熱點題型?解答題攻略

專題01空間向量與立體幾何

?>----------題型歸納?定方向-----------?>

題型01直接求線面角...........................................................................2

題型02根據條件求線面角.......................................................................8

題型03根據條件求線線角......................................................................14

題型04直接求二面角..........................................................................16

題型05根據條件求面面角......................................................................20

題型06空間中的距離問題......................................................................32

題型07存在性問題............................................................................34

題型08其他問題..............................................................................39

o-----------題型探析?明規律-----------*

【解題規律?提分快招】

玉而冗柯林的禰積函需用方法

公式法規則幾何體的體積，直接利用公式

把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，或者把不規則的幾何體補成規則

割補法

的幾何體

等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積

2、求空間幾何體的表面積方法歸納：

(1)多面體的表面積是各個面的面積之和.

(2)旋轉體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和.

(3)組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理.

3、證明平行關系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關系間的相互轉化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關鍵.面面

平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

4、(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.

(2)對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質

進行推理論證.

5、(1)利用向量法證明平行、垂直關系，關鍵是建立恰當的坐標系(盡可能利用垂直條件，準確寫出相關點

的坐標，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素).

(2)向量證明的核心是利用向量的數量積或數乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關定理.

題型01直接求線面角

【典例1-11.（2024?上海?三模）如圖，在四棱錐尸中，平面平面/BCD,AD//BC,

AB=2,/。=3,點。是N8的中點.

（1）求證：PO1CD；

（2）求直線CP與平面POD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵|

【分析】（1）利用面面垂直的性質可得尸平面N8。，即得尸O_LC。；

（2）根據（1）的結論，利用題設建系，依次寫出各相關點的坐標，求出平面尸。〃的一個法向量，利用空

間向量夾角的坐標公式計算即得.

【解析】（1）因尸/=心，點。是的中點，則

因平面尸48_L平面48cD,且平面尸48c平面48co=48,POu平面P48,故尸。_L平面4BCD,

又CDu平面4BCD,故尸。_LCD.

如圖，取CD中點E,連接由（1）知尸。_L平面/BCD,AD!IBC,可得OE//BC,

11?—“?

因NABC=-,故OE-B，則可分別以OB,OE,OP為蒼為z軸正方向建立空間直角坐標系.

又PA=PB=3,BC=\,AB=2,AD=3,則C(l,l,0),尸(0,0,2a),。(一1,3,0),

于是，C?=(-1,-1,2^/2),OP=(0,0,2V2),OD=(-1,3,0),

OP-n=2y/2z=Q_

設平面尸的一個法向量為〃=（x,y,z）,貝卜_,故可取”=(3,1,0),

OD?萬=一1+3歹二0

\CP-n\|-3-1|__2

設直線CP與平面尸所成角為。，則sine=|cos〈CP,"〉|=

VlOxVlO_5

2

即直線CP與平面POD所成角的正弦值為《.

【典例1-21.（2022?上海?模擬預測）如圖所示三棱錐P/8C,底面為等邊三角形N8C,。為NC邊中點,

且尸■底面NBC,AP=AC=2

（1）求三棱錐P-ABC的體積；

⑵若M為8C中點，求與平面PNC所成角大小（結果用反三角數值表示）.

【答案】（1）1;

萬

（2）^=arcsin^—.

4

【分析】（1）由棱錐體積公式計算；

（2）建立空間直角坐標系，用空間向量法二面角.

【解析】（1）P。，底面/8C,/Cu底面45C,則PO1/C,連接20,同理P0L8。,

又/O=g/C=l,PA=2,：.po=V22-I2=V3>

而S叢ABC=；x2x2xsin60°=>/3,

所以％TBC=；PO.SAKBC=GX^X6=1；

(2)由已知BO_L/C,分別以O8,OC,O尸為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖,

由已知80=百，

則尸(0,0,6),5(A0,0),C(0,l,0),

PM=(^-,-,-V3),易知平面尸/C的一個法向量是?=(1,0,0),

設PM與平面尸/C所成角大小為0,則sin6=——，。e［。,兀］,，61=arcsin——.

