專題3.1導數的概念及其意義與運算【八大題型】

【新高考專用】

1、導數的概念及其意義與運算

導數是高考數學的必考內容，導數的概念及其意義、導數的運算是高考常考的熱點內容，從近幾年的

高考情況來看，一般以選擇題、填空題的形式考察導數的幾何意義、求曲線的切線方程，試題難度屬中低

檔；導數的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進行考查，復習時要加強這方面的訓練.

?知識梳理

【知識點1導數的運算的方法技巧】

1.導數的運算的方法技巧

(1)求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導.

(2)抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.

(3)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.

2.求復合函數導數的步驟

第一步：分層：選擇中間變量，寫出構成它的內、外層函數；

第二步：分別求導：分別求各層函數對相應變量的導數；

第三步：相乘：把上述求導的結果相乘；

第四步：變量回代：把中間變量代回.

【知識點2切線問題的解題策略】

1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：

⑴求出函數產/㈤在4無0處的導數，即曲線y=/(x)在點(現加⑹)處切線的斜率；

(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f(x0)(x-x0).

2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：

⑴設出切點坐標T(孫加。))(不出現為)；

(2)利用切點坐標寫出切線方程：y=J[xo)+f(xo)(x-xo)；

(3)將己知條件代入②中的切線方程求解.

3.與切線有關的參數問題的解題策略：

(1)處理與切線有關的參數問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程(組)并解出參數:

①切點處的導數是切線的斜率；

②切點在切線上，故滿足切線方程；

③切點在曲線上，故滿足曲線方程.

(2)利用導數的幾何意義求參數問題時，注意利用數形結合，化歸與轉化的思想方法.

4.公切線問題的解題思路

求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般

是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線

相切可用判別式法.

?舉一反三

【題型1導數的定義及其應用】

【例1】(24-25高三上?上海?期中)若函數y=/(%)在工=%。處的導數等于a,則lim也吐等3的值為

A.0B.-aC.aD.2a

2

【解題思路】根據給定條件，利用導數的定義直接計算可求解.

【解答過程】lim―。+2人—=2lim總產也)二"殛).=尸(%)=2a.

△%Ax->02Ax、

故選：D.

【變式1-1](23-24高二下?遼寧鞍山?期末)已知函數/(%)的圖象如圖所示，f'M是f(x)的導函數,

則下列數值排序正確的是()

A.0<r(4)</(4)-/(3)<r(3)

B.0<f(3)<r(4)</(4)-/(3)

C.0</(4)-/(3)<r(4)<r(3)

D.0<f(4)<f(3)</(4)-/(3)

【解題思路】根據圖象判斷函數增長速度即可得解.

【解答過程】由圖可知，f(x)的增長速度越來越慢,所解0</(4)<尸(3),

f(4)-/(3)=%曳表示在［3,4］上的平均變化率，

4—3

由圖可知0<廣(4)</(4)-/(3)<尸(3).

故選：A.

【變式1-2］(23-24高二下?河北保定?期末)若曲線y=/(%)在x=l處的切線的斜率為一3,則

lim"i)-"】+2Ax)=()

-Ax

A.-6B.--3C.3-D.6

22

【解題思路】根據導數的定義和性質即可求解.

【解答過程】lim"1)一冬"2.=_2lim八1)-"1+2.=_2尸⑴=仇

△%—0△%Ax^O-2Ax7

故選：D.

【變式1-3］(2024.上海閔行.二模)某環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整

改、設企業的污水排放量W與時間f的關系為W=/(t),用-觀產的大小評價在［a,切這段時間內企業污

水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如下圖所示.則下列正確的命

污

水

達

標

排

放

量

A.在質32］這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業弱;

B.在t2時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業弱；

C.在J時刻，甲、乙兩企業的污水排放都不達標；

D.甲企業在［。,切，［。，切，山,以這三段時間中，在［。42］的污水治理能力最強

【解題思路】根據題目中的數學模型建立關系，比較甲乙企業的污水治理能力.

【解答過程】設甲企業的污水排放量w與時間r的關系為勿=乙企業的污水排放量”與時間r的關系

為W=g(t).

