第四節(jié)復數

課標解讀考向預測

1.理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩

復數是高考的必考內容，主要考查復數的加、

個復數相等的含義.

減、乘、除運算及復數的幾何意義.預計2025

2.掌握復數代數表示式的四則運算，了解復數

年高考會考查復數運算，題型以選擇題、填

力口、減運算的幾何意義.

空題為主，分值為5分或6分.

必備知識——強基礎

知識梳理

1.復數的有關概念

(1)復數的定義：形如。+6i(a,6WR)的數叫做復數，其中質］且是實部，質］自是虛部，i為

虛數單位.

(2)復數的分類

復數z=a+bi(a,Z?GR)

卜數(6質］三0),

I數(60^0)(當°血三0時為純虛數).

(3)復數相等

a+6i=c+dio=c且b=d(a,b,c,dGR).

(4)共朝復數

a+歷與c+di互為共軌復數＜=?1Ha=c,b=—d(a,b,c,t/GR).

(5)復數的模

向量改的模叫做復數z=a+6i的模或絕對值，記作辰或?|a+6i|,即閭=|a+6i|=

a2+b?(a,b￡R).

2.復數的幾何意義

—'—'Xd'hv

(1)復數z=a+bi(a,6GR)復平面內的點Z(a,b).

一一對應

(2)復數z=a+歷(a,6GR)平面向量流.

3.復數的四則運算

(1)復數的加、減、乘、除運算法則

設zi=a+bi,Z2=c+di(〃，b,c,d￡R),則

①加法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=S+c)+(6+Gi；

②減法：zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=LUJ(q—c)+(6—%i；

zrz2=(a+bi)(c+di)=12(ac—bd)+(ad+bc)i；

zia-\-bi(a+bi)(c—di)ac-\-bd.bc—ad.,.「，八、

④除法:—=-----=------------------=-------1-------i(c+d"0).

Z2c+di(c+di)(c—di)c2-\~cPc2-\-cP

⑵幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.

如圖給出的平行四邊形0Z1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即歸=應1+

0^2fZl^2=O^2_oi\.

常用電論

1+i,1-i

1.(1土i)2=±2i；-----=i;------=-

1-i1+i

2.-6+Qi=i(a+bi)(q,b￡R).

3.i4w=Li4n+1=i,i4w+2=—1,i4n+3=—i(wGN).

4.i4w+i4w+1+i4?+2+i4w+3=0(nGN).

5.復數z的方程在復平面內表示的圖形

(l)aW|z|W6表示以原點。為圓心，。和6為半徑的兩圓所夾的圓環(huán).

(2)|2—(4+加)|=/0>0)表示以(4,Z?)為圓心，一為半徑的圓.

診斷自測

1.概念辨析(正確的打7”，錯誤的打入”)

(1)復數Z=Q—6i(a,b￡R)中，虛部為6.()

⑵復數可以比較大小.()

(3)已知z=a+bi(〃，Z)GR),當a=0時，復數z為純虛數.()

⑷復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的

模.()

答案(l)x(2)X(3)x(4)7

2.小題熱身

5(中)

(1)(2023?全國甲卷))

(2+i)(2—i)

A.-1B.1

C.1-iD.1+i

答案C

5(l+i3)=5(l—i)

解析l—i.故選C.

(2+i)(2-i)5

(2)(人教A必修第二冊習題7.2T2改編)在復平面內，向量靜對應的復數是2+i,向量費對

應的復數是一l—3i,則向量B對應的復數是()

A.1—2iB.-1+2i

C.3+4iD.-3-4i

答案D

解析?.?方=法+晶=聞一差=—l—3i-2-i=-3—4i.故選D.

1—i

(3)若。+歷(a,6WR)是4的共朝復數，則。+6=.

答案1

1—i(l—i)(1—i)

解析由---=--------------=—i,得a+6i=i,即a=0,6=1,貝!)a+b=l.

