專題03點與圓及直線與圓的位置關系

嫌內容早知道

今第一層鞏固提升練（8大題型）

目錄

題型一判斷點與圓的位置關系...................................................................1

題型二求點到圓上點的距離的最值...............................................................3

題型三判斷直線與圓的位置關系.................................................................6

題型四已知直線與圓的位置關系求圓心到直線的距離..............................................7

題型五證明某直線是圓的切線..................................................................10

題型六切線的性質定理.........................................................................14

題型七切線長定理.............................................................................17

題型八切線的性質和判定的綜合應用............................................................20

臺第二層能力提升練

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題型一判斷點與圓的位置關系

☆技巧積累與運用

點和圓的位置關系有三種：點在圓內，點在圓上，點在圓外.

若OO的半徑為，，點尸到圓心。的距離為d,那么：

點尸在圓內=〃</；點P在圓上=〃=r；點尸在圓外Qd>r.

例題：（24-25九年級上?寧夏銀川?期末）己知圓。與點尸在同一平面內，如果圓。的半徑為5,線段。尸的

長為4,則點尸（）

A.在圓。上B.在圓。內

C.在圓。外D.在圓。上或在圓。內

【答案】B

【分析】本題主要考查了點與圓的位置關系，若點與圓心的距離d,圓的半徑為r，則當「時，點在圓

外；當d=r時，點在圓上；當d〈，時，點在圓內，據此求解即可.

【詳解】解：?.?圓。的半徑為5,線段OP的長為4,且4<5,

.?.點尸在圓。內，

故選：B.

鞏固訓練

1.（23-24九年級上?浙江?期末）如圖，在RtZ\/8C中，=90。,冊=4,BC=7,點。在邊BC上，且

50=3,連接/Z）.以點。為圓心，以r為半徑畫圓，若點/,B,C中只有1個點在圓內，則r的值可能

為（）

A

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】本題主要考查了點與圓的位置關系，解題的關鍵是掌握點到圓心距離為“，半徑為r,當時,

點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d<r時，點在圓內.先根據勾股定理求出AQ=,工臺，+臺〃。=5，再

得出CD=BC-AD=4,根據點4,B,C中只有1個點在圓內，推出3<廠44,即可解答.

【詳解】解：?.?/8=90。"=4回=31。=7,

???AD=ylAB2+BD2=5>CD=BC-BD=l-3=4,

?.?點/,B,C中只有1個點在圓內，BD<CD<AD,

.??在圓內的點為點比

3<r<4,

故選：B.

2.（22-23九年級上?北京西城?期末）如圖，是。。的直徑，C為。。上一點，且/BLOC,P為圓上一

動點，M為NP的中點，連接CM.若。。的半徑為2,則CW長的最大值是.

【答案】V5+1/1+V5

【分析】本題考查點與圓的位置關系，勾股定理，根據題意得出點”的移動軌跡，再根據圓外一點到圓上

一點最大距離進行計算即可.

【詳解】解：如圖，當點P在。。上移動時，4P的中點河的軌跡是以。/為直徑的OO',

因此C。'交于點此時cw的值最大，

由題意得，OA=OB=OC=2,OO'=-OA=l=O'M,

2

在RtAO'OC中，0c=2,00=1,

???O'C=A/22+12=45，

■■CM^CO'+O'M=4i+\，

故答案為：V5+1.

題型二求點到圓上點的距離的最值

☆技巧積累與運用

3點共線時最小值

例題：（23-24九年級上?遼寧撫順?期末）如圖，在RtZX/BC中，48_L3C,48=6,BC=4,。是zUBC內

部的一個動點，滿足NDAB=NDBC,則線段CD長的最小值為（）

A.2B.IC.2V13-3D.2713-2

【答案】A

【分析】本題考查圓外一點到圓上一點距離的最值問題.根據40/3=乙08。，推出/^口=90。，得到點。

在以48為直徑的圓上，取48的中點。，連接OC,OD,根據CONOC-OD,求出最小值即可.解題的

關鍵是確定點D的運動軌跡.

