2025年高考數學第一次模擬考試(廣東卷02)

全解全析

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.設集合/=｛x|/-x>0｝,8=｛x|ln(x+l)2。｝.則/口5=()

A.(-oo,l)B.(-1,1)C.(1,+co)D.。,+8)

【答案】C

【詳解】=1x|x2-x>o|=o|=｛x|x><0｝,

5=|x|ln(x+1)>0|=|x|ln(x+1)>lnl|=>0),所以NcB=(1,+功.故選：c.

2.已知數列應｝是等差數列，數列也｝是等比數列，若%+出+%2=12,*3%=27,則急=()

A.-B.—C.1D.—

543

【答案】C

【詳解】設等差數列｛《｝的公差為d,

由/+%+=12,/+%+d+/+1\d—12,

即3.+12"=12,即為+4d=4,貝lj%=4,

設等比數列｛?｝的公比為式”0),

由她鬣=27,得小如2.而10=27,

Q4

即602=27,則加4=3,即々=3,所以優=幣=1.故選：C.

3.已知)為單位向量，向量B在向量Z上的投影向量是2屋且(44+25)，4,則4的值為()

A.2B.0C.-2D.-1

【答案】C

【詳解】因為向量B在向量￡上的投影向量是2人

所以W<os?,%=景百=2°,化簡得0%=2，

因為（4q+%B）_La,所以（4Q+/IB）〃=4）+4Q.B=4+24=0,

解得X=-2.故選C.

4.拄二學匚展開式中x項的系數為（）

xy

A.80B.-80C.40D.-40

【答案】B

【詳解】（x-2y）5的二項展開式的通項為％=c*51_2j；y=（--卞,

令左=3,得看=-8仁//=_80/9，

所以5季-的展開式中x的系數為一80.故選B.

xy

5.如圖，S-/3C是正三棱錐且側棱長為。,E,F分別是S4SC上的動點，△?￡尸的周長的最小值為也

則側棱S4SC的夾角為（）

A.30°B.60°

【答案】A

【詳解】把正三棱錐沿S3剪開，并展開，

形成三個全等的等腰三角形，ASBC,ASCA,ASAB'，

連接88',交交于F,交S4于E,

則線段BB'就是△AEF的最小周長，即BB'=區,

s

又「SB=SB'=a,根據勾股定理，SB2+SB'2=BB'2=2a2,

所以△SBB，是等腰直角三角形，

ZBSB'=90°,，ZASC=90°x；=30°,

所以側棱S4SC的夾角為30。.故選：A.

6.若。和6是兩個互不相等的正實數，則“a+6=2”是“log/<0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

b=2-a>0

【詳角星】若a+b=2,貝!J<a>0,即0<。<1或l<a<2,

a手b

當0<a<l時，1<Z><2,則k>g?<k）g/=0,

當l<a<2時,O<Z><1,則log/<log/=0,

所以“a+b=2唬“log/<0”的充分條件.

若a=2,b=；時，滿足log/<0,而

所以“a+6=2”是“log/<0"的不必要條件.

綜上所述，“。+6=2”是“log/<0”的充分不必要條件.

故選：A.

22

7.已知拋物線G：/=3向的焦點為點尸，雙曲線C,:4=1（。>0,6>0）的右焦點為點心，線段R

ab

與G在第一象限的交點為點M,若G的焦距為6,且G在點M處的切線平行于a的一條漸近線，則雙

曲線g的漸近線方程為（）

A.y=±4石xB.y=+s[2xC.y=±2A尤D.y=±^-x

332

【答案】D

【詳解】拋物線G：/=34的焦點為尸’,學］,依題意可得入(3,0),

%I-=1

???%直線方程為5出,即x+2V^-3=0,

x+25/2y—3=0、3

聯立\，可得2d+3%-9=0,解得石=-3或％2=彳，

%2=3。2y2

3

又線段股與G在第一象限的交點為點M,:.M的橫坐標為5,

由歹=25，所以y=#x，

?..G在點M處的切線斜率為?，

又G在點河處的切線平行于a的一條漸近線，

??.雙曲線C2的一條漸近線的斜率為變，

2

雙曲線G的漸近線方程為y=±孝X.故選：D.

