2024-2025學年人教版八年級上冊數學寒假提升訓練：軸對稱證

明題

1.如圖，已知/ABC=90。，。是直線48上的點，AD=BC.過點A作并截取

AF=BD,連接

D

(1)判斷CDF的形狀并證明；

(2)若BC=6,A尸=2,求4B的長.

2.已知VABC是邊長為6的等邊三角形，。是邊AC上的動點(點。不與點A,C重合),

以80為邊作等邊三角形RDE(點E在A3的上方).

(1)如圖①，當。為邊AC的中點時，求證：DEA.BC；

2025年

(2)如圖②，連接CE,求證：CE//AB；

(3/為邊BC的中點，連接跖，當EF+EB取得最小值時，延長BE與直線AC相交于點G,

求線段CG的長(直接寫出結果即可).

3.如圖，點3,C,E在同一條直線上，VABC與VADE都是等腰直角三角形，NB4c和

—ZME都是直角，連接CO.

⑴求證：CD=BE.

⑵判斷CO和BE之間有怎樣的位置關系，并說明理由.

4.如圖，在ASC中，30平分/ABC,C。平分/ACB,"N經過點0,與AB,AC相

交于點M,N,且MN〃BC.

A

⑵若BC=15,AAW的周長是25,求ABC的周長.

5.如圖，在VA5C與VADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,點。在8C上,

連接CE.

汪△&<?_￡嗎？請說明理由；

(2)若分1AC,垂足為點G,點/在線段CE上，且CF=2,FE=3,求BC的長.

6.如圖，AD是VABC的角平分線，DE,DF分別是和ACD的高.

2025年

(1)求證：垂直平分跖；

⑵若AB=3,AC=2,VABC的面積是4,求DE.

7.如圖，在VABC中，邊的垂直平分線人與邊BC相交于點。，邊AC的垂直平分線4與

邊BC相交于點E(。在E的左側).若VADE的周長為8,ZZM￡=60°.

(1)求2C的長；

(2)求/R4C的度數.

8.如圖，點C是線段8。上一點(不與端點重合)，分別以邊BC和邊CD為一邊，在線段8￡)

的同側作等邊三角形，得到VA2C和CDE.連接AD,3E相交于點憶連接C/,GH.

A

(1)求證：VACD^BCE；

⑵求證：△CHG是等邊三角形;

⑶求證：AF+CF^BF.

9.如圖，VABC是等邊三角形，過點A的直線/交BC于點。，設/C4r>=a(0°<c<30。),

線段AE與線段AC關于直線I對稱，連接BE并延長交直線/于點G,連接EC交直線/于點尸.

⑴求ZAGB的度數；

⑵求證：AG=BG+2GF.

10.在VABC中，是中線.

2025年

⑵如圖2,AE是，ACD的中線，若C4=CD,求證：AB=2AE.

11.如圖，在VABC中，將ZVICB沿直線折疊，使點C與點8重合，連接BM.

(1)若/4=78。,/。=42。，求乙的f的度數;

(2)若43=6,AC=9,求_ABM的周長.

12.已知VABC是等邊三角形，E、F分別是邊BC、AC上的點，AE與跳'相交于點G,

且BE=CF.

⑴如圖1,/AGP的度數為二

⑵如圖2,若垂足為且。G=3,BF^ll,則BG的長度為一；

(3)如圖3,以48為邊在左側作等邊△ABD,連接DG,求證：DG^AG+BG.

13.在等邊三角形ABC中，。為AC所在直線上的一個動點，E為BC延長線上一點,BD=DE.

(1)如圖1,若點。在邊AC上，求證：AD=CE.

(2)如圖2,若點。在邊AC的延長線上，(1)中的結論是否成立？請判斷并說明理由.

14.如圖，VABC與VADE是等邊三角形.

2025年

(1)求證：Z\ABD^Z\ACE；

(2)延長CE交8。于點尸，判斷N3FC的大小并證明.

15.如圖，7ABC是一個銳角三角形,分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形△ABD、AACE,

連接BE、CD交于點、F,連接AF.

