以平分弦的直線垂直于弦是隨機事件，故選項B不符合題意；C.因為過半徑的外端，垂直于圓的半徑的直線是圓的切線，所以垂直于圓的半徑的直線是圓的切線是隨機事件，故選項C不符合題意；D.的半徑為5，若點P在⊙O外，則是隨機事件，因為的長度只要大于5即可，故是隨機事件，故選項D不符合題意；故選：A．3．已知點、、都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據反比例數解析式得出反比例函數圖象在第一、三象限，且在每一個象限內，隨的增大而減小，據此即可求解．【詳解】解：∵，∴反比例函數圖象在第一、三象限，且在每一個象限內，隨的增大而減小，∵點、、都在反比例函數的圖象上，∴、在第三象限，在第一象限，∴，∴，故選：D．4．反比例函數，當時，y的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據題意，結合反比例函數圖像與性質，由反比例函數增減性即可得到答案．【詳解】解：，當時，，反比例函數中，，反比例函數圖像在第一、三象限，當時，在第一象限內隨的增大而減小，，故答案為：．5．已知反比例函數的圖象經過點，則這個函數的圖象在每個象限內隨的增大而______．（填“增大”或“減小”）【答案】增大【分析】先根據反比例函數圖象上點的坐標特征確定的正負，然后根據反比例函數的性質進行判斷．【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過點，∴，∴反比例函數圖象分布在第二、四象限，在每個象限內，的值隨的值增大而增大．故答案為：增大．題型五判斷反比例函數圖像所在象限題型五判斷反比例函數圖像所在象限1．對于反比例函數，下列說法錯誤的是（

）A．圖象經過點 B．圖象位于第一、第三象限C．當時，y隨x的增大而減小 D．當時，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】根據題目中的函數解析式和反比例函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：A、在中，當時，，∴圖象經過點，原說法正確，故此選項不符合題意；B、在中，，∴反比例函數圖象位于第一、三象限，原說法正確，故此選項不符合題意；C、在中，當時，y隨x的增大而減小，原說法正確，故此選項不符合題意；D、在中，當時，y隨x的增大而減小，原說法錯誤，故此選項符合題意；故選：D.2．關于反比例函數，下列敘述正確的是（

）A．在每個象限內，y隨x的增大而增大 B．函數圖象在第一、三象限C．當時， D．其圖象既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形【答案】A【分析】根據反比例函數的圖象和性質解答；【詳解】解：A、因為反比例函數的圖象是雙曲線，當時，圖象位于第二、四象限，在每個象限內隨的增大而增大，本選項正確，符合題意；B、當時，圖象位于第二、四象限，本選項錯誤，不符合題意；C、當時，在第二象限，在第四象限，本選項錯誤，不符合題意；D、反比例函數的圖象是關于原點對稱的中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，本選項錯誤，不符合題意；故選：A．3．關于反比例函數，下列說法不正確的是（

）A．y隨x增大而增大 B．圖象分別在第二、四象限C．該反比例函數圖象與坐標軸無交點 D．圖象經過點【答案】A【分析】根據反比例函數的圖象和性質，進行判斷即可．【詳解】解：，∵，∴圖象過二、四象限，在每一個象限內，y隨x增大而增大；∵，∴反比例函數圖象與坐標軸無交點；∵，∴圖象經過點；綜上，選項B、C、D正確，不符合題意；選項A錯誤，符合題意；故選A．4．反比例函數的圖象經過點，，，則_________（填“＜，＝，＞”）【答案】【分析】根據點，得出，反比例函數經過第二、四象限，進而即可求解．【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過點，∴，∴反比例函數經過第二、四象限又反比例函數的圖象經過點，，∴點在第二象限，點在第四象限，∴，故答案為：．5．已知點，，在反比例函數的圖像上．（1）該反比例函數的圖像位于第___________象限；（2），，的大小關系是___________．【答案】