8.已知函數/(x)是定義在R上的奇函數，當尤＜0時，/(x)=e*(x+2),則下列說法正確的是()

A.函數“X)有兩個零點B.當x>0時，/(x)=-ex(-x+2)

C.〃x)>0的解集是(-2,0)U(2,+8)D.0都有|/(匹)-/伉)|<：

【答案】C

【詳解】設x>0,貝U-x<0,所以〃-x)=eT(-x+2),

因為〃x)是定義在R上的奇函數，所以〃-x)=-/(x),/(0)=0,

所以-〃x)=「(一x+2),即〃x)=-b(t+2),

QX(x+2),x<0

所以函數的解析式為了(X)=<0,x=0,故B不正確；

-e，(-x+2),x>0

當x<0時，令/(x)=0,解得x=-2,當x>0時，令/(x)=0,解得x=2,

所以函數/(x)有三個零點，故A不正確；

當x<0時，令/'(x)>0,解得x>-2,當x>0時，令/(x)>0,解得x>2,

所以〃x)>0的解集為(-2,0)U(2,+s),故C正確；

當x<0時，/'(x)=ex(x+3),

所以當尤<-3時，f'(x)<0,函數〃x)單調遞減，

當-3<x<0時，f'(x)>0,函數單調遞增，

所以當x=-3時，函數〃尤)取得最小值-廠，

又當x從左側趨于0時，/(x)趨于2,

當x趨于時，〃x)趨于0,

所以當x<0時，函數的值域為[-十,2),

當x>0時，/'(x)=eT(-x+3),

所以當0〈尤<3時，r(x)>0,函數/(x)單調遞增，

當x>3時，fr(x)<0,函數〃x)單調遞減，

所以當x=3時，函數/(x)取得最大值e-3,

又當x從右側趨于0時，/(x)趨于-2,

當x趨于+8時，/(x)趨于0,

所以當x>0時，函數的值域為(-2,^3],

當x=0時，/(0)=0,

所以V%,馬€區都有|〃％)-〃%)|<[〃占)-/仇)]皿*=2+2=4,所以D不正確.故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數z滿足忖=1且彳=i.z,則z可能為()

兀..3兀c3..兀

A.cos——ism——B.cos—7i-isin—

4444

一兀..兀

C.cos—+isin—D.cos—7i+isin——

4444

【答案】AD

【詳解】對于A,若z=cos工一isin^^=交-1ifilll—V2V2.

，則Jz=——+——1,

442222

交一旦]=遮+烏『

1

(22J22

對于B,^z=cos-7T-isin-=-^-^i,則亍=—衛+*i,

442222

fV2V2,YV2V2._

1z=-------------11=-------------------1WZ,故B錯誤;

I22J22

對于C,^z=cos—+isin—=^-+^-i,貝！J亍一^4，

442222

iz=+wN,故C錯誤；

22

7_Ljzrn3..3兀V2V2.m||_V2V2.

7^~rD,z=cos—K+ism——=-------1------1,貝1Jz=--------------1,

442222

zi=_也一把i與，且中

=1,故D正確.

2211

故選：AD.

10.已知函數/(x)=sinx+g|cosx|,則()

A.兀是/(x)的一個周期B.x是/(x)的一條對稱軸

TT37r

C./(X)的值域為卜1,2]D.“X)在-,y上單調遞減

【答案】BC

sinx+^3cosx--+2foi,—+2ATI(kGZ)

22

【詳解】f{x)=sinx+V3|cosx|=<，圖像如圖

sinx-V3cosx畀2m$+2E(keZ)

所示:

2；

7兀

■>

。三5兀5兀x

-2TT

由圖像可得，函數的最小正周期為2m故選項A錯誤，不符合題意；

X=5是/（X）的一條對稱軸，故選項B正確，符合題意；

“X）的值域為[T2],故選項C正確，符合題意；

TT37r

/（X）在-,y上先增后減，選項D錯誤，不符合題意；

故選：BC.

