第六節(jié)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)

從近幾年的高考試卷來看，立體幾何解答題

往往會(huì)在已知中給出兩兩垂直且交于一點(diǎn)的

空間向量是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，

三條線段，方便考生建立空間直角坐標(biāo)系，

具有工具性作用，尤其在立體幾何中的應(yīng)用

考查考生的空間想象能力和邏輯推理能

是最為典型的，主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：(1)確

力.若題中找不到這樣的三條線段，可用幾

定空間中的位置關(guān)系；(2)求解空間角；(3)求

何法或向量基底法的知識(shí)來解決.預(yù)計(jì)2025

解空間距離.

年的高考立體幾何解答題主要考查空間線面

位置關(guān)系及空間角的計(jì)算，試題難度中檔.

必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.空間位置關(guān)系的向量表示

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線/回平行或重合,則稱

此向量a為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線取直線/的方向向量a,則向量a為平面a的法向量.

(3)空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

〃放0|021€R)

直線/l，L的方向向量分別為“1，I1//I2

“2/山2m-L031匕「匕2=0

直線/的方向向量為n,平面a的1//an_L|。4]—=0

法向量為加，l-Lan//m<=^>\051n=Xm(X€R)

a//pn//061n—Xm(X€R)

平面a,4的法向量分別為小m

n_Lm^\071〃m=0

2.設(shè)a,6分別是兩異面直線/i,辦的方向向量，則

“與》的夾角夕與/2所成的角0

范圍(0,71)畫也

aa-bcos0=|cos^|=[O9]^j^

求法c°s￡一⑷創(chuàng)

3.設(shè)直線/的方向向量為a,平面a的法向量為n,直線I與平面a所成的角為6,則sin(9=回

|cos〈a,加

4.(1)如圖①，AB,CD是二面角a—/一4的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小9

=問〈前，反)〉.

⑵如圖②③，"1,"2分別是二面角a—/一￡的兩個(gè)半平面a,4的法向量，則二面角的大小0

滿足Icos0l=l13||cos〈〃1，“2〉I，二面角的平面角的大小是向量?1與?2的夾角(或其補(bǔ)角).

5.用向量法求空間距離

(1)點(diǎn)到直線的距離

已知直線/的單位方向向量為小A是直線/上的定點(diǎn)，P是直線/外一點(diǎn).則點(diǎn)P到直線/

的距離為向、辱一(融uC.

(2)點(diǎn)到平面的距離

已知平面a的法向量為〃，A是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn).則點(diǎn)尸到平面a的距

離為國(guó)嚕皿

(3)線面距和面面距可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距求解.

常用

1.線面角6的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值，

即sind=|cos(a,n't\,不要誤記為cosd=|cos(a,n't\.

2.二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩個(gè)半平面a,P

的法向量“1,"2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，來確定二面角與向量”1,

“2的夾角是相等，還是互補(bǔ).

診斷自測(cè)

1.概念辨析(正確的打“位,錯(cuò)誤的打“X”)

(1)兩個(gè)平面的法向量所成的角就是這兩個(gè)平面所成的角.()

(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.()

(3)平面a的法向量是唯一的，即一個(gè)平面不可能存在兩個(gè)不同的法向量.()

(4)直線/的一個(gè)方向向量為。=(一1,2,1),平面a的一個(gè)法向量為"=(一1,-1,1),/<ta,

則l//a.{)

答案(l)x(2)x(3)x(4)4

2.小題熱身

(1)(人教A選擇性必修第一冊(cè)1.4.1練習(xí)T1改編)已知直線/的一個(gè)方向向量為a=(—3,2,

5),平面a的一個(gè)法向量為b=(l,x,—1),若/〃a,貝！Ix=()

A.4B.3

C.2D.1

答案A

解析因?yàn)?〃a,所以a_LZ>,即a仍=0,即一3+2x—5=0,解得尤=4.故選A.

(2)已知兩條異面直線的方向向量分別是:〃=(—2,1,2),?=(3,-2,1),則這兩條異面直

線所成的角。滿足()

A?A亞口.。亞

A.sin”=17B.sm”=7

C.cos"=7D.cos，=-7

答案c

解析因?yàn)?所以cos<9=|cos〈機(jī)，n〉\=x-^14sin0=^/l—cos20=

、生八

寺-.4故4r選C.

