第二節(jié)等差數(shù)列

課標解讀考向預測

1.理解等差數(shù)列的概念.預計2025年高考將會從以下兩個角度來

2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.考查：(1)等差數(shù)列及其前〃項和的基本運

3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，算與性質(zhì)；(2)等差數(shù)列的綜合應用，可能

并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應的問題.與等比數(shù)列、函數(shù)、方程、不等式相結(jié)合

4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.考查，難度中檔.

必備知識——強基礎(chǔ)

知識梳理

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第國2項起，每一項與它的前一項的差都等于畫同一個

常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母畫d

表示，定義表達式為〃〃一。〃-i=d(常數(shù)X〃N2,〃€N*).

(2)等差中項：若三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列，則A叫做a與6的等差中項，且有差=畫〃

+Z?.

提醒：在等差數(shù)列｛〃〃｝中，從第2項起，每一項都是它前后兩項的等差中項，即｛詼｝成等差

數(shù)列1I12〃八(〃22).

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項公式：斯=|05|〃i+(〃一l)d.

(2)前〃項和公式：Sn=n(0,詼)或&=畫“0+〃(〃31)兒

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項公式的推廣：an=am+[OT](n—m)d(n,m€N*).

(2)若已知等差數(shù)列｛斯"公差為d,前〃項和為義,則

①等間距抽取他，ap+t9他+2%…，他+(〃-1)勿…為等差數(shù)列，公差為以；

②等長度截取Sm，Sim—SmyS3z?—S2/n，…為等差數(shù)列，公差為力?"；

③算術(shù)平均值率%%即數(shù)列因為等差數(shù)列，公差為日

(3)右項數(shù)為偶數(shù)2小則S2〃=〃(〃i+。2”)=〃(斯+斯+i),S偶一S奇=""，—

3偶。〃+1

若項數(shù)為奇數(shù)2〃一1,則S2"-1=(2〃-1)斯，S奇一S偶=斯，77"—7.

3偶n-l

(4)若｛處｝，｛兒｝是等差數(shù)列，則仍如+破/(其中p,q為常數(shù))也是等差數(shù)歹I」.

常用

1.已知數(shù)列｛斯｝的通項公式是所=?九+4(其中p,q為常數(shù))，則數(shù)列｛”“｝一定是等差數(shù)列，

且公差為p.

2.在等差數(shù)列｛4“｝中，ai>0,d<0,則S"存在最大值;若aiVO,40,則S”存在最小值.

3.等差數(shù)列｛斯｝的單調(diào)性：當4>0時，｛%｝是遞增數(shù)列；當"<0時，｛斯｝是遞減數(shù)列；當

d=0時，｛.“｝是常數(shù)列.

4.數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列=S.=A/+B〃(A,B為常數(shù)).

5.若｛斯｝與｛兒｝為等差數(shù)列，且前"項和分別為S,與Z”則臺=黑口

12m~1

診斷自測

1.概念辨析(正確的打“守’，錯誤的打“X”)

(1)等差數(shù)列的前〃項和s,是項數(shù)為”的二次函數(shù).()

(2)數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列的充要條件是對任意”<N*,都有2斯+1=廝+廝+2.()

(3)等差數(shù)列｛斯｝的前n項和S"=”(而+齊2.()

⑷設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”則亂與。“不可能相等.()

答案(l)x(2)4(3)4(4)x

2.小題熱身

⑴(2023?福建福州質(zhì)檢)在等差數(shù)列｛斯｝中，若防+〃2=5,的+〃4=15,則〃5+。6=()

A.10B.20

C.25D.30

答案C

解析等差數(shù)列｛斯｝中，每相鄰2項的和仍然構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,若01+42=5,

俏+。4=15,則1=15—5=10,因此。5+。6=(〃3+〃4)+弓=15+10=25.故選C.

