第09講基本立體圖形

T模塊導(dǎo)航AT素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.通過(guò)對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）棱臺(tái),圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的的結(jié)構(gòu)特征

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)生活中簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行有關(guān)計(jì)算

3.了解簡(jiǎn)單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征.靈活運(yùn)用

各種知識(shí)解決組合體問(wèn)題

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形,并且

「定義一相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的

多面體叫做棱柱

有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,

由這些面所圍成的多面體叫做棱錐

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理

知識(shí)點(diǎn)1空間幾何體的相關(guān)概念

(1)空間幾何體

如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其它因素，那么這些由物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間

幾何體.

（2）多面體

由若干平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體,圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面;

相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).

（3）旋轉(zhuǎn)體

由一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

知識(shí)點(diǎn)2棱柱

（1）棱柱的定義

定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱

底面（底）：兩個(gè)互相平行的面

側(cè)面：其余各面

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)

（2）棱柱的圖形

三棱柱、四棱柱、五棱柱、

（3）棱柱的分類及表示

①按棱柱底面邊數(shù)分類：

②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類：

③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱

直棱柱、斜棱柱

斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱

平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱

表示法：用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如圖棱柱A6coM-A'5'C'D'EF'

知識(shí)點(diǎn)3棱錐

（1）棱錐的定義

定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐

底面：多邊形面

側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各三角形面

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)

（2）棱錐的圖形

（3）棱錐的分類及表示

按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……

特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐

表示法：棱錐也用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)字母表示，如圖棱錐S-A5CD

知識(shí)點(diǎn)4棱臺(tái)

（1）棱臺(tái)的定義

定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)

上底面：原棱錐的截面

下底面：原棱錐的底面

側(cè)面：除上下底面以外的面

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

頂點(diǎn)：側(cè)面與上（下）底面的公共頂點(diǎn)

（2）棱臺(tái)的圖形

叭

、卜七7々底面三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái).....

4點(diǎn)

（3）棱臺(tái)的分類及表示

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)

用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如棱臺(tái)A5CD-AB'C'。'

知識(shí)點(diǎn)5圓柱

(1)圓柱的定義

以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸

圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面

圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面

圓柱側(cè)面的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊

(2)圓柱的圖形

(3)圓柱的表示

圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱0。

知識(shí)點(diǎn)6圓錐

(1)圓錐的定義

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面

側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面

母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊

錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體

(2)圓錐的圖形

(3)圓錐的表示

用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐S0

知識(shí)點(diǎn)7圓臺(tái)

(1)圓臺(tái)的定義

用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)

軸：圓錐的軸

底面：圓錐的底面和截面

側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分

母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分

臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體

（2）圓臺(tái)的圖形

（3）圓臺(tái)的表示

用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺(tái)0。

知識(shí)點(diǎn)8球的結(jié)構(gòu)特征

（1）定義：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做

球體，簡(jiǎn)稱球

（2）相關(guān)概念：

球心：半圓的圓心

半徑：連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段

直徑：連接球面上兩點(diǎn)并經(jīng)過(guò)球心的線段

6模塊三核心考點(diǎn)舉一反三-----------------------

考點(diǎn)一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1.（24-25高二?上海?隨堂練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（）.

A.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行

B.棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.棱柱中一條側(cè)棱就是棱柱的高

D.棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形

【變式1-1］（2024高一下?全國(guó)?專題練習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫棱柱的底面

C.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

【變式1-2］（2024高一下?全國(guó)?專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.棱柱中相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做側(cè)棱

B.棱柱中至少有兩個(gè)面的形狀完全相同

C.棱柱中兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面

D.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱

【變式1-31（多選）（23-24高一下?山東青島?期中）下列有關(guān)平行六面體的命題正確的是（）

A.平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形

B.平行六面體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上

C.平行六面體的四個(gè)側(cè)面不可能都是矩形

D.平行六面體任何兩個(gè)相對(duì)的面都可以作為它的底面

考點(diǎn)二：棱錐，棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

、例2.（多選）（23-24高二上?海南海口?開學(xué)考試）棱臺(tái)具備的特點(diǎn)有（）

A.兩底面相似B.側(cè)面都是梯形

C.側(cè)棱都相等D.側(cè)棱延長(zhǎng)后都交于一點(diǎn)

【變式2-1］（2024高一下?全國(guó)?專題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐

B.各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐

C.各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐

D.底面是正多邊形且各側(cè)面是全等三角形的棱錐為正棱錐

【變式2-2］（23-24高三上?江蘇南通?期末）從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中選擇四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成空間四面體，則該四

