2025學年八年級數學下學期開學摸底考

（福建專用）

全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.數學在建筑美學中扮演著重要的角色，下列圖形中是軸對稱圖形的是（）

【答案】A

【分析】此題考查了軸對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，

這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱,

據此判斷即可求解，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

【詳解】A、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

故選：A.

2.下列計算正確的是（）.

A.4a—2a=2B.a2-a4=a8C.（/）=a6D.—（a—=—a—b

【答案】C

【分析】本題主要考查了合并同類項，同底數幕的乘法，幕的乘方，去括號等知識點，熟練掌握相應的運

算法則是解題的關鍵.

根據合并同類項、同底數暴的乘法、嘉的乘方、去括號法則逐項分析判斷即可.

【詳解】解：A.4a-2a=2"2,原計算錯誤，故選項A不符合題意；

B.原計算錯誤，故選項B不符合題意；

C.(/)2=/,計算正確，故選項c符合題意；

D.-(a-b)=-a+b^-a-b,原計算錯誤，故選項D不符合題意；

故選：C.

3.用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明44'0'9=44。5的依據是()

【答案】B

【分析】本題主要考查了作一個角等于已知角，用SSS證明三角形的全等，由作一個角等于已知角可得出

OC^O'C,OD=O'D'>CD=CD',即可得出ADOC會AD'O'C'(SSS)進而可得出答案.

【詳解】解：由己知條件可得出。C=O'C,OD=O'D'，CD=CD',

AZJOC也AD'O'C'(SSS),

ACO'D'=ACOD,

即ZA'O'B'=ZAOB,

即說明ZA'O'B'=ZAOB的依據是SSS.

故選：B.

4.下列計算不正確的是()

A.V16—A/9B.=C.=-D.3^2-2A/2=V2

【答案】A

【分析】本題考查了平方根、立方根、算術平方根的意義、實數的運算法則，解題的關鍵是熟練掌握運算

法則.

【詳解】解：A、V16-V9=4-3=1^77,原計算錯誤，因此選項A符合題意；

B、*匡=+?,計算正確，因此選項B不符合題意；

V93

C、在=3,計算正確，因此選項C不符合題意；

V644

D、3亞-2亞=拒，計算正確，因此選項D不符合題意；

故選：A.

5.如圖，△4BCHDCB,若NDBC=40。，則N/O8=()

【答案】D

【分析】本題考查全等三角形的性質和三角形外角的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的對應角相等.

【詳解】解：AABCWDCB,ZDBC=40°,

ZACB=ZDBC=40°,

：.NAOB=ZOCB+ZOBC=400+40°=80°.

故選：D.

6.如圖，在ZUBC中，44c5=90。，CD是高，44=30。，BD=2,則48的長為()

【分析】本題考查了直角三角形的性質.首先在RMCB。中根據直角三角形中30。的銳角所對的直角邊等于

斜邊的一半可知C3=4,在RM/8C中再次利用直角三角形中30。的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半得到

A8=8.

【詳解】解：??,CD是高，

ZCDA=90°,

又?.，=30°,

ZACD=60°,

ZACB=90°,

:"BCD=NACB-NACD=90°-60°=30°,

在RMC8。中，CB=2BD=2義2=4,

在RtA/BC中，AB=2CB=2x4=8.

故選：C.

7.甲、乙二人同駕一輛車出游，各勻速駕駛一半路程，共用3h,到達目的地后，甲對乙說：“我用你所花

的時間，可以行駛180km”，乙對甲說：“我用你花的時間行駛80km”，從他們的交談中可以判斷乙駕駛的

時長為多長時間，設乙駕駛的時長為xh,依題意可得（）

A.=X.皿B.（3-）&=x.坨

x3xX3x

「80180—18080

C.—=------D.-----=-------

x3—xx3-x

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程的應用，解決本題的關鍵是正確理解題意，熟練掌握速度時間和路程之間的

關系，找到題意中的等量關系.設乙駕車時長為xh,則甲駕車時長為（3-x）h,根據兩人對話可知：甲的

1QQQQ

速度為￡km/h,乙的速度為rLkm/h,根據“各勻速行駛一半路程”列出方程求解即可.

x3-x

1on

【詳解】解：設乙駕車時長為Xh,則甲駕車時長為（3-x）h,根據兩人對話可知：甲的速度為子km/h,

on

乙的速度為:;——km/h,

3-x

根據題意得：（3-x）?四=x?普.

x3-x

故選：A.