(2)(北師大版選擇性必修第二冊2.2練習3(2)改編)設(shè)數(shù)列｛〃〃｝是等差數(shù)列，其前〃項和為

若〃6=2且S5=30,則Sg—()

A.31B.32

C.33D.34

答案B

._lL3、t,8(I〃8)8(俏+〃6)

斛析解法一：由S5=5〃3=30,仔。3=6,又“6=2,??S8=--------------------

2

8x(6+2)

=32.故選B.

2

26

u\+5d=29

8x7,

解法二：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,由＜5x4得‘,S8—8(214-丁/=

5tzi~,d—30,T，

264

8x§—28%]=32.故選B.

(3)(2022?全國乙卷)記S,為等差數(shù)列｛詼｝的前〃項和.若2s3=38+6,則公差1=

答案2

解析由263=382+6可得251+°2+。3)=3(0+°2)+6,化簡得2a3=01+02+6,即2伍1+

2d)=2ai+d+6,解得d=2.

(4)(人教A選擇性必修第二冊4.2.2例8改編)某劇場有20排座位，后一排比前一排多2個座

位，最后一排有60個座位，則劇場總共的座位數(shù)為.

答案820

解析設(shè)第"排的座位數(shù)為詼(〃€N*),數(shù)列｛詼｝為等差數(shù)列，其公差d=2,則斯=°1+(〃一

l)d=ai+2(w—l).由已知?0=60,得60=ai+2x(20—1),解得刃=22,則劇場總共的座位

w,20(的+小0)20X(22+60)

數(shù)為-----------=------5----------=82。-

(5)已知數(shù)列｛〃"｝為等差數(shù)列，°2+。8=8,則41+°5+。9=.

答案12

解析。1+。9=。2+。8=2。5=8,則a5=4,所以。1+。5+。9=3。5=12.

考點探究提素養(yǎng)

考點一等差數(shù)列基本量的運算

例1(1)已知｛斯｝為等差數(shù)列，其前〃項和為若〃1=1,43=5,S"=64,貝！J〃=()

A.6B.7

C.8D.9

答案C

角星析公差d=2=-2-=2,又S〃=64,所以d—n~\~—1)—n2—

64,解得〃=8（負值舍去）.故選C.

⑵（2024?皖南八校開學考試）已知等差數(shù)列｛為｝的前n項和為Sn,且的+/=-10,&=-42,

則Sw=（）

A.6B.10

C.12D.20

答案B

解析設(shè)等差數(shù)列｛。〃｝的公差為d,因為43+45=201+6"=-10,S(,=6a\+15(/=-42,解得

ai=-17,d=4,所以Sio=lOm+45d=—170+45x4=10.故選B.

(3)已知等差數(shù)列｛斯｝中，&為其前〃項和，54=24,59=99,則曲=()

A.13B.14

C.15D.16

答案C

,4x3

4ai+^-d=24'

即

｛9ai+~^~d=99>

(2ai+3d=U>\a\=3>

，解得<所以s=ai+6"=3+12=15.故選C.

[0+4d=11[d=2>

【通性通法】

等差數(shù)列基本量運算的思想方法

方程思想

等差數(shù)列中包含m，d,n,an,S“五個量，可通過方程組達到“知三求二”

當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用ai,d表示，尋求兩者間的聯(lián)

整體思想

系，整體代換即可求解

等價轉(zhuǎn)化思想運用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡，優(yōu)化解題過程

【鞏固遷移】

1.（2023?陜西部分名校高三下仿真模擬）在等差數(shù)列｛斯｝中，俏+。7=。8=16,則｛斯｝的公差d

=（）

8

A.1B.3

答案A

Q

解析因為43+。7=。8=2々5=16,所以08—怒=3"=8,則"=].故選A.

2.(2023?湖南名校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列｛詼｝的前W項和為S",且2s—01=4,則為=()

A.15B.20

C.25D.30

答案B

5x4

解析設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則2g1+6(7)—(°1+l(W)=ai+24=4,所以S5=5ai+F-

1=5(41+20=5x4=20.故選B.