對于A選項，在上工2］這段時間內，甲企業的污水治理能力九?)=-也也空自

七2Tl

乙企業的污水治理能力g(t)=-吟學&由圖可知，-h(t2)>g(tj-99)，

所以h(t)>g(t),即甲企業的污水治理能力比乙企業強，故A選項錯誤；

對于B選項，由圖可知，h(t)在t2時刻的切線斜率小于9?)在4時刻的切線斜率，

但兩切線斜率均為負值，故在t2時刻甲企業的污水治理能力比乙企業強，故B選項錯誤；

對于C選項，在J時刻，甲、乙兩企業的污水排放都小于污水達標排放量，

故甲、乙兩企業的污水排放都達標，故C選項錯誤；

對于D選項,由圖可知,甲企業在［0,切，上,切，比工］這三段時間中，

在［如今］時h(h)-％?2)的差值最大，所以在上,。］時的污水治理能力最強，故D選項正確，

故選：D.

【題型2求(復合)函數的導數】

【例2】(2024?湖北?一模)已知函數/(%)=湖一/(1%,則()

A.AD=-|B.r(D=-f

C./(2)=e2-eD.r(2)=e2—e

【解題思路】求導，通過賦值逐項判斷即可.

【解答過程】因為/(%)=所以尸(x)=e，一((1),

貝次，(l)=e-尸(1),所以尸(1)=1

則/(x)=ex-|x,所以/(I)=|,f(2)=e2-|,/(2)=e2-e.

故選：C.

【變式2-1］(2024黑龍江哈爾濱?模擬預測)設/(久)=sinx,弁(x)=尸(久)，=

f'nM，則￡瞥力。等于()

A.0B.—C.—D.-

222

【解題思路】根據題意分析可知：可知加+式工)=啟(%)，且/1(%)+f2M+%(%)+4(%)=o,結合周期性

分析求解.

【解答過程】由題意可得:/i(x)=cosx,f2(%)=-sin%,啟(％)=-cos%,。(％)=sin%,%(％)=cosx,

可知/n+4(%)=fnM，且71(%)+/2(%)+%(%)+國(%)=0,

且2024=506x4,所以多當,力@=0.

故選：A.

【變式2-2](2024.浙江溫州?模擬預測)集合M={/(乃,rQ),尸則以下可以是〃久)的表達式的是

()

A.sinxB.exC.InxD.x2+2x+3

【解題思路】利用基本函數的導數，分別對各個選項對應的函數求導，再利用集合的互異性，即可求出結

果.

【解答過程】對于選項A,因為/'(x)=sinx,所以廣(x)=cosx,f"(x)=—sinx,=—cosx,(/“'(x))'=

sin%=/(%),不滿足集合的互異性，所以選項A錯誤，

對于選項B,因為/(x)=ex,所以尸(%)=e，=/(x),不滿足集合的互異性，所以選項B錯誤，

對于選項C,因為f(x)=lnx,所以尸(x)=3=—專,尸〃0)=多…，所以選項C正確，

對于選項D,因為/'(x)=/+2久+3,所以/，(%)=2因+2,f"(x)=4x,=4,(尸〃(x))，=0,后

面再求導，導數均為0,不滿足集合的互異性，所以選項D錯誤，

故選：C.

【變式2-3](2024?全國?模擬預測)已知函數f(x)的定義域為R,若f(2久一1)+3,尸(工—2)都是奇函數，

且/⑴=一2/(-1),則%皆尸㈤=()

A.6B.-9C.3D.-12

【解題思路】利用奇函數的性質得到f(2%-1)+3=-/(-2x-1)-3,然后通過求導得到尸(2久-1)=

r(-2x-1),再結合/(％-2)為奇函數得到尸0)的周期,根據f(2x-1)+3為奇函數和尸(1)=一2/(-1)得

到/''(1),最后利用周期性計算即可.

【解答過程】由/(2久-1)+3為奇函數可得f(2久-1)+3=-/(-2x-1)-3,

兩邊分別求導可得2尸(2x—1)=2尸(—2y-1),

即尸(2萬-1)=尸(―2x—1),故尸(x—1)=廣(―x—l),所以r(x—2)=/(―乃，

又尸0—2)為奇函數，所以廣(％—2)=—/(―%—2),可得尸(―%)=—尸(—x—2),

故廣(x+2)=從而尸(x+4)=f'(x),

故4是尸(x)的一個周期，

在尸(x+2)=一尸(%)中,分別令x=1和2可得:(⑶=一尸⑴,/(4)=一/⑵,

所以尸(1)+尸(2)+尸(3)+尸(4)=0.