11.如圖，直四棱柱/8CA-/4G2的底面是梯形，AB//CD,AB1BC,AB=BC=AAX=\,CO=2,P是

棱。〃的中點，。在直四棱柱/5C。-4瓦G2的表面上運動，貝I]（）

若。在棱4A上運動，則GQ+PQ的最小值為7+亞

若。在棱G2上運動，則三棱錐/-3PQ的體積為定值

若則。點的軌跡為平行四邊形

D.若匕。|=也，則。點的軌跡長度為

【答案】BCD

【詳解】由題意可得，/。=血,乙4。。=￡.將平面4月￡2和平面以4〃，

13兀

沿直線42展開，如圖2,在△GAP中，cn=2,DF=3,/尸AG=],所以

G尸2=22+0]-2x2x-xcos—=—+V2,

244

G

A

P

D圖2

則C?+P。的最小值為故A錯;

CXDX//AB,CXDXcz平面ABP,ABu平面ABP.CXDX//平面ABP,

即CQi到平面尸的距離為定值，即三棱錐的高〃為定值,

又為定值,

所以％w=VQ-ABP=g.ABph為定值，故B正確;

圖3

如圖3,連接/G，/C,/A，

由正四棱柱的性質可得四邊形為正方形，故481/耳，

而￡G為中點，故FGHA\B,故廠G,2友，

而BB11平面ABCD,CBu平面ABCD,故2片_L8C,

又BC14B,4BCBBi=B,4B,BBiu平面,故3C1平面胡耳與，

故平面244畫，而尸Gu平面A44耳，故耳CJAG,

而用GPU與=耳，及C1,/3iu平面4cM，故尸G,平面用C/,

而C/u平面與C/,故/GJ_CM.

在梯形48CD中，AC=0AD=也,而CO=2,

i^AC2+AD2=CD2,故而EG//4D,故同理可證NQLEG,

而尸3門￡6=6,尸6,￡6匚平面尸￡6尸，

則AC,，平面PEG/,，。點的軌跡為平行四邊形尸EG尸，故C正確;

|G0|=行，如圖4,以Q為球心，也為半徑作球,

則。點的軌跡即為該球與直四棱柱各面截球所得的弧,

在線段上取一點使得GM=后,CD上取一點N,使得CN=1,

則GN=0,平面45cd截球得病，長度為烏乂亞=叵，平面CD2G截球得疝，

44

長度：X0=亨,q與，平面ABB.A,,C\A\=C\B=&，平面ABBXAX截球得“，長度為]x1=],

同理可得，平面/BCD截球得俞，長度為]xl=],平面40口4與球相切與點4，

則。點的軌跡長度為1+孝〉，故D正確.

故選：BCD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知cose+cos￡=,sina+smf3=—,貝Ucos(c-/)=.

【答案】T

【詳解】由cosa+cos￡=巫平方得：cos2a+2cosacos°+cos2(3=—,

1010

由sina+sin"。平方得：sin2?+2sinasin/?+sin2=^-,

1010

兩式相加得：l+2cosacos尸+2sinasin￡+l=1,

所以2cos(a-0=-l,所以cos(a-⑶=-g,故答案為：-1.

r_l_1

13.已知函數〃x)(xeR)滿足〃-x)=2-〃x),若函數y與y=〃x)圖像的交點為

X

2024

(西,外)，(尤2，%)，…(.^2024，％024)，則￡(%+%)=；

Z=1

【答案】2024

【詳解】因為〃f）=2-〃x）,所以函數f（x）（xeR）關于（0,1）對稱,

j_11

又>=Y3=1+上的圖像關于（0,1）對稱，

XX

所以兩函數的交點也關于（0,1）對稱,對于每一組對稱（4％）和（，乂），都有x,+x：=o,X+M=2.