(3)若平面a的法向量為〃=(3,-1,2),平面』的法向量為〃=(—6,2,—4),則()

A.a//B

B.aJ_￡

C.a與萬相交但不垂直

D.無法確定

答案A

解析由題意，得"=-2a,則〃〃a,a〃R故選A.

(4)已知A(l,2,0),8(3,1,2),C(2,0,4),則點(diǎn)C到直線A8的距離為()

A.2B.小

C.2小D.2小

答案B

解析因?yàn)榍?(2,—1,2),加=(1,—2,4),所以就在屈方向上的投影數(shù)量為屈，?=

電I

^^^=4.設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d,則==7|6|2—42=W+4+16—16=小.故選

B.

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一利用空間向量證明平行、垂直

例1如圖，在四棱錐尸一ABC。中，E4_L底面A8CD,AD±AB,AB//DC,AD=DC=AP

=2,AB=1,E為棱PC的中點(diǎn).證明：

(1)B￡±￡)C；

(2)BE〃平面PAD；

(3)平面PCD_L平面PAD.

證明依題意，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得8(1,0,0),C(2,2,0),￡)(0)

2,0),尸(0,0,2).

由￡為棱尸C的中點(diǎn)，得E(l,1,1).

(1)因?yàn)閯?lì)=(0,1,1),氏=(2,0,0),

就.反=0,所以BE_LOC

(2)因?yàn)榍?(1,0,0)為平面外。的一個(gè)法向量，

而膾通=(0,1,1).(1,0,0)=0,

所以又平面B4Z),

所以8E〃平面PAD.

(3)由(2)知平面的一個(gè)法向量為屈=(1,0,0),玩)=(0,2,-2),皮=(2,0,0),

設(shè)平面PCD的法向量為〃=(x,y,z),

nPb=O,2y—2z—0,

則＜即

“成=0,2x=0,

取y=l,得〃=(0,1,1).

因?yàn)椤?協(xié)=(0,1,1).(1,0,0)=0,

所以n±Ah.

所以平面PCD_L平面PAD.

【通性通法】

利用空間向量證明平行、垂直的一般步驟

【鞏固遷移】

1.(2023?山東青島二中模擬)在正方體ABC。-AiBCQi中，點(diǎn)E,尸分別是正方形小切口口

和正方形B1GCB的中心.求證：

(1)4。1_1_平面4出。；

(2)所〃平面48。；

(3)平面SEP〃平面A[BD.

證明(1)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則G(2,2,2),4(0,0,2),2(2,0,0),0(0,2,0),公i=(2,2,2),用=(2,0,一

2),屆=(0,2,-2),

因?yàn)?4由=0,W?iW力=0,

所以ACi_L48,ACiXAiD,

由于AiBriAi￡)=Ai,

所以AG_L平面A/D

⑵由(1)知,代i=(2,2,2)是平面4BZ)的一個(gè)法向量.

￡(1,1,2),FQ,1,1),熔=(1,0,-1),公「肆=0,跖仁平面4出￡>,

所以EF〃平面AiBD.

(3)由(1),得31(2,0,2),所=(0,1,-1),

設(shè)平面BiEF的法向量為"=(尤，y,z),

n?降=x—z=0,

則<一

^n-B^—y—z—O,

取尤=1,得”=(1,1,1).

公1=2”，顯然，平面BiEF與平面43。不重合，

所以平面BiEF//平面AiBD.

考點(diǎn)二利用空間向量求空間角(多考向探究)

考向1求異面直線所成的角

例2(2024?河南洛陽模擬預(yù)測(cè))如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長(zhǎng)均

相等，E是的中點(diǎn)，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為()

P

AB

A.坐B.當(dāng)

63

C.gD.3

答案A

解析連接AC與8。交于點(diǎn)。，連接尸。,由題意，#AC±BD,且尸OJ_平面ABC。，以。

為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)四棱錐P-ABCD各棱長(zhǎng)均為2,則AO=BO

=CO=DO=yj2,PO=^2,可得A(陋，0,0),8(0,陋，0),C(~y/2,0,0),P(0,0,也),

則40,坐,坐)，則屈=(-6坐,.”Pt=(~y[2,0,一柩,設(shè)異面直線AE與PC

(-x(—y/2)(—yf2)

所成的角為仇則cos0=|cos〈A瓦Pt}|=1

油質(zhì)

II2+0+2

J3

手.故選A.

【通性通法】

向量法求異面直線所成角的一般步驟

⑴選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量.

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.