由/(2%-1)+3為奇函數可得f(―1)+3=0,

故尸(1)=-2/(-1)=6,所以立駁5,(幻=506*0+/(1)=6.

故選：A.

【題型3求曲線切線的斜率(傾斜角)】

【例3】(2024.福建廈門.一模)已知直線I與曲線丫=爐—乂在原點處相切，則1的傾斜角為()

A.-B.-C.—D.—

6446

【解題思路】利用導數幾何意義求直線的斜率，進而確定傾斜角.

【解答過程】由y'=3/-1,則y'|x=o=-1,即直線/的斜率為-1,

根據傾斜角與斜率關系及其范圍知：1的傾斜角為

4

故選：C.

【變式3-1](2024.全國.模擬預測)己知函數f(x)=--92?]n久+3,則曲線y=/(久)在(e,f(e))處的切

線斜率為()

A.e2-—B.3e2C.e2--D.3e2--

2e2eee

【解題思路】先求導，令x=L求出尸(1),再結合導數的幾何意義即可求解.

【解答過程】依題意，f'M=3/—嬰，令x=1,

故尸(1)=3-手，解得尸(1)=2,故尸0)=3/-3故尸(e)=3e?-%

故選：D.

【變式3-2](2024?福建泉州?模擬預測)如圖是函數/(久)的部分圖象，記/(久)的導數為尸(乃，則下列選項

中值最大的是()

A./(3)B.3f'(3)C.f(-14)D.尸(8)

【解題思路】由函數的圖象，結合導數的幾何意義，即可判斷.

【解答過程】

由圖可知，/(—14),((8)為負數，f(3),3f，(3)為正數，故不選/(一14),尸(8),

設/0)在x=3處的點為4,顯然。4的斜率Ze%大于廣(3),

則需2>/⑶,可轉化為/(3)>3/⑶,

所以/(3)的值最大.

故選：A.

【變式3-3](2024?貴州?模擬預測)設點P是函數/⑺=/一)，⑴％+/(2)圖象上的任意一點，點p處切

線的傾斜角為a,則角a的取值范圍是()

A.[0,,)B.[0,§唔,n)C.&￥)口.Q)U管,n)

【解題思路】求出尸(x),令x=l后可求/(%),再根據導數的取值范圍可得tana的范圍，從而可得a的取值

范圍.

【解答過程】???/(>)=/—]，⑴%+尸(2),.?/(￡)=3/—)(1),

.-.r(l)=3-|f(l),.,.f(l)=2,=3x2-1>-1,

.?.tana>—1,0<a<]或?<a<tt.

故選：B.

【題型4求在曲線上一點的切線方程、過一點的切線方程】

【例4】(2024.廣東肇慶.一模)曲線y=%(/-1)在久=1處的切線方程為()

A.%=1B.y=1

C.y=2x+1D.y=2x-2

【解題思路】利用導數的幾何意義求出斜率，再代入直線的點斜式方程化簡即可

【解答過程】令f。)=x(x2-1),則f'(x)=3x2-1,即/⑴=2,/(I)=0,

所以曲線y=x(x2-1)在x=1處的切線方程為y-0=2(x-1),即y=2x-2,

故選：D.

【變式4-1](2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)已知函數/Xx)=//G)+]nx-9,則函數在％=1處的切線

方程是()

Q29947

A.y^-x-9B.y=19x-19C.y=19x--D.y^-x+—

【解題思路】對〃x)求導，注意廣(》是常數，令％=?弋入導函數中，可求得尸(|),進而可求尸

可得/(%)在％=1處的切線方程.

【解答過程】?."'(%)=2/(%+3令％=i,可得尸G)=9,

???/(I)=9+0-9=0,/⑴=19,

所以/(%)在％=1處的切線方程為y=19%—19.

故選：B.

【變式4-2](2024?江西景德鎮?一模)過點4(0,1)且與曲線f(%)=爐+2%-1相切的直線方程是()

A.y=5%+1B.y=2x+1

C.y=%+lD.y——2x+1

【解題思路】根據導數幾何意義以及斜率公式，計算可得切點坐標，即可求得切線方程.