【詳解】解：/C,

??./ABC=90。,

；"ABD+/DBC=90。,

???/DAB=/DBC,

；"BAD+/DBC=90。，

???/4。5=90。，

點。在以為直徑的圓上，

取A8的中點。，連接。C,。。，則：CD>OC-OD

AB=6,SC=4,

.-.OD=OB=-AB=3,

2

-OC=y]OB2+BC2=5，

：.CD>OC-OD=5-3=2,

??.CD的最小值為2.

故選4.

鞏固訓練

1.（23-24九年級上廣西防城港?期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知點￡0,0）,/（1-加,0）,

5。+加,0）（加>0）,點尸在以。（4,4）為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足乙4尸3=90。，則加的取值

范圍是（）

A.3<m<5.5B.3<m<6C.4<m<6D.5<m<7

【答案】c

【分析】本題考查圓、最值問題、直角三角形性質等知識，首先證明==根據條件可知

PE=AE=BE=m,求出上到點￡的最大距離與最小距離即可解決問題.解題的關鍵是發現

PA=AB=AC=a,求出點P到點/的最大距離即可解決問題.

【詳解】解：E（l,0）,A1-?7,0）,5（l+m,0）（m>0）

AE=1-（1-加）=m,BE—m+l-l=m,

AE=BE=m,

???/APB=90°,

/.PE=AE=BE=m,

如圖連接。￡交。。于點尸”，延長切交。。于P,此時EP最大，EP”最小

ED=5,

，￡P=5+1=6,E尸"=5-1=4,

,加的最大值為6,最小值為4,

:.4<m<6.

故選：C.

2.（23-24九年級上?重慶九龍坡?期末）如圖，矩形48a）中，AB=242,〃。=4,點￡是N3的中點，

點廠是直線2。上的一動點，將斯沿斯所在直線翻折，得到AB'EF,則B'C長的最小值是.

【答案】272

【分析】本題考考了翻折變換、矩形的性質以及勾股定理，利用作圓，找出"C取最小值時點夕的位置是

解題的關鍵.

如圖，連接CE,根據折疊的性質可知8￡=8宜，可知點夕在以E為圓心，BE為半徑的圓上，當點夕在線

段CE上時，"C的長取最小值，在尺M8CE中利用勾股定理可求出CE的長度，用CE-2宜即可求出結論.

【詳解】解：如圖，連接CE,

AB=272，點￡是48的中點，

.-.BE=g，

■：AD=BC=4,

:.CE=」BE2+BC?=372，

,將ABEF沿EF所在直線翻折，得到^B'EF,

BE=B'E,

.??點3,在以E為圓心，BE為半徑的圓上，

當5,在線段CE上時，8'C最短，

8'C長的最小值是CE-3'E=2行.

故答案為：2夜.

題型三判斷直線與圓的位置關系

☆技巧積累與運用

1.直線和圓的三種位置關系：

2.（1）相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交.這時直線叫做圓的割線.

3.（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切.這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫

做切點.

4.（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離.

例題：（24-25九年級上?全國?期末）已知。。的直徑為8cm,圓心。到直線/的距離為4cm,則直線/和。。

的位置關系是（）

A.相交B.相離C相切D.不能確定

【答案】C

【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，由。。的直徑為8cm,得出圓的半徑是4cm,圓心。到直線/的

距離為4cm,即d=4cm,得出d=r,即可得出直線/與。。的位置關系是相切.

【詳解】解：的直徑為8cm,

二半徑r=4cm,

???圓心。到直線1的距離為1=4cm,

：-d=r,

???直線/與。。的位置關系是相切.

故選：C.

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?江蘇鹽城?期中）已知。。的半徑是一元二次方程--2》-3=0的一個根，圓心。到直

線/的距離d=2,則直線/與。。的位置關系是（）

A.相切B.相交C.相離D平行

【答案】B

【分析】本題主要考查解一元二次方程以及直線和圓的關系，熟練掌握直線和圓的關系是解題的關鍵.先

解一元二次方程，得到圓的半徑，比較半徑與圓心。到直線/的距離的大小，即可得到答案.