【鞏固遷移】

2.在如圖所示的幾何體中，四邊形A8CD為矩形，平面ABEF_L平面ABC。，EF//AB,ZBAF

=90°,AD=2,AB=AF=2EF=1,P是。尸的中點(diǎn)，則異面直線BE與CP所成角的余弦值

為.

姣案

口木15

解析因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC。，交線為AB,ADLAB,AOu平面ABCQ,所以4。_1平

面ABE?又AFu平面A8EF,所以因?yàn)镹8AF=90°,所以AF_L4B,XAD1AB,

所以以A為原點(diǎn)，屈，At),#的方向分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

則2(1,0,0),E&0,1,y,C(l,2,0),所以就=(一/0,1)0=(—1,-1,￡|,

所以cos〈彷，cP)=避逑=餐，即異面直線8E與。尸所成角的余弦值為華.

\BE\\CP\

考向2求直線與平面所成的角

例3

在如圖所示的幾何體4BCE。中，EC_L平面ABC,平面ABC,CE=CA=CB=2DB,Z

ACB=90°,M為AD的中點(diǎn).

⑴證明：EM±AB；

(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

解(1)證明：由EC_L平面ABC,AC,8Cu平面A8C,得ECJ_AC,ECLBC,

又NAC8=90。，則ACL8C,故以C為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)。8=1,則CE=CA=C8=2.

1,1,]),

：.A(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,2),0(0,2,1),

.?.詼=(1,1,—I),A&=(-2,2,0),

則康腦=-2+2+0=0,

.?屈_L屈，即EM±AB.

(2)由(1),知施=(1,-1,￡|,衣=(一2,0,2),初=(0,-2,1),

設(shè)平面ADE的法向量為憶=(x,y,z),

n-Ak=—2x+2z=0,

貝卜

“應(yīng)?=—2y+z=0,

取x=2,得y=l,z=2,.,.n—(2,1,2),

設(shè)直線BM與平面AOE所成的角為6,

則sinO=|cos[B^l,n)|=""川='

\Bk\n\

4

因此直線BM與平面AOE所成角的正弦值為去

【通性通法】

向量法求線面角的兩種方法

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的投影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)

角).

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的角(夾角為鈍角時(shí)取

其補(bǔ)角)，取其余角就是斜線與平面所成的角.

【鞏固遷移】

3.(2023?全國(guó)甲卷)在三棱柱ABC—48G中，A4i=2,4C_L底面ABC,ZACB=90°,4

到平面BCCB的距離為1.

⑴求證：AC=4C；

(2)若直線A4i與BBi的距離為2,求與平面BC&Bi所成角的正弦值.

解(1)證明：如圖，

：AiC_L底面ABC,BCu平面ABC,：.AiC±BC,

XBC±AC,AiCfUC=C,A1C,ACu平面ACG4,

.?.8C_L平面ACGAi，

又BCu平面BCCB，

平面ACG4_L平面BCGBi.

過4作4。，CG于點(diǎn)O,

又平面ACGAiC平面BCCiB^CCi，4。<=平面ACQAi，

，AiO_L平面BCCB.

到平面BCC1B1的距離為1,：.AiO=l.

在RtAAiCCi中，AiC_LAiCi>CC[—AAi=2,4。=1,

O為CC1的中點(diǎn)，CO=GO=1,

又AiO_LCG，：,AC=AiC=AiCi=y[2,

：.AC=AiC.

(2)連接AB,ACi,

"：AC=AiC,BC±AiC,BC±AC,

ARtAACB^RtAAiCB,：.BA^BAi.

過B作BOLAAi于點(diǎn)D,則D為AAi的中點(diǎn)，又A4i=2,

?.?直線AAi與221的距離為2,：.BD=2,

.,.AiB=AB-y[5,

在RtAABC中,BC=-\/AB2-AC2=y[3.

解法一：以C為原點(diǎn)，CA,CB,CAi所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,

如圖所示，

則C(0,0,0),A(^2,0,0),8(0,4,0),一陋，/，正)，G(一也，0,正),

.,.逸=（0,小，0）,Gi=（一巾,0,巾）,刀1=（一2陋，小，正）,

設(shè)平面8CG21的法向量為“=（%,y,z）,

n0=0,小y=0,

則《即l廠取x=l,則y=0,z=l,

ji-C5i=0,-y[2x+yl2z=0,

平面8CC131的一個(gè)法向量為〃=（1,0,1）.

設(shè)ABi與平面BCGBi所成的角為仇

則Si訪=|COS〈〃，M）尸回血=韭.