【解答過程】/'(%)=3%2+2,點A不在曲線上，

2

設切點為(久0,瑞+2殉一1),則f'Oo)=3x0+2=蛭+25”,

%0

解得：％0=-1，得切點(一1,一4),則k=r(—l)=5

切線方程為：y=5%+l,

故選：A.

【變式4-3](2024.新疆.二模)過點(1,4)且與曲線f(%)=/+%+2相切的直線方程為()

A.4%—y=0B.7%—4y+9=0

C.4x—y=0或7%—4y+9=0D.4x—y=0或4%-7y+24=0

【解題思路】先設過點的切線，再根據點在曲線上及切線斜率等于導數值解方程即可求值進而求出切線.

【解答過程】設過點(1,4)的曲線y=/(%)的切線為：l-y-yo=(3%o+1)(第一工0)，

有|(3瑤+1)(1-%)=4-y()

Iyo=瑞+&+2

解得或卜:5,

泌-4[y0=l

代入2可得4萬-y=0或7x-4y+9=0.

故選：C.

【題型5與切線有關的參數問題】

【例5】(2024山西?模擬預測)己知函數/(*)=(x-a)(x-2)(%-3)(x-4),若/(%)的圖象在工=2處的

切線方程為y=6x+6,則a+6=()

A.-11B.-12C.-13D.-14

【解題思路】利用導數的幾何意義，列方程組求解即可.

【解答過程】由題意知f(2)=(2-a)X(2-2)x(2-3)X(2-4)=0,

所以0=6x2+b,解得b=—12,

又廣(%)=(x—a)(x—3)(%—4)4-(x—2)[(%—a)(%—3)(%—4)]\

所以/'(2)=(2—Q)X(2—3)X(2—4)-6,解得Q=-1,所以a+b=—1+(—12)——13.

故選：C.

【變式5-1](2024?廣西貴港?三模)已知曲線y=axex+In%在點(l,ae)處的切線方程為y=3%+b,貝|()

A.a=e,b=-2B.a=e,b=2

C.a=e-1,b=-2D.a=e-1?b=2

【解題思路】求出函數的導函數，依題意可得y'|%=i=3,即可求出a,再將切點代入切線方程，即可求出b；

xxr

【解答過程】解：y'-ae+axe+k-y\x=1=ae+ae4-1=2ae+1=3,

/.ae=1,a=|=e-1.將(1,1)代入y=3%+b得3+b=1,=-2.

故選：C.

【變式5-2](2024?重慶?三模)已知直線〃與曲線y=%+三相切，則實數〃=()

A.0B.-C.D.3

2

yo=axo-a

y°=x°+i

求解即可.

{1—"

【解答過程】由y=x+(且尤不為0,得歹=1—蓑

y()—CLXQCL

.a(ZXQ—Cl—XQ+—

yo=x0+—XO

設切點為(與,yo),則%o即《

1—=aa=

.定好+i

所以含一含="君,可得"。=一2,口=￡

故選：C.

【變式5-3](2024.全國.模擬預測)已知曲線/(%)=e%在點P(0,/(0))處的切線也是曲線g(%)=ln(a%)的

一條切線，貝必的值為()

A-fB-fc-e2D-?

【解題思路】根據導數的幾何意義可求得/(x)在P點處的切線方程，設其與g(x)相切于點(Xo，ln(a&)),由

切線斜率可求得N°,利用兩點連線斜率公式構造方程求得Q.

【解答過程】/(%)=ex,=ex,/(0)=1,?,.f'(0)=1,

???/(%)在點尸(O,f(O))處的切線方程為：y=%+1；

設y=%+1與g(%)相切于點(出』n(a%o)),則g'Oo)=—=解得：%o=1，

%0

又叫竺立二-1,Ina—1—1,解得：a=e2.

xo-0

故選：C.

【題型6切線的條數問題】

【例6】(24-25高三上?河北承德?開學考試)過點(2,0)可作曲線f(x)=X3一3刀-2的切線條數為()

A.1B.2C.3D.0

【解題思路】根據導數的幾何意義，結合該點是不是切點分類討論進行求解即可.