44

【變式1-1］.（2024?上海徐匯?二模）如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面圓的圓心，4E為圓。的直徑,

且/￡=4D=4,△ABC是底面圓。的內接正三角形，P為線段。。上一點，且。。=八20.

⑴證明：尸平面P8C；

⑵求直線PB與平面PCE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵？

【分析】（1）由勾股定理可得尸C,PA1PB,由此即可證明；

（2）方法一：建立空間直角坐標系，求解而以及平面尸CE的法向量為幾利用向量的坐標運算得線面夾

角即可；方法二：利用體積相等求解點B到平面PCE的距離，即可得必與平面尸CE所成角.

【解析】（1）證明：由題意得。4=O3=OC=2,AB=BC=AC=25

DO=VDA2—0A2=2-\/3?PO=-^—DO=y/2，

6

PA=PB=PC=yJP02+AO2=，

在AP/C中，由刃2+PC?=/C2,得P2_LPC,

同理可得尸N_LP8,又PBCPC=P,PB,PCu平面PBC,故P/_L平面尸3C.

（2）（方法一）如圖所示，以。為坐標原點，OE、QD為八z軸正方向建立空間直角坐標系，

則點8（百,1,0）,C（-百,1,0）,尸（0,0,亞）,E（0,2,0）,故而=（后,1,0）,CP=（43,-1,42）,加=（-區-1柩,

設平面PCE的法向量為〃=（x,y,z）,

n,CE=y/ix+y=0V=-y/3X「_

則1-，令X=l,可得力=（1,_6,_病），

n?CP=y/ix-y+V2z=0z=\2y

因此直線PB與平面PCE所成角的正弦值且

5

（方法二）PE=ylPO2+OE2=V6，BE=CE=4AE2-AC1=2,

則$4BCE~,SWE=?

記點B到平面PCE的距離為d,因為/MB=VB_PCE,

所以gs.BBOdgs.pcEM,則八呼，

設直線PB與平面尸CE所成角為e,sine=R-=好，

PB5

因此，直線尸&與平面尸CE所成角的正弦值為心.

5

【變式1-2].(2023?上海普陀?三模)如圖，在四棱錐C-48ED中，正方形42皮＞的邊長為2,平面4BEZ)_L

平面NBC,且8CL/C,4。=百，點6,廠分別是線段石。,2。的中點.

C

(1)求證：直線G/〃平面28C；

(2)求直線GF與平面BDE所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析

【分析】（1）連接4E可得G尸為NC的中位線，再利用線面平行的判定定理即可得出證明；

（2）利用四棱錐的結構特征以及線面垂直的判定定理，建立以3為坐標原點的空間直角坐標系,

利用空間向量和線面角的位置關系，即可求得直線GF與平面BDE所成角的大小為9

6

【解析】（1）根據題意可知，連接NE,則/￡交RD與尸；如下圖所示：

在中，尸為NE的中點，又點G是線段EC的中點,

所以G尸〃NC,

又GF&平面48C,/Cu平面28C,

所以直線G尸〃平面A8C；

（2）由平面平面/8C,且平面/3￡。口平面48c=N8,

又四邊形4BEZ）是正方形，所以又BEu平面4BED,

所以8E_L平面43C；

過點8作直線V平行于/C,又BC1AC,

所以以8為坐標原點，分別以直線BC,直線了，直線BE為x,y,z軸建立空間直角坐標系；如下圖所示:

由正方形4BED的邊長為2,BC1AC,=可得，5C=1；

所以8（0,0,0）,C（l,0,0）,磯0,0,2）,01，/2）；

礪=（0,0,2）,麗=0,后0）；

X、/I—\

又點G,尸分別是線段EC,故）的中點，所以G（g,0,l），T，與

即Gb=0,3,0；

<2J

設平面C￡?E的一個法向量為〃=(x,y,z)；

n-BE=2z=0「

所以—.廠，可得z=0,令x=m，解得V=T;

n-ED=x+y/3y=0

即I=（百,-1,0）

設直線G尸與平面CDE所成的角為。，問0片，則

I---I

2

sin6>=Icos=L,^=R=\,解得?=/；

I'U〃闞旦G26

2

所以直線GP與平面2Z)E所成角的大小為

6

【變式1-31.(2023?上海虹口?三模)已知圓錐的頂點為S,底面圓心為。，半徑為2,母線“、S8的長為

2&,乙4。8=90。且M為線段N8的中點.