B

⑴求證：AABE烏AADC；

⑵求/EbC的度數；

(3)求證：AF平分/DFE.

16.如圖，在VABC中，點E是BC邊上的一點，連接AE,BD垂直平分AE,垂足為R

交AC于點D連接DE.

(1)若VABC的周長為19,DEC的周長為7,求4B的長;

⑵若ZABC=30°,ZC=45°,

①求/E4c的度數；

②若DE=3,求4D的長.

17.在等腰VABC中，AB=AC,點。是AC上一動點，點E在5。的延長線上，且AB=AE,

AF平分/C4E交OE于點f，連接FC.

⑴如圖1,求證：ZABE^ZACF；

(2)如圖2,當NABC=60。時，在BE上取點使BM=EF,連接AAf.求證：△加射是

等邊三角形.

18.已知等腰直角三角形ABC,其中NACB=9O。，AC=BC.在A8上方作射線AD交2C

于點。，使/54D=15。，E為射線AD上的一個動點，連接CE.

2025年

(D如圖1,若AC=2,CE1AD,求線段CE的長.

(2)如圖2,過點C作CFLCE,且CP=CE,連接即與射線AD交于點G.求證：AG±BF.

(3)在圖2的基礎上，連接點E在射線AQ上運動的過程中，當E尸所在直線與VABC的

邊所在直線垂直時，請直接寫出NAEC的度數.

2025年

《2024-2025學年人教版八年級上冊數學寒假提升訓練：軸對稱證明題》參考答案

1.(1)CDF為等腰直角三角形.理由見解析

⑵4

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質.

(1)“SAS”證明ADFWBCD得到DF=CD,ZADF=/BCD,再利用

/5CD+NCOS=90。得到/CDF=90。，則可判斷CDF為等腰直角三角形；

(2)由40斤衛方。。得到4￡>=3。=6,AF=BD=2,然后計算AD—網>即可.

【詳解】(1)解：CZ小為等腰直角三角形.理由如下：

?/AF±AB,

AZZMF=90°,

?//ABC=90。，

ZCBD=90°=ZZMF,

AF=BD

在GAT乃和BCD中,<NDAF=NCBD,

AD=BC

/.ADF&BCD6網,

：.DF=CD,ZADF=NBCD,

?//BCD+/CDB=90。,

：.ZADF+ZCDB=90°,即ZCDF=90°,

???CD下為等腰直角三角形；

(2)解：ADFgBCD,

：.AD=BC=6,AF=BD=2,

：.AB=AD-BD=6-2=4.

2.(1)見解析

(2)見解析

(3)3

【分析】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，軸

對稱的性質，線段垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等

三角形解決問題.

(I)根據等邊三角形的性質和三線合一的性質即可得結論；

2025年

(2)根據“SAS”證明ABD^BCE,得/A=/3CE=60。，再根據內錯角相等，兩直線平

行可得結論；

(3)根據CE/AB可知：點E在過點C與A8平行的射線CM上運動，如圖③，作點8關

于直線CE的對稱點8',連接EB'交直線CM于E,連接88'，此時EF+EB的值最小，根據

全等三角形的性質和判定即可解答.

【詳解】(1)證明：VABC是等邊三角形，。為邊AC的中點，

:.ZABC=60°,

NABD=ZCBD=-ZABC=30°,

2

V3DE是等邊三角形，

:./DBE=60°,BD=BE,

\?CBE60?30?30?,

:.NCBE=NCBD,

:.DE±BC；

(2)證明：VABC和V3DE是等邊三角形，

:.AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=ZABC=60°,

:.ZABD=NCBE,

"①涇△BCE(SAS),

.?.ZA=N3CE=60。，

:.ZBCE=ZABC,

;.CE〃AB；

(3)解：尸為邊BC的中點，AB=6,

:.CF=-AB=3,

2

由(2)知：CE^AB,

二點E在過點C與AB平行的射線CM上運動，

ZBCE=ZACB=60°,

ZECG=180°-60°-60°=60°=Z.BCE,

如圖③，作點B關于直線CE的對稱點E,連接FB'交直線CM于E,連接BB',

2025年

」.CE垂直平分班',

:.EF+EB=EF+EB'>FB',ZCEG=ZCEF,

CE=CE,ZECG=ZECF=60°,

：.ACEG^ACEF(ASA),

：.CG=CF=3.