【解答過程】由/'(%)=x3-3%-2=>f'(x)=3%2-3,

當點(2,0)是切點時，此時切線的斜率為r(2)=3x22-3=9,此時有一條切線；

當點(2,0)是不切點時，設切點為3)，丫0)，則切線的斜率為尸(比)=3好一3,

切線方程為：y-(Xo-3x0-2)=(3%o-3)(x-x0),該切線過點(2,0),

于是有0—(%o—3x0-2)=(3%Q—3)(2—x0)=>無旨-3xg+4=0=>%Q+1-3%Q+3=0

=>(x0+l)(%o—沏+1)-3(&+l)(x0-1)=0今(&+l)(x()-2)2=0nX。=-1或x()=2(舍去)，

綜上所述：過點(2,0)可作曲線f(x)=%3-3%-2的切線條數為2,

故選：B.

【變式6-1](2024?全國?模擬預測)若曲線y=(1-％)留有兩條過點4(a,0)的切線，貝必的取值范圍是()

A.(-00,-1)U(3,+oo)B.(-3,1)

C.(—8,-3)D.(―oo,—3)U(1,+oo)

【解題思路】根據題意，由導數的幾何意義表示出切線方程，然后列出不等式代入計算，即可得到結果.

【解答過程】設切點為(%0，(1-沏)e'。)，由已知得y'=—xe，,則切線斜率k=-xoe^,

eXx

切線方程為y-(1-x0)°=~xoe°(x-x0).

xx

?直線過點4(a,0),/.-(1—%0)e°=—xoe°(a—x0),

化簡得就一(a+l)xo+l=0.：切線有2條，

.*.△=(a+l)2-4>0,則a的取值范圍是(-8,-3)U(1,+oo),

故選：D.

【變式6-2](2024.全國?模擬預測)過原點可以作曲線y=/(x)=x2—|幻+1的兩條切線，則這兩條切線

方程為()

A.y=%和丫=—xB.y=—3%和y=3%

C.y=%和丫=—3%D.y=一久和y=3x

【解題思路】由解析式得/(%)為偶函數，故過原點作的兩條切線一定關于y軸對稱，再由導數幾何意義求無>

0上的切線，結合偶函數對稱性寫出另一條切線.

【解答過程】由％G=(-%)2-|-x|+1=X2-|%|+1=/(%),得/1(%)為偶函數,

故過原點作的兩條切線一定關于y軸對稱.

當久>0時,/(%)=x2—%+1,則/(%)=2x—1,

設切點為詔一第故,解得久或%(舍)，

P(&,o+1)(%0>0),2%o-1=&一"°r一°o=1o=-1

所以切線斜率為1,從而切線方程為y=%.

由對稱性知：另一條切線方程為y=-%.

故選：A.

【變式6-3](2024.全國.模擬預測)已知函數/(%)=-產+3%,則過點(一3,-9)可作曲線y=/(%)的切線

的條數為()

A.0B.1C.2D.3

【解題思路】設切點為(0-Q3+3Q),根據導數的幾何意義求得在切點(。,-。3+30)處的切線方程，再將

(—3,—9)代入，求得a的值，即可得解.

【解答過程】解：因為/(%)=-x3+3%,所以尸(%)=-3x2+3,

設切點為(a,—加+3a),

所以在切點(a,—M+3a)處的切線方程為y=-3(Q2—1)(%—a)—o?+3a,

又(—3,—9)在切線上，所以—9=—3((z2—1)(—3—a)—+3a,

即—9=3(Q2—1)?(3+ci)—+3a,

整理得2a3+9a2=0,解得％,=0或a2=

所以過點(-3,-9)可作曲線y=/(比)的切線的條數為2.

故選：C.

【題型7兩條切線平行、垂直、公切線問題】

【例7】(2024?福建?模擬預測)己知直線y=fcr+b既是曲線y=Inx的切線，也是曲線y=-ln(-x)的切線,

貝U()

1

A.fc=-,b=0B.fc=1,b=0

e

C.k=-,b=—1D.k=1,b=-1

【解題思路】設出切點，寫出切線方程，利用對應系數相等建立方程，解出即可.

【解答過程】設直線與曲線y=In%的切點為且%1>0,

與曲線y=-ln(-%)的切點為(汽2，-1口(一%2))且%2<。，

又y，=(In%)，=py'=[-ln(-x)]=

則直線y=kx+b與曲線y=In%的切線方程為y—\nxr=^-(%—xt),即y=￡%+\nxr—1,

直線y=kx+b與曲線y=-ln(-%)的切線方程為y+ln(-x)=-—(%-x),即y=-—%+1-ln(-x)?