(1)證明：平面S(W_L平面&42；

(2)求直線SM與平面SOA所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析

(2)arctan

【分析】(1)根據線面垂直判定定理證明線面垂直再由面面垂直判定定理證明即可;

(2)由線面角定義求線面角求正切再求角即可.

【解析】(1)因為NO=8O,M為4B中點，所以。

因為SOJ.平面/O3,48匚平面/。5,

所以SO_L4B,且(WnS0=。，(Wu平面S(W,SOu平面SOM,

所以N8_L平面SOM,

又因為48u平面S/2,所以平面M31平面SOM.

s

設40的中點為N,連接MN、SN,則九W//03,

因為所以O/_LMV,

因為SO_L底面408,所以S0_LMV,S0u平面SGL4,CMu平面SO4,OA^OS=O,

所以JW_L平面SQ4,

所以ZMSN即是直線SM與平面SQ4所成角.

因為圓錐的底面半徑為2,母線長為2&，所以高SO=2,

得SN=&MN=1.

因為SN_LMV,

所以tan/MSN=—=—,

SN5

所以NMSN=arctan.

5

題型02根據條件求線面角

【典例2-11.（2024?上海虹口?二模）如圖，在三棱柱中，CA1CB,。為的中點,

⑴求證：4G〃平面

（2）若CC，平面/8C,點尸在棱/耳上，且尸。，平面8c求直線CP與平面8。。所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵運

10

【分析】（1）連接2。，交片C于點E,連接。E,即可得到從而得證；

（2）建立空間直角坐標系，設點P的坐標為（2,OJ）（OW/W3）,由平面片C。，則加.函=0即可求

出r,從而確定尸點坐標，再由空間向量法計算可得.

【解析】(I)連接3G，交片c于點E,連接。E,

?.?。為的中點，在平行四邊形C。中E為8。的中點,

:.DE是"BG的中位線，可得ACJ/DE,

?.?400平面48，OEu平面旦CD,

(2)因為平面4BC,/C,8Cu平面/BC,所以CG^NC,C”BC,又CALCB,

故以點C為坐標原點，直線C4,C2,CG分別為x/,z軸，建立空間直角坐標系，

則。(0,0,0),/(2,0,0),8(0,2,0),。(1,1,0)，4(2,0,3),用(0,2,3),G(0,0,3).

設點P的坐標為(2,0,。(0V區3),則赤=(1,一1,/),函=(一1,1,3),

因為平面片CD,平面4CD,所以

所以麗?西=lx(-l)+lx(-l)+3f=3f-2=0,解得/=g,經檢驗符合題意.

所以P(2,0,|J,則。=12,0(J,

又麗=(1,1,0),西=(0,2,3),

設平面片CD的一個法向量為[=(%y,z),

x=-y

nCD=x+y=0

則_，即2,取尸-3得萬=（3,-3,2）,

心。4=2歹+3z=0Z=——V

3

設直線CP與平面B、CD所成的角為6,

故直線CP與平面B.CD所成角的正弦值為看.

【典例2-2].(2024?上海?模擬預測)如圖為正四棱錐P-48CD,。為底面N2CZ)的中心.

p

（1）若2尸=5,/。=3近，求APCM繞尸。旋轉一周形成的幾何體的體積；

⑵若4P=4D,E為尸&的中點，求直線BD與平面AEC所成角的大小.

【答案】⑴12n

7t

⑵7

【分析】（1）根據正四棱錐的數據，先算出直角三角形人尸。4的邊長，然后求圓錐的體積；

（2）連接E4EO,EC,可先證平面/CE,根據線面角的定義得出所求角為/8QE,然后結合題目數

量關系求解.