即線段CG的長為3.

3.(1)見解析

(2)CD工BE,理由見解析

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定及性質，垂直的定義，掌握全

等三角形的判定及性質是解題的關鍵.

(1)根據等腰直角三角形的性質得到AD=AEAB=AC,ZBAC=ZEAD=90°,繼而得

到=通過“SAS”證明ABEgACD,由全等三角形的性質即可得證;

(2)由ABE^ACD,得到NABE=ZACD,從而

/BCD=ZBCA+ZACD=ZBCA+ZABE=90°,因此CD_L3E.

【詳解】(1)證明：和VADE都是等腰直角三角形,

/.AD=AE,AB=AC,ABAC=ZEAD=90°,

：.ABAC+ZCAE=ZEAD+ZCAE,

...在.ABE和ACD中

2025年

AB=AC

<ZBAE=ZCAD,

AE=AD

：.AABE^AACD(SAS),

:.BE=CD,

(2)解：CD^BE,理由如下：

???.ABEmAACD,

：.ZABE=ZACD,

：.ZBCD=ABCA+AACD=ZBCA-^-ZABE=180°-ABAC=90°,

???CD±BE.

4.(1)證明見解析

(2)40

【分析】(1)由角平分線的有關計算可得=由兩直線平行內錯角相等可得

/MOB=/OBC,進而可得NMBO=NMO5,然后由等角對等邊即可得出結論；

(2)由(1)可知=,同理ON=CV,于是可推出AM+Q0+ON+4V=A5+AC,

根據，AW的周長是25可得AB+AC=25,據此即可求出ABC的周長.

【詳解】(1)證明：???80平分/ABC,

:"MBO=/OBC,

u：MN//BC,

:.ZMOB=AOBC,

:.ZMBO=ZMOB,

:.BM=MO；

(2)解：由(1)可知：OM=BM,

同理，ON=CN,

:.AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,

???，AAW的周長是25,BC=15f

:.AB+AC=25,

二?ABC的周長=AB+AC+BC=25+15=40.

【點睛】本題主要考查了角平分線的有關計算，兩直線平行內錯角相等，根據等角對等邊證

明邊相等，線段的和與差等知識點，根據角平分線的有關計算及兩直線平行內錯角相等得出

2025年

ZMBO=ZMOB是解題的關鍵.

5.(l)AABD^AACE,理由見解析

(2)5。=7

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解

題的關鍵.

(1)根據題意證明〃4D=ZE4C,即可根據SAS證明三角形全等；

(2)根據三角形全等得到=NACE,證明，CGD空CG。根據

BC=BD+CD=CE+CF=CF+EF+CF,即可求出答案.

【詳解】(1)解：△ABD也△ACE,

理由：ZBAC=ZDAEf

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

ZBAD=ZEACf

在△ABD和AACE中,

AB=AC

<ZBAD=ZEAC,

AD=AE

..ABO總ACE(SAS)；

(2)解：△ABD2△ACE,

ZB=ZACE,

AB=AC,

NB=ZACB,

AZACB=ZACEf

在△CGD和△CG/中，

ZACB=NACE

<CG=CG,

/CGD=/CGF=90。

.?CGD絳,CGF,

CF=CD,

由(1)可知，.AftD=ACE(SAS),

BD=CE，

2025年

?.BC=BD+CD=CE+CF=CF+EF+CF=7.

6.（1）證明見解析；

（2）|.

【分析】（1）由角平分線的性質得=再由Rt△皿（絲RtA4fD（HL）,得AE=AF,

從而證明結論；

（2）根據三角形的面積SABC=SABD+sACD，代入計算即可；

本題主要考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定等知識,

熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵.