2x22x22

=e,,11

則X1%2“2=-e，故k=五=&,b=ln/_l=0,

(in/-1=1—ln(—x2)

故選：A.

【變式7-1](2024?陜西渭南?一模)已知直線y=ax+b(aER,b>0)是曲線/(%)=e%與曲線g(%)=In%+2

的公切線，貝b+b等于()

A.e+2B.3C.e+1D.2

【解題思路】由/(%)求得切線方程，結合該切線也是g(%)的切線列方程，求得切點坐標以及斜率，進而求

得直線y=aX+b,從而求得正確答案.

【解答過程】設(t,吟是f(x)圖象上的一點,(Q)=e%,

所以/(%)在點(Ge「)處的切線方程為y-et=ef(x-t),y=etx+(1-①,

令“(%)=^=ef,解得％=e-t,

5(e-t)=lne-t+2=2—3所以"[二；=e。

1—t=(1—t)et,所以力=0或力=1(此時①為y=e%,b=0,不符合題意，舍去)，

所以t=0,此時①可化為y—1=1x(%—0),y=%+1,

所以a+b=l+l=2.

故選：D.

【變式7-2](23-24高二下.江蘇常州.階段練習)已知函數/(%)=—+i,g(%)=e-2*+i.

(1)求曲線y=/(%)過點(1,1)處的切線；

(2)若曲線y=/(%)在點。1)處的切線與曲線y=g(x)在％=t(tGR)處的切線平行，求t的值.

【解題思路】(1)利用導數幾何意義求過一點的切線方程；

(2)利用導數幾何意義，由切線平行列方程求參數值.

【解答過程】(1)由導數公式得廣(%)=-3%2+1,

設切點坐標為(%o，yo),設切線方程為：y—l=k(%—l)

>0-1=-1)

由題意可得：“yo=~xo+%o+1，

、k=-3XQ+1

(i

x(\=—

,%o=l'

所以bo=i或(yo=8,

k=-2.i

Ik=Z

從而切線方程為2x+y-3=0或x-4y+3=0.

(2)由(1)可得：曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程為y=-2x+3,

由g'(無)=—2e~2x+1,可得曲線y=g(%)在x=t(tGR)處的切線斜率為g'(t)=-2e~2t+1,

由題意可得一2e—2"i=—2,從而t=I，

此時切點坐標為g,1)，曲線y=g(%)在％=(處的切線方程為y-1=-2

即y=-2%+2,故符合題意，所以t=].

【變式7-3](2024?湖南郴州?三模)已知函數/(%)=--ax+1,g(久)=Inx+a(a€R).

(1)若a=>g(x)在區間(0,t)上恒成立，求實數t的取值范圍；

(2)若函數/(久)和。(久)有公切線，求實數a的取值范圍.

【解題思路】⑴設%(%)=用導數法解h(%)min>0即可；

(2)設函數f(x)在點(久iJOi))處與函數g(x)在點(久2，。(刀2))處有相同的切線，

由/''(/)=9'(犯)=曾譬初，二一。===化簡得到白+去+lnX2+?+a—2=

0,然后將問題轉化為關于x的方程工+F+lnx+『+a—2=0有解求解.

4x22x4

【解答過程】(1)由題意，當。=1時，設%(久)=/(%)-g(%),

則h(%)=x2—x+1—Inx—1=x2-x—llnx(x>0),

、cY12X2-X-1(2X+1)(X-1)

hf(x)=2x-l--=------=--------

XXX

令九，(久)=o,得久=1(舍負)

九(%)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

九(％)min=九(1)=0.

根據題意珀勺取值范圍為(0,1].

(2)設函數/(久)在點處與函數g(x)在點(久2,9(%2))處有相同的切線，

則尸(久1)="(次)=加—2),...2/_a=工=就-a》+”mx2-a,

%L%2X2%1一%2

???汽1=止+]，代入久：促=—axr+1—lnx2—a

得―Fln%2+0―2—0.

??.問題轉化為：關于％的方程為+；+ln%+￡+a—2=0有解，

4x22x4

設F(%)=*+*+In%+亍+a-2(%>0),則函數尸(%)有零點,

F(x)=((：+a)+In%+a—2,當久=e2一。時，

In%+a—2=0,??.F(e2-a)>0.