【解析】（1）正四棱錐滿足且尸。，平面N2C。，由/Ou平面/BCD,則尸。，/。，

又正四棱錐底面48CD是正方形，由40=3也可得，力。=3,

故尸。=，尸/2-/。2=4,

根據圓錐的定義，AP。/繞尸。旋轉一周形成的幾何體是以PO為軸，N。為底面半徑的圓錐，

即圓錐的高為尸0=4,底面半徑為49=3,

根據圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是:，332'4=12兀

（2）連接E4EO,EC,由題意結合正四棱錐的性質可知，每個側面都是等邊三角形，

由E是尸8中點，則尸8,又N￡nCE=E,/￡,CEu平面/CE,

故尸3_L平面/CE,即2EJL平面NCE,又AD口平面/CE=。，

于是直線2。與平面NEC所成角的大小即為280E,

□B

不妨設AP=ZQ=6,貝U5O=3亞,5E=3,sinZBOE=—^=—,

3V22

jr

又線面角的范圍是0,-,

7T

故=即為所求.

4

【變式2-1].（2024?上海奉賢?三模）如圖，四棱錐尸-48。的底面是梯形，AD//BC,ABLBC,AB=BC=1,

PAABCD,CD±PC.

⑴求證：CD_L平面尸NC

TT

（2）若二面角尸-CD-Z的大小為求心與平面R4c所成的角的大小.（結果用反三角函數值表示）

【答案】（1）證明見解析；

1

（2）arctan—.

【分析】（1）利用線面垂直的性質、判定推理即得.

（2）由已知及（1）確定二面角的平面角及線面角，再結合數量關系求出線面角的正切.

【解析】（1）在四棱錐中，連接/C,由E4_L平面4BCD,CDu平面48cD,

得C0_LP4,而CDJLPC,PA^PC=P,PA,PCPAC,

所以CD1平面PNC.

(2)在梯形/5C。中，由Z2_L8C,AB=BC=1,得4。=血，又ADUBC,

TT

則/C4D=/BC4=—,由（1）知，CD_L平面P/C,NCu平面尸/C,得CD_L/C,

4

則CO=NC=&，/。尸。是心與平面尸/C所成的角，/PC4是二面角P-CD-/的平面角，

1T

BPZPCA=-,在Rt△尸/C中，PA1AC,于是PC=2/C=2收，

因此tanNDPC=2=；,所以PZ）與平面PAC所成角的大小為arctan；.

【變式2-21.（2024高三下?上海?專題練習）如圖，在圓柱中，底面直徑等于母線AD,點E在底面的

圓周上，且加，座，尸是垂足.

(1)求證：4F，DB；

(2)若圓柱與三棱錐D-ABE的體積的比等于3n,求直線DE與平面ABD所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析

(2)arctan

【分析】(1)根據題意，證得E8_L平面得到尸，結合〃_1座，證得/A_L平面DE8,進而

證得/尸_LOB；

(2)過點E作瓦證得￡8,平面48。，得到/EDH是DE與平面48。所成的角，設圓柱的底面

半徑為A,求得/：%TBE=3兀，進而求得的值.

【解析】(1)證明：根據圓柱性質，D4_L平面/BE,

因為EBu平面/BE,所以D4_L班，

又因為A8是圓柱底面的直徑，點E在圓周上，所以

因為=/且AE,DAu平面DAE,所以￡81平面DAE,

又因為4Fu平面所以尸，

因為加_LDE,且EBCDE=E,且E8,￡>Eu平面。仍，所以4F_L平面OE8,

又因為Z)2u平面。￡8,所以

(2)解：過點￡作H是垂足，連接

根據圓柱性質，平面48。_L平面4BE,且平面43Dc平面48E=48,

且昉ru平面/BE,所以E〃_L平面

因為。Hu平面所以。，是EZ)在平面上的射影，

從而ZEDH是DE與平面ABD所成的角，

設圓柱的底面半徑為&,則D4=/8=2R,

19Z?2

所以圓柱的體積為廠=2成3,且=?-?￡//,

由%：％-ABE=3無，可得EH=R,可知H是圓柱底面的圓心，且AH=R,

S.DH=y]DA2+AH2=y/5R，

在直角△￡/汨r中，可得tanN￡DH=需邛，所以NED”=arctang.