【詳解】解：?』2x-3=0,

(x-3)(x+l)=0,

解得再=3,工2=T,

。。的半徑是3,

3>2,

???直線/與。。的位置關系是相交.

故選B.

2.(23-24九年級上?四川綿陽?期末)如圖，兩個同心圓，大圓的半徑為5,小圓的半徑為3,若大圓的弦N8

與小圓有公共點，則弦N8的取值范圍是.

【分析】本題考查了直線和圓的位置關系，根據已知條件和圖形分析可得當N3是大圓直徑時，的值最

大，從而可得的最大值；進一步分析可得當與小圓相切的時，最小，利用勾股定理可得N3的最

小值：若大圓的弦與小圓有公共點，即與小圓相切或相交，再結合上面分析即可解答，掌握直線和

圓的位置關系與。。的半徑為〃和圓心。到直線/的距離為d之間的關系是解題的關鍵.

【詳解】解：當是大圓直徑時的值最大，最大值為10,

當AB與小圓相切時AB最小，

小圓的半徑為3,大圓半徑為5,

/8=2義,52-32=8,

???大圓的弦與小圓有公共點，即相切或相交，

.'.8<JS<10.

故答案：8<^5<10,

題型四已知直線與圓的位置關系求圓心到直線的距離

☆技巧積累與運用

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關系，就可以轉化為直線和點（圓

心）的位置關系.下面圖（1）中直線與圓心的距離小于半徑；圖（2）中直線與圓心的距離等于半徑；圖（3）

中直線與圓心的距離大于半徑.

如果。。的半徑為心圓心。到直線??的距離為力那么

（1）靜/和。8目交

（2）直線1和。0相切Od=r；

（3）直線用相離Od>r.

例題：（23-24九年級上?浙江寧波?期末）如圖，在Rt448C中，ZC=90°,2c=4,BC=3,若OC與直

線相交，則。。半徑r的值或取值范圍為（）

A.0<r<2.4B.r=2.4C.r>2.4D.2.4<r<4

【答案】c

【分析】本題考查了勾股定理，圓與直線的位置關系；

過C作。1/3于。，利用勾股定理求出根據三角形的面積求出⑺，然后結合圓與直線的位置關系

得出答案.

【詳解】解：過C作于D,

???AB=yjAC2+BC2=5>

■.S.=-AB-CD=-AC-BC,

AAHRLr22

iACBC3x4r”

/.CD=----------=——=2.4,

AB5

???OC與直線43相交，

.?.OC半徑r的值或取值范圍為r>2.4,

故選：C.

鞏固訓練

1.（22-23九年級下?浙江湖州?階段練習）如圖，已知。。的半徑為6,點。到矩形某條邊的距離為8,則

這條邊可以是（）

C.BCD.CD

【答案】C

【分析】本題考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是熟練掌握直線與圓的位置關系：設圓的半徑為心圓

心到直線的距離為亂若"<ro直線與圓相交；若1=廠=.直線與圓相切；若d>ro直線與圓相離.過

點作0EJ.28于E,作。尸_L8C于尸，作。GJ.C。于G,作于"，由圖可知：AB.40與圓相

交,8c與圓相離，與圓相切，則。E<6,OF>6,OH<6,OG=6,即可求解.

【詳解】解：過點作于E,作OFLBC于尸，作。GLCD于G,作。于H,

由圖可知：AB、40與圓相交，BC與圓相離，CD與圓相切,

又「。。的半徑為6,

0E<6,OF>6,OH<6,0G=6,

???點。到矩形某條邊的距離為8,且8>6,

.?.點。到矩形某條邊的距離為8,這條邊可以是8C,

故選：C.

2.（24-25九年級上?北京?期中）已知。。的半徑是5,點A在。。上.尸是。。所在平面內一點，且

4P=2,過點尸作直線/,使UP4.

（1）點。到直線/距離的最大值為;

（2）若M,N是直線/與。。的公共點，則當線段的長度最大時，。尸的長為.

