微專題39實際應用題

類型一方程（組）與不等式的實際應用（6年5考）

1.《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，成書大約在一千五百年前.書中

記載了這樣一個問題：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，

不足一尺，問木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺，

將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？請解答上述問題.

2.（2024佛山模擬）某學校組織學生社團活動，打算恰好用1100元經費購買

圍棋和象棋，其中圍棋每套40元，象棋每套30元.所購買圍棋的套數能否是所

購買象棋套數的2倍？若能，請求出所購買的圍棋和象棋的套數；若不能，請說

明理由.

3.為了提高道路的通行效率，廣東某市對一擁堵路段實行了燈控路口智能化改

進，優化了交通信號燈配時，駕駛員只需要控制好車速，便可達到“一路綠燈”

的效果.據了解該路段總長約6公里，改進后通過該路段的車輛的行駛速度平均

提高了50％，行駛時間平均減少3分鐘，求該路段改進前，通過該路段的車輛平

均每小時行駛的路程.

4.（2024順德區二模）某單位為響應綠色環保倡議，提出要節約用紙，逐步走

向“無紙化”辦公.據統計，該單位2月份A4紙的用紙量為1000張，到了4月

份A4紙的用紙量降到了640張.

（1）求該單位A4紙的用紙量月平均降低率；

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（2）根據（1）的結果，估算5月份該單位A4紙的用紙量.

5.（2024貴州）為增強學生的勞動意識，養成勞動的習慣和品質，某校組織學

生參加勞動實踐.經學校與勞動基地聯系，計劃組織學生種植甲、乙兩種作物.如

果種植3畝甲作物和2畝乙作物需要27名學生，種植2畝甲作物和2畝乙作物

需要22名學生.

根據以上信息，解答下列問題：

（1）種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要多少名學生？

（2）種植甲、乙兩種作物共10畝，所需學生人數不超過55人，至少種植甲作

物多少畝？

6.（2024梅州一模）周末，小明和他的爸爸來到如圖所示的環形運動場進行跑

步鍛煉，繞環形運動場一圈的路程為400米.

（1）若兩人同時同起點相向而跑，則經過36秒后首次相遇；若兩人同時同起點

同向而跑，則經過180秒后，爸爸首次從后面追上小明，問小明和他的爸爸的速

度各為多少？

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（2）假設爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒.兩人進行400米賽跑，

同時同起點同向出發，等爸爸跑到半圈時，故意降速為4米/秒.按此繼續比賽，

小明能否在400米終點前追上爸爸，如果能，求追上時距離終點還有多少米；如

果不能，請說明理由.

第6題圖

類型二函數的實際應用（6年4考）

1.（2024東莞模擬）如圖，根據小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距

離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔

到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數，當x＝6時，y＝2.

（1）求y關于x的函數表達式；

（2）若火焰的像高為3cm，求小孔到蠟燭的距離.

第1題圖

2.比葉面積是指葉片的單葉面積與單葉干重之比，可作為葉片遮蔭度的指數使

用.通過對某種溫帶森林植物的研究，發現某種植物的比葉面積y（m2/kg）與年

均降水量x（mm）之間近似滿足一次函數關系，部分數據如下表：

年均降水量x（mm）…400430500570600…

第3頁共19頁

比葉面積y（m2/kg）…22.6223.8226.6229.4230.62…

根據以上信息，解答下列問題：

（1）求出y與x之間的函數表達式；

（2）當年均降水量為530mm時，這種植物的比葉面積是多少？

3.（2024中山模擬）隨著電動車技術的日益發展和環保節能的優勢，越來越多

的購車者選擇了新能源汽車，影響新能源汽車發展的重要瓶頸就是續航里程及充

電時間（如圖①）.某公司用兩種充電樁對目前電量為20％的新能源汽車充電.

經測試，在用快速充電樁和普通充電樁對汽車充電時，其電量y與充電時間x（單

位：小時）的函數圖象分別為圖②中的線段AB，AC.根據以上信息，回答下列問

題：

（1）求線段AB和線段AC所代表的函數表達式（寫出取值范圍）；

（2）在某次出行之前，李梅要對余電10％的電車充電，先用快速充電樁充電，

再用普通充電樁充電，要求用2.5小時完成充電，請你設計一個合理的充電方案.

第3題圖

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4.（2024珠海模擬）在“鄉村振興”行動中，某村辦企業以A，B兩種農作物

為原料開發了一種有機產品.A原料的單價是B原料單價的1.5倍，若用900元

收購A原料會比用900元收購B原料少100kg.生產該產品每盒需要A原料2kg

和B原料4kg，每盒還需其他成本9元.市場調查發現：該產品每盒的售價是60

元時，每天可以銷售500盒；每漲價1元，每天少銷售10盒.