二、四

##【分析】答題空1根據反比例函數性質直接得到答案；根據反比例函數增減性及所在象限性質直接可得答題空2答案．【詳解】解：∵，∴反比例函數的圖像位于二、四象限，∵，∴在時y隨x增而增大且，時，∵，，在反比例函數的圖像上．∴，故答案為：二、四，．題型六反比例函數系數題型六反比例函數系數k的幾何意義1．如圖，直角三角形的直角頂點在坐標原點，，若點A在反比例函數的圖象上，點B在反比例函數的圖象上，則k的值是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】過點B作軸于點C，過點A作軸于點D，直接利用相似三角形的判定與性質得出，進而得出，即可得出答案．【詳解】解：過點B作軸于點C，過點A作軸于點D，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵若點A在反比例函數（）的圖象上，∴，∴，∴，∵經過點B的反比例函數圖象在第二象限，∴．故選：C．2．如圖，矩形與反比例函數（是非零常數，）的圖象交于點M，N，與反比例函數（是非零常數，）的圖象交于點B，連接．若四邊形的面積為3，則(

)A．3 B．-3 C． D．6【答案】A【分析】根據矩形的性質以及反比例函數系數k的幾何意義即可得出結論．【詳解】解：∵、的圖象均在第一象限，∴，，∵點M、N均在反比例函數（是非零常數，）的圖象上，∴，∵矩形的頂點B在反比例函數（是非零常數，）的圖象上，∴，∴，∴，故選：A．3．如圖，點是雙曲線上的一點，點是雙曲線上的一點，所在直線垂直軸于點，點是軸上一點，連接、，則的面積為（

）A．5 B．6 C．10 D．16【答案】A【分析】作交的延長線于，則，設點的坐標為，再根據題意分別表示出的長，計算即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，作交的延長線于，，則，設點的坐標為，，所在直線垂直軸于點，點坐標為，，，，故選：A．4．反比例函數的圖象如圖所示，點A是圖象上任一點，軸于點B，點C是y軸上任一點，若的面積為1，則k的值為______．【答案】【分析】設點A的坐標，再根據列出關系式，進而得出答案．【詳解】設點，∵，∴，則．點A在反比例函數的圖像上，∴．故答案為：－2.5．如圖，已知在中，點在上，，，，反比例函數的圖象經過點，則的值為_____．【答案】12【分析】過點C作于點D，根據等腰三角形的性質，可知點D是的中點，根據，，可得的面積，進一步可得的面積，再根據反比例函數系數k的幾何意義，即可求出k的值．【詳解】解：解：過點C作于點D，如圖所示：，，，，，，∵反比例函數的圖象經過點C，，故答案為：12．題型七求反比例函數的解析式題型七求反比例函數的解析式1．若反比例函數圖象上有兩點，，若，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】將點，代入反比例函數得出：，，再代入求值即可．【詳解】解：將點，代入反比例函數得出：，，∴，∵，∴，故選：B．2．下列各點，在反比例函數圖象上的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將每個選項中的坐標代入反比例函數解析式中，能夠使得等式成立的選項則在函數圖象上．【詳解】解：A、將代入中得：，故本選項不符合題意；B、代入中得：，故本選項符合題意；C、代入中得：，故本選項不符合題意；D、代入中得：，故本選項不符合題意；故選：B．3．如圖，直線與雙曲線交于點A，將直線向上平移1個單位長度后，與y軸交于C，與雙曲線交于B，若，則k的值為（

