專題四圖形的認識——2025屆中考數學突破熱點訓練營

1.如圖，琪琪家位于點O北偏西70°方向，則點A，B，C，D中可能表示琪琪家的是()

A.點AB.點BC.點CD.點D

2.隨著我國的發展與強大，中國文化與世界各國文化的交流與融合進一步加強.為了增進世界

各國人民對中國語言和文化的理解，在世界各國建立孔子學院，推廣漢語，傳播中華文化.同

時，各國學校之間的交流活動也逐年增加.在與國際友好學校交流活動中，小敏打算制做一個

正方體禮盒送給外國朋友，每個面上分別書寫一種中華傳統美德，一共有“仁、義、禮、智、

信、孝”六個字.如圖是她設計的禮盒平面展開圖，那么“禮”字對面的字是().

A.仁B.義C.智D.信

3.我國古代園林連廊常采用八角形的窗戶設計，如圖1所示，其輪廓是一個正八邊形，從窗

戶向外觀看，景色宛如鑲嵌于一個畫框之中.圖2是八角形窗戶的示意圖，它的一個外角1

的大小為()

A.22.5B.45C.60D.135

4.如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計）的轉彎處是一段圓弧(AB)，點O是這段弧所在圓

的圓心，半徑OA90m，圓心角AOB80，則這段彎路(AB)的長度為()

A.20mB.30mC.40mD.50m

5.如圖，燒杯內液體表面AB與燒杯下底部CD平行，光線EF從液體中射向空氣時發生折

射，光線變成FH，點G在射線EF上.已知HFB20，FED60，則GFH的度數為

()

A.20B.40C.60D.80

6.清初安徽數學家梅文鼎創造性的設計直角三角形，證明了：AD是銳角△ABC的高，則

BD2CD2AB2AC2.如圖，已知△ABC中，AB7，BC6，AC5，點D在邊BC

上，以AD為折痕將AC折疊，使得點C落在BC上的點E，則BE()

A.3B.4C.13D.5

7.有一塊半徑為8米，圓心角為45°的扇形空地需要美化，某同學的設計圖如圖所示，在扇形

空地上修建一個正方形水池，正方形的一條邊DE在邊OB上，點C在邊OA上，其他部分種

上花圃，已知花圃的面積為16平方米，設BE的長為x米，可列方程為()

22

8x8x2

A.816B.1616C.8(8x)16

22

D.16(8x)216

8.某小區車庫門口的“曲臂直桿道閘”（如圖1）可抽象為如圖2所示的模型.已知AB垂直于水

平地面AE.當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的BC段繞點B逆時針轉動，使CD段一直保

持水平狀態上升（即CD與AE始終平行），在該運動過程中，BC始終等于()

A.360B.180C.250D.270

9.《數書九章》是宋代數學家秦九韶編寫的一部實用數學大全.數學課上同學們對“遙度圓城”

問題進行了改編如下：如圖，一座圓形城池有正東、正南、正西和正北四個門，北門外正北

方向有一棵大樹，假設某人從南門向東走9里恰好可以看到這棵大樹，此時轉身向樹的方向

繼續走15里到達樹下，則該城池的外圍直徑為()

9

A.里B.6里C.9里D.10里

2

10.2024年1月23日，國內在建規模最大塔式光熱項目——甘肅省阿克塞匯東新能源“光熱+

光伏”試點項目，一萬多面定日鏡（如圖1）全部安裝完成.該項目建成后，年發電量將達17

億千瓦時.該項目采用塔式聚光熱技術，使用國內首創的五邊形巨蜥式定日鏡，單塊定日鏡

（如圖2）的形狀可近似看作正五邊形，面積約為48m2，則該正五邊形的邊長大約是()

（結果保留一位小數，參考數據：tan360.7，tan541.4，426.5，214.6）

A.5.2mB.4.8mC.3.7mD.2.6m

11.騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行

3

車的平面結構示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，△ABE，

4

△BEC，△ECD均是邊長為1的等邊三角形.設點P為后輪上的一點，則在騎該自行車的過程

中，記PB的最大值為x，最小值為y，則xy的值為()

9345

A.3B.23C.D.