??.問題轉化為：F(%)的最小值小于或等于0.

/⑺=—三一七+工=空萼二，

設2城—ax0-1=0(%0>0),則

當0<x<&時,F'(x)<0,當%>&時,尸'(%)>0.

???F(%)在(0,%0)上單調遞減，在(%0,+8)上單調遞增，

1

F(%)的最小值為尸(&)=2+~~~+ln%Q+十+a—2.

4&ZXQ4

由2%]—CLXQ_1=0知a=2XQ-----,

%0

故F(%o)=XQ+2x——+lnx—2.

0XO0

設W(%)=/+2x—q+\nx—2(%>0),

則W‘(%)=2%+2+,+：>0,

故0(%)在(0,+8)上單調遞增，

9(1)=0,?,?當％G(0,1］時,(p(x)<0,

戶(%)的最小值F(%o)<0等價于0<xQ<l.

又???函數y=2%在(0,1］上單調遞增，

***CL=2%Q--6(-8,1］,

XO

【題型8與切線有關的最值問題】

【例8】(23-24高二下?甘肅酒泉?期末)若點尸是曲線y=41n%-/上任意一點，則點尸到直線上2%+y-

51n2=0的距離的最小值為()

AV51n22V5一5V5c41n2

A.------B.—C.—D.——

5525

【解題思路】首先求平行于直線Z與曲線y=41nx-/相切的切點坐標，再代入點到直線的距離公式，即可

求解.

【解答過程】由函數y=41n%-可得(一2%,%>0,令(一2%=-2,解得％=2、或一1(舍去)，

X(0,2)2(2,+8)

y'+0—

y單調遞增41n2—4單調遞減

設y'=g(%)，g'(%)=—5一2vo,所以圖象向上凹,

如圖畫出函數y=41n%--的圖象，以及直線/得到圖象，以及平移直線L與函數相切的直線,

則y=41n2—4,

即平行于直線上2%+y-51n2=0的直線與曲線y=41nx-/相切的切點坐標為尸(2,41n2-4),

2x2+41n2-4-51n2=-ln2<0,所以切點P在直線/的左側，

曲線y=41nx-/上任意一點到直線/距離的最小值為點p到直線/的距離，

由點到直線的距離公式，可得點P到直線I的距離為d=l4+41n22Tm2]=等.

V55

故選：A.

【變式8-1](23-24高三上?安徽合肥?期中)點P,Q分別是函數/(乃=3x—4,g(x)=/_21nx圖象上的動

點,則|PQ『的最小值為C)

A.|(2+ln2)2B.|(2-ln2)2

C.|(1+ln2)2D.|(1-ln2)2

【解題思路】當函數g(x)=--21nx在點Q處的切線與〃%)=3久-4平行時，|PQ『最小，根據導數的幾何

意義求出切點Q即可.

【解答過程】當函數g(x)=/一2Inx在點Q處的切線與/'(x)=3x-4平行時，|PQ『最小.

“(x)=2x—|,令"(%)=2%-：=3得%=2或%=-2(舍)，所以切點為Q(2,4-21n2),

所以|PQ|的最小值為切點Q(2,4-21n2)到直線/(x)=3x-4的距離d=1+鬻-留=包票，

V10V10

所以|PQ|2的最小值為d2=|(l-ln2)2.

故選：D.

【變式8-2](2024?四川綿陽?模擬預測)已知函數/(久)=::逐八0>0),若三比￡卜,，使得/(無)

的圖象在點QoJ(久o))處的切線與％軸平行，則3的最小值是()

A.2B.-C.1D.-

24

【解題思路】先利用三角恒等變換公式化簡函數，根據題意得函數f(x)在卜,，上存在對稱軸，利用整體

代換列不等式，解不等式即可求出最值.

43%42z3%coxrw2ocox-.coxa)x7a)x.7cox

_l+__2_t_a_n_-2--tan—22tan—1—tan"-2sin—cos—cos---sin—

【解答過程】/(%)…2短+…2息=~~2品.2短+-2色.2息

1+tan2—l+tanz--1+tan"——cosz-----Fsinz——cosz-----Fsmz——=sincox+coscox

2222222

近sin(ax+3),

因為e[一%3使得/CO的圖象在點GoJOo))處的切線與X軸平行,

所以函數f(x)在卜罰上存在最值，即函數f(x)在卜罰上存在對稱軸,

令3"+"kTT+"ez,得久=*+已kez,

因為—Bwxwg所以一；W如+

434co4a)3

即一則

3>—4k—1

又3>0,故k=0時，3取最小值為|.