）A． B．－7 C． D．【答案】C【分析】設點，點M是y軸正半軸上的一點，過點A作軸于點D，過點B作軸于點E，過點C作于點F，證明，確定的長，判定四邊形是矩形，繼而得到，根據反比例函數的性質列出等式計算即可．【詳解】設點，點M是y軸正半軸上的一點，如圖，過點A作軸于點D，過點B作軸于點E，過點C作于點F，根據平移的性質，得到，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，直線與y軸交于點C，∴，∴，∵∴，∵A、B都是雙曲線上的點，∴，解得，∴，故選C．4．如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，四邊形是平行四邊形，點的坐標為，點的坐標為，點在第二象限，反比例函數的圖象恰好經過點，則的值為______．【答案】【分析】根據平行四邊形的性質和點，，的坐標求出點的坐標，再把點的坐標代入即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，，∴，，解得，，∴，將代入并解得，故答案為：．5．已知點、是反比例函數圖像上的兩個點，且，，則_____．【答案】2【分析】根據反比例函數圖象上的點的坐標特征可得出，對等式進行化簡可得出結論．【詳解】解：∵點、是反比例函數圖像上的兩個點，∴，整理得，，∵，，∴，∴．故答案為：2．題型八反比例函數與一次函數的綜合判斷題型八反比例函數與一次函數的綜合判斷1．二次函數的圖象如圖所示，則一次函數和反比例函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據二次函數的圖象開口向上，得出，與y軸交點在y軸的負半軸，得出，利用對稱軸，得出，進而對照四個選項中的圖象即可得出結論．【詳解】解：因為二次函數的圖象開口向上，得出，與y軸交點在y軸的正半軸，得出，利用對稱軸，得出，所以一次函數經過一、二、三象限，反比例函數經過一、三象限，故選：B2．在同一平面直角坐標系中，函數與的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據每個函數圖象分析出對應的參數范圍，再綜合對比即可．【詳解】解：當時，則，∴反比例函數圖象在一、三象限，函數的圖象經過一、三、四象限，故A、B選項都不符合題意；當時，則，∴反比例函數圖象在二、四象限，函數的圖象經過一、二、四象限，故C選項符合題意，D選項不符合題意．故選：C．3．對于不為零的兩個實數a，b，如果規定：，那么函數的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據規定得出的解析式，再利用一次函數和反比例函數的圖像性質即可求解．【詳解】由題意得，這是一個分段函數圖象，，即當時，；當時，．故選：C．4．如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點,兩點，當時，則自變量的取值范圍是______．【答案】或【分析】根據圖象中一次函數與反比例函數的分布即可求出取值范圍．【詳解】由圖像知，當或時，一次函數在反比例函數上方，即，故答案為：或5．如圖，函數與函數圖像的交于點P，點P的縱坐標為4，軸，垂足為點B，點M是函數圖像上一動點（不與P點重合），過點M作于點D，若，點M的坐標是________．【答案】（12，2）【分析】過點D作GH⊥PB，交BP的延長線于G，作MH⊥HG于H，證得△PGD?△DHM(AAS)，得PG=DH，DG=MH，設D(m，)，表示出點M的坐標，從而得出m的方程，解方程即可．【詳解】解：過點D作GH⊥PB，交BP的延長線于G，作MH⊥HG于H，如圖所示，∵△PMD是等腰直角三角形，∴PD=DM，∵∠PDG+∠MDH＝90°，∠PDG+∠DPG=90°，∴∠DPG=∠MDH，∵∠G=∠H，∴△PGD?△DHM(AAS)，∴PG=DH，DG=MH，∵點P的縱坐標為4，∴將y=4代入，得x=6，∴P點坐標為（6，4），將P（6，4），代入，得：k=24，∴反比例函數解析式為：設D(m，)，∴DG=m-6，PG=，∴MH＝m-6，DH=，∴M（，），∵點M在反比例的圖象上，∴，解得，，當m＝6時，M（6，4）(舍去)，當m=10時，M（12，2），故答案為：（12，2）．題型九一次函數與反比例函數的交點問題題型九一次函數與反比例函數的交點問題1．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點，則代數式的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點，得到，利用整體思想代入，求值即可．【詳解】解：∵反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點，∴，∴，∴；故選A．2．在同一直角坐標系中，若正比例函數的圖象與反比例函數的圖象有公共點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據正比例函數與反比例函數的圖象的性質即可求解．【詳解】解：∵正比例函數的圖象與反比例函數的圖象有公共點，∴同號，∴故選：D．3．如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于點，．則關于x的不等式的解集是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】先求出反比例函數解析式，進而求出點B的坐標，然后直接利用圖象法求解即可．【詳解】∵在反比例函數圖象上，∴，∴反比例函數解析式為，∵在反比例函數圖象上，∴，∴，由題意得關于x的不等式的解集即為一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍，∴關于x的不等式的解集為或，故選C．4．如圖，直線與雙曲線的圖象交于A、B兩點，過點A作軸于點C，連接，若，則k的值為______．【答案】【分析】設點A的坐標為，由對稱性可知點B的坐標為，再由軸，得到，再由進行求解即可．【詳解】解：設點A的坐標為，∵直線與雙曲線的圖象交于A、B兩點，∴點B與點A關于原點對稱，∴點B的坐標為，∵軸，∴，∴，∴∴，∴，故答案為：．5．如圖，正比例函數與反比例函數的圖像相交于、兩點，軸于點，軸于點，則四邊形的面積為________．【答案】8【分析】先求出兩函數交點坐標，即可求出和的面積，通過同底等高，判斷和的面積相等，最后直接求解即可．【詳解】正比例函數與反比例函數的圖像相交于、兩點，解得或軸于點，軸于點故答案為：8題型十實際問題與反比例函數題型十實際問題與反比例函數1．為了響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，加強生態文明建設，某工廠自今年1月份開始限產進行治污改造，其月利潤（萬元）與月份之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數圖象的一部分，治污完成后是一次函數圖象的一部分，下列選項錯誤的是（