\n\\A§i\

.?.ABi與平面BCCiBi所成角的正弦值為*亭.

解法二：延長(zhǎng)AC,使AC=CM,連接GM,

由。0〃AiG，CM=AiCi，知四邊形ACMCi為平行四邊形，

/.CiM//AiC,平面ABC,

又AMu平面ABC,

：.CxMLAM,

在RtAACiM中，AM=2AC=2-^2,

CiM=AiC=0

：.ACi=yj(2^2)2+(^2)2=V10.

在RsABCi中，ACi=V10,BiCi=BC=y]3,

.,.ABi—N(^15),+(小)2=^15.

又A到平面BCCiBi的距離為1,

/.ABi與平面BCCiBi所成角的正弦值為蘇=曙.

考向3求二面角

例4(2024?九省聯(lián)考)如圖，平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正

方形，。為AC與8。的交點(diǎn)，AAi=2,ZCrCB=ZCiCD,ZCiCO=45°.

(1)證明：GO_L平面48C。；

(2)求二面角B-AAi-D的正弦值.

解(1)證明：連接BG，DCi.

因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,

所以BC=OC,

又因?yàn)镹C1CB=NC1C。，CCi^CCi,

所以AGCB之△C1CD,所以BG=￡>C1，

又點(diǎn)。為線段8。的中點(diǎn)，所以CiOLBD

在△GCO中，CG=2,OC=%C=r，NC1CO=45。，

…V2C1C2+OC2-C1O2iL

所以cos/CiCO=2=2xCiCxOC，解付CiO—\[2,

則QC2^OC2+C1O2,所以C1O±OC.

XOCHBD=O,OCu平面ABCDBDu平面ABC。，

所以GO_L平面ABCD.

⑵由題知正方形ABC。中AC,8。，又G。，平面ABC。，所以建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

貝18（0,也，0）,D（0,一也，0）,A（^2,0,0）,C（一卷0,0）,0（0,0,也）,

則/1=氏1=（也，0,也），磋=（一也,也,0）,Ab=（~y[2,一也,0）,

設(shè)平面8A41的法向量為機(jī)=（即，為，zi）,

京1?冽=0,yj2x\-\-y[2zi=0,

則j

、就M=0,、一巾xi+也yi=0,

令陽=1,則機(jī)=（1,1,—1）,

設(shè)平面DAA1的法向量為〃=（冗2，>2，Z2）,

AXI?=O,y[^X2+y[^Z2=0,

則《即

、勸"=0,「立X2—也》2—0,

令X2=l，則〃=（1,—1,—1）,

m-Yi1I

則cos〈小〃〉=麗=聲萬=§，

設(shè)二面角B—AA[—D的大小為仇

則sin0=^l-（jj=羋，

所以二面角B—AAi—D的正弦值為羋.

【通性通法】

向量法求二面角大小的常用方法

⑴找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向

量的夾角得到二面角的大小，但要注意有時(shí)需要結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳二面角還是鈍

二面角.

⑵找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的

兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

【鞏固遷移】

4.（2023?新課標(biāo)I卷）如圖,在正四棱柱ABCO—AiSGA中，AB=2,44尸4.點(diǎn)4,&，C2,

6分別在棱AAi，BBi，CCi，上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴證明:B2C2//A2D2；

⑵點(diǎn)尸在棱86上，當(dāng)二面角尸一A2c2—。2為150。時(shí)，求&P.

解（1）證明：以C為原點(diǎn)，CD,CB,CG所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，

則C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1),

.?.就2=(0，-2,1),A力2=(0，-2,1),

.?.氤2〃A力，2

又82c2,A2D2不在同一條直線上，

：.B2C2//A2D2.

(2)設(shè)尸(0,2,2)(0W2W4),

則武2=(-2,-2,2),左2=(0,-2,3—儲(chǔ)，92=(-2,0,1),

設(shè)平面242c2的法向量為"=(尤1，yi,zi),

“?A2c2=l2xi—2yi+2zi=0,

則j

?戶立=—2%+(3—2)zi=O,

取zi=2,得yi=3一九xi=2—1,

H=(A—1,3—九2).

設(shè)平面A2c2。2的法向量為機(jī)=(%2，>2，Z2),

m-A2^2=—2%2—2y2+2z2=0,

則，_

jnD2c2=—2X2+Z2=0,

取X2=l，得丁2=1，Z2=2,

??加=(1,1,2).