1+i(1+i)(1-i)

(4)(人教B必修第四冊習題10-1AT2改編)已知(a—i)(l—2i)=—3+6i,a,bGR,i是虛數

單位，則。+6=；若復數z=a+bi,則z在復平面內對應的點位于第象限.

答案0二

解析由(a—i)(l—2i)=—3+歷，得。-2—(l+2a)i=-3+加，由復數相等的充要條件得

a—2——3,\a=11,,,

,解得“所以a+b=0,z=—1+i,所以復數z在復平面內對應的

—(1+2Q)=b,b=l,

點為(一1,1),位于第二象限.

考點探究——提素養(yǎng)

考點一復數的有關概念

例1(1)(2023?蘇州期末)設i為虛數單位，若復數(1—i)(l+ai)是純虛數，則實數。的值為

A.-1B.0

C.ID.2

答案A

解析(1—i)(l+ai)=1+ai—i+a=l+a+(a—l)i為純虛數,1+。=0,且。-1/0,-'-a

=—1.故選A.

（2）若復數z滿足（l+2i）z=4+3i,則3的實部為（）

A.1B.-1

C.2D.12

答案C

4+3i(4+3i)(l-2i)10-5i

解析由題意,得z=--=----------=-—-2-—i,所以z=2+i,故z的實部

l+2i(l+2i)(l-2i)5

為2.故選C.

【通性通法】

解決復數概念問題的兩個注意事項

【鞏固遷移】

1.（2024?衡水中學模擬）已知一其中x,y是實數，i是虛數單位，貝！Ix+yi的共朝

1+i

復數為（）

A.2+iB.2-i

C.l+2iD.l-2i

答案B

x=l,

2

解析由^^=1—yi,得-1=1—yi,即支一“i=l—yi,?解得x=2,y

1+i(1+i)(1-i)22/工=y,'

12

1,?.x+yi=2+i,其共扼復數為2—i.故選B.

2.復數z=(3+i)(l—4i),則復數z的實部與虛部之和是.

答案一4

解析z=(3+i)(l-4i)=7-lli,則z的實部為7,虛部為一11,故復數z的實部與虛部之和

是7—11=—4.

考點二復數的運算

例2⑴(2023?新課標I卷)已知zuE1■，貝Uz-3=()

2+2i

A.-iB.i

C.0D.

答案A

e41—i(1—i)(1—i)—2i上，所以所以故選

解析因為z=-------=-----------------------=——z=li,z—z=—i.A.

2+2i2(1+i)(1-i)422

(2)若復數z滿足3=i,則z2=________,|z|=_________.

z+1

答案一2iW

___,|/7___1\,

解析設z=a+6i(4，b￡R),則----=-------------=i,a~\~(b—l)i=i?[(a+l)+6i]=-b~\~(a

z+1(q+1)+bi

a=-b,a=-1,

+l)i,所以，解得，所以z=-1+i,故z2=(—1+i)2=—2i,|z尸

b—l=a+l,|/?=L

(—1)2+l2=^2.

【通性通法】

復數代數形式運算的策略

類似于多項式的乘法，只要在所得

復數的乘法-的結果中把i2換成-1,且把實部與

虛部分別合并

分子、分母同乘分母的共期復數，

復數的除法-

注意把i的基寫成最簡形式

【鞏固遷移】

3.(2022?新高考H卷)(2+2i)(l—2i)=()

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+2iD.6-2i

答案D

解析(2+2i)(l—2i)=2+4—4i+2i=6—2i.故選D.

2+i—

4.(2023?全國乙卷)設2=----------，則z=()

l+i2+i5

A.l-2iB.l+2i

C.2-iD.2+i

答案B

解析由題意可得z=2+1=2+1=i(21i)=Zl^l=]_2i,則』=l+2i.故選B.

l+i2+i51-1+ii2-1

考點三復數的幾何意義

例3(1)如圖，若向量源對應的復數為z,貝IJz+&表示的復數為()

Z

A.l+3iB.-3-i

C.3-iD.3+i

答案D

解析由題圖可得Z(l,-1),即Z=l—i,所以z+4=]_i+，=]-i+_4(1+1)—=

z1—i(1—i)(1+i)

4+4i

1—iH=1—i+2+2i=3+i.故選D.