）A．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元B．治污改造完成前后共有5個月的利潤不超過100萬元C．10月份該廠利潤達到190萬元D．4月份的利潤為50萬元【答案】B【分析】直接利用已知點求出一次函數和反比例函數的解析式，進而分別分析得出答案即可．【詳解】解：設反比例函數的解析式為：，把代入得：，解得：，反比例函數的解析式為，當時，，設一次函數的解析式為：，將，代入一次函數解析式為：，解得：，一次函數的解析式為：，A.改造完成后，從5月到7月，利潤從40萬增加到100萬，故每月利潤比前一個月增加30萬元，故此選項正確，不符合題意；B.當時，，解得：，則只有3、4、5、6共4個月的利潤低于100萬元，故此選項錯誤，符合題意；C.當時，，因此10月份該廠利潤達到190萬元，故此選項正確，不符合題意；D.當時，，因此4月份的利潤為50萬元，故此選項正確，不符合題意；故選：B．2．阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”這句話精辟地闡明了一個重要的物理學知識——杠桿原理，即“阻力阻力臂動力動力臂”．若已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為和，則這一杠桿的動力和動力臂之間的函數圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用阻力阻力臂動力動力臂，進而得出動力關于動力臂的函數關系式，從而確定其圖象即可．【詳解】解：∵阻力阻力臂動力動力臂，且阻力和阻力臂分別為和，∴動力關于動力臂的函數解析式為：，即，是反比例函數，又∵動力臂，故B選項符合題意．故選：B．3．如圖是4個臺階的示意圖，每個臺階的高和寬分別是1和2，每個臺階凸出的角的頂點記作（m為1～4的整數），函數的圖象為曲線L，若曲線L使得，這些點分布在它的兩側，每側各2個點，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出四個點的坐標，分別求出過個點時的值，可得結果．【詳解】解：∵每個臺階的高和寬分別是1和2，∴，∴當過點時，，當過點時，，∴若曲線L使得，這些點分布在它的兩側，每側各2個點，k的取值范圍是：；故選D．4．飲水機中原有水的溫度為，通電開機后，飲水機自動開始加熱(此過程中，水溫與開機時間分滿足一次函數關系)，當加熱到時自動停止加熱，隨后水溫開始下降(此過程中，水溫與開機時間x分成反比例函數關系)，當水溫降至時，飲水機又自動開始加熱，……如此循環下去(如圖所示)．那么開機后分鐘時，水的溫度是______．【答案】【分析】根據一次函數圖象上兩點的坐標，利用待定系數法即可求出當時，水溫與開機時間x的函數關系式；由點，利用待定系數法即可求出當時，水溫與開機時間的函數關系式，再將代入該函數關系式中求出x值即可，由，將代入反比例函數關系式中求出y值即可得出結論．【詳解】解：當時，設水溫與開機時間的函數關系為：，依據題意，得，解得：，故此函數解析式為：；在水溫下降過程中，設水溫y與開機時間x的函數關系式為：，依據題意，得：，解得：，∴，當時，，解得：，∵，∴當時，．故答案為：．5．把一定體積的鋼錠拉成鋼絲，鋼絲的總長度y（m）是其橫截面積x（）的反比例函數，其圖象如圖所示．當鋼絲總長度不少于80m時，鋼絲的橫截面積最多是___________．【答案】【分析】觀察圖象可知，雙曲線過點，求出反比例函數的解析式，再求出時的的值，即可得解．【詳解】解：設反比例函數的解析式為：由圖象可知：雙曲線過點，∴，∴，由圖可知，時，隨的增大而減小，∵鋼絲總長度不少于80m，∴當時，鋼絲的橫截面積最大為；故答案為：．題型十一反比例函數與幾何綜合題型十一反比例函數與幾何綜合1．如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于，兩點．(1)求反比例函數與一次函數的解析式；(2)過點A作軸，垂足為C，求的面積．【答案】(1)，；(2)5【分析】（1）把B的坐標代入反比例函數的解析式，求出其解析式，把A的坐標代入反比例函數的解析式，求出A的坐標，把A、的坐標代入一次函數的解析式，得出方程組，求出方程組的解即可；（2）根據一次函數確定，，結合圖形，計算三角形面積即可．【詳解】（1）解：∵點）在的圖像上，∴，∴反比例函數的解析式為：，∴∴，∵點、在的圖像上，∴，解得：∴一次函數的解析式為：；（2）∵一次函數的解析式為：，當時，，∴點，，∵軸，，∴，，∴，以為底，則邊上的高為，∴2．如圖，在中，，軸，垂足為A．反比例函數的圖象經過點C，交于點D．已知．(1)若，求k的值；(2)連接，若，求的長．【答案】(1)5；(2)【分析】（1）利用等腰三角形的性質得出的長，再利用勾股定理得出的長，得出C點坐標即可得出答案；（2）連接，首先表示出D，C點坐標進而利用反比例函數圖象上的性質求出C點坐標，再利用勾股定理得出的長．【詳解】（1）解：作，垂足為E，