又二面角尸一A2C2—。2為150°,

..,\,\n-m\

..|cos<n,m)|-|w||m|

_6_

y1(/I—1)2+(3—A)2+22X^6

=|cosl501=坐，

化簡(jiǎn)可得，22-4/+3=0,解得力=1或%=3,

：.P(O,2,D或0(0,2,3),2P=1.

考點(diǎn)三利用空間向量求空間距離

例5如圖，長(zhǎng)方體ABCD—AIiGDi的棱。A,OC和。d的長(zhǎng)分別為1,2,1.求:

⑴頂點(diǎn)B到平面DAiCi的距離；

(2)直線81c到平面DAiCi的距離.

解(1)以D為原點(diǎn)，向Dt,詡1的方向分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),B(l,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,1),8(1，2,1),Ci(0,2,1).

設(shè)平面ZMCi的法向量為n=(%,y,z),

因?yàn)闆ri=(l,0,1),反i=(0,2,1),

〃?歷i=0,(x+z=0,

由，得彳,取y=l,得x=2,z=—2,

、”.比1=0,hy+z=0,

貝ij"=(2,1,-2).

而向量&方=(1,0,-1),所以頂點(diǎn)B到平面/MiG的距離』=也鏟=書"幺=?

44+1+4J

(2)直線BC到平面DAiCi的距離等于點(diǎn)Bi到平面DAiCi的距離.

因?yàn)榧?=(1,0,0),

所以點(diǎn)81到平面D41C1的距離

|”.仁友||2+0+0|2

dl==

\n\=^+1+43-

2

故直線BiC到平面ZJAiCi的距離為導(dǎo)

【通性通法】

1?點(diǎn)到平面的距離

如圖，已知平面a的法向量為“，A是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn).過點(diǎn)尸作平面a

的垂線/,交平面a于點(diǎn)Q,則"是直線/的方向向量，且點(diǎn)P到平面a的距離就是#在直

線/上的投影向量中的長(zhǎng)度.9=階育|=］冬，嗜1

2.點(diǎn)到直線的距離

(1)設(shè)過點(diǎn)尸的直線/的單位方向向量為"，A為直線/外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線/的距離d=

［網(wǎng)2-(M./1)2.

(2)若能求出點(diǎn)在直線上的投影坐標(biāo)，可以直接利用兩點(diǎn)間距離公式求距離.

(3)線面距和面面距

直線到平面的距離和平面到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離進(jìn)行求解.

【鞏固遷移】

5.正方體ABC。一AiBiGA的棱長(zhǎng)為1,則平面ASA與平面8OG的距離為()

A.^2B.小

C.乎D,當(dāng)

答案D

解析由正方體的性質(zhì)，得DB〃DB,ABiHDiBi^Bi，DC^DB=D,且A^u

平面ABid，。出iu平面ABQi，OGu平面8DG，Z)8u平面BOCi，所以平面ABQi〃平面

BDCi，

則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)2到平面AB1D1的距離.以。為原點(diǎn)，DA,DC,)i所在直

線分別為x，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由正方體的棱長(zhǎng)為1,得4(1,0,0),

2(1,1,0),4(1,0,1),C(0,1,0),3(1,1,1),￡>1(0,0,1),所以口i=(l,-1,1),

弱=(0,-1,0),與i=(0,1,1),2適1=(-1,-1,0).連接4C,由國(guó)1?屈i=(l,-1,

1).(0,1,l)=lx0+(-l)xl+lxl=0,-1,1)-(-1,-1,0)=lx(-l)+(一

l)x(—l)+lx0=0,所以耳1_]_與1，即CAi_L42i,cXi±STbi，BPCAiXBiA-又481nBi￡>1

=Bx，可知CAi_L平面4B1A，得平面ASA的一個(gè)法向量為〃=Ri=(l,—1,1),則兩平

..?c\BX-n\|0xl+(—1)x(—1)+0x111A/3,,

面間的距離人不丁=-"+—IE-=市+故選D-

6.(2024?云南大理期中)如圖，在長(zhǎng)方體ABCZJ—A1B1GA中，4A=2AB=2BC=2,E為線段

的中點(diǎn)，尸為線段881的中點(diǎn).

(1)求直線FG到直線AE的距離；

⑵求點(diǎn)4到平面ABiE的距離.

