§13.5復數第十三章

推理與證明、算法、復數基礎知識

自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.復數的有關概念(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數z的

，b叫做復數z的

(i為虛數單位).(2)分類：知識梳理

滿足條件(a，b為實數)復數的分類a＋bi為實數?_____a＋bi為虛數?______

a＋bi為純虛數?______________

實部虛部b＝0b≠0a＝0且b≠0(3)復數相等：a＋bi＝c＋di?

(a，b，c，d∈R).(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?

(a，b，c，d∈R).2.復數的幾何意義復數z＝a＋bi與復平面內的點

及平面向量

＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系.a＝c且b＝da＝c，b＝－d|a＋bi||z|Z(a，b)3.復數的運算(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(bc+ad)i(2)幾何意義：復數加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加減法的幾何意義，即題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解.(

)(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(

)(3)復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大小.(

)(4)原點是實軸與虛軸的交點.(

)(5)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模.(

)基礎自測×××√√1234567題組二教材改編答案解析√解析1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1，1234567答案解析A.1－2i B.－1＋2iC.3＋4i D.－3－4i√1234567解析答案4.[P116A組T2]若復數z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數，則實數x的值為

A.－1 B.0C.1 D.－1或1√1234567A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件題組三易錯自糾解析答案√1234567解析答案6.設i是虛數單位，若z＝cosθ＋isinθ，且其對應的點位于復平面內的第二象限，則θ位于

A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√解析∵z＝cosθ＋isinθ對應的點的坐標為(cosθ，sinθ)，且點(cosθ，sinθ)位于第二象限，∴θ為第二象限角，故選B.12345677.i2011＋i2012＋i2013＋i2014＋i2015＋i2016＋i2017＝___.1解析原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.解析答案1234567題型分類深度剖析1.(2017·全國Ⅰ)設有下列四個命題：題型一復數的概念自主演練解析答案p2：若復數z滿足z2∈R，則z∈R；其中的真命題為

A.p1，p3

B.p1，p4

C.p2，p3

D.p2，p4√解析設z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R).故z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題；對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0.當a＝0，b≠0時，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2為假命題；對于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.因為a1b2＋a2b1＝0?a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題；對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0，2.(2018·長春調研)若復數z滿足i(z－3)＝－1＋3i(其中i是虛數單位)，則z的實部為

A.6 B.1C.－1 D.－6解析答案√解析∵iz－3i＝－1＋3i，∴iz＝－1＋6i，∴z＝6＋i，故z的實部為6.解析答案3.(2017·河南六市聯考)如果復數

(其中i為虛數單位，b為實數)的實部和虛部互為相反數，則b＝______.解析答案4.已知復數z滿足z2＝－4，若z的虛部大于0，則z＝___.2i解析設z＝a＋bi(a，b∈R，b>0)，則z2＝a2－b2＋2abi＝－4，因此a＝0，－b2＝－4，b＝±2，又b>0，∴b＝2，∴z＝2i.解決復數概念問題的方法及注意事項(1)復數的分類及對應點的位置都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部.思維升華題型二復數的運算多維探究命題點1復數的乘法運算典例

(1)(2018·長春質檢)設復數z1，z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2等于

A.－5 B.5 C.－4＋i D.－4－i解析答案√解析∵z1＝2＋i在復平面內的對應點的坐標為(2,1)，又z1與z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱，則z2的對應點的坐標為(－2,1)，即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.(2)復數i(2－i)等于

A.1＋2i B.1－2iC.－1＋2i D.－1－2i√解析答案解析i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.(3)(2017·江蘇)已知復數z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數單位，則z的模是________.解析答案解析方法一

∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，命題點2復數的除法運算解析答案A.1＋2i B.1－2iC.2＋i D.2－i√解析答案A.1 B.－1 C.i D.－i√解析答案－1＋i命題點3復數的綜合運算典例