，，．在中，，，，，點的坐標為：，點C在的圖象上，，（2）解：設A點的坐標為，

，，，C兩點的坐標分別為：，．點C，D都在的圖象上，，，點的坐標為：，作軸，垂足為F，，，在中，，．3．如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于點和．(1)填空：一次函數的解析式為______，反比例函數的解析式為______；(2)點是線段上一點，過點作軸于點，連接，若和的面積相等，求點的坐標．【答案】(1)；(2)點的坐標為或【分析】（1）把點代入一次函數，反比例函數即可求解；（2）如圖所示（見詳解），點在一次函數上，設，可求出，，由此聯立方程求解即可．【詳解】（1）解：點代入一次函數與反比例函數得，，，∴，，故答案為：；．（2）解：如圖所示，一次函數與軸交于點，連接，∴令一次函數得，，∴，且，∵點在一次函數上，∴設，∴，，∴，整理得，，解方程得，，，∴點的坐標為或．4．如圖，矩形的邊分別與反比例函數的圖象相交于點D、E，與相交于點F．(1)若點B的坐標為，求點D、E、F的坐標；(2)求證：點F是的中點．【答案】(1)，，(2)見解析【分析】（1）根據題意可得D點橫坐標為4，E點縱坐標為2，從而得到，，再求出直線和的解析式，再聯立，即可求解；（2）設點B的坐標為，可得，，再求出直線和的解析式，再聯立，可得到點F的坐標，再求出的中點坐標，即可求解．【詳解】（1）解：根據題意得：軸，軸，∵點B的坐標為，∴D點橫坐標為4，E點縱坐標為2，∵點D、E在反比例函數的圖象上，∴，，設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，設直線的解析式為，把點代入得：，解得：，∴直線的解析式為，聯立方程組，解得，∴；（2）證明：設點B的坐標為，∴D點橫坐標為a，E點縱坐標為b，∵點D、E在反比例函數的圖象上，∴，，設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，設直線的解析式為，把點代入得：，解得：，∴直線的解析式為，聯立方程組，解得，∴，∵，，∴的中點坐標為，即，∴點F是的中點．5．如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限內，點在x軸上，連接、，，，反比例函數的圖象經過A點．(1)求k的值；(2)以為直角邊作等腰直角，過點C作軸交反比例函數的圖象于點E，求E點坐標．【答案】(1)；(2)【分析】（1）過點A作于H點，根據等腰三角形三線合一的性質求出，利用三角函數求出，再根據勾股定理求出，得到點A的坐標，即可求出k；（2）過點A作軸，延長交于點G，得到，求出，證明，得到，求出，將代入函數解析式即可得到點E的坐標．【詳解】（1）解：過點A作于H點，∵點，，∴，∴，∵，∴，∴，解得，∴，∴，∵反比例函數的圖象經過A點．∴；（2）解：過點A作軸，延長交于點G，則，∴四邊形是矩形，∴，∵等腰直角中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，當時，，∴．6．綜合與探究如圖，在矩形中，，，分別以，所在的直線為軸和軸建立平面直角坐標系．反比例函數的圖象交于點，交于點．