【答案】7標

【分析】本題考查直線與圓的位置關系，勾股定理，

(1)如圖1,當點尸在圓外且。，A,P三點共線時，點。到直線/距離的最大，可得結論;

(2)如圖2,根據已知條件得到線段是。。的直徑，根據勾股定理即可得到結論；

正確作出圖形是解題的關鍵.

【詳解】解：(1)如圖1,

■：IVPA,的半徑是5,AP=2,

???當點P在圓外且。，A,尸三點共線時，點。到直線/距離的最大，

最大值為：AO+AP=5+2=7,

故答案為：7；

(2)如圖2,

■-M,N是直線/與。。的公共點，線段的長度最大,

.??線段"N是。。的直徑，

-：l±PA,

ZAPO=90°,

AP=2,OA=5,

■OP=yJOA2-PA2=A/52-22=y/21，

??.O尸的長為JH，

故答案為：后.

題型五證明某直線是圓的切線

☆技巧積累與運用

切線的判定定理：

經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

切線的判定定理中強調兩點：一是直線與圓有一個交點，二是直線與過交點的半徑垂直，缺一不可.

例題：（23-24九年級上?吉林?期末）如圖所示，已知48是。。的直徑，。。過3C的中點。，且

DEJ.AC.

求證：DK是。。的切線.

【答案】證明見解析

【分析】本題考查了切線的判定，熟練掌握切線的判定是解題的關鍵.連接O。，只要證得/即0=90。,

即可得到。E是。。的切線.

【詳解】證明：連接

,??點。、點。分別是48、的中點，

為△4BC的中位線，

OD//AC,

："EDO+NAED=18Q°,

■：DE1AC,

：.ZAED=90°,

：.NEDO=90°,

是。。的半徑，

??.DE是。。的切線.

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?江蘇鹽城?期中）如圖，△4BC中，N4CB=90°,BE平分/ABC交AC于點E,以點

￡為圓心，EC為半徑作交NC于點尸.

⑴求證：42與OE相切；

⑵若/8=15,BC=9,試求/月的長.

【答案】⑴證明見解析

⑵3

【分析】（1）過E點作EQL/B于。點，如圖，先根據角平分線的性質得到EC=E。，然后根據切線的判

定方法得到結論；

（2）先利用勾股定理計算出NC=12,再證明口卜8山g1^8。￡（印，得到8。=以=9,所以/。=6,設

。。的半徑為，，在RtA“0E中利用勾股定理得到（12-r『=/+62,則可方程求出廠，然后計算NC-C尸

即可.

【詳解】（1）證明：過E點作于。點，如圖，

?；BE平分4BC交AC于點E,ZACB=90°,

EC=EQ,

與AB相切；

(2)解：ZACB=90°,48=15,BC=9,

AC=4AB2-BC2=12，

在RGBCE和RtZ\BQE中,

\BE=BE

\EQ=EC'

；.RtA8CEgRtA80E(HL),

BQ=CB=9,

:.AQ=AB—BQ=15-9=6,

設的半徑為r,貝l|4E=12-r,EQ=r,

在Rt^/E。中，由勾股定理得/爐=￡02+/。2,

.-.(12-r)2=r2+62,

解得"W9，

9

AF^AC-CF=U——x2=3.

2

【點睛】本題主要考查了切線的判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，角平分線的性質等等，解題

的關鍵是通過過圓心作直線的垂線，證切線，利用勾股定理列方程求解.

2.(24-25九年級上?全國?期末)已知2C是。。的直徑，點。是2c延長線上一點，AB=AD,AE是。。

的弦，//EC=30。.

⑴求證：直線/O是。。的切線；

(2)若/E_L8C,垂足為M,。。的半徑為10,求4E1的長.

【答案】⑴見解析

(2)AE=10^/3

【分析】本題主要考查了切線的判定、同弧所對的圓周角相等、等邊對等角、圓周角定理、三角形內角和

定理、垂徑定理、含30度角的直角三角形的性質、勾股定理等知識，靈活運用知識點推理證明是解題的關

鍵.