解(1)根據(jù)題意，以。為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(l,0,0),Ai(l,0,2),E(0,0,1),Ci(0,1,2),Bi(l,1,2),F(l,1,1),盛=(一

1,-1,-1),/Oi=(0,1,0),內(nèi)i=(—l,0,1),屣=(—1,0,1),故網(wǎng)i〃屈，又彷

=(1,1,0),設(shè)直線尸G到直線AE的距離為4,則%即為點(diǎn)歹到直線AE的距離，

則直線FCi到直線AE的距離為坐.

(2)設(shè)平面ABiE的法向量為〃=(%,y,z),

n?靠=—%+z=0,

則〈一

n-B^=—x—y—z=0f

取x=l,則y=—2,z=l,所以憶=(1,—2,1).

設(shè)點(diǎn)Ai到平面ABiE的距離為必，

|由瓦山

可得d?=

|(0,1,0)?(1,—2,1)|水

3+4+1—3

則點(diǎn)Ai到平面AB^E的距離為坐.

課時(shí)作業(yè)

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練

一、單項(xiàng)選擇題

1.如圖，在正方體48C￡)—AiBiGA中，PQ與直線AQ和AC都垂直，則直線PQ與瓦)i的

關(guān)系是()

A.異面直線B.平行直線

C.垂直不相交D.垂直且相交

答案B

解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則4(1,0,1),

A(l,0,0),C(0,1,0),￡)i(0,0,1),B(l,1,0),鞏=(1,0,1),祀=(-1,1,0),前i

=(-1,-1,1),?.?詬1?麗=0,B5vAt=Q,：.BDi±AiD,BDiLAC,.*.BZh與直線A。

和AC都垂直，又PQ與直線AQ和AC都垂直，??.20〃2￡>1.故選8.

2.若直線/的一個(gè)方向向量為平面a的一個(gè)法向量為〃，則可能使/〃a的是()

A.帆=(1,0,0),〃=(—2,0,0)

B.根=(1,3,5),n=(l,0,1),

C.m=(0,2,1),〃=(—1，0,-1)

D.m=(l,-1,3),〃=(0，3,1)

答案D

解析要使l//a成立，需使mn—0,將選項(xiàng)---代入驗(yàn)證，只有D滿足-lx3+3xl

=0.故選D.

3.已知v為直線/的方向向量，“1，”2分別為平面a，6的法向量(a,￡不重合)，給出下列

說法：①“i〃"2=a〃￡；②〃」"2<=>a_l_/；③?〃“iQ/〃a；④v_L〃i=/_La.其中說法正確的有

()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

答案B

解析〃i〃“2=a〃或，故①正確；〃i_L“2Qa_L',故②正確；v〃/故③錯(cuò)誤；

Ha氨lua,故④錯(cuò)誤.故選B.

4.(2023?山東臨沂模擬)如圖，正方體ABC。一AiBiCQi中，尸是4。的中點(diǎn)，則下列說法正

確的是()

A.直線PB與直線A。垂直，直線尸2〃平面BLDIC

B.直線PB與直線01c平行，直線尸2,平面4G。

C.直線PB與直線AC異面，直線尸8,平面AOGS

D.直線PB與直線SA相交，直線PBu平面A2G

答案A

解析

連接。8,AiB,DMDiC,21c.由正方體的性質(zhì)可知24=2。，P是4。的中點(diǎn)，所以直

線尸8與直線小。垂直.由正方體的性質(zhì)可知。8〃。由1，AiB/ZDiC,所以平面BD4i〃平面

BiDiC,又PBu平面3DAi，所以直線〃平面故A正確；以。為原點(diǎn)建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則。(0,0,0),A(l,0,0),8(1,1,0),C(0,

1,0),￡>1(0,0,1),p[j,0,￡j,協(xié)=d，1，一,，成=(0,1,-1),顯然直線PB與

直線DiC不平行，故B不正確；

直線PB與直線AC異面，正確，因?yàn)楦?(1,0,0),防?方A=&0,所以直線PB與平面ADCiBi

不垂直，故C不正確；直線尸8與直線異面，不相交，故D不正確.故選A.

5.(2023?四川眉山高三校考模擬預(yù)測(cè))如圖，在直三棱柱ABC—A/C1中，平面ACG4,

CA=CG=2CB,則直線BCi與ABr所成角的余弦值為()

2^2

A.B.

5當(dāng)

3

D.