8.如圖，邊長為〃的正方形，將它的邊長增加b,根據圖形可以說明公式：（）

A.（a+b）（a-b）=a2-b2B.（a+bf=a2+2ab+b2

C.-ft）2=a2-2ab+b2D.（tz+=tz3+3a2b+3ab2+b3

【答案】B

【分析】本題考查的是多項式的乘法與圖形面積的關系，根據新圖形的面積可表示為+或

a2+2ab+b?,從而可得答案.

【詳解】解：邊長為〃的正方形，將它的邊長增加6,則面積為（4+6）2或〃+2ab+〃，

?,.（〃+bp=a2+2ab+b1,

故選：B.

9.如圖，在△ABC中，AC=BC,AB=6,的面積為12,CQ14B于點直線跖垂直平分BC,

交AB于點E,交BC于點F,尸是線段E廠上的一個動點，則P5+P。的最小值是（）

A.4B.6C.7D.12

【答案】A

【分析】本題考查中垂線的性質，兩點之間線段最短，根據中垂線的性質，得到8P=CP,進而得到

PB+PD=PC+PD>CD,進而得到P3+PL1的最小值為CD的長，根據三角形的面積公式求出CD的長即

可.

【詳解】解：連接尸C,

?.,直線跖垂直平分5C,

PC=PB,

：.PB+PD=PC+PD>CD,

,/CDVAB,

：

.S△ABC=-A2B-CD=n,

*/AB=6,

：.CD=4,

尸8+尸Z）的最小值為4.

故選：A.

10.如圖，已知△4BC,分別以42、NC為邊向外作等邊△/B尸和等邊△ZCE,CF和8E交于。點，則下

列結論：①CF=BE；②NCOB=120。；③。1平分NFOE；@OF=OA+OB.其中正確的有（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】D

【分析】根據等邊448戶和AZCE的性質，利用SAS可證A43E四△，尸C,由全等三角形的性質可知①正

確；由三角形內角和為180。易求/BOC的度數,可知②正確;連接/。，過A分別作AP1CF于P,AM±BE

于。，由5.砥=5必笈可得4P=/。，進而可得04平分NFOE,所以③正確；在。尸上截取=08,利

用SAS可證AFBD空”5。，由全等三角形對應邊相等可得。尸=。9+。。=。/+。5,故可得④正確，據此

即可求解.

【詳解】解：???△48尸和是等邊三角形，

AB=AF,AC=AE,Z.FAB=Z.EAC=60°,

???/FAB+ABAC=ZEAC+ABAC,

即/FAC=/BAE,

在△/5￡與春產。中，

AB=AF

<NBAE=/FAC,

AE=AC

：.AABE^AAFC(SAS),

:?BE=FC,/AEB=/ACF,故①正確；

ZEAN+ZANE+ZAEB=180°,ZCON+ZCNO+ZACF=180°,ZANE=ZCNO,

...ZCON=ZCAE=60°=ZMOBf

：.ZBOC=lSO°-ZCON=nO0,故②正確；

連接40,過A分別作4P1CF于P,于。，如圖1,

AABE^AAFC,

?c—v

??LABE-uMFC，

：.^CFAP=^BEAQ,

?/CF=BE,

：.AP=AO,

.?.點A在NFOE的角平分線上，

：.O4平分NFVE,故③正確；

如圖2,在。尸上截取00=08,

E

AOB。是等邊三角形，

:.BD=BO,ZDBO=60°,

Z.NFBD=AABO,

,/BF=AB,

：.AFBD注“BO（SAS）,

DF=OA,

AOF=DF+OD=OA+OB,故④正確；

綜上，正確的結論有①②③④，

故選：D.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的判定，三角形的內

角和定理，正確作出輔助線是解題的關鍵.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

H.如果式子471有意義，那么x的取值范圍是

【答案】x>-2

【分析】本題考查二次根式有意義的條件.根據二次根式有意義的條件：被開方數大于等于0,進行計算即

可.

【詳解】解：由題意得：x+2>0,解得：x>-2；

故答案為：x>-2.

12.若正多邊形的一個外角為60。，則這個正多邊形的邊數是.

【答案】六/6

【分析】本題考查了多邊形的外角和.根據任意多邊形的外角和都是360度求解即可.

【詳解】解：360。+60。=6,

這個多邊形的邊數是六.

故答案為：六.

13.如圖，在中，AB=AC,ZB=40°,點。為5c的中點，則/C4D=°.