2

(2)(多選)(2024?江蘇徐州模擬)已知復數zi=-2+i(i為虛數單位)在復平面內對應的點為4,

復數Z2滿足|22—1+”=2,Z2在復平面內對應的點為5(x,y),則下列結論正確的是()

A.復數zi的虛部為i

B.(L1)2+3+1)2=4

C.|zi—Z2]的最大值為而+2

D.|zi+z2|的最小值為岳一2

答案BC

解析由zi=-2+i知，虛部為1,故A錯誤；因為匕2—l+i|=2,Z2在復平面內對應的點為

B(x,y),則|(x—l)+(y+l)i|=2,所以(x—l)2+(y+1)2=4,故B正確；由題意知，點5在以

(1,—1)為圓心，2為半徑的圓上，根據復數的幾何意義，|45|=|Z1—Z2|,所以|zi—Z2|max=

(—2—1)2+(1+1)2+2=V13+2,故C正確；\z\+Z2I=|(-2+x)+(1+y)i|=

7(%—2)(》+1)2表示點5與定點(2,—1)的距離，易知點(2,—1)在圓內，所以區(qū)十

22

Z2|min=2—(2—1)+(—1+1)=1?故D錯誤.故選BC.

【通性通法】

復數Z、復平面內的點Z及向量或相互聯(lián)系，即2=。+歷(a,6WR)QZ(a,b)=右.由于復數、

點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時

可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀.

【鞏固遷移】

5.在復平面內，復數上的共飄復數對應的點位于()

1—i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析'=-----小-----=1+4的共軻復數為1—4,對應點為―J,在第四象限.故

1-i(1-i)(1+i)2222

選D.

6.設復數z滿足|z—2i|=l,在復平面內z對應的點到原點的距離的最大值是()

A.1B.\[3

C.4D.3

答案D

解析由題意可知，在復平面內復數z對應的點為復平面內一動點到定點(0,2)的距離為1

的點的集合，即以(0,2)為圓心，1為半徑的圓，圓心(0,2)到原點的距離為2,所以圓上任

一點到原點的距離的最大值為2+1=3.故選D.

課時作業(yè)

A級基礎鞏固練

一、單項選擇題

1.已知復數z=(a2—4)+(a—3)i(aWR),則％=2”是“z為純虛數”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

q2—4—Q

解析因為復數z=(02—4)+(a—3)i(aGR)為純虛數，等價于，'即。=±2,由充分條

a—3#0,

件和必要條件的定義知％=2”是"a=±2”的充分不必要條件，所以％=2”是“z為純虛數”的充

分不必要條件.故選A.

2.(2023?新課標II卷)在復平面內，(l+3i)(3—i)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解析因為(l+3i)(3—i)=3+8i—3i2=6+8i,則所求復數對應的點為(6,8),位于第一象限.故

選A.

3.(2024?長春模擬)若復數z的共飄復數為3,且滿足3-(l+2i)=l—i,則復數z的虛部為

()

33.

A.-B.--i

55

3

C.-iD.--

55

答案A

.—_1—i_(1—i)(1—2i)_—1_3i_13.._1.

解析z?(l+2i)=l—i,.?z=-------=--------------------------=--------------------b?.z-.......r

l+2i(l+2i)(l-2i)5555

$???復數z的虛部為:故選A.

4.(2022?新高考I卷)若i(l—z)=l,則z+3=()

A.12B.-1

C.1D.2

答案D

解析因為i(l—z)=l,兩邊同乘以i,則原式變?yōu)閕2(l—z)=i,即一l+z=i,z=l+i,那么

z=1—i,則z+z=l+i+l—i=2.故選D.