當(dāng)5

答案C

解析在直三棱柱ABC—A由iCi中，CG_L平面ABC,AC,A8u平面ABC,所以CG_L4C,

CCilAB,又BC_L平面ACGAi,ACu平面ACG4,所以BC_LAC,所以CA,CCi,CB互

相垂直，以C為原點(diǎn)，CA,CCi，CB所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

CA=CCi=2CB=2,則C(0,0,0),A(2,0,0),Bi(0,2,1),B(0,0,1),G(0,2,0),

_蛇溫］_4T_而

可得初i=(-2,2,1),配i=(0,2,-1),所以cos〈配i，M)

品ill屆|3x小5

所以直線BCi與ABi所成角的余弦值為坐.故選C.

6.如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—AiBiCQi中，E,尸分別為棱AAi，的中點(diǎn)，G

為棱AS上的一點(diǎn)，且4G=M0W%Wl),則點(diǎn)G到平面0EF的距離為()

A.小

C.當(dāng)

答案D

解析

以。為原點(diǎn)，DA,DC,ODi所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系以yz,則G(l,2,1),Di(0,0,1),E(l,0,￡j,1,￡j,所以9=0,0,一三),

加=(1,1，一g，次=(0,一九一§,設(shè)平面DiEF的法向量為n=(x,y,z),則

{n-DiE=x~^z=0,

]令x=l,則y=0,z=2,所以平面。歸尸的一個(gè)法向量為〃=(1,0,

廠呼=0,

I云?~2X^^

2).點(diǎn)G到平面平近尸的距離為端了=小=竽.故選D.

7.（2024?湖北武漢模擬）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,。為底面中心，A,B,C為底面圓周上不重合

的三點(diǎn)，為底面的直徑，SA^AB,M為S4的中點(diǎn).設(shè)直線與平面SA8所成的角為a,

則sina的最大值為（）

A.y[3—1B.^2-1

C.V3+1D.^2+1

答案A

解析以AB的中點(diǎn)0為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)SA=AB=4,則

M（0,-1,小），設(shè)C（x,y,0）,且r+y2=4,由對(duì)稱性不妨設(shè)0a<2,則就=（x,y+1,

一小）,易知平面SAB的一個(gè)法向量為m=（l,0,0）,據(jù)此有sina=蜉1n=~j=^=,/

\Mt\\m\4廠+S+1）+3

=\2X~（y+4）—^^+8<^4—2^3=y[3—1,當(dāng)且僅當(dāng)y=2y[3~4時(shí)等號(hào)成立.綜

上可得，sina的最大值為，5—1.

8.（2024?山西長(zhǎng)治期末）如圖，將菱形紙片A8CO沿對(duì)角線AC折成直二面角，E,尸分別為AD,

8C的中點(diǎn)，。是AC的中點(diǎn)，ZABC=y,則折后平面OEF與平面ABC夾角的余弦值為（）

A,粵R近

B.n

3Vn

3^nD.

J1311

答案A

解析連接。2,0D因?yàn)榱庑渭埰珹BCD沿對(duì)角線AC折成直二面角，所以平面AOCL平面

ABC,因?yàn)樗倪呅蜛3CZ)是菱形，。是AC的中點(diǎn)，所以O(shè)Z)_LAC,OBLAC,而平面AOCfl

平面ABC^AC,OOu平面ADC,所以O(shè)￡?_L平面ABC,而OBu平面ABC,所以O(shè)D1OB.

以。為原點(diǎn)，OB,OC,。。所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，設(shè)AB=2,則0(0,0,1),《0,一坐，鄉(xiāng)，艱，坐，0),無=(0,—坐，辦

%+5=0,

(1、行)n-Ok=0,

=(1,210)設(shè)平面。￡尸的法向量為〃=(尤，y，z),則＜即巧取，

jtOp—O,卜￡=o,

=1,則尤=—小，z=小,貝(—小，1,小),易得平面ABC的一個(gè)法向量為用=(0,

0,1),所以平面OEF與平面ABC夾角的余弦值為也遢=零.故選A.