1616

12.抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質文化遺產之一.如示意圖，AC，BD分

別與O相切于點C，D，延長AC，BD交于點P.若P120，O的半徑為6cm，則瞬間

與空竹接觸的細繩的長為()

A.4πcmB.4cmC.2πcmD.2cm

13.如果你可以只用一種圖形沒有重疊、沒有間隙地鋪滿一個平面，那么這種圖形就被稱為可

以“鑲嵌”這個平面，完美五邊形就是這種圖形.如圖的五邊形ABCDE是迄今為止人類發現的

第15種完美五邊形.若175度，則2345______度.

14.我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提出了著名的“割圓術”.所謂“割圓術”，是用

圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積，并以此求取圓周率π的方法，劉徽指出“割之彌

細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”.例如，O的半徑為

1333

1，運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積估計O的面積，S正六邊形61，所

222

3333

以O的面積近似為，由此可得π的估計值為，若用圓內接正十二邊形估計O的

22

面積，可得π的估計值為_______.

15.小張同學準備用矩形紙片做一個圓錐形帽子.如圖，在矩形紙片ABCD中，AD30cm，取

CD的中點O，以O為圓心，30cm長為半徑作弧，分別交AD于點E，BC于點F，得到扇形

紙片EOF（陰影部分），發現點E、F分別是邊AD、BC的中點，則此扇形紙片圍成圓錐形

帽子的底面圓的周長為_____cm（結果含π）.

16.如圖1是我國明末《崇禎歷書》之《割圓勾股八線表》中所繪的割圓八線圖.如圖2，根據

割圓八線圖，在扇形AOB中，AOB90，AC和BE都是O的切線，點A和點B是切

點，BE交OC于點E，OC交O于點D，ADCD.若OA3，則CE的長為______.

17.如圖①是小明制作的一副弓箭，A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點，弓弦

BC0.6m，沿AD方向拉弓的過程中，假設弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦長度不變.如圖

②，當弓箭從自然狀態的點拉到點時，有，

DD1AD10.3mB1D1C1120.

（1）圖②中，弓臂兩端B1，C1之間的距離是________m；

（2）如圖③，將弓箭繼續拉到點D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的值為________.

18.已知一個液壓升降機如圖1所示，圖2和圖3是該液壓升降機的平面示意圖，菱形CODP

的邊長及等腰三角形OAB、PEF的腰長都是定值且相等.如圖2，載物臺EF到水平底座AB

的距離h1為60cm，此時AOB120；如圖3，當AOB90時，載物臺EF到水平底座

的距離為（結果精確到，參考數據：，）

ABh2_______cm1cm21.4131.73.

19.綜合與實踐

一段平直的天然氣主管道l同側有A，B兩個小鎮，A，B到主管道l的距離分別是2km和

3km，ABxkm.現計劃在主管道上選擇一個合適的點P，向A，B兩個小鎮鋪設天然氣管

道，使鋪設管道的總長度最短.

數學小組設計了兩種鋪設管道的方案：

（1）方案一：如圖1，設該方案中管道長度為d1，且d1PAAB（其中APl），

（用含的式子表示）

d1_________kmx.

（）方案二：如圖，設該方案中管道長度為，且（其中點與點關于

22d2d2PAPBBBl

對稱，AB與l交于點P），為了計算d2的長，過點A作BB的垂線，垂足是D，如圖3所

示，計算得（用含的式子表示）

d2_________kmx.

（3）歸納推理：

①當時，比較大小：（填、或）；

x4d1_________d2“>”“=”“<”

②當x6時，比較大小：d1_________d2（填“>”、“=”或“<”）

（4）方案選擇：請你參考方框中的方法指導，就x的取值情況進行分析，要使鋪設的管道長

度較短，應選擇方案一還是方案二？

方法指導當不易直接比較兩個正數的大小時，可以對它們的平方進行比較.

要比較，的大小，比較2，2的大小即可

d1d2d1d2.