故選：D.

【變式8-3](2024.浙江?模擬預測)已知直線y=a%+b與曲線y=ln(e%)相切，貝b+b的最小值為()

A.|B.1C.V2D.V3

【解題思路】設切點為(與,%),曲線求導得到切線斜率卜=工，利用斜率相等求得切點坐標，代入直線方程

%0

后得.?.a+b=L+ln&,構造新的函數，應用導數求函數的最值即可.

XQ

【解答過程】由y=ln(e%),知定義域為(0,+8),

設切點為(%o，yo)=(%o/n(e、o)),((%)=e?2=%.?.k=》

cXX%。

所以工=a,.,?第o=工，故切點為(工,In'),代入直線方程y=a%+b,

XQCLaa

貝ijln士=a--+&=l+&,/.&=—Ina,

aa

a+b=a—Ina=-----In—=------ln(%o)二—FIn》。,

%0%o%o%o

令g(%)=q+ln%,或久)=一/+；妥,

令g'(%)=0,解得%=i，

當OV%V1時，“(%)<0,g(%)單調遞減，

當久>1時,g<x)>0,g(%)單調遞增，

則gO)min=g(i)=L

故a+b的最小值為1.

故選:B.

Ae「e八e,e「e,3e

A.y=-xB.y=-xC.y=-x+-D.y=-x——

z42z44y24

【解題思路】先由切點設切線方程，再求函數的導數，把切點的橫坐標代入導數得到切線的斜率，代入所

設方程即可求解.

【解答過程】設曲線y=W在點(1,|)處的切線方程為y-|=k(x-1),

因為y=M

所以衛=

771?(%+1)2(%+1)2

f

所以k=y\x=i=；

所以y-|=&T)

所以曲線y=另在點(1,|)處的切線方程為y=2%+*

故選：C.

2.(2024.全國.高考真題)設函數/(X)=胃"，則曲線y=/0)在點(0,1)處的切線與兩坐標軸所圍成的

三角形的面積為()

1112

A.-B.-C.-D.-

6323

【解題思路】借助導數的幾何意義計算可得其在點(0,1)處的切線方程，即可得其與坐標軸的交點坐標，即

可得其面積.

(ex+2cosx)(l+x2)-(ex4-2sinx)-2x

【解答過程】f'M

(l+x2)2

(e0+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

則((0)==3,

(1+0)2

即該切線方程為y—1=3%,即y=3%+1,

令％=0,則y=1,令y=0,則久=—|

故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積S=ixlx|-1|

2I316

故選：A.

3.(2024.上海.高考真題)現定義如下:當％G(n,n+1)時(九GN),若/(%+1)=/'(%),則稱/(%)為延展函

數.已知當久e(0,1)時，g(%)=當且h(%)=且g(%),/i(x)均為延展函數，則以下結論()

(1)存在y=kx+b(k,beR,k,bH0)與y=g(%)有無窮個交點

(2)存在y=fcx+b(k,bER,k,bH0)與y=h(%)有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

【解題思路】由延展函數的定義分段求出g(%),以%)解析式，作出函數圖象，數形結合可得.

【解答過程】當％W(1,2)時,%-16(0,1),則g(x—l)=ef

又g'(x-1)=ex-1,則由延展函數定義可得g(%)=gr(x-1)=ex-1；

同理可得，當％E(2,3),g(%)=e%-2；…；

任意幾6N,當汽G(n,n+1)時，g(x)=ex~n.

當％E(1,2)時，x-le(OJ),則=則九(%)=10(%—1)9；

同理可得，當工€(2,3)時，/i(x)=10X9(%—2)8；???；

當%￡(9,10)時,ft(x)=10!(%-9)；

當第6(10,11),h(x)=10!；當％€(11,12),/i(x)=0；…；

則任意幾ENfn>11時，當%W(見九+1),ft(x)=0.

如圖，作出g(%)與九(%)大致圖像，

因為kkHO,如圖可知，不存在直線y=依+力與g(%)圖象有無窮個交點，故