B

D

【答案】50

【分析】本題考查等腰三角形的性質、三角形的內角和定理，先根據等腰三角形的性質得到

/C=Z8=40。，ZADC=90°,再利用三角形的內角和定理求解即可.

【詳解】解：=25=40°,

ZC=Z5=40°,

VAB=AC,。為5c的中點，

/.AD1BC,

：.NADC=90°,

ZC+ZCAD=90°,

：./CID=90°-40°=50°,

故答案為：50.

14.若式子x2+fcr+16是一個完全平方式，則左=.

【答案】±8

【分析】本題主要考查了完全平方式，先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式的乘積二倍

項即可確定k的值.

【詳解】解：x2+fcr+16=x2±2x4x+42,

kx=+2x4x,

解得左=±8.

故答案為：±8.

15.關于x的分式方程:-+三=1的解是非負數，則加的取值范圍為.

l-xX-1

【答案】加《3且aw2

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解表示出X,由解為非負數求出山的范圍即可.

【詳解】解：去分母，得％-2=1-x,

解得x=3-S，

；分式方程的解為非負數，

3-m>0,且3-5wl,

解得加W3且*2.

故答案為：加<3且%#2.

【點睛】此題考查了解分式方程以及解一元一次不等式，解題關鍵是注意在任何時候都要考慮分母不為0.

16.我們把過三角形的一個頂點且能將這個三角形分割成兩個等腰三角形的線段稱為該三角形的“等腰線

段”.例如：等腰直角三角形斜邊上的中線為該三角形的“等腰線段”.如圖，在AEEG中，若NG=2NF,

且AMG有一條過點E的“等腰線段”，則ZF的度數m的取值范圍為.

【答案】0°<m<45°

【分析】本題考查等腰三角形的性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是正確理解題目所給“等腰線段”的定

義，掌握等腰三角形等邊對等角的性質.設射線E4將AEFG分成兩個等腰三角形，即△/￡尸和△/EG,

設/尸=x,則/G=2x,然后根據等腰三角形的定義分情況討論，利用等腰三角形底角一定小于90。解答即

可.

【詳解】解：.??胡為“等腰線段”，即此時A/E尸和AZEG為等腰三角形，

設Z.F-x,貝！JNG=2x,

如圖，當==時，

/EAG=/G=2x,

?：ZG+ZEAG+ZAEG=180°,即4x=180。—/ZEG,且//EG〉00,

???2x<90°,

???xv45。；

如圖，當=Z/=4G時，

；./AEG=/G=2x,/AEF=/F=x,

,/NG+/AEG+ZF+ZAEF=180°,即6x=180°,

：.x=30°,

VZG=2ZF,NEAF=/G+NAEG>NG>NF,

二不存在NE=E尸的情況，

如圖，當E尸=4/時，

貝I]NEAF=ZFEA=1(180°-ZF)=9O°-1x,

?1?ZAEG+ZG+NFEA+"=180°,

ZAEG=180°-2x-190。一gx)-x=90°-gx,

ZFEG=ZFEA+AEG=2x+900--x=90°--x=ZEFA,

22

此時，點4G重合，(舍去)，

綜上，加的取值范圍為0°〈機<45°.

故答案為：0°<m<45°.

三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.(8分)

計算：

(1產

k7m2-lm+1*

(2)(TT-4)°+2-2-(-l)2022+(—；)1.

【答案】(1島

⑵一爭

【分析】本題考查了分式的減法運算，零指數暴以及負整數指數累的運算；

(1)根據異分母分式的加減進行計算即可求解；

(2)根據零指數幕，負整數指數幕，有理數的乘方進行計算即可求解.

【詳解】⑴解：*一黑

m(m—1)m—1

(m+l)(m—1)m+1

mm—1

m+1m+1

1

m+1

(2)(7T—4)°+2—2-(-1)2022+(_?1

1

=1+-—1—4

4

15

=~~4~

18.(8分)

因式分解：

(1)—2a+12。2—18a；

(2)(2%+y)2—(%—2y)2.

【答案】⑴-2a(a-3)2；

(2)(3%-y)(%+3y).

【分析】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

(1)先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可；

(2)利用平方差公式分解即可.

【詳解】(1)解：—2a3+12a2-18a

——2a(小—6a+9)

=—2a(a—3)2；

(2)解：(2%+y)2—(%—2y)2

=[(2%+y)+(x—2y)][(2%+y)—(x—2y)]

=(3%-y)(%+3y).

19.(8分)

先化簡，再求值：(答—其中X滿足尤2—2x—4=0.