當22時，，即

d1d20d1d20d1d2

當22時，，即

d1d20d1d20d1d2

22

當d1d20時，d1d20，即d1d2

20.請閱讀下面材料，并完成相應的任務；

阿基米德折弦定理

阿基米德（Arehimedes，公元前287—公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數學家之

一，他與牛頓.高斯并稱為三大數學王子.

阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964

年根據Al-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理.

阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），

BCAB，M是ABC的中點，則從點M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即

CDABBD.

這個定理有很多證明方法，下面是運用“垂線法”證明CDABBD的部分證明過程.

證明：如圖2，過點M作MH射線AB，垂足為點H，連接MA，MB，MC.

M是ABC的中點，

MAMC.

…

任務：

（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

（2）如圖3，已知等邊三角形ABC內接于O，D為AC上一點，ABD15，CEBD于

點E，CE2，連接AD，則△DAB的周長是______.

21.閱讀與思考：請閱讀下面小論文，并完成相應學習任務.

關于同一種正多邊形的平面密鋪

平面密鋪是指用一些形狀大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空

隙、不重疊地把平面的一部分完全覆蓋.一般來說，構成一個平面密鋪圖形的基本圖形是多邊

形或類似的一些常規形狀，例如我們鋪地板時經常使用正方形地磚.

對于正n邊形，從一個頂點出發作對角線，它們將n邊形分成n2個三角形，得到其內角

和是n2180，則一個內角的度數就是n2180n，若一個內角度數能整除360，

那么這樣的正n邊形就可以進行平面密鋪.圖1和圖2就是分別利用正三角形和正方形得到的

兩組密鋪圖案.如圖3，按照平面密鋪的條件，正五邊形就不能進行平面密鋪.

對于一些不規則的多邊形，全等三角形或全等四邊形也可以進行平面密鋪.圖4就是利用全等

的四邊形設計出的平面密鋪圖案.

對于不規則的凸五邊形，迄今為止發現了15種能用于平面密鋪的五邊形.德國數學家萊因哈

特（1895—1941）憑借其出色的平面幾何功底與直覺，從1918年開始，陸續發現了前5種五

邊形密鋪方式.2015年，美國華盛頓大學數學教授卡西·曼夫婦發現了第15種能用于平面密鋪

的五邊形.圖5就是利用不規則的凸五邊形得到的一種密鋪圖案.

學習任務：

（1）填空：上面小論文中提到“對于正n邊形，從一個頂點出發作對角線，它們將n邊形分

成n2個三角形，得到其內角和是n2180”，其中體現的數學思想主要是______.（填

出字母代號即可）

A.數形結合思想；B.轉化思想；C.方程思想

（2）圖3中角1的度數是______.

（3）除“正三角形”“正四邊形”外，請再寫出一種可以進行密鋪的正多邊形：______.

（4）圖6是圖5中的一個基本圖形，其中A60，BECD120，并且

ABAE.求證BCDE.

22.如圖1，圓形拱門是中國古典園林建筑元素之一，圓形拱門有著圓滿、完美的美好寓意、

（1）在圖2中作出拱門中圓弧的圓心（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2）已知拱門高2.8m（優弧AC中點到BD的距離），ABBD，CDBD，BD2.4m，

AB0.4m，求拱門的圓弧半徑.

答案以及解析

1.答案：A

解析：觀察發現，點A位于點O北偏西70方向.

故選A.

2.答案：A

解析：正方體展開有六個面，“禮”與“智，信，義，孝”相鄰，分別是都相鄰的面，而與“仁”

是相對.故答案選A.

3.答案：B

解析：正八邊形的外角和為360，

每一個外角為360845，

故選：B.

4.答案：C

解析：因為半徑OA90m，圓心角AOB80，所以這段彎路(AB)的長度為

80

29040(m).

360

5.答案：B

解析：由題意知，AB//CD，

GFBFED60，

GFHGFBHFB40，

故選：B.

6.答案：B

解析：由折疊性質可設：CDDEx，

BD6x，

BD2CD2AB2AC2，

2

6xx27252，解得：x1，

BE62x4，

故選：B.