考點二等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用(多考向探究)

考向1等差數(shù)列項的性質(zhì)

例2(1)(2024九省聯(lián)考)記等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為5“,俏+。7=6,412=17,則&6=()

A.120B.140

C.160D.180

答案C

解析因為〃3+。7=2。5=6,所以45=3,所以。5+々12=3+17=20,所以S16=一：5一'

=8(。5+。12)=160.故選C.

(2)設(shè)公差不為。的等差數(shù)列｛詼｝的前〃項和為S”已知59=3伍3+/+即)，則〃2=()

A.9B.8

C.7D.6

答案C

解析因為$9=9。5，所以9a5=3(的+。5+而)，所以。3+。5+。,"=3。5，即。3+4"=2。5，所以

機=7.故選C.

【通性通法】

等差數(shù)列項的性質(zhì)的關(guān)注點

項的性質(zhì)：在等差數(shù)列｛〃〃｝中，若加+枕=/?+虱相，n,p,q€N*),則斯

關(guān)注點一

――dp+Clq

關(guān)注點二等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項的和問題，一般先考慮應用項的性質(zhì)

H

關(guān)注點三項的性質(zhì)常與等差數(shù)列的前n項和公式Sn="(02-)相結(jié)合

【鞏固遷移】

3.（2024?河南杞縣模擬）已知項數(shù)為n的等差數(shù)列｛斯｝的前6項和為10,最后6項和為110,

所有項和為360,貝1]〃=（）

A.48B.36

C.30D.26

答案B

解析由題意知。1+〃2+…+〃6=10，斯+斯-1+…+。〃-5=110,兩式相加得6（防+。〃）=120,

所以。1+。〃=20,又〃（的,即）二360,所以"=36.故選B.

4.（多選）（2023?山東淄博調(diào)研）已知等差數(shù)列｛念｝的公差為d,前〃項和為當,當首項和d

變化時，〃2+恁+〃11是一個定值，則下列各項為定值的是（）

A.。7B.。8

C.Si3D.S15

答案AC

解析由題意知〃2+a8+〃ii=〃i+d+〃i+7d+ai+10d=3〃i+18d=3（Qi+6t/）=3〃7,；?。7是

定值，,513=13=]3的,是定值.故選AC.

考向2等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)

例3⑴已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S，.若$5=7,Sio=21,則&5=（）

A.35B.42

C.49D.63

答案B

解析解法一：由題意知，Sio—S5，S15—Sio成等差數(shù)列，即7,14,S15—21成等差數(shù)列，

.*.515-21+7=28,???Si5=42.故選B.

解法二：?；｛斯｝為等差數(shù)列，也為等差數(shù)列，.?.棠=§+皆，.?.&5=42.故選B.

1kJJ1J

⑵已知等差數(shù)列｛斯｝的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為319,所有偶數(shù)項之和為290,則

該數(shù)列的中間項為（）

A.28B.29

C.30D.31

答案B

解析設(shè)等差數(shù)列｛詼｝共有2〃+1項，則S奇=。1+〃3+〃5+…+。2〃+1，S偶=〃2+。4+〃6+…

+。2〃，該數(shù)列的中間項為斯+1，又S奇一S偶=。1+（。3—。2）+（。5一。4）+…+（。2〃+11。2〃）=。1+

d-\-d~\~..d=a\~\-nd=an+it所以an+\=S<—S偈=319—290=29.

【通性通法】

熟練掌握等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)是解決此類試題的關(guān)鍵，解題時注意化歸與轉(zhuǎn)化思想的合

理運用.

【鞏固遷移】

52020

（?安徽蚌埠二中階段考試）已知是等差數(shù)列｛斯｝的前"項和，若

5.2024S,0=—2018,2020-

=則$2023=

答案8092

解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可得］率也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,則編一黜=6d=6,所

以1=1,所以黑|=￥+2022d=-2018+2022=4,所以S2023=8092.