【變式2-3】.(2024?上海?模擬預測)如圖，多面體N8CDE尸是由一個正四棱錐/-8CDE與一個三棱錐

尸-/DE拼接而成，正四棱錐/-8CAE的所有棱長均為3?,豆AFUCD.

(1)在棱。E上找一點G,使得平面ABC,平面NFG,并給出證明；

(2)若AF=^CD,求直線DF與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】(1)點G為DE的中點，證明見解析

⑵也

21

【分析】(1)當點G為DE中點時，平面N8C,平面4FG,依題意可得/GL0E,從而得到/GL5C,再

由/尸18C,即可證明3CL平面/FG,從而得證；

(2)建立合適的空間直角坐標系，利用線面角的空間向量求法即可.

【解析】(1)當點G為。E中點時，平面平面/尸G,

證明如下：因為四棱錐/-8COE是正四棱錐，所以所以/G_LQE.

在正方形8CAE中，DEHBC,所以/G_L5C,

在正方形2CAE中，CD1.BC,因為“尸〃CD,所以/尸12C,

因為4FcNG=4AF,AGu面AFG,

所以8C，平面/尸G,

因為BCu平面/8C,所以平面/8。_1平面/斤G.

(2)因為四棱錐4-BCOE是正四棱錐且所有棱長均為3亞，設CEcBD=O,

則OC,OD,。4兩兩垂直，

以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則^(0,0,3),5(0,-3,0),C(3,0,0),。(0,3,0),則麗=(-3,3,0),

設b(a,6,c),則/尸=?6,c-3),因為AF7/CD,AF^-CD,

a=；x(-3)

a——1

—?1—?,

所以//=§c。，貝|卜b=—x3解得，6=1,所以尸(-1,1,3),

3

c=3

-3=-xO

c3

所以說=(0,3,3),CA=(-3,0,3),DF=(-1-2,3),

n?BA=3>+3z=0

設平面/3C的法向量為萬=(x,y,z),則有

n-CA=-3x+3z=0?

取z=l,貝1y=_l,x=l,故加

設直線。方與平面/3C所成角為e,

方.元42^/42

則sin0=

同.同714x7321

所以直線。尸與平面ABC所成角的正弦值為之匡

21

題型03根據條件求線線角

【典例3-1].(2024高三?上海?專題練習)如圖，在四棱錐中，己知底面4BC。為矩形，側面尸/。

是正三角形，側面尸/。,底面是棱尸。的中點，AD=2.

⑴證明：平面尸CD；

7T

(2)若二面角M-BC-D為7,求異面直線AB與PC所成角的正切值.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）利用面面垂直的性質，線面垂直的性質判定推理即得.

（2）作出二面角的平面角，由此求出CO,再利用異面直線所成角的定義求出其正切值.

【解析】（1）在四棱錐中，由底面為矩形，得COL4D,

由側面PAD1底面ABCD，側面PADn底面ABCD=AD,CD<=平面ABCD,

得CD1平面尸4D,又Wu平面尸4D,則CZ?_L/M,

又側面尸4D是正三角形，M是的中點，則

又PDcCD=D,PD,CDu平面PCD,所以4W_L平面尸CD.

（2）如圖，

在平面尸/。內，過點M作"垂足為H,顯然MH=2,

2

由側面尸/。,底面/BCD,交線為AD,得MHJL底面N8CD,BCu底面/8CZ）,

則3C_LM”,過巨作HV_L3C,垂足為N,連接MN,顯然MHCHN=H,

MH,HNu平面MNH,則8c_L平面MVH,而"Nu平面MVH,因此5c_LJVW,

TT

則/MN”即為二面角M-BC-O的平面角，其大小為7,

0

在RtzJ"/N中，tanNMNH=理=昱,則NH=M，

NH32

3

由M7//C2OH//CN,得四邊形CDHN為平行四邊形，則。=工

2

由/3//CD,得/PCD（或其補角）為異面直線與尸C所成角，

PD24

tan/PCD=?--=—

由（1）知CD，平面尸則△尸CD為直角三角形，CD33,

2

4

所以異面直線與尸C所成角的正切值為

【變式3-1】.（2024?上海寶山?二模）如圖，已知點P在圓柱。Q的底面圓。的圓周上，4B為圓。的直徑.