警2024

從而￡&+■）=—^義2=2024.故答案為：2024.

i=i2

14.從1,2,2024中任取兩數。，b（可以相同），則3"+7〃個位為8的概率為

3

【答案】77

【詳解】從1,2,2024中任取兩數a,6（可以相同）,共有2024x2024種取法，

因為3"的個位數字隨著4從1開始，依次是3,9,7,1,3...,周期變化，

7〃的個位數字隨著6從1開始，則依次是7,9,3,1,7,…，周期變化，

故它們的周期均為4,

所以，1?2024中，共有4左+1,4左+2,4左+3,4左+4（04左W505,左eN）4種數型，

且每種數型的個數是均等的，都是506個，

3"和7"的尾數中只有9+9,7+1,1+7三種情形中個位數字是8,

即a=4左+2,6=4/+2；a=4左+3,Z>=4/+4；a=4左+4,b=4/+l時，3"+76的個位數字是8,

（QMkM505,keN；0</<505,/GN）,

所以滿足3"+7'的個位數字是8的取法有506x506x3種取法,

506x506x33

所以所求概率為

2024x202416

3

即3。+7b個位為8的概率為—.

16

3

故答案為：—.

16

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

sin/一sin8_sinC

15.（13分）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知

b+ca+b

⑴求A；

(2)若麗=4①，4C=5求BC.

【詳解】⑴由當『sinCf十心E,口Q一6c

—及正弦定理得—=--.2分

a+bb+ca+b

整理得/=62+c?+bc,.............................................................................................................................3分

又由余弦定理的推論得，cos/=/+c~2=法」,...............................5分

2bc2bc2

因為/e（O,兀），所以/=/..........................................................7分

（2）由麗=4函，邑3c=乎，得S/BC=3S-=孚，............................9分

^-AC-AB-sinZBAC=-xy/3xABx—=—,可得48=26,.............................................11分

2222

由余弦定理可得，BC2=AB2+AC--2AB-AC-cosABAC

=12+3-2x2退x百x]-J=21,gpBC=V21...............................................................................13分

16.（15分）如圖，已知圓錐S。的底面圓周上有4民C三點，48為底面圓。的直徑，且/BOC=60。,。為

AC的中點.

⑴證明：平面S。。！平面S/C；

Q）若AB=2,SO=C，求二面角3-SQ-C的正弦值.

【詳解】（1）根據圓錐性質可得SO,平面NBC,4Cu平面N3C,

可得SO1ZC,.........................................................................................................................................2分

又。為/C的中點，利用圓的性質可得QOL/C,

因為SOc。。=。,SO,。。U平面SOQ,

可得平面SO0,..............................................................................................................................4分

又NCu平面”C,所以平面S。。，平面"C....................................................................................5分

（2）取3。的中點為D,連接OD,

又4B為底面圓。的直徑，且N2OC=60。,。為NC的中點，

可知/C，CB,OD1BC,OQ1AC,且^BOC為等邊三角形，

因此可得。°,。。,OS兩兩垂直，.....................................................6分

以。為坐標原點，以OS所在直線分別為x/，z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：

z.

'B

3

X

巧1

由/8=2,SO=后可知08=80=1,0。=],。°=]；

所以3

一（6）

因此8。=1,-3,08分

I27

設平面BS。的一個法向量為麗=（芭,乂,zJ,

BQ-m=xx-^-y[=0r-r-

2，令士可得弘=理型

則=2,1,4=

麗?龍=；再一任]=032

、

即成二10分

；

2，FF7

設平面S0C的一個法向量為亢=（超,%/2）,

QC-n=^-y2=0r-

則一2，解得％=。，令無2=2,可得*;

SQ-n=-x2-yflz2=02

、2

22

17.（15分）已知橢圓C：]+方=1,>6>0）的左、右焦點為％F2,P為橢圓上一點，且尸乙，甲"

h

tanZP^=^-.