（1）求每盒產品的成本（成本＝原料費＋其他成本）；

（2）當每盒產品的售價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？

5.毽球俗稱“毽子”，也稱為“燕子”，并有詩句“踢碎香風拋玉燕”的描述，

是一項傳統的民間體育活動.某校為進一步推進傳統體育項目進校園，計劃組織

毽球比賽，并購買一批毽球作為獎品，現有甲、乙兩種品牌的毽球可供選擇.已

知乙品牌毽球單價比甲品牌貴1元，且用130元購買甲品牌毽球個數是用70元

購買乙品牌毽球個數的兩倍.

（1）這兩種品牌毽球的單價各是多少？

（2）若購買兩種品牌的毽球共150個，且購買甲品牌毽球的個數不能超過乙品

牌的一半，求購買的最低費用.

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6.（2024東莞模擬）綜合與實踐：

【問題情景】某生物小組探究“酒精對人體的影響”，資料顯示，一般飲用低度

白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關系可近

似的用如圖所示的圖象表示.國家規定，人體血液中的酒精含量大于或等于20（毫

克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路.

【實踐探究】（1）求部分雙曲線BC的函數表達式；

【問題解決】（2）參照上述數學模型，假設某人晚上20：00喝完100毫升低度

白酒，則此人第二天早上9：00能否駕車出行？請說明理由.

第6題圖

類型三解直角三角形的實際應用（6年2考：2024，2023.18）

1.（2024佛山一模）“醒獅”是嶺南文化名城佛山一塊閃亮的招牌，是國家非

物質文化遺產之一，舞獅者用獅嘴將懸于高處、寓意著吉祥的“生菜”采摘下來

的過程稱為“采青”.舞獅者腳站立的位置與獅嘴可觸摸到“生菜”的位置之間

的距離稱為“采摘距離”.如圖，舞獅者站在梅花樁AB上，AB與“生菜”放置

點D的水平距離BC為1.1米，∠D＝53°.已知該舞獅者采摘距離為1.43米，

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請利用所學知識判斷該舞獅者能否“采青”成功，并說明理由.（參考數據：sin

53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

第1題圖

2.（2024甘肅省卷）甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速.某學習小組成員

查閱資料得知，在風力發電機組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重

要的設計參數.于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動.如圖，已

知一風電塔筒AH垂直于地面，測角儀CD，EF在AH兩側，CD＝EF＝1.6m，

點C與點E相距182m（點C，H，E在同一條直線上），在D處測得筒尖頂點

A的仰角為45°，在F處測得筒尖頂點A的仰角為53°.求風電塔筒AH的高度.

（參考數據：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈.）

434

553

第2題圖

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3.如圖①，明代科學家徐光啟所著的《農政全書》中記載了中國古代的一種采

桑工具——桑梯，其簡單示意圖如圖②，已知AB＝AC＝1.8m，AD＝1.6m，AC

與AB的夾角∠BAC為α.為保證安全，農夫將桑梯放置在水平地面上，將夾角α

調整為42°，并用鐵鏈鎖定B，C兩點，此時農夫站在離頂端D處0.6m的E

處時可以高效且安全地采桑.求此時農夫所在的E處到地面的高度.（結果精確到

0.1m，參考數據：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）

第3題圖

4.定滑輪的工作原理是改變力的方向，使得施力方向轉變為容易出力的方向.

某班“綜合與實踐”小組的同學發現校園內，工人師傅利用定滑輪運輸物體，于

是把“測量定滑輪距地面的高度”作為一項課題，利用課余時間完成了實踐報

告，并完成了如下活動報告.

課題測量定滑輪距地面的高度

測量工具測角儀、皮尺等

說明：小組成員站在A處，拉動繩子，使得

測量示意

物體移動，且點A，B，B'，C，C'，O均在同

圖

一豎直平面內.

第4題圖

繩子與水平面的夾角

測量數據

物體移動前物體移動后物體的高度BC物體移動后繩

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子收回的長度

37°53°0.5m4.5m

…

請根據活動報告，求定滑輪O距地面的高度.（結果精確到1m，參考數據：sin

37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，

tan53°≈1.33）

5.為了提升居民的居住環境和品質，許多小區采用高層、小高層結合的模式建

造.如圖，某小區有前后兩棟樓分別是高層AB和小高層CD，兩棟樓的樓間距BD

為40米，當小明站在高層樓頂點A處時，測得對面小高層樓頂C點的俯角為45°，

測得對面小高層樓底D點的俯角為58°，已知小高層CD每層高為3米.（參考

數據：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，結果精確到1米）

第5題圖

（1）求該小區高層AB的高度；

（2）求該小區小高層有多少層？

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6.（2024江西）圖①是世界第一“大碗”——景德鎮昌南里文化藝術中心主體

建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”.如圖②，

“大碗”的主視圖由“大碗”主體ABCD和矩形碗底BEFC組成，已知AD∥EF，

AM，DN是太陽光線，AM⊥MN，DN⊥MN，點M，E，F，N在同一條直線上.