5.若復數z滿足(l+i>z=2—4i,貝=()

A.10B.A/10

C.20D.2★

答案B

,r+u2-4i(2-4i)(1-i)2-2i-4i+4i2,

解析z=-------=-----------------------=--------------------=—l—3i,所以|』|=|-l+3i|=

1+i(1+i)(1-i)2

7(-1)2+32=而.故選B.

在復平面內，復數與對應的點關于軸對稱，貝

6.設z是復數z的共輾復數.z+23+2iyP

Z

=()

A.-1+iB.----

22

「1in1,i

2222

答案B

解析設2=。+加(”，6￡R),則z+2=(a+2)+6i,z+2i=a+(2~b)i,因為復數z+2與z

+2i對應的點關于y軸對稱，所以Q+2+Q=0且6=2-6,解得。=一1,b=\,則z=—l

1=1=T—i=TT1—上故選B.

z—1+i(—1+i)(—1—i)222

7.已知復數2滿足|z—1—i|Wl,則團的最小值為()

A.1B.也一1

C.啦D.也+1

答案B

解析令2=%+4(%,jGR),則由題意有(%—1)2+。-1)2W1,???團的最小值即為圓(X—1)2

+(y-1)2=1上的動點到原點的最小距離，，團的最小值為g一1.故選B.

8.若1+也i是關于x的實系數方程/+/+。=0的一個復數根，貝|()

A.b=2,c=3B.b=2,c=一出

C.b=-2,c——3D.b=-2,c=3

答案D

解析方程的根為x=一b±7：―4c=_,1+也i為其中一個復數根，則有

—%，

,2(b=-2,

Z>2_解得?故選D.

-—4—C=-2,卜=3.

4

二、多項選擇題

9.(2023?蘇州模擬)若復數z滿足(l+i)z=5+3i(其中i是虛數單位)，貝女)

A.z的虛部為一i

B.z的模為而

C.Z的共軌復數為4—i

D.z在復平面內對應的點位于第四象限

答案BD

解析由(l+i)z=5+3i,得—"所以z的虛部為一1,

1+i(1+i)(1-i)2

A錯誤；z的模為寸42+(—1)2=而,B正確；z的共扼復數為4+i,C錯誤；z在復平面

內對應的點為(4,-1),位于第四象限，D正確.故選BD.

10.(2024?湖北襄陽一中階段考試)設zi,Z2,Z3為復數，zi#).下列命題中正確的是()

A.若㈤=0|,則Z2=±Z3

B.若Z1Z2=Z1Z3，則Z2=Z3

C.若Z2=Z3,則|Z1Z2|=|Z1Z3|

D.若Z1Z2=|Z1/,則ZI=Z2

答案BC

解析由川=|1],知A錯誤；Z1Z2=Z1Z3,則Z1(Z2—Z3)=0,又Zl：#。，所以Z2=Z3,故B正確；

\Z1Z2\=\Z1\\Z2\,|Z1Z3|=|Z1||Z3|,又Z2=23,所以㈤=|Z2〔=閡，故C正確;令Zl=i,Z2=~i,

滿足Z1Z2=|Z“2,不滿足Z1=Z2,故D錯誤.故選BC.

11.歐拉公式鏟=co&x+isinx是由瑞士著名數學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數函數的定義域擴

大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯(lián)，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被

譽為數學中的天橋.依據歐拉公式，下列說法正確的是()

A.復數ex對應的點位于第二象限

B.e2I為純虛數

C.復數上的模等于:

D.e6’的共朝復數為1—血i

22

答案ABC

解析對于A,e2i=cos2+isin2,因為-<2<K,即cos2<0,sin2>0,所以復數e?，對應的點位

2

三，—ix\

于第二象限，A正確；對于B,e2=cos四+isin曰=i,e2為純虛數，B正確；對于C,——=

22W+i

cosx+isinx(cosx+isinx)(他一i)3cosx+sinx

?\Iisinx——i,于是得13+i

3+i44

\/3sinx—COSX^2

3cosx+sinx|2匹.r

61

J+4=-,C正確；對于D,e=cos-+isin-=----|--i,其

426622

共軻復數為也一4,D不正確.故選ABC.