(1)求證：BP1AXP；

(2)若。4=2,NB0P=6。。,圓柱的體積為16缶，求異面直線/尸與4^所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析

(2)60°

【分析】(1)通過證明8尸，平面244，即可求解；

(2)延長尸。交圓。于點。，連接時、4。、AQ,易知8。〃/尸，乙獷。(或其補角)即為所求的角，即可

求解.

【解析】(1)證明：易知

又由441，平面尸/瓦BPu平面尸22,得44]LBP,

而/尸nAAX=A,AP,AAXu平面PAAX,

則BP1平面PAA,,而4尸u平面尸44],故AP_L4尸.

(2)延長尸。交圓。于點。，連接20、4。、AQ,

易知BQIIAP/&BQ(或其補角)即為所求的角,

由題知廠=汝。/2.44=47.04]=16也%,解得44]=4夜，

△48。中，03=2"40=6,48=4A回

由余弦定理得cos/420=WS1,

所以ZA.BQ=60。,所以異面直線AP與AXB所成角的大小為60。.

題型04直接求二面角

【典例4-1].(2024?上海?一模)三棱柱NBC—其q。中，平面48C,且4B=2C=1,

44=2,ZABC=90°,。為CO中點.

⑴求四面體4的體積：

(2)求平面ABD與所成銳二面角的余弦值.

【答案】⑴;

⑵坐

6

【分析】(1)利用等體積法%再根據條件，即可求出結果；

(2)建立空間直角坐標系，求出平面與/C4的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出結果.

【解析】(1)因為44,平面N3C,又BCu面/8C,所以441，8C,

又AB工BC,441n48=4,4^,48u面48月4,所以CH_L面48瓦4,

因為CG〃面,所以。到面的距離即\BC\,

又S.“=J明但4|=1xlx2=l,忸q=l,

所以匕1TB￡>=%|C"|=§'

(2)如圖，建立空間直角坐標系，因為N8=BC=1,44=2,

則5(0,0,0),40,1,0),C(l,0,0),B、(0,0,2),￡>(1,0,1),

所以第=(0,1,0),BD=(1,0,1),福=(0,-1,2),AC=(1,-1,0)

設平面ABD的一個法向量為萬=(x,y,z),

BA-=0fy=0

由一2，得到.c，取X=l,得到y=0,z=-l,所以為=(1,0,-1),

BDn}=0[x+z=0

設平面4CB、的一個法向量為加=(a,6,c),

(AC-m^0[a-b=0_

則由一-,得到,。八，取。=2,貝。b=2,c=l,所以加=(2,2,1),

AB,-m=0H+2C=0

設平面ABD與ACBX所成銳二面角為6,

n-m1V2

則cos3=Icosn.ml=r-ri~~r

11間問3及一6

【變式4-1].（2024?上海金山?二模）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形/8CD（及其內部）以42

邊所在直線為旋轉軸旋轉120。得到的，點G是弱的中點，點尸在無上,異面直線2P與/。所成的角是30。.

（1）求證：AELBP-,

⑵若/B=3,AD=2,求二面角E-NG-C的大小.

【答案】（1）證明見解析

（2）60°

【分析】（1）由題意易得3尸_L2E,結合尸，可證AP_L平面進而可證結論；

（2）法一：取死的中點“，連接￡〃，GH,CH,取4G中點M,連接EM,CM,EC,可得/EMC

為所求二面角的平面角，進而求解可得二面角E-AG-C的大小.

法二：以3為坐標原點，分別以成、而、麗的方向為X、了、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，求

得平面/CG的一個法向量和平面肛的一個法向量，利用向量的夾角公式可求得二面角E-AG-C的大小.

【解析】（1）因為ND〃BC,所以/C3P是直線BP與AD所成角，為30。，

所以/￡2尸=120°-30°=90°,得BP工BE,

又因為且8￡口48=2,平面/BEF,4Bu平面/BE尸，

所以AP_L平面”跖，

由/Eu平面IBM,得4E工BP.