(1)(2017·全國Ⅲ)設復數z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|等于

√方法二∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，解析答案A.1＋2i B.1－2iC.－1＋2i D.－1－2i√解析答案√解析答案復數代數形式運算問題的常見類型及解題策略(1)復數的乘法.復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.(2)復數的除法.除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(3)復數的運算與復數概念的綜合題.先利用復數的運算法則化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結合相關定義解答.(4)復數的運算與復數幾何意義的綜合題.先利用復數的運算法則化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結合復數的幾何意義解答.(5)復數的綜合運算.分別運用復數的乘法、除法法則進行運算，要注意運算順序，要先算乘除，后算加減，有括號要先算括號里面的.思維升華√解析答案＝－1－i.故選D.√解析答案解析答案題型三復數的幾何意義師生共研典例(1)(2017·北京)若復數(1－i)(a＋i)在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是

A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)解析答案√解析∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，又∵復數(1－i)(a＋i)在復平面內對應的點在第二象限，(2)△ABC的三個頂點對應的復數分別為z1，z2，z3，若復數z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點為△ABC的

A.內心

B.垂心C.重心

D.外心解析答案√解析由幾何意義知，復數z對應的點到△ABC三個頂點的距離都相等，z對應的點是△ABC的外心.(3)如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求：解答(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③B點對應的復數.解答即B點對應的復數為1＋6i.因為復平面內的點、向量及向量對應的復數是一一對應的，要求某個向量對應的復數時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結論即可.思維升華解答解設z＝x＋yi(x，y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2.由題意得x＝4.∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，∴實數a的取值范圍是(2,6).課時作業1.(2016·全國Ⅰ)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數，則|x＋yi|等于

基礎保分練解析答案√1234567891011121314151617181920解析由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，解析答案2.(2017·濟寧一模)已知i為虛數單位，則z＝

在復平面內對應的點位于

A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√1234567891011121314151617181920∴a＝±1.故選A.解析答案√12345678910111213141516171819204.(2017·河北保定定興三中月考)“復數z＝

(a∈R)在復平面內對應的點在第三象限”是“a≥0”的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析答案√12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920∵z在復平面內對應的點在第三象限，5.(2017·河北省三市聯考)若復數z＝

＋a在復平面上對應的點在第二象限，則實數a可以是

A.－4 B.－3C.1 D.2√解析答案12345678910111213141516171819206.(2018·棗莊模擬)設z1，z2是復數，則下列命題中的假命題是

解析答案√12345678910111213141516171819207.(2017·天津)已知a∈R，i為虛數單位，若

為實數，則a的值為____.解析答案1234567891011121314151617181920－2解析∵a∈R，8.(2017·浙江)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數單位)，則a2＋b2＝____，ab＝____.5解析(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.由(a＋bi)2＝3＋4i.解析答案12345678910111213141516171819202解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.9.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，則實數m的值為______.解析答案12345678910111213141516171819203或6解析∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1?M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，解得m＝6或m＝3，經檢驗符合題意.10.(2018·唐山質檢)若1＋

是關于x的實系數方程x2＋bx＋c＝0的一個復數根，則b＝______，c＝_____.解析答案∴b＝－2，c＝3.12345678910111213141516171819203－211.若

＝a＋bi(a，b為實數，i為虛數單位)，則a＋b＝____.解析答案12345678910111213141516171819203∴a＋b＝3.解析答案1234567891011121314151617181920∴(x－2)2＋y2＝3.13.(2016·天津)已知a，b∈R，i是虛數單位，若(1＋i)·(1－bi)＝a，則的值為___.解析答案12345678910111213141516171819202解析因為(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a,1－b＝0，技能提升練解析答案1234567891011121314151617181920解析答案12345678910111213141516171819201得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴λ＋μ＝1.16.(2018·廣州質檢)已知復數z＝bi(b∈R)，

是實數，i是虛數單位.(1)求復數z；解答解因為z＝bi(b∈R)，1234567891011121314151617181920所以b＝－2，即z＝－2i.(2)若復數(m＋z)2所表示的點在第一象限，求實數m的取值范圍.