Vx2-xx2-2x+l/x

【分析】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.原式括號中兩項通分并利用同

分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，再整體代入計算即可求出值.

【詳解】原式=[*等一缶]義已，

x2+2x—3—%2x

=-----------X-----,f

入2x-3

1

x2—2x+l'

,：x2-2x-4=0,

.'.%2—2x=4,

原式=三="

20.(8分)

如圖，點B,F,C,E在同一條直線上，BF=EC,AB=DE,ZB=zF.求證：AC=DF

工

AL---------------

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，由8F=EC可得BC=EF,進而由SAS可證明AABCmADEF,

即可得證.

【詳解】證明*；BF=EC,

：.BF+CF=EC+CF,

即BC=EF,

在△力BC和△DEF中，

(BC=EF

“B=NE,

VAB=DE

：.△ABC=△OEF(SAS),

：.AC=DF.

21.(8分)

如圖，已知在△ABC中，點。在邊AC上，S.AB=AD,乙B=2乙C.

BC

(i)用尺規作圖法，作AB"的平分線ap,交BC于點尸；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(2)在(1)的條件下，連接PD.求證：點。在線段PC的垂直平分線上.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關

鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

(1)根據要求作出圖形；

(2)證明△P4B三力。，推出NB=N4DP=2NC可得結論.

【詳解】(1)解：如圖，射線4P即為所求；

D

BP\C

(2)證明：???4P平分的C,

???乙PAB=Z-PAD,

-AB=AD,AP=AP,

：.APAB=APADf

???Z-B=Z-ADP,

乙B=2zC,Z-ADP=Z-DPC+zf,

???Z.DPC=zC,

：.DP=DC

■■點D在線段PC的垂直平分線上.

22.(10分)

為了提高垃圾處理速度，某垃圾處理廠購進小B兩種機器處理垃圾.其中B型機器每天比4型機器少處理50

噸垃圾，且8型機器處理150噸垃圾與2型機器處理300噸垃圾所需天數相同.

(1)求4、B兩種機器每天各處理垃圾多少噸？

⑵現有1072噸垃圾需要處理，若4型機器每天維護所需費用為150元，B型機器每天維護所需費用為65元,

那么在總維護費用不超過1480元的情況下，至多安排4型機器工作多少天？

【答案】(1)4型機器人每天處理的重量為100噸，B型機器人每天處理的重量為50噸.

(2)至多安排4型機器工作4天.

【分析】本題考查了分式方程的應用和一元一次不等式的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題

的關鍵.

(1)設B型機器人每天處理的重量為久噸，則4型機器人每天處理的重量為(x+50)噸，根據B型機器處理150

噸垃圾與2型機器處理300噸垃圾所需天數相同列出方程，解方程即可，注意驗根；

(2)設B型機器人工作b天，由題意列出不等式組，b為整數，求出6的最小值，進而即可得解.

【詳解】(1)解：設8型機器人每天處理的重量為x噸，則4型機器人每天處理的重量為Q+50)噸，由題意

列方程為：

150_300

x工+50'

解得：x=50,

經檢驗，%=50是原方程的根，

則x+50=100,

型機器人每天處理的重量為100噸，B型機器人每天處理的重量為50噸.

(2)解：設8型機器人工作b天，4型機器人工作0°,；0050b)天,

由題意得:

1072-50》

150x-Too-+65b<1480,

解得：b>12.4,

???b為整數,

最小為13,

將b=13代入中，解得“工作天數約為4,總費用為：150x4+65x13=1445V1480,符合題

忌，

.?.至多安排a型機器工作4天.

23.(10分)

(1)【知識回顧】數形結合是數學學習的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數學問

題.圖1中陰影部分的面積能解釋的乘法公式為；圖2中陰影部分的面積能解釋的乘法公式為

(2)【拓展探究】用4個全等的長和寬分別為a、b的長方形拼擺成一個如圖3的正方形.

①通過計算陰影部分的面積，直接寫出這三個代數式(a+6)2,(a—b)2,ab之間的等量關系.

②若a—b=10,ab=11,求a+6的值.

(3)【解決問題】如圖4,C是線段4B上的一點，分別以AC,BC為邊向兩邊作正方形4CDE和BCFG,設

AB=6,兩正方形的面積和為20,求△4FC的面積.

【答案】(11)(a+以=a?+2ab+爐：(a—b)2=a2—2ab+爐；(2)①(a—b)2=(a+6)2—4a6,②

a+b=12；(3)4

【分析】此題主要考查了幾何背景下的完全平方公式，準確識圖，正確地計算圖形的面積是解決問題的關

鍵.