6.（2023?廣東湛江模擬）有兩個等差數(shù)列｛詼｝,電｝,其前w項和分別為S"，T"?若成=而不

則弄=——；若AIS，則B——?

1117

答案

1922

解析琮=2n~1,511116162x6—111^Sn2n-lIr^—n._2.7

同元—fi面—3x6+1一訪,右亍—3"+1—3層+”，川可歡S-(2n—n)k,

3n+ln

3(3層+啾，所以怒=55T4=45-28217%,H=52k—30k=22k,所以十五

考向3等差數(shù)列前n項和的最值問題

例4在等差數(shù)列｛詼｝中，已知刃=20,前〃項和為S”且Sio=Si5.求當〃取何值時，S,取

得最大值，并求出它的最大值.

解解法一（函數(shù)法）：因為。1=20,S10=$5,

10x915x14

所以10x20415x204

2

所以d二一|，

n(〃一1)3125

&=20〃T

2十24.

因為幾WN*,所以當〃=12或13時，S〃有最大值，且最大值為512=513=130.

解法二（鄰項變號法—利用單調(diào)性）:

因為“1=20,Sio=Si5，

10x915x14

所以10x20—15x204

22

x—

所以△=一?!，tzn=20+(n—l)(^I

5?65

-3n+T-

因為〃i=20>0,1<0,

所以數(shù)列｛念｝是遞減數(shù)列.

,5?65f

由〃〃=一］〃十日-《0,

得心13,即ai3=0.

當“W12時,斯>0；當〃>14時，a?<0.

所以當〃=12或13時，S”取得最大值，

且最大值為512=513=12x20+”/x（一§=130.

解法三：（鄰項變號法一利用性質(zhì)）：

由S10=S15得S15—510=。11+。12+。13+。14+。15=0,所以5a13=。，

即<213=0.

12x11（5、

所以當"=12或13時，S”有最大值，且最大值為Si2=Si3=12x20+—一義（一于=130.

【通性通法】

求等差數(shù)列前n項和S,,最值的兩種方法

利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其際20,

（1）當〃1>0,dvo時，滿足的項數(shù)加

正負轉(zhuǎn)折項，即可求出最值〔而+1W0

鄰項變號使得出取得最大值奧；

法利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出其正|a,”W0,

（2）當?shù)?lt;0,心0時，滿足的項數(shù)相

負轉(zhuǎn)折項，即可求得最值〔而+120

使得sn取得最小值sm

2

利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn=an+bn,通過配方或借助圖象求二次

函數(shù)法

函數(shù)的最值的方法求解

【鞏固遷移】

7.（多選X2023.濟寧模擬）設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為",前〃項和是&,已知Si4>0,Si5<0,則

下列說法正確的是()

A.〃i>0,d<0

B.47+。8>0

C.S6與S7均為工的最大值

D.。8<0

答案ABD

解析因為S14>O,S15<O,所以514=14.Q[+ai4),=731+04)=7(。7+。8)>0,即防+痣>0,

因為S15=1"(弓+儂)=15痣<0,所以痣<0,所以。7>0,所以等差數(shù)列｛詼｝的前7項為正

數(shù)，從第8項開始為負數(shù)，則㈤>0,“<0,S7為S”的最大值.故選ABD.

8.(2024陜西省洛南中學高三月考)已知%為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，且$2=35,奧+的

+加=39,則當S,取得最大值時，〃的值為.

答案7

]2〃i+d=35,

解析解法一：設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為"，則由題意得彳,,°°“解

[〃2十的十〃4=3〃3=3十2d)=39,

(。1=19,〃(n—1)3413(41V1681

得＜則19n+-7x(-3)--^+^n=n~^}十號.又〃€N*,?,?當

Id—3，乙Z/N1O，

〃=7時，S.取得最大值.

解法二：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d.：。2+的+。4=3。3=39,.*.?3=13,203—S?=(?3—?2)

[22—3心0，

+(°3—ai)=3d=-9,解得d=-3,則a〃=a3+(w—3)"=22—3n,令，解

[22—3(n+1)W0,

1922

得手年，又w€N*,...〃=7,即數(shù)列｛斯｝的前7項為正數(shù)，從第8項起各項均為負數(shù)，

故當S”取得最大值時，M=7.