(1)連接CM,根據同弧所對的圓周角相等得到由等邊對等角得到/D=利用圓周角定理得到

ZAOC,利用三角形內角和定理，求得/。/。=90。，即可證明直線是。。的切線；

(2)根據垂徑定理得到=根據含30度角的直角三角形的性質，得到=根據勾股定理

計算AM=J。/?_C初2,由/E=2NM,得出答案即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。4,

???//￡C=30。，

/.ZB=ZAEC=3009ZAOC=2ZAEC=60°,

,-AB=AD,

：.ZD=ZB=30°,

：.AOAD=1SO°-ZAOC-ZD=180°—60。—30。=90°,

???ADLOA,

又「04是。。的半徑，

直線40是。。的切線；

(2)解：如圖，連接04,

?."C是。。的直徑，AELBC,垂足為。。的半徑為10,

AM=EM,//MO=90°,CM=10,

ZAEC=30°,

ZAOM=2NAEC=60°,

NOAM=180°-90°-60°=30°,

：.OM=-OA=-x\0=5,

22

AM=>]OA2-OM2=A/102-52=56，

AE=2AM=2x573=1073.

題型六切線的性質定理

☆技巧積累與運用

切線的性質定理：

圓的切線垂直于過切點的半徑.

例題：（23-24九年級上?安徽安慶?期末）如圖，。/是△ABC的內切圓。，E,尸為三個切點，若

NDEF=52°,則的度數為（）

/f\A

/I\.//\

\\\\///J\\

R^-................._\r

Ec

A.76°B.68°C.52°D.38°

【答案】A

【分析】本題考查切線的性質，圓周角定理，在圓的相關題型中，連接常用的輔助線是解題關鍵.根據切

線的性質可得出N〃X4=NZE4=90。，根據圓周角定理可得出ZD7F=2ND跖=104。，最后根據

NA=360°-AIDA-ZIFA-ZDIF求解即可.

【詳解】解：如圖，連接TO,IF.

???。/是ZUBC的內切圓。，E,R為三個切點,

ID1.AB,//_L/C,點￡在。/上，

；.ZIDA=ZIFA=90°.

：5?=5?,

ZDIF=2ZDEF=104°,

N4=360°-ZIDA-ZIFA-ZDIF=76°.

故選：A.

鞏固訓練

1.（23-24九年級上?安徽合肥?期末）尸為。。的直徑的延長線上一點，C為。。上一點，分別連接

CP、AC,PM平分/APC,交/C于則下列命題為假命題的是（）

A.若4C=PC,貝=B.若PC=PO,貝|/4CP=3/P4C

C.若OA=PB,則NP/C=30。D.若PC切于C點，則/PA/C=45。

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的外角性質，切線的判定和性質.利用等腰三角形的性質

結合三角形的外角性質即可判斷選項/、B、。正確；假設NP4C=30。成立，證明△O8C是等邊三角形，

推出PC是。。的切線，與題設相矛盾，可判斷選項C不正確.

【詳解】解：連接。C,

???夕赫平分//尸。，

:.設NCPM=4APM=a,

y7i—

若4c=PC,

??.NCAP=/CPA=2a,

則/尸A/C=/C/P+/4m=3a=3/A/PC，選項4正確，不符合題意；

若PC=PO,又?.?CM=OC,

/.ZPCO=ZPOC=2NCAP=2ZACO,

/.ZACP=ZACO+ZPCO=3APAC,選項8正確，不符合題意；

若尸C切oo于。點，

/.OC1PC,即NOC尸=90。，

/.ZCOP=90°-ZAPC=90°-2a,

：OA=OC,

：.ZCAO=-/COP=45。-a,

2

ZCMP=ZCAO+ZAPM=45°-a+a=45°,選項。正確，不符合題意;

連接3C,假設NP4C=30。成立，

???45為。。的直徑，

.-.ZACB=90°f

???/OBC=60。，

：OB=OC,

???△05C是等邊三角形,

?.OB=BC,

?；OA=PB,

；.OB=PB=BC,

二點C在以0P為直徑的圓8上，即/OCP=90。，

??.PC切。。于C點，

而題設并沒有PC是。。的切線這一條件，

???假設NP/C=30。不成立，選項。不正確，符合題意.