\n\\Ob\

二、多項(xiàng)選擇題

9.(2023?貴州名校聯(lián)考)下列命題正確的是()

A.已知。=(—1,1,2),)=(0,2,3),直線/i的方向向量為版+方，直線/2的方向向量為

3

2〃一力且/I_L/2，貝!1左=一區(qū)

B.若直線/的方向向量為e=(l,0,3),平面a的法向量為〃=(—2,0,—6),則直線/〃。

C.已知直線/過Po(xo，yo，zo),且以〃=(a,b,c)(〃Z?H0)為方向向量，P(x,y,z)是直線/

上的任意一點(diǎn)，則有寧=與藝=三型

D.已知平面a的法向量為〃=(1,1,1),A(-l,1,1)為平面a上一點(diǎn)，尸(無，y,z)為平面

。上任意一點(diǎn)，則有x+y+z+l=0

答案AC

解析對(duì)于A,a=(—1,1,2),)=(0,2,3),ka~\-b=(—k,左+2,2Z+3),2a—b=(-2,

一3,

0,1),因?yàn)?I_L/2，所以(必+方＞(2°—5)=4左+3=0,所以左=一不故A正確；對(duì)于B,直

線/的方向向量為e=(l,0,3),平面1的法向量為〃=(—2,0,—6),則有〃=—2e,所以

n//e,所以/_La,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,直線/過尸o(xo，yo,zo),且以〃=(a,b,c)(〃Z?c#))為

方向向量，尸(x,y,z)是直線/上的任意一點(diǎn)，則有^^二0一如，y—yo，z—zo),PQP//U,即

x-x()=2a,

P^P=Xu,所以<y—yo=助，則三四=￡g=、型，故c正確；對(duì)于D,平面a的法向量為

、z—zo=2c,

〃=(1,1,1),A(—1,1,1)為平面a上一點(diǎn)，P(x,y,z)為平面。上任意一點(diǎn)，則有#=(x

+1,y—1,z—1),貝|)ux+y+z—1=0,故D錯(cuò)誤.故選AC.

.jr

10.(2024?四川成都調(diào)研)在四棱錐尸一ABC。中，底面ABCZ)為平行四邊形，ZDAB=yAB

=2AD=2PD,P￡)_L底面ABC。，貝!J()

A.PA±BD

IT

B.PB與平面ABC。所成的角為不

C.異面直線AB與PC所成角的余弦值為手

D.平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為勺

答案ABC

解析對(duì)于A,因?yàn)?OAB=$AB=2AD,由余弦定理可得BD=yJAD?+4AD?—2ADx2ADx/

=^AD,從而即B￡)_L4。，由尸。J_底面ABC。，ABCD,可得

BD±PD,又AOnPD=。，AD,PDu平面必。，所以BD_L平面E4。，又E4u平面B4。，所

以E4_L2。，故A正確；對(duì)于B,因?yàn)槭?_L底面ABC。，所以就是尸3與平面48CD

PD7T

所成的角，又tanNP5￡>=^=V，所以NP8D=不，故B正確；對(duì)于C,顯然NPCZ)(或其

補(bǔ)角)為異面直線A8與尸C所成的角，易得cos/PCO=*=平，故C正確；對(duì)于D,建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A￡>=1,則。(0,0,0),A(l,0,0),B(0,小，0),C(-

1,小,0）,P（0,0,1）,初=（-1,小,0）,協(xié)=（0,小，-1）,濕=（-1,0,0）,設(shè)平

〃?然=0,f—xi+V3yi=0,

面的法向量為“=（xi，%,zi）,則J即J廠取約=1,則%i=z尸

“協(xié)=0,h/3%—zi=0,

m?母=0,

小，即"=(小,1,小)，設(shè)平面PBC的法向量為m=(x2,yi，Z2),貝卜_則

^ni,BC=0f

,\/3y2-Z2=0,1-r—m-n2\萬

_0取丁2=1,貝1Jx2=0,Z2=V§,即帆=(0,1,貝!]cos〈/w,n)=向向="-，

即平面B4B與平面PBC夾角的余弦值為平，故D不正確.故選ABC.

三、填空題

11.已知點(diǎn)A(l,0,2),B(-l,1,2),C(l,1,-2),則點(diǎn)A到直線BC的距離是

答案嘈

解析以=(2,-1,0),或=(2,0,-4),瑞?瑟=4,|演尸巾，|茂|=2小，cos(M,瑟〉

V21

=/=:=W，又OY(BA,就〉W180。，所以sin〈前，冊(cè)

|兩愛|小x2巾55，

所以點(diǎn)A到直線BC的距離為d=|或、in〈或，fit)黑.

12.(2024?湖南新化縣第一中學(xué)期末)如圖，朋，平面ABCD,底面48C。是正方形，E,F分

別為尸￡),尸8的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段A尸上，AC與8。交于點(diǎn)。，PA=AB=2,若0G〃平面

EFC,則AG=.

2

答案3

解析如圖所示，以A為原點(diǎn)，A&,Ab,才力的方向分別為x,