考點三等差數(shù)列的判定與證明

例5(2021?全國甲卷)已知數(shù)列｛詼｝的各項均為正數(shù)，記S.為｛%｝的前〃項和，從下面①②

③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛詼｝是等差數(shù)列；②數(shù)歹I｛低｝是等差數(shù)列；③痣=30.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

解選擇條件①③今②.

已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，政=3可，設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為數(shù)

則〃2=3〃i=〃i+d,所以d=2ai.

n

EL(〃T)

因為Sn=nci\十2d=nui,

所以低=小如(。1>0),所以—低=(w+ih/￡—7八「i=gi(常數(shù)).

所以數(shù)列｛低｝是等差數(shù)列.

選擇條件①②今③.

已知數(shù)列｛詼｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛低｝是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛詼｝的公差為d,

則Si=?i,S2=2ai+d,S3—3ai+3d,

因為數(shù)歹1｛弧｝是等差數(shù)列，

所以+y[S3=2y[S2,即+#3〃1+3"=2y2〃i+d,

化簡整理得d=2〃i.所以〃2=Qi+d=3ai.

選擇條件②③今①.

已知數(shù)歹[｛弧｝是等差數(shù)列，“2=30,設(shè)數(shù)歹I｛a｝的公差為d,

所以。豆一y/^i=d,即44〃i—=d.

所以的=/，^Sn—y[S\+(n—\)d^nd,

所以S〃=層解.

=

所以anSn—Sn-1—2cPn—(P(ji2).

又0="也適合該通項公式，

2

所以an=2cPn—d(n€N*).

斯+1—斯=2/(〃+1)一屋一(2cPn—/)=2理(常數(shù))，

所以數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列.

【通性通法】

等差數(shù)列的判定與證明的常用方法

定義法對任意〃€N*,斯+1一斯是同一常數(shù)

等差中項法對任意〃三2,〃€N*,滿足2斯=斯+1+斯-1

判定方法

通項公式法對任意〃€N*,都滿足q為常數(shù))

前n項和公式法對任意“WN*,都滿足*=4層+8〃(4,B為常數(shù))

定義法對任意孔€N*,斯+1—斯是同一常數(shù)

證明方法

等差中項法對任意及22,幾€N*,滿足2斯=斯+1+飆-1

【鞏固遷移】

9.已知公差大于零的等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為義,且滿足該〃4=65,41+45=18.

（1）求數(shù)列｛飆｝的通項公式；

（2）是否存在常數(shù)上使得數(shù)列"/I前｝為等差數(shù)列？若存在，求出常數(shù)代若不存在，請說

明理由.

解（1）設(shè)｛斯｝的公差為d.

???｛斯｝為等差數(shù)列，

??+。5。2+。4=18,〃2。4=65,

〃4是方程％2—18x+65=0的兩個根，

又公09??〃2<^-〃4，??〃25，〃413.

j〃i+d=5，j〃i=l，

??????Cln4723.

[QI+3d=13?[d=4，

（2）由（1）知，S,=〃+-x4=2/一“，假設(shè)存在常數(shù)%,使得數(shù)列｛4&+如｝為等差數(shù)列.

由武邑+左+人加+3左=2y]s2+2k,

得后靛+、15+34=2,6+2總解得上=1.

Sn+kn=y[2i?=yf2n,

當時，曲一乖及—1）=巾,為常數(shù)，

數(shù)列｛■a+為｝為等差數(shù)列.

故存在常數(shù)上=1,使得數(shù)列｛#5〃+加｝為等差數(shù)列.