故選：C.

2.（23-24九年級上?安徽合肥?期末）如圖，尸是圓。的直徑48上一點，與圓。相切于點連接

AM,/尸=30。，若PM=24i,則4W的長為.

【答案】26

【分析】本題考查切線的性質、圓周角定理、等腰三角形的判定，解題的關鍵是掌握圓的切線垂直于經過

切點的半徑；連接OM,根據切線性質得/OMP=90。，再根據直角三角形的銳角互余得=60。，根

據圓周角定理進而求得ZOAM=30°,然后根據等腰三角形的判定解答即可.

【詳解】解：連接加，

與圓。相切于點

ZOMP=90°；

???NP=30°,

ZPOM=60°；

ZOAM=-ZPOM=30°,

2

ZP=NOAM,

AM=PM■,

PM=2#),

.，-AM=243-,

故答案為：26.

題型七切線長定理

☆技巧積累與運用

1.切線長：

經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.

切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱.切線是直線，而非線段.

2.切線長定理：

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

例題：（24-25八年級上?江西景德鎮?期中）如圖，點P是。。外任意一點，PM、N分別是。。的切線,

M、N是切點.設O尸與。。交于點K.則點K是APMN的（）

C.內心D.夕卜心

【答案】C

【分析】本題考查了切線的性質，三角形內心的定義；連接。河、ON、MK、NK,證明點K是APMN的

角平分線交點，即可求解.

【詳解】如解圖，連接。“、ON、MK、NK,

PN分別是。。的切線,

???OP是ZMPN和AMON的平分線,NOMP=90°.

ZOMK+ZPMK=90°.

OM=OK,

ZOKM=ZOMK=90°-ZPMK.

AMOK=180°-AOKM-AOMK=24PMK.

:.ZPMK=-ZMOK.

2

ZNMK=-ZNOK=-AMOK,

22

ZPMK=ZNMK.

又：OP是ZMPN的平分線，

是APAW的內心.

故選：C.

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?遼寧大連?期中）如圖，△4BC與它的內切圓。。分別相切于點。、E、F.若△ABC周長

為20,BC=6,則/。長為（）

【答案】D

【分析】本題考查切線長定理，根據切線長定理，可知：BD=BE,CE=CF,AD=AF,進而推出

AD+BE+CE=10,即：AD+BC^\0,求解即可.

【詳解】解：???△4BC與它的內切圓。。分別相切于點。、E、F,

BD=BE,CE=CF,AD=AF,

周長為20,

.■.BD+BE+CE+CF+AD+AF=20,

.-.2（AD+BE+CE）=20,

：.AD+BE+CE=\0,即：4D+BC=10,

..AD=10-BC=4；

故選D.

2.（22-23九年級下?山東青島?期末）如圖所示，線段N3是。。的一條直徑，NCDB=20。,過點C作。。

的切線交48的延長線于點E,則NE等于.

【答案】50。/50度

【分析】連接OC,先利用切線的性質得NOCE=90。，再根據圓周角定理得/COE=2/32=2x20。=40。,

然后利用互余計算NE的度數.

【詳解】解：連接。C,如圖所示，

?.?CE為。。的切線，

OCLCE,

NOCE=90°,

ZCOE=2ZCDB=2x20。=40°,

=90°-40°=50°,

故答案為：50°.

【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.若出現圓的切線，比連過切點的半徑,

構造定理圖，得出垂直關系，也考查了圓周角定理.

題型八切線的性質和判定的綜合應用

☆技巧積累與運用

由切線的性質得條件或由切線的判定的結論

例題：（24-25九年級上?全國?期末）如圖，△4BC的內切圓。。與3C,AC,N8分別相切于點。，E,

F,且NC=90。，NC=8,BC=6,則陰影部分（即四邊形CEO。）的面積為（）

A.4B.6.25C.7.5D.9

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的內切圓，根據切線的性質，判斷出四邊形C