【詳解】（1）證明：：AD是VABC的角平分線，DE,DR分別是△ABD和ACD的高,

DE=DF,

在RtAAED與RtAAFZ）中，

[AD=AD

\DE^DF'

：.RtAAED^RtAAFD(HL),

AE=AF,

,:DE=DF,

：.AO垂直平分EF；

(2)解：,;DE=DF,

??由SABC=SABD+SACD'

則|ABED+1ACDF=^DE(AB+AC)=4,

*.*AB=3,AC=2,

A|DEX(3+2)=4,

DE=|，

7.(D8

（2）120°

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，等邊對等角，三角形的內角和定理等知識

點，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵.

2025年

(1)由線段垂直平分線的性質可得ZM=Qfi,EA=EC,再結合位＞+。￡；+隹=8即可得

解；

(2)由(1)可得94=。口，EA=EC,由等邊對等角可得NB=NS4D,NC=NCAE,由

三角形的內角和定理可得ZDAE+ZB+ZC+ZBAD+ZCAE=180°,進而可得

ZBAD+ZCAE=60°,然后根據Z.BAC=NDAE+ZBAD+ZCAE即可求出ABAC的度數.

【詳解】(1)解：1?在VA3C中，邊A3的垂直平分線4與邊2C相交于點。，邊AC的垂直

平分線4與邊BC相交于點E,

VADE的周長為8,

DA=DB,EA=EC,AD+DE+AE=8,

:.BD+DE+EC=8,

3c=8；

(2)解:由(1)可得：DA=DB,EA=EC,

:.ZB=/BAD,/C=/CAE,

ZDAE+ZB+ZC+ZBAD+ZCAE=180°,/Q4E=60°,

ABAC=ZDAE+ZBAD+ZCAE=600+60°=120°.

8.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質、三角形全等的判定與性質等知識，通過作輔

助線，構造全等三角形和等邊三角形是解題關鍵.

(1)先根據等邊三角形的性質可得AC=3C,CD=CE,ZACB=/ECD=60。，從而可得

NBCE=ZACD,再利用SAS定理即可得證；

(2)先求出/ACH=/BCG=60。，再根據全等三角形的性質可得NC4H=NCBG,然后證

出.ACHZ/BCG,根據全等三角形的性質可得CH=CG,最后根據等邊三角形的判定即可

得證；

(3)在即上取一點使得=連接CM,先證出.3CMWACF,根據全等三

角形的性質可得C0=CF,NBCM=ZACF,從而可得/MCF=60。，再證出△MB是等

邊三角形，根據等邊三角形的性質可得=由此即可得證.

2025年

【詳解】(1)證明：???VA5C和都是等邊三角形，

/.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

，ZACB+ZACE=NECD+ZACE,即NBCE=ZACD,

在.ACD和BCE1中，

AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

.ACD^BCE(SAS).

(2)證明：VZACB=ZECD=60°,

ZACH=180°-ZACB-ZECD=60°,

ZACH=NBCG=6O。,

由(1)已證：VACD^VBCE,

ZCAH=NCBG,

在.ACH和3CG中，

ZACH=ZBCG

<AC=BC,

ZCAH=NCBG

-ACH烏BCG(ASA),

CH=CG,

.,.△CHG是等腰三角形，

又：ZACH=60°,

.,.△CHG是等邊三角形.

(3)證明：如圖，在防上取一點使得連接CM,

在45cM和△AC5中,

2025年

BC=AC

<ZCBM=ZCAF,

BM=AF

：.BCM與ACF(SAS),

:.CM=CF,ZBCM=ZACF,

ZMCF=ZACF+ZACM=ZBCM+ZACM=ZACB=60。，

△MCF是等邊三角形，

CF=MF,

：.AF+CF=BM+MF=BF,

即A/+Cr=B/.