課時作業(yè)

A級基礎(chǔ)鞏固練

一、單項選擇題

1.已知數(shù)列｛斯｝,｛仇｝為等差數(shù)列,且公差分別為4=2,辦=1，則數(shù)列｛2詼―3仇｝的公差

為（）

A.7B.5

C.3D.1

答案D

解析：｛。“｝,｛仇｝為等差數(shù)列，；.｛2斯一3兒｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,則d=2斯+i—36“

+1—2。”+3d=2（。”+1—a?）—3（兒+1—bn）=2di—3d2=1.故選D.

2.（2024?遼寧六校期初考試）設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”若06+07+48+09+410=2。,

則&5=()

A.150B.120

C.75D.60

答案D

解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可知。6+。7+。8+。9+〃10=5〃8=20,所以〃8=4,S15=~一

=等至=15痣=60.故選D.

3.(2023?陜西寶雞模擬)已知首項為2的等差數(shù)列｛斯｝的前30項中奇數(shù)項的和為A,偶數(shù)項

的和為2,且8—A=45,則斯=()

A.3n—2B.3n—1

C.3〃+1D.3〃+2

答案B

解析由題意，幾€N*,在等差數(shù)列｛如｝中，首項0=2,設(shè)公差為d,前30項中奇數(shù)項的和

為A,偶數(shù)項的和為3,且8—A=45,/?一的+〃2+…一。29+〃30=15d=45,解得d=3,

+l)d=2+3(〃-1),即an—3n—l(n€N*).故選B.

4.(2023?重慶一診)已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為a,且羨=/則企"=()

11

--

A.0B.9

13

C.D.

3To

答案D

15A

得

所以

解析解法一：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,由題設(shè),濟苦瑞:-可^

V尸2

-S16

8〃i+28d3

言.故選D.

16(11+1206?

解法二：由或思知S8=3S4，又S4,Sg—S4,S12—$8，S16—S12成等差數(shù)列，且Sg—S4=2S4，

故S12—&=3&，故S12=6S4，S16—S12=4S4，得S16=1OS4，所以普=得.故選D.

5.數(shù)列｛%｝和也｝是兩個等差數(shù)列，其中華(1WE5)為常值，若m=288,a5=96,"=192,

Dk

則匕3=()

A.64B.128

C.256D.512

答案B

4々日〃i〃5|7a5bl96x192^.仇+，192+64

角牛析由已知條件可侍方=而，n貝iU85=&]=-288-=64,因Ll此b3=2=2=128.

故選B.

6.（2024?漳州檢測）已知S〃是數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和，〃1=1,〃2=2,413—3,記＜=斯+。〃+1+

斯+2且為+1一為=2,則S31=（）

A.171B.278

C.351D.395

答案C

解析由d+1—瓦=斯+1+斯+2+斯+3—（斯+斯+1+斯+2）=斯+3—斯=2,得〃1，〃4，。7，…是首

項為1,公差為2的等差數(shù)列，。2，〃5，〃8，…是首項為2,公差為2的等差數(shù)列，〃3，。6,

。9，…是首項為3,公差為2的等差數(shù)列，所以：31=（。1+。4+…+。31）+（。2+。5+…+。29）+

11x10x210x9x210x9x2,,SiL

（俏+期+…+〃30）=4卜2x10+---+3x10+——=351.故選C.

1X112

7.在等差數(shù)列｛曲｝中，的=—9,。5=—1.記憶=。1〃2（〃=1，2,…），則數(shù)列｛〃｝（）

A.有最大項和最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項和最小項

答案B

解析設(shè)等差數(shù)列｛廝｝的公差為d,Vtzi=-9,〃5=—1，，。5=—9+4d=—1,則d=2./.

斯=-9+2（"—D=2〃一n.令斯=2〃一nW0,得九W5.5.，當時，斯<0；當時，

an^l>0.,?*Tn—a\a2...an（n—1,2,...）,Ti=—9,"=63,八=一315,。=945,公=—945.

當〃26時，斯21,???7；<0,且〃+1<7；<0.???數(shù)列｛4｝有最大項北，無最小項.故選B.