經測量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°.（結果精

確到0.1m）

（1）求“大碗”的口徑AD的長；

（2）求“大碗”的高度AM的長.

（參考數據：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）

第6題圖

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類型一方程(組)與不等式(組)的實際應用

1.解：設木條長x尺，繩子長y尺，

根據題意可得方程組，

－

?+4.5=?

解得，?1=0.5?

?=6.5

答：木?條=長116.5尺.

2.解：能.

設購買象棋x套，則購買圍棋2x套，

根據題意，得40×2x＋30x＝1100，

解得x＝10，

∴2x＝20(套)，

答：能恰好用1100元經費購買圍棋和象棋，使所購買圍棋的套數是所購買象棋

套數的2倍，則購買了象棋10套，圍棋20套.

3.解：設改進前車輛平均每小時行駛x公里，則改進后平均每小時行駛(1＋50％)x

公里，

根據題意，得－＝，

(

663

解得x＝40，?1+50%)?60

經檢驗，x＝40是原分式方程的根，且符合題意.

答：該路段改進前，通過該路段的車輛平均每小時行駛的路程為40公里.

4.解：(1)設該單位A4紙的用紙量月平均降低率為x，

根據題意，得1000(1－x)2＝640，

解得x1＝0.2＝20％，x2＝1.8(不符合題意，舍去).

答：該單位A4紙的用紙量月平均降低率為20％；

(2)根據題意，得640×(1－20％)＝512(張).

答：估算5月份該單位A4紙的用紙量為512張.

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5.解：(1)設種植1畝甲作物需要x名學生，種植1畝乙作物需要y名學生，

根據題意，得，

3?+2?=27

解得，2?+2?=22

?=5

答：種?植=61畝甲作物需要5名學生，種植1畝乙作物需要6名學生；

(2)設種植甲作物m畝，則種植乙作物(10－m)畝，

根據題意，得5m＋6(10－m)≤55，

解得m≥5.

答：至少種植甲作物5畝.

6.解：(1)設小明的速度為x米/秒，他的爸爸的速度為y米/秒，

由題意，得，

－

36?+36?=400

＝180?180?=400

解得40，

?＝9

20

答：小?明的3速度為米/秒，他的爸爸的速度為米/秒；

4020

(2)能.93

∵小明到400米終點需要的時間為400÷5＝80(秒)，他的爸爸到400米終點需要

的時間為＋＝(秒)，

200200250

∵80＝＜6，43

240250

∴小明能3在4300米終點前追上爸爸，

設小明追上爸爸需要的時間為m秒，則追上時距離終點還有(400－5m)米，

由題意，得5m＝200＋4(m－)，

200

解得m＝，6

200

∴400－5m3＝400－5×＝(米)，

200200

33

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答：小明能在400米終點前追上爸爸，追上時距離終點還有米.

200

類型二函數的實際應用3

1.解：(1)由題意設y＝(k≠0)，

?

把x＝6，y＝2代入，得?k＝6×2＝12，

∴y關于x的函數表達式為y＝；

12

(2)把y＝3代入y＝中，得x＝?4，

12

∴小孔到蠟燭的距離?為4cm.

2.解：(1)設y與x之間的函數表達式y＝kx＋b(k≠0)，

將(400，22.62)，(500，26.62)分別代入，

＋

得，

＋

400??=22.62

解得500??=，26.62

?=0.04

∴與之間的函數表達式為＝.＋.；

y?x=6.62y004x662

(2)將x＝530代入y＝0.04x＋6.62中，

得y＝0.04×530＋6.62＝27.82，

∴當年均降水量為530mm時，這種植物的比葉面積是27.82m2/kg.

3.解：(1)設線段AB所代表的表達式為y＝kx＋20％(k≠0)，把(1，100％)代入得，

100％＝k＋20％，

解得k＝80％，

∴線段AB所代表的函數表達式為y＝80％x＋20％(0≤x≤1)；

設線段AC所代表的表達式為y＝k'x＋20％(k≠0)，把(6，100％)代入

得，100％＝6k'＋20％，

解得k'＝，

2

∴線段AC15所代表的表達式為y＝x＋20％(0≤x≤6)；

2

1第513頁共19頁

(2)設快速充電m小時，則普通充電(2.5－m)小時，

根據題意得，80％m＋(2.5－m)＝100％－10％，

2

解得m＝0.85，15

∴2.5－m＝2.5－0.85＝1.65，

答：快速充電0.85小時，普通充電1.65小時可完成充電.