9.(1)60°

(2)見解析

【分析】(1)根據等邊三角形性質得AB=AC,ZABC^ZBAC^60°,再根據軸對稱的性

質得NC4D=NE4O=c,AC=AE,貝|/BAE=60。-a,AB=AE,進而得

ZAEB=ZABE=6Qo+a,然后再根據三角形的外角性質可得出/AG3的度數；

(2)在線段G4上截取GQ=GE,連接QE,先證明，GEQ是等邊三角形得QE=GE=GQ,

ZEQG=60°,由此可證明..3GC/AQE(AAS),則3G=AQ,然后根據等邊三角形的性質

得GF=FQ,由此即可得出結論.

【詳解】(1)解：,線段AE與線段AC關于直線/對稱，ZCAD=a,

:.AE^AC,AG垂直平分EC.

:.ZCAD=ZEAD=af

...ABC為等邊三角形，

:.AB=AC,ZABC=ZBAC=60。，

.'.AB=AE,ZBAE=ABAC-ZEAC=60°-la,

ZBAG=ZBAC-ZCAF=6Q°-a,

NABE=ZAEB=1(180°-NBAE)=60。+a,

:.ZAGB=ZAEB-ZEAD=60°+a-a=60°；

(2)證明：連接GC,在線段G4上截取GQ=GE,連接QE,

2025年

ZAGB=60°,

??.△GEQ是等邊三角形，

:.QE=GE=GQ,NEQG=60。，

:.ZAQE=1800-ZEQG=nO°,

線段AE與線段AC關于直線/對稱，

:.AG±EC,且AG平分EC,

;.GE=GC,ZAGC=ZAGE=60°,

：.QE=GC,ZBGC=ZAGC+ZAGE=120°,

ZAQE=NBGC,

又：ZCBG=ZABE-ZABC=a,

:"CBG=NEAQ,在,3GC與一AQE中，

ZCBG=ZEAQ

<NBGC=ZAQE,

GC=QE

BGCQAQE(AAS),

BG=AQ,

又?，QE=GE,AG1EC,

：.GF=FQ,

即QG=2GF,

:.AG=AQ+QG=BG+2GF.

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，軸對稱的性質，熟

練掌握全等三角形的判定與性質，理解等邊三角形的性質，軸對稱的性質，正確地作出輔助

線構造等邊三角形和全等三角形是解決問題的關鍵.

2025年

313

10.(1)-<AD<一

22

(2)見詳解

【分析】(1)延長AD到點E使FD=">,連接FB,則AF=2AD,\^ZFDB=ZADC,

BD=CD,即可根據“SAS”證明&FOB空ADC,則FB=AC=5,而A5=8,由

AB-FB<AF<AB+FB,然后可求解；

(2)延長AE到點”，使=,連接加>,則4H=2AE，而C4=CD,所以。3=CD=C4,

ZCDA=ZCAD,可證明VHED絲VAEC,得DH=CA=DB,ZHDE=ZC,再證明

_ADH工ADB,進而問題可求解.

【詳解】(1)解：如圖1,延長也到點凡使FD=AD,連接EB,貝i」AF=2AD,

圖1

???4。是VABC的中線，AB=8,AC=5,

：.BD=CD,

在△FD5和八位)。中，

BD=CD

</FDB=NADC,

FD=AD

；?_FDBgADC(SAS),

：.FB=AC=5,

VAB-FB<AF<AB+FB,SP3<AF<13,

3<2AD<13,

(2)證明：如圖2,延長A￡到點H,使HE=AE,連接"D,則AH=2AE,

2025年

圖2

：AD是VABC的中線，AE是，ACD的中線，CA=CD,

：.DB=CD=CA,DE=CE,ACDA=ACAD,

'：ZAEC=NDEH,

：.VHEDAAEC(SAS),

：.DH=CA=DB,ZHDE=ZC,

：.ZADH=ZCDA+ZHDC=ZCAD+ZC,

'：ZADB=ZCAD+ZC,

/.ZADH=ZADB,

?/AD^AD,

：.VADH^VADB(SAS),

AH=AB,

：.AB^2AE.

【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的三邊關系等

知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

11.⑴/ASM=18°；

(2)ABM的周長=15.