(1)求的值與點的坐標；(2)在軸上找一點，使的周長最小，并求出點的坐標；(3)在（2）的條件下，若點是軸上的一個動點，點是平面內的任意一點，試判斷是否存在這樣的點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形．若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）直接將點E的坐標代入反比例函數的解析式，求出k，再求點F的坐標即可；（2）作點關于軸的對稱點，連接與軸交于點，連接，，此時的周長最小，過點作軸于點，通過證明，利用相似三角形的性質求解即可；（3）設，有兩點間距離公式分別表示出，若為菱形的一邊，則有兩種情況，①，②，若為菱形的對角線，則有，分別建立方程求解即可．【詳解】（1）把代入中，得：．∴．當時，．∴．（2）作點關于軸的對稱點，連接與軸交于點，連接，，此時的周長最小．方法一：過點作軸于點．設，則，．∵，點與點關于軸對稱，∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∴．∴．方法二：設的函數關系式為．∵，點與點關于軸對稱，∴．把，代入中，得：，解得：．∴當時，，∴．（3）設，∵，，∴，若為菱形的一邊，則有兩種情況，討論如下：①，即，解得，∴；②，即，解得，∴或；若為菱形的對角線，則有，即，解得，∴；綜上，點P的坐標為或或或．7．小明和大白兩位同學在自主學習中遇到了一個數學綜合題如下：如圖①，在平面直角坐標系中，的頂點在軸負半軸上，頂點在軸正半軸上，頂點在第一象限，過點作軸于點，線段，的長是一元二次方程的兩根，，．你能為他們解決下面（1）、（2）兩個問題嗎？請寫出你的解答過程．(1)求點，的坐標；(2)若反比例函數的圖象經過點，求的值；(3)在完成上述兩個問題后，小明繼續探究，他想：在軸上是否存在點，使以，，為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似呢？結果發現確實存在，解答如下：如圖②，設在軸下方存在一點．由，得，即．解得，．大白說，滿足條件的點圖中還有，你認可大白的說法嗎？若認可，請把滿足條件的點的坐標都求出來；若不認可，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)認可，點坐標為或或或或【分析】（1）求出一元二次方程的根，即可得解；（2）過點作軸，垂足為，易得，設，利用，求出，在中，利用勾股定理求出的值，進而求出點坐標，待定系數法，求出反比例函數解析式即可；（3）分點在軸的負半軸，在線段上，和線段的上方，三種情況，分類討論進行求解即可．【詳解】（1）解：，∴，∴，∴，∴；（2）解：過點作軸，垂足為，則：，∵，∴，∴，設，∵，∴，∴，在中，，即：，整理，得：，解得：（不合題意，舍去）；∴，∴，∴，∵反比例函數的圖象經過點，∴；（3）解：認可；∵，軸于點，∴，設，當在軸負半軸時：，當時，可得，即．解得：或（舍去），；當在軸正半軸時：①點在上，，當時：則，即，解得：或，∴或；②點在上方時，，當時，則，即，解得：，∴；當，則，即，解得：或（不合題意，舍去），∴；綜上：點的坐標為或或或或．8．如圖，直線與，軸分別交于、兩點，為雙曲線上的一動點，軸于，交線段于，軸于，交線段于．(1)點E的坐標為，點F的坐標為(用a，b的式子表示)；(2)當點運動且線段、均與線段有交點時，在下列個問題中任選一題探究；①與是否一定相似？如果一定相似，請予以證明；如果不一定相似或一定不相似，請簡短說明理由；②、、