（2）解法一：取元的中點連接EH,GH,CH.

因為/￡BC=120。，

所以四邊形為菱形，

所以/￡=GE=/C=GC=,3?+2?=V13.

取4G中點連接EM,CM,EC.

則￡M_L/G,CMVAG,

所以NEMC為所求二面角的平面角.

又4W=1,所以EM=CN=J13-1=2收

在ABEC中，由于/E8C=120。，

由余弦定理得EC?=22+22-2X2X2XCOS1200=12,

所以EC=2百，因此AEMC為等邊三角形，

因此二面角ETG-C的大小為60°.

解法二：以3為坐標原點，分別以而、*說的方向為X、了、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標系.

由題意得4(0,0,3),￡(2,0,0),G(1,V3,3),C(-l,百,0),

故近=(2,0,-3),^G=(l,V3,0),CG=(2,0,3),

設4=(%,%,%)是平面ACG的一個法向量.

//G=0%+A/3V,=0

由，2_，可得

々?CG=02%+3%=0

取“=-2,可得平面ZCG的一個法向量］=(3,-6,-2).

設%=(〃2#2,叫)是平面打。的一個法向量.

n,,AE=02%—3叫=0

由」一,可得/7八，

n"AG=Q\3W

2[u2+2=0

取%=2,可得平面肛的一個法向量以=(3,-百,2).

——幾[?%1

所以3々,%=尸^幣=3.

\ni\'\n2\2

因此二面角E—AG—C的大小為60°.

題型05根據條件求二面角

【典例5-1].(2024?上海?模擬預測)如圖，PA,PB、尸C為圓錐三條母線，AB=AC.

(1)證明:P/1BC；

(2)若圓錐側面積為指私3c為底面直徑，BC=2,求二面角8-尸的大小

【答案】(1)證明見解析

(2)兀-arccos：

【分析】(1)取8C中點。，連接40、P0,則/O,8C,PO_L8C,故可得2C，面P/。，從而得到

PA1BC.

(2)利用向量法可求面尸NC、面P42的法向量，計算出它們的夾角的余弦值后可得二面角的余弦值.

【解析】(1)取8c中點。，連接49、PO,

因為/臺二/仁產臺二75^：,所以NO_L2C,尸。_L3C,

又因為尸Ou面尸/0,/0u面P/。,尸Oc/O=O,所以5CL面P/O,

因為P4u面尸/。，所以R412c.

(2)因為5c為直徑，故。為底面圓的圓心，故尸0,平面A4C,而8c

故可建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為圓錐側面積為岳，3c為底面直徑，BC=2,所以底面半徑為1,母線長為遙，

所以PO=y/PA2-AO2=V2，

ZJ

則可得尸（0,0,&）,/（O,I,O）,B（I,O,O）,C（-I,O,O）,

故居=（0,1,-夜），麗=（1,0,-女），定=卜1,0,-女）,

—n,,PA=0y,—y[^2z,=0

設4=（再以,zj為平面尸的法向量，貝一臺」」

nx-PB=0[xj-V2z1=0

令玉=收，則M=也，4=1,所以々=（后，行,1）.

設〃2=（工2,歹2/2）為平面尸四。的法向量，

令X?=-也,則為=/，Z2=l,所以〃2=卜后，收11）.

則3仇/--外--\”麗n,,&二-2卜+2+T1丁1

設二面角為，，則。為鈍角，

所以二面角8-P/-C的大小為兀-arccos：.

【典例5-2】.（2024?上海?三模）如圖，在三棱錐尸一ABC中，AB=BC=3?，PA=PB=PC=AC=6,

點。是/C的中點.