【分析】本題主要考查了折疊的性質，三角形的內角和定理等知識點，

⑴先由三角形的內角和定理求得NABC,再根據折疊的性質，得到NMBN=/C=42。,從而

即可求解；

(2)根據折疊的性質，得到MB=MC,進而計算周長即可；

熟練掌握折疊的性質和三角形的內角和定理是解題的關鍵.

【詳解】(1)解:.^A+^C+^ABC=180°,=78°,ZC=42°,

ZABC=180°—78°-42°=60°,

由折疊可知，NMBN=NC=42°,

2025年

_■ZABC=NABM+NMBN,

ZABM=ZABC-/MBN=60°-42°=18°；

(2)解：由折疊可知，MB=MC,

ABAf的周長=AB+AM+=AB+AM+CM=AB+AC=6+9=15.

12.(1)60°

(2)5

(3)證明過程見詳解

【分析】(1)運用SAS證明△BCF四△ABE,再由/BAG=/FBE即可求出NAG/的度數;

(2)求出"FG=30。，根據直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可得

GF=2DG=6,由此即可求出3G的長度；

(3)延長GE至使GH=GB,連接初，可得V3GH為等邊三角形，再證明出

DBG^ABH(SAS),根據全等三角形的性質得到DG=AH,從而證得OG=AG+BG.

【詳解】(1)證明：：VABC是等邊三角形，

:.AB=BC,ZABC=ZC=60°,

在V5B和石中，

'AB=BC

<NABC=/C,

BE=CF

BCF學ABEKAS),

:.ZBAG=Z.FBE,

ZAGF=ZBAG+ZABG=NFBE+ZABG=ZABC=60°；

故答案為：60°；

(2)解：由(1)得，NAGb=60。，

DF±AE,且OG=3,BF=ll,

.\ZDFG=30°,

:.GF=2DG=6,

,\BG=BF-GF=11-6=5；

故答案為：5；

(3)解：延長G￡至〃，使GH=GB,連接次7,如圖：

2025年

H

ZBGE=ZAGF=60°,

BGH為等邊三角形,

:.BG=BH=GH,ZGBH=60°,

「ABD為等邊三角形，

:.AB=BD,ZABD=60°,

ZABH=Z.GBH+ZABG,ZDBG=ZABD+ZABG,

:.ZAB*/DBG,

在△DBG和一A5”中，

DB=AB

<NABH=ZDBG,

BG=BH

DBG^ABH(SAS),

:.DG=AH,

QAH=AG+GH,

:.DG=AG+BG.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質與判定，全等三角形的判定

和性質，直角三角形30度角的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等

三角形解決問題.

13.(1)詳見解析

(2)成立，理由見解析

【分析】(1)過點。作。尸〃3C,交48于點P,根據等邊三角形的判定也是等邊

三角形，然后利用AAS即可證出BPD四。。CE,根據全等三角形的性質可得PD=CE,從

而證出結論；

(2)過點。作。P〃BC,交A3的延長線于點尸，根據等邊三角形的判定也是等邊

2025年

三角形，然后利用AAS即可證出一踮。gMCE,根據全等三角形的性質可得PD=CE,從

而證出結論.

【詳解】(1)證明：如圖，過點。作交回于點尸.

???VABC是等邊三角形，DPBC,

：.ZAPD=ZABC=ZADP=ZACB=60°,

???也是等邊三角形，

.??AP=PD=AD.

;DB=DE,

：./DBC=NDEC.

*：DP//BC,

：.ZPDB=ZCBD,

：.ZPDB=ZDEC.

XVABPD=ZA+ZADP=120°,ZDCE=ZA+AABC=120°,

:.ZBPD=ZDCE.

在△5尸。和△DCE中，

'/PDB=/DEC

<ZBPD=ZDCE

DB=DE

：.,BPD均DCE,

：.PD=CE,

：.AD=CE；

(2)解：AD=CE成立,理由如下，

如圖，過點。作。P〃3C,交A5的延長線于點尸.

2025年

???VABC是等邊三角形，DPBC,

：.ZAPD=ZABC=ZADP=ZACB=6Q°f

???也是等邊三角形，

:.AP=PD=AD.

?:DB=DE,

：.NDBC=/DEC.