(1)用兩種不同的方法計算圖|中大正方形的面積即可得出答案；用兩種不同的方法計算圖2中大正方形的

面積即可得出答案；

(2)①用兩種不同的方法計算圖3中大正方形的面積即可得出代數式(a+b)2,(a—b)2,ab之間的等量關

系；②根據①得(a—b)2=(a+b)2—4ab,再將a—b=10,ab=11代入計算即可得出a+b的值；

(3)設正方形4CDE的邊長為a,BCFG的邊長分別為d則a+b=6,a2+b2=20,

根據(a+b)2=a2+2ab+b?得ab=8.由此可得△ACF的面積.

【詳解】解：(1)由圖可得：圖①中陰影部分的面積可以看成是一個大正方形的面積即(a+6)2,或兩個正

方形的面積加兩個長方形的面積即層+2尤+按，

???圖①中陰影部分的面積能解釋的乘法公式為(a+by=a2+2ab+b2；

圖②中陰影部分可以看成是邊長為a-b的正方形，即面積為(a-忸

所以面積為M—b2—2fo(a—b)=Q?-2ab+b2,

所以圖②中陰影部分的面積能解釋的乘法公式為(a-8尸=a2-2ab+b2；

故答案為：①(a+bp=a2+2ab+按②(a—6)2=a2—2ab+b2；

(2)①大正方形的面積為(a+b)2,小長方形的面積為必，陰影部分的面積為(a—力產,

???(a—fo)2=(a+b)2—4曲

②由(1)得：(a—6)2=(a+Z?)2—4ab

a—b=10,ab=11,

.-.(a+b)2=102+4xll=144

a+b=12；

(3)設正方形/CDE和BCFG的邊長分別為Q,b,

a+b=6,a2+h2=20,

:.2ab=(a+b)2—a2—b2=16,

?*,ctb=8,

i

SAAFC=2ab=4-

24.(12分)

閱讀下面的解題過程：

已知心="，求高的值?

解：由/Y=g知％。0,所以^^=5,即％+[=5

所以：當=/+2=(%+工丫-2=52-2=23

所以爰石的值為強

該題的解法叫“倒數法”，請你也利用“倒數法”解決下列問題：

(1)已知島?=《，求島的值；

⑵行U求高的值；

(3)拓展：已知x+y——5，y+z—g,x+z_To,求xy+yz+zx的值?

【答案】(1醫

(2心

【分析】本題考查了分式的運算、運用完全平方公式分解因式，解決本題的關鍵是理解題目給出的解題思

路，仿照例題的解題思路解題.

(1)根據品;=1可得X+；=3,根據=X2+5=(X+工)2—2求出要|的值，可得*7=,；

%-/XX

422-3可求:X4+X2+4

(2)仿照例題先求倒數可得：%+|=4,根據x+x+4=X2Y4x+的值，可得

X2+1+N=i)

X21

%4+x2+413'

11111。，可得打打”所以可得蟹比1

(3)仿照例題求倒數可得：-+^=-2,+6,|+-17,=5+

?7xX

+：=7,利用倒數法可得最詼1

7

X

【詳解】(1)解:,%2+i—可知工。0,

X2+lQ

-----=3,

X

1c

???%+-=3,

X

4—

x+lX2+-2=32-2=7,

X2X2\X)

1

%4+17?

X

(2)解：?.*x2+x+2可知％W0,

X2+X+2I-

--------=5,

X

2一

-%+1+-x=5,

2,

???%+—=4,

X

x4+x2+4!=(尤+。2

X2+1+-3=42-3=13,

X2\X)

1

x4+x2+413'

xyi.yz工xz=*,可知ywo,zwo,

(3)解:x+y2，y+z6x+z

._ny+z

xyyz=6,—xz=10,

11-11

二尹『一2,-+6,—I—=10,

7ZX

1.1.11.11

+-+-+-+-+-14,

yxyX

11,1

-4-----1—7,

yxz

xy+yz+zx1,11

xyz出+歹=7,

xyz1

xy+yz+zx7,

25.(14分)

在△ABC中，48=乙C,點。在線段BC上,

AAA

(2)如圖2,AH平分484。，點F在線段B。上，FH14H交4。的延長線于點G,乙4cB與乙4GF的角平分線交于

點P,問磊是否為定值，請說明理由；

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(3)如圖3,