8.已知&是等差數(shù)列｛〃“｝的前”項和，若對任意的”€N*,均有S6WS,成立，則膏的最小

值為（）

5

A.2B.

C.3D,日

答案D

解析由題意知，56是等差數(shù)列｛〃〃｝的前幾項和中的最小值，必有。1<0,公差#>0,當〃6=0

時，有S5=S6，S5,S6是等差數(shù)列｛。〃｝的前幾項和中的最小值，此時〃6=〃l+5d=0,即〃1=

—5d,則也="1當〃6<0，。720,此時〃6=〃i+5d<0,〃7=〃i+6dN0,即一6忘號

。9十8d3〃3a

a\_

+16

417oi+16dd己，又一6常一5,所以2喘+8<3,即長士/，

<-5,則------=14

。9ai+Sd號

+87+8萬+8

則號”所以卜+.W5,所以22的最小值為;■.故選D.

。93

二、多項選擇題

f—3n~\~bTW"W8>

9.（2024?湖南長郡中學月考）已知數(shù)列｛跖,｝的通項公式斯=<、b€Z,則下

I—2?—31n39>

列說法正確的是（）

A.當｛詼｝遞減時，6的最小值為3

B.當｛斯｝遞減時，b的最小值為4

C.當6=20時，｛斯｝的前〃項和的最大值為57

D.當b€（3，|）時，｛|以|｝為遞增數(shù)列

答案BCD

解析磁=—3x8+6>a9=—2x9—3nb>3,的最小值為4,；.A錯誤，B正確；

6X（1+2）

當6=20時，數(shù)列｛斯｝的前6項為正，第7項開始往后為負，，前6項和最大,S6=^

=57,；.C正確；當"N9時,a?<0,\an\=2n+3,數(shù)列｛|明｝遞增,當1W〃W8時，易知數(shù)

列｛詼｝遞減,當6€（3'號時,czi>0,a<0,且數(shù)列｛|編｝滿足，

2好出，'數(shù)列時遞增,

???D正確.故選BCD.

10.（2023?河北邯鄲模擬）已知｛見｝為等差數(shù)列，S〃為其前〃項和，則下列說法正確的是（）

A.右*。1=〃5，貝U

B.若〃5>〃3，則S1<S2V…V與

C.若“3=2,則鬲+若28

D.若。4=8,。8=4,則Si2=66

答案ACD

解析設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為"，因為41=45，所以Ql=Ql+4d,所以d=0,則〃1=〃2=3

=%,故A正確；因為〃5>〃3,所以ai+4d>ai+2df所以d>0,｛斯｝為遞增數(shù)列,但Si<S?<…<Sn

不一定成立，如〃i=—2,〃2=—1,〃3=0，Si=—2,Sz=-3,S3——3,故B不正確；因為

]2（a4=ai+3d=8，

出+ag》2|I=2曷=8,當且僅當?shù)?怒=2時取等號，故C正確；因為，

+7d=4,

解得?則的2=。4+8"=8—8=0,#Si2=-LX12=66,故D正確.故選ACD.

3=11，2

三、填空題

11.（2023?上海奉賢統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列｛（/”｝中，aj+a9=15,。4=1,則的2=

答案14

2ai+14^=15,

解析：｛斯｝為等差數(shù)列，，設(shè)首項為ai,公差為d,又。?+。9=15,.4=1,

fli+3(Z=1

；?的2=。1+1ld=一半+11x《-=14.

12.將數(shù)列｛2”-1｝與｛3〃一2｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛斯｝,則｛斯｝的前n項和為

答案3/—2〃

解析數(shù)列｛2〃-1｝的各項為1,3,5,7,9,11,13,數(shù)列｛3〃-2｝的各項為1,4,7,

10,13,….觀察歸納可知，兩個數(shù)列的公共項為1,7,13,…，是首項為1,公差為6的等

差數(shù)列，則4"=1+6（〃-1）=6〃-5.故其前n項和S〃="="（"-=3〃2—

2n.