（1）證明：尸。，平面/3。；

⑵點〃在棱2c上，S.BM=^BC,求二面角"-PN-C的大小.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）根據等腰和等邊三角形的性質證明尸08以及尸。L/C,然后利用線面垂直的判斷證明

尸O_L平面/2C

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求角公式8$（1工）=尚尚求解即可

【解析】（1）連結。2，AB=BC=3日AC=6,所以/C?=/勿+8C?,

所以△NBC是等腰直角三角形，又點。是NC的中點，所以B0=1/C=3,

2

由已知可得，AP/C是等邊三角形，所以尸O=Jpc?-=J36-9=36,

又PB=6,所以PB?=尸。2+。82,所以尸o_LO8,

△PNC中，PA=PC,。是NC的中點，所以P01/C,

PO1OB,P01AC,OBC\AC=O,且4Cu平面/3C,O8u平面N5C,

所以PO_L平面N3C.

（2）OB,0C,0P兩兩垂直，以礪、0C＞而為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系

則3（3,0,0）,C（0,3,0）,A（0,-3,0）,P（0,0,373）,

由BN=,即（xM-3,yM,zM）=^（-3,3,0）

所以點M（2,l,0）

貝U莎=（0,-3,-3。），AM=（2,4,0）,

設平面/PM的一個法向量為％=（x）,z）,

-3y-3y/3z=0

則,令z=VJ,ni=

2x+4y=0

平面PAC的一個法向量元=（1,0,0）,

6V3

cos(,H

2匐卜21lx462'

TT

所求二面角的平面角是銳角，所以二面角尸/-C為的大小為；.

6

【變式5-1].（2024高三?上海?專題練習）如圖，在三棱柱"8C-44&中，平面ACQA,，平面ABC,AB±BC,

四邊形/CC/i是邊長為2的正方形.

⑴證明：2。，平面/844；

（2）若直線4c與平面ABBXAX所成的角為30。，求二面角B-A.C-A的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）先證明幺4,平面N3C,從而得到應進而即可證明8CL平面

（2）結合（1）及題意可得NB4c為直線4c與平面所成的角，即Z84C=30。，從而得到

4c=2拒，BC=6,AB=G.（方法一）過點A作40,48,垂足為。，過點。作。￡，/?，垂足

為E,連結先證明8C_L/。，/。，平面48。，再&C，平面NDE,從而證明NEJ_&C,從而可得

一/成）是二面角的平面角，進而即可求出二面角的余弦值；（方法二）取NC的中點

O,連結30,先證明平面/CG4,再取4G的中點Q，以｛9,反，的｝為基底，建立空間直角坐

標系。-肛z,再根據向量夾角公式即可求解.

【解析】（1）因為四邊形NCC/是正方形，所以

又平面平面4BC,441U平面NCG4，平面/C。4n平面/3C=/C,所以平面48C,

因為8Cu平面/3C,所以

又因為/8_L8C,AB,/4匚平面/844，ABcAA[=A,

所以8CJ_平面/AB/.

（2）由（1）知，/網。為直線4c與平面N2用4所成的角，即4/0=30。，

又正方形/CC4的邊長為2,所以4。=2g，8。=血，所以/8=收，

（方法一）過點A作/4臺，垂足為。，過點。作垂足為E,連結NE,

因為5C_L平面,NOu平面N8814，所以8C_L/O,

又BC,42U平面48C,BCc4B=B,所以平面48C,

又&Cu平面43C,則

又4D,DEu平面ADcDE=D,所以4。，平面血用，

又N￡u平面4DE,所以/E_L4C,

所以N/助是二面角8-4C-N的平面角，

在直角△/￡>￡■中，AE=也,AD=^~,

所以sinZAED=>所以cosZAED=，

AE33

即二面角B-4C-/的余弦值為W.

3

（方法二）取/C的中點。，連結5。，

因為/3=8C,所以3O_L/C,

又因為平面力CG4，平面45C,平面4CG4n平面48C=/C,BOu平面力5C,所以8。1平面

ACCXAX,

取4a的中點a，則oa，4c,

以｛無，反，兩｝為基底，建立空間直角坐標系。-平,

所以c（0,1,0）,4（0,-1,2）,

所以旅=（一1,1,0）,羽=（0,2,-2）,

設平面48c的法向量為元=（x,y,z）,

n±BC\n-BC=-x+y=0/、

則一，即一，取x=l,貝巾=1,1,1,

n1Afi[n±AlC=2y-2z=0

取平面4