面體不可熊（）

A.每個(gè)面都是等邊三角形

B.每個(gè)面都是直角三角形

C.有一個(gè)面是等邊三角形，另外三個(gè)面都是直角三角形

D.有兩個(gè)面是等邊三角形，另外兩個(gè)面是直角三角形

【變式2-3］（23-24高一下?安徽?階段練習(xí)）下列敘述正確的是（）

A.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)

B.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)

D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)

考點(diǎn)三：圓柱的結(jié)構(gòu)特征

%例3.（23-24高一下?浙江臺(tái)州）將正方形繞其一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是（）

A.圓柱B.圓臺(tái)C.圓錐D.棱柱

【變式3-1］（23-24高二?全國(guó)?課后作業(yè)）一個(gè)長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為2和3,將其繞一邊進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，能得

到不同的圓柱的種數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式3-2］（23-24高一下?黑龍江雞西）圓柱側(cè)面的母線有條.

【變式3-3］（2024高一?全國(guó)?專題練習(xí)）圓柱的軸截面有個(gè)，它們（填“全等”或“相似”），

圓柱的母線有條，它們與圓柱的高.

考點(diǎn)四：棱柱展開圖中最短距離問(wèn)題

%例4（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ABGR中，點(diǎn)P在線段

AQ上運(yùn)動(dòng)，則|GP+|。石的最小值為.

【變式4-1］（23-24高一下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，已知正三棱柱ABC-A4G的底面邊長(zhǎng)為2cm,高

為5cm,一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達(dá)A點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為cm.

【變式4-2］（23-24高三下?貴州?階段練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-ABGR中，P為棱。A上一動(dòng)

點(diǎn)，則兩+PC的最小值為.

【變式4-3］（2024?江西九江?一模）如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，AB==2?N為4G的中點(diǎn),

M為線段AA上的點(diǎn).則|"ZV|+|MB|的最小值為

B

考點(diǎn)五：棱錐展開圖中最短距離問(wèn)題

5.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，S-ABC是正三棱錐且側(cè)棱長(zhǎng)為兩側(cè)棱SA,SC的夾角為

30。,瓦尸分別是SA,SC上的動(dòng)點(diǎn)，則三角形3射的周長(zhǎng)的最小值為（）

A.垃aB.百aC.-^5aD.y/6a

【變式5-1］（23-24高一下?河北石家莊?期中）如圖，在正四棱錐尸-ABC。中，"=2函，AB=4.從

A拉一條細(xì)繩繞過(guò)側(cè)棱PB到達(dá)C點(diǎn),則細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為.

【變式5-2］（23-24高一下?山東濱州?階段練習(xí)）如圖，正三棱錐A-BCD中，440=20。，側(cè)棱長(zhǎng)為4,

過(guò)點(diǎn)C的平面與側(cè)棱AB,AD相交于片,4,則CBA的周長(zhǎng)的最小值為.

A

考點(diǎn)六：圓柱展開圖中最短距離問(wèn)題

6.（24?25高二上?貴州遵義?階段練習(xí)）如圖所示，有一個(gè)圓柱，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞

蟻，它要爬行到上底面的點(diǎn)5處,當(dāng)圓柱的高等于8cm,底面半徑為3cm時(shí)，螞蟻沿圓柱表面爬行的最短路

B.cm

C.18cmD.，64+9兀2cm

【變式6?1】（23?24高一下?河南南陽(yáng)?期末）如圖，某圓柱的一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形A3CD,點(diǎn)￡

在下底面圓周上，且BC=2BE,點(diǎn)尸在母線A5上，點(diǎn)G是線段AC的靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，則斯+PG

的最小值為（）

D

C

9

B.3C.4D.-

2

【變式6-2］（24-25高二上?上海?期中）如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm,高為9cm,A5是底面

的直徑.一只昆蟲從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,則昆蟲爬行的最短距離是cm.

考點(diǎn)七：圓錐展開圖中最短距離問(wèn)題

例7.（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）圓錐頂點(diǎn)A,底面半徑為1,母線"=4,AB的中點(diǎn)為M,一

只螞蟻從底面圓周上的點(diǎn)8繞圓錐側(cè)面一周到達(dá)M的最短路線中，其中下坡路的長(zhǎng)是（）

A.0B.正C.拽D.V5

55

【變式7-1］（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）圓錐的底面半徑為R,母線長(zhǎng)L=3R,一只螞蟻?zhàn)缘酌鎴A周上一

點(diǎn)B沿圓錐表面爬到過(guò)母線AB的軸截面上另一條母線AC的中點(diǎn)。，問(wèn)這只螞蟻爬行的最短距離為一.