13.（2024?浙江余姚中學質(zhì)檢）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S〃，若S6>S7>S5,則滿足SS+i<0

的正整數(shù)n的值為.

答案12

解析由S6>S7>S5，得57=56+。7<56，S7=S5+。6+。7>$5，所以07<0，恁+/〉。，所以S13=

-—=13?7<0,Si2=2~~=6（。6+。7）>0，所以Si2s13<。，即滿足505"+1<0

的正整數(shù)n的值為12.

14.（2023?昆明診斷）已知數(shù)列｛斯｝滿足的=2,z=4,an+2-an=（-iy+3,則數(shù)列｛斯｝的前

10項和為.

答案90

解析由題意，當〃為奇數(shù)時，。“+2—斯=-1+3=2,所以數(shù)列｛。2.-1｝是首項為2,公差為

2的等差數(shù)列，所以。2及-i=2+2(〃-1)=2〃；當〃為偶數(shù)時，斯+2—斯=1+3=4,所以數(shù)列

｛〃2〃｝是首項為4,公差為4的等差數(shù)列，所以〃2〃=4+4(〃-1)=4〃.設(shè)數(shù)列｛斯｝的前10項和

5x(2+10)

為S10，則S10=〃l+〃2+…+〃10=(〃1+〃3+…+〃9)+("2+04+…+〃10)=

四、解答題

15.(2022?全國甲卷)記S”為數(shù)列｛詼｝的前〃項和.已知號+〃=2%+1.

(1)證明：｛小｝是等差數(shù)列；

⑵若的a7,°9成等比數(shù)列，求S”的最小值.

解(1)證明：因為苧+〃=2斯+1,

z

即2Sn+n=2nan+n9①

當〃22時，2s九―i+(〃-1產(chǎn)=2(〃—1)斯-1+(〃一1),②

①一②得，2s〃+〃2—(〃-1)2=2〃斯+〃一2(〃一1)詼一1一(〃一1),

即2an2n—1=2〃斯一2(〃一1)斯-i+l,

即2(〃一1)斯—2(〃一1)〃〃—1=2(〃-1),

所以如一斯—1=1,〃22且〃€N*,

所以｛火｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)可得〃4=。1+3,〃7=。1+6,。9=。1+8,

又。4，〃7，。9成等比數(shù)列，所以鬲=a4a9，

即3+6)2=3+3)3+8),

解得41=—12,

n(〃一1)

所以斯=〃-13,所以S〃=-12〃T

所以，當〃=12或〃=13時，⑸)min=-78.

16.(2023?全國乙卷)記S〃為等差數(shù)列｛詼｝的前幾項和，已知〃2=11,Sio=4O.

(1)求｛〃〃｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛|即|｝的前n項和Tn.

解(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為"，

〃2=〃i+d=ll'

由題意可得《

Sio=lO〃i+2d=40，

(ai+d=l\?(〃1=13，

即《解得＜

12〃i+9d=8，[d=~2，

所以斯=13—2(〃-1)—15—2n.

令〃〃=15—2〃＞0,解得〃＜?■，且〃€N*,

當nW7時，則出＞0,可得及=|〃1|+|〃2|+…+|斯|=。1+〃2+…+"〃=S〃=14M—哈

當"28時，則斯＜0,可得為=|〃1|+|〃2|+…+|斯|=（。1+。2+...+〃7）—（恁+…+〃M）=S7—（Sn

—S7）=2S7—*=2X（14X7—72）—（14〃一〃2）=〃2—14〃+98.

f14〃一層,RW7，

綜上所述，Tn=\?一I。。

1層-14〃+98，〃28.

素養(yǎng)提演

17.（2023?江西九所重點中學高三下第二次聯(lián)考）已知函數(shù)y=#x）對任意自變量尤者B有/（無）=八4

—X）,且函數(shù)y（x）在[2,+oo）上單調(diào).若數(shù)列｛斯｝是公差不為0的等差數(shù)列，且八。6）=火。2018），

貝|]