,：DP//BC,

：.ZPDB=ZCBD,

：.ZPDB=ZDEC,

在Z\BPD和△_DCE中，

ZPDB=ZDEC

<ZP=ZDCE=ZACB=60°

DB=DE

?；BPD金DCE,

：.PD=CE,

：.AD=CE.

【點睛】此題考查的是等邊三角形的判定及性質、全等三角形的判定及性質和平行線的性質，

掌握等邊三角形的判定及性質、全等三角形的判定及性質和平行線的性質是解決此題的關鍵.

14.⑴見解析

(2)120°,見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，證明出全等是解題關鍵.

(1)根據等邊三角形的性質，利用“SAS”即可證明全等；

(2)由全等的性質得到/4/汨=/4石。，進而得至IJNPFD=ND4E=6O。，即可求出尸C

的大小.

【詳解】(1)證明：ABC與VAPE是等邊三角形，

:.AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=6Q0,

2025年

:.ZBAC+ZCAD^ZDAE+ZCAD,即NB4D=/C4￡,

在△ABD和ZXACE中，

AB=AC

<ABAD=NCAE,

AD=AE

ABD咨ACE(SAS)；

(2)解：ABD^.：ACE,

:.ZADB=ZAEC,

ZDPF=ZAPE,

?/ZPFD=180°-ZADB-ZDPF,ZDAE=1800-ZAEC-ZAPE,

ZPFD=ZDAE=60°,

ZBFC=180°-NPFD=120°.

15.(1)見解析;

(2)60°；

(3)見解析.

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、角平分性的判定

知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.

(1)由△ABD、AACE是等邊三角形，易證=繼而可證AABE名△ADC；

(2)由AABE注AADC,得到ZAEB=ZACD,進一步得到ZCEF+ZECF=ZAEC+ZACE,

由三角形內角和得到答案；

(3)作AH_L￡)C于點ANLBE干■煎N,證明■=由〃/_LL>C,AN±BE,即

可得到結論.

【詳解】(1)證明：ABD、"CE是等邊三角形，

DA=AB,AC=AE,4DAB=ZEAC=60°,

：.ZDAC=ZBAE,

ABE名ADC(SAS)；

(2)解：AABE^AADC,

:.ZAEB=ZACD,

：.ZCEF+ZECF=ZAEC+ZACE=120°,

2025年

?.ZEFC=60°；

(3)證明：如圖，作AHLOC于點"，ANLBE于點、N,

AABE^AADC,

:.DC=BE,ABE和△ADC的面積相等，

\AH=AN,

AHLDC,ANLBE,

:.AF平分NDFE.

16.(1)AB=6

(2)①N￡4C=30。；②AD=6

【分析】(1)先證明=AD=DE,結合VABC的周長為19,DEC的周長為7,

可得AB+3E=19-7=12,從而可得答案；

(2)①先求解N54C=18O。-30。-45。=105。，然后利用等邊對等角和三角形內角和定理得

到ZBAE=ZBE4=J(180O-NABC)=75°,進而求解即可，②利用由30度角的直角三角形

的特征進行計算即可.

【詳解】(1)解：是線段AE的垂直平分線，

:.AB=BE,AD=DE,

：VABC的周長為19,DEC的周長為7,

AB+BE+CE+CD+AD=19,CD+EC+DE=CD+CE+=1,

：.AB+BE=19—7=12,

：.AB=BE=6；

(2)解：①：ZABC=30°,ZC=45°,

ABAC=180°-30°-45°=105°,

?/AB=BE,

NBAE=NBEA=；(180°-NABC)=75。

：.ZE4c=ABAC-ZBAE=30°；

2025年

②：/E4c=30。，NAFD是直角，

AD=2DF=6.

【點睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，

三角形的內角和定理等知識點，熟練掌握其性質并能靈活運用是解決此題的關鍵.

17.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性

質，解題的關鍵是掌握相關知識.

(1)根據角平分線的定義可得NE4F=NC4F,根據題意可推出AE=AC,證明

△ACF^/XAEF,得到NACF=