【變式7-2］（2024高一下?浙江?專題練習(xí)）如圖，圓錐的母線長(zhǎng)是3,底面半徑是1,A是底面圓周上一

點(diǎn)，從A點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到A點(diǎn)的最短的路線長(zhǎng)是.

考點(diǎn)八：截面問(wèn)題

例8.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，正方體ABC。-4與G2的棱長(zhǎng)為2,耳尸分別為棱AB,CG的

中點(diǎn).請(qǐng)?jiān)谡襟w的表面完整作出過(guò)點(diǎn)E,足，的截面，并寫出作圖過(guò)程；（不用證明）

【變式8-1］（24-25高二上?廣西柳州?期中）如圖，正方體ABC。-ABCR的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別為BC,Cq

的中點(diǎn)，則平面AE尸截正方體所得的截面面積為

c

【變式8-2］（23-24高二下?上海）已知正四面體棱長(zhǎng)為2,所有與它四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面截這個(gè)四面

體所得的截面之和為.

【變式8-3］（223-24高二下?河北石家莊）若圓柱的底面半徑為2,軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)為5,則這個(gè)圓柱側(cè)

面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)為.

【變式8-4］（24-25高二上?上海?期中）已知圓錐底面半徑為出，高為1,則過(guò)圓錐的母線的截面面積的

最大值為.

考點(diǎn)九：球的有關(guān)計(jì)算

j'j例9.（23-24高二?上海?課堂例題）若平面a截球。所得圓的半徑為1,球的表面積是12兀，則球心。

到平面a的距離為.

【變式9-1］（23-24高二上?河北唐山?開學(xué)考試）已知圓柱的高為2,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為4的同

一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）

A.九B.3兀C.671D.8萬(wàn)

【變式%2］（2024?山西?三模）某公司在慶典活動(dòng)中，設(shè)計(jì)了一款紀(jì)念品如圖所示，其底座是頂部有凹槽

的圓臺(tái)，上面放置一個(gè)水晶玻璃球，圓臺(tái)上底圓周的所有點(diǎn)都在凹槽面上四槽面上的所有點(diǎn)都在球面上圓

臺(tái)的上、下底面半徑分別為2cm,4cm,母線長(zhǎng)為2石cm,球的頂端到底座下底面的距離為8cm,則水晶

226一

【變式9-3］（24-25高二上?上海?期中）若球。的半徑為5,圓M為該球的一個(gè)小圓且面積為16兀，則線段

OM的長(zhǎng)度是.

3模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.（2024高二上?黑龍江佳木斯?學(xué)業(yè)考試）一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)360形成的曲

面所圍成的幾何體是（）

A.球體B.圓柱C.圓臺(tái)D.圓錐

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是（）

A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐

B.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C.正四棱柱都是長(zhǎng)方體

D.直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓柱

3.（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.正三棱錐的每個(gè)面都是正三角形

B.所有棱長(zhǎng)都相等的四棱柱是正方體

C.以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱

D.以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐

4.（24-25高一下?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）如圖所示的組合體，則由下列所示的哪個(gè)三角形繞直線/旋轉(zhuǎn)一周可以

5.（23-24高一下?北京大興?期中）在三棱臺(tái)ABC-A夕C中，截去三棱錐A-A9C,則剩余部分是（）

A.三棱錐B.三棱臺(tái)

C.四棱錐D.組合體

6.（24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）圖①②中的圖形折疊后的圖形分別是（）

①②

A.圓錐、棱柱B.圓錐、棱錐C.球、棱錐D.圓錐、圓柱

7.（24-25高二上?安徽合肥?期中）如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-A用G2中，AB=AD=2,44,=3,若點(diǎn)尸在

平面ACQA,上運(yùn)動(dòng)，則尸2+尸旦的最小值為（）

8.（23-24高一下?吉林?期中）如圖，在正四棱錐尸-ABCD中，2PA==6,E是棱P8上的動(dòng)點(diǎn)，一只

螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)E點(diǎn)，爬到C點(diǎn)，則這只螞蟻爬行的路程的最小值是（）

P

A.2&B.25/3C.275D.2#

二、多選題

9.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法正確的是（