4.解：(1)設B原料單價為m元，則A原料單價為1.5m元，

根據題意，得－＝100，

900900

解得m＝3，?1.5?

經檢驗m＝3是方程的解，且符合題意，

∴1.5m＝4.5，

∴每盒產品的成本是4.5×2＋3×4＋9＝30(元)，

答：每盒產品的成本為30元；

(2)設每盒產品的售價是x元(x是整數)，每天的利潤是w元，

根據題意，得w＝(x－30)[500－10(x－60)]＝－10x2＋1400x－33000＝－10(x－

70)2＋16000，

∵－10＜0，

∴當x＝70時，每天的利潤最大，最大利潤為16000元，

答：當每盒產品的售價定為70元時，每天的利潤最大，最大利潤是16000元.

5.解：(1)設甲品牌毽球的單價是x元，則乙品牌毽球的單價是(x＋1)元，

由題意，得＝×2，解得x＝13，

13070

經檢驗，x＝?13是?+原1分式方程的解，且符合實際，

∴x＋1＝14(元).

答：甲品牌毽球的單價是13元，乙品牌毽球的單價是14元；

(2)設購買費用為w元，購買甲品牌毽球a個，則購買乙品牌毽球(150－a)個，

由題意，得w＝13a＋14(150－a)＝13a＋2100－14a＝－a＋2100，

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∵購買甲品牌毽球的個數不能超過乙品牌的一半，

－

∴a≤，解得a≤50.

150?

∵－1＜20，

∴w隨a的增大而減小，

∴當a＝50時，w有最小值，最小值為－50＋2100＝2050(元).

答：購買的最低費用為2050元.

6.解：(1)設OA的函數表達式為y＝kx(k≠0)，根據題圖得

k＝20，

1

∴3k＝60，

∴OA的函數表達式為y＝60x(0≤x≤)，

3

∴當x＝時，y＝90，2

3

設部分雙2曲線BC的函數表達式為y＝(m≠0)，

?

由圖象可知，當x＝3時，y＝90，?

∴m＝270，

∴部分雙曲線BC的函數表達式為y＝(x≥3)；

270

(2)不能駕車出行，理由如下：?

在y＝中，令y＜20，

270

可得?＜20，

270

解得x?＞13.5，

∵晚上20：00到第二天早上9：00的時間間隔為9＋4＝13時，13時＜13.5時，

∴某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上9：00時體內的

酒精含量仍高于20(毫克/百毫升)，不能駕車出行.

類型三解直角三角形的實際應用

1.解：該舞獅者能“采青”成功，

第15頁共19頁

理由：如解圖，過點A作AE⊥CD，垂足為點E，

由題意，得AE＝BC＝1.1(米)，

在Rt△AED中，∠D＝53°，

∴AD＝≈＝1.375(米)，

??1.1

∵1.375si米n53＜°1.0.483米，

∴該舞獅者能“采青”成功.

第1題解圖

2.解：如解圖，連接DF，交AH于點G.

由題意可得，DF∥CE，AH⊥CE，∴AH⊥DF，GH＝DC＝FE＝1.6m，

∴∠AGD＝∠AGF＝90°.

在Rt△AGD中，∵∠ADG＝45°，

∴DG＝AG.

在Rt△AGF中，∵∠AFG＝53°，

∴GF＝＝≈＝AG.

??????3

4

tan∠???tan53°4

∵DG＋GF＝DF＝CE＝1382，

∴AG＋AG＝182.

3

∴AG＝1404.∴AH＝AG＋GH＝104＋1.6＝105.6(m)，

∴風電塔筒AH的高度約為105.6(m).

第2題解圖

第16頁共19頁

3.解：如解圖，過點A作AF⊥BC于點F，過點E作EG⊥BC于點G，

由題意可知AE＝AD－DE＝1.6－0.6＝1m，AB＝AC＝1.8(m)，

∴CE＝AE＋AC＝1＋1.8＝2.8(m)，

∵AB＝AC，AF⊥BC，

∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝21°，

1

∵AF⊥BC，EG⊥BC2，

∴AF∥EG，

∴∠CEG＝∠CAF＝21°，

在Rt△EGC中，EG＝CE·cos21°≈2.8×0.93≈2.6(m)，

答：此時農夫所在的E處到地面