（1）求橢圓。的離心率e；

（2）已知直線/交橢圓C于A,3兩點，且線段N8的中點為,若橢圓C上存在點X,滿足

2OA+SOB=^OM,試求橢圓C的方程.

b2

【詳解】（1）解：因為tan/尸尸尸.石-工-3,2分

122c2ac12

所以6"=岳°,即6（/_02）=6℃3分

則，解得0=心

5分

2

（2）解:設4（%,乂）,8（%％），川（馬，為），

由e2=1r得〃=#|c2=1a2,所以/=必2

,所以62=/一027分

a

x2j

設C：=1,BPx2+4y2=4b2

由于42在橢圓上，則

2xj+3X2

2再+3%=4x。，即,X。=-4-

由2厲+3礪=4殖，得9分

2%+3%=4%2%+3%

%-4-

22

2再+3X

由〃在橢圓上，則四+4%2=4凡即2I+42凹+3%I=4/,

44

即4（%J+4必2）+12（玉%2+4M％）+9（、22+4%2）=64/,②

將①代入②得：XR+4yM=/,③..................................................11分

若直線N8的斜率不存在，則線段4B的中點在x軸上，不合乎題意，

線段的中點為°（1,一；］,設/8:歹=曲》一1）一:，可知〃=，。一1）一5,

12［-+4/=4〃

（1+4左2）X2—（8左2+4后）x+4左2+4左一4/？+1=0

8左2+4左c,,1

M+招=------=2x\nk=一,...................................

121+4左22

所以X2-2X+2-262=0，其中A>0,解得

所以國=2-2/,48方程為y=gxT

-

又必歹2二［；再_"二；演、2—1（演+工2）+1二^^，④

將④代入③得：2-2/+4-上=/=62=3,

25

經檢驗滿足/>g,...............................................................14分

所以橢圓C的方程為正+至=1...................................................15分

164

18.（17分）已知函數/（力=1址+辦2.（其中e是自然對數的底，e=2.71828---,aeR）.

⑴討論函數/（x）的單調性；

（3）

⑵當X>1時，若/（X）<e工恒成立，求整數a的最大值”。4.5.

\7

【詳解】（1）函數/（x）=hu+"2定義域為（0,+8）,/，（叼=：1+2^=空里。>0）.....1分

XX

當。上0時，/'（x）>o,/（x）在（0,+8）上是增函數；....................................2分

當。<。時，由尸（刀）>o,解得o<x<—‘由/''(%)<0，解得X>

2a

一2b上是增函數，在

所以函數/（X）在0,上是減函數.4分

2a,

綜上所述，當。20時，/（X）在（0,+8）上是增函數;

當"。時，/（X）在0,上是增函數，在上是減函數................5分

(2)由題意當x>l時，/(x)<e\整理得。〈巴里.................................6分

X

令函數g(x)=e_21m^x'l).

則卜―卜-2"-則=卜_2育+21』1.

g⑴一?"?

令力(x)=(x-2)e"+21nx-l(x>l),貝1」力'卜)=('一1卜”+—.

當%>1時，〃(%)>0恒成立，所以h(%)在(1,+8)單調遞增.............................8分

又彳|]=21nTT_ge飛O，M2)=21n2_l)0,

所以*oe1|,2)使得力(x°)=0,即一11?。=(￡一1卜一〈............................10分

故xe(Lxo)時，Mx)<0;xe(x(),+8)時，h(%)>0.

因此g(x)在(L/)單調遞減，在(%,+。)單調遞增，...................................12分

X,e%+(血Ee%工

所以r(：；「e'=ku。〔2J222_e'。1........................13分

隊0尸~~一一~—一元年

令函數°(x)=(一占底]川：則/(力當9+卜心

所以9(x)在]|,2)單調遞增，因此夕0<g(/)<9(2).................................15分