22

三、填空題

12.已知i為虛數單位，若復數2=匕，則聞=

1+i

答案弱

名刀+匚癡)、?.(3—i)i1+3i(1+3i)(1—i)4+2i

斛析解法一：iz=------------=-------=------------------------=-------=2+i,所以|iz|=$TP

1+i1+i(1+i)(1-i)2

3~i

解法二:|iz|=|i||z|=lx1+i

|l+i|12+12

13.已知i為虛數單位，若02+（z+z）i=l—i且復數Z對應的點在第三象限，則復數Z的虛

部為.

答案-f

解析設z=a+bi(a，6￡R),則由02+Q+z)i=1—i可得層+"+2qi=1—i,所以

_1r_1

a-----，a=----,

6Z2+Z?2=1,E口22i

解得3或電又因為復數z對應的點在第三象限，所以z=一工

2a=—1j6=一火6=*2

2I2

2'故復數Z的虛部為一；?

ij+J,i為虛數單位，〃￡N,則由z的所有可能取值構成的集合為

14.設復數z

答案｛—2,0,2｝

解析z=i"+（—i）",i為虛數單位，“WN,當〃=4網發(fā)WN）時，z=2；當〃=4左+1/WN）時，

z=0；當〃=4左+2（左WN）時，z=—2；當〃=4左+3（左WN）時，z=0.綜上所述，由z的所有可

能取值構成的集合為｛-2,0,2）.

B級:素養(yǎng)提升練

15.(2024?河南鄭州外國語學校期中)如圖，已知復數z在復平面內所對應的向量是成，圖中每

個小正方形網格的邊長均為I，則亡=()

A.l+2iB.l+3i

C.3+iD.2+i

答案D

解析由題圖可知感=仍一溢=(4,2)—(1,1)=(3,1),即z=3+i,所以z=3—i,故一

1—i

3—i(3—i)(l+i),,.j_L

=-----=----------------------=2+1.故迷D.

1-i2

16.(多選X2024?廣東東莞實驗中學質檢)已知復數z滿足匕一l+i|=3,則()

A.復數z虛部的最大值為2

B.復數z實部的取值范圍是[—2,4]

C.|z+l+i|的最小值為1

D.復數z在復平面內對應的點位于第一、三、四象限

答案ABC

解析滿足|z—l+i|=3的復數z在復平面內對應的點的軌跡是以(1,—1)為圓心，3為半徑

的圓，如圖.由圖可知，虛部最大的復數為z=l+2i,即復數z虛部的最大值為2,A正確；

實部最小的復數為z=—2—i,實部最大的復數為z=4—i,所以復數z實部的取值范圍是[—

2,4],B正確；|z+l+i|表示復數z在復平面內對應的點至U(—1,—1)的距離，所以|z+l+i|

的最小值為3—2=1,C正確；由圖可知，復數z在復平面內對應的點位于第一、二、三、

四象限，故D錯誤.故選ABC.

17.（多選）若復數zi=2+3i,Z2=-1+i,其中i是虛數單位，則下列說法正確的是（）

A.-GR

Z2

B.z\-Z2=zrz2

C.若zi+加（加￡R）是純虛數，那么加=—2

D.若3”在復平面內對應的向量分別為員1,彷（。為坐標原點），則成1=5

答案BC

對于A.包=2±江=(2+3D(T-D=匕二1

解析A錯誤；對于B,Vzrz2

Z2-1+i(-1+i)(-1-i)222一

=(2+3i)(—l+i)=-5—i,zi*22=-5+i,又zrz2=(2—3i)(—1—i)=-5+i,z\,22=

zrz2,B正確；對于C,,.,zi+冽=2+冽+3i為純虛數，?,?冽+2=0,解得冽=—2,C正

確；對于D,由題意得稹=（2,-