7.答案：A

解析：∵圓心角為45°的扇形，且四邊形CDEF是正方形

∴CDE90，CDDEOD

∵半徑為8米,設BE的長為x米

8x

∴DECD

2

2

4582π8x

∴16

3602

2

8x

化簡得8π16

2

故選：A

8.答案：D

解析：如圖，過點B作BG//AE，則BAEABG180.

AE//CD，BG//CD，CCBG180，

BAEABGCBGC360，

即BAEABCC360.

BAAE，BAE90，

ABCC36090270.

9.答案：C

解析：如圖，由題意可得，AB9里，BC15里，BC與圓O相切，切點為D，

BAC90，

ODBC，ACBC2AB21529212里，

ODC90，

設OAODx里，則OC12x里，

ODCBAC90，CC，

△ODC∽△BAC，

COOD

，

CBBA

12xx

即，

159

9

解得x，

2

9

該城池的外圍直徑為29里，

2

故選：C.

10.答案：A

解析：如圖：設正五邊形的中心為O，連接OA，OB，過點O作OFAB，垂足為F，

360148

AOB72，△AOB的面積正五邊形的面積m2，

555

OAOB，OFAB，

1

AOFAOB36，AB2AF，

2

設OFxm，

在Rt△OAF中，AFOFtan360.7x(m)，

AB2AF1.4x(m)，

148

ABOF，

25

148

1.4xx，

25

解得：x3.71，

AB1.4x5.2(m)，

該正五邊形的邊長大約是5.2m，

故選：A.

11.答案：D

解析：連接BD交EC于O，交D于M，延長BD交D于點N，

△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為1的等邊三角形.

BCBEEDDC1，CBECDE60，

四邊形BEDC是菱形，

1

CEBD，OBOD，OCOE，

2

2

213

OBOD1，

22

BD2OB3，

點P為后輪上的一點，

當P與M重合時PB取最小值，當P與N重合時PB取最大值，

在騎該自行車的過程中，記PB的最大值為x，最小值為y，圓D（后輪）的半徑均為

3，

4

353333

x3，x3，

4444

533345

xy，

4416

故選：D.

12.答案：C

解析：如圖所示，連接OC、OD，

AC，BD分別與O相切于點C，D，

OCPODP90，

P120，OCPODPPCOD360，

COD60，

60π6

CD的長2π(cm)，

180

瞬間與空竹接觸的細繩的長為2πcm，

故選：C.

13.答案：285

解析：由題意，得：12345360，

175度，

2345285；

故答案為：285.

14.答案：3

解析：如圖，AB是正十二邊形的一條邊，點O是正十二邊形的中心，設O的半徑為1，

過A作AMOB于M，

在正十二邊形中，

AOB3601230，

11

AMOA

22

1111

SOBAM1

△AOB2224

1

正十二邊形的面積為123，

4

312π，

π3，

π的近似值為3，

故答案為：3.

15.答案：20π

1

解析：由題意得：EDAD15cm，EO30cm，

2

DE151

在Rt△ODE中，sinDOE，

OE302

DOE30，

EOF1803030120，

120π30

MN的長為：20π(cm)，

180

用此扇形紙片圍成的圓錐形帽子的底面圓的周長為20π(cm)，

故答案為：20π(cm).

16.答案：623

解析：AC和BE是O的切線，

OACOBE90，

又AOB90，

AC//OB，

CBOD，

CDAD，

CCAD，

BODCAD，

DAODOA，

又OAOD，

△AOD是等邊三角形，

AOD60，CBOD30，

OB3

OC2OA6，OBOA3，OE23，

cos303

2

CEOCOE623，

故答案為：623.

3351

17.答案：；

1010

解析：連接，交于點，

B1C1AD1Q

AD10.3m，

點A是弓臂BAC的中點，點D1是BAC所在圓的圓心，

1

BDACDABDC60，BCAD，ADBD0.3m，

11112111111111

3333

在Rt△BDQ中，BQBDsin60cm，

1111110220

33

BC2BQm.

11110

（2）連接B2C2交AD2于點P，

120π0.3

由（1）可得：CAB0.2πm，

11180

設所在圓的半徑為，

C2AB2r

C2AB2πr0.2π，解得：r0.2，

，

APB2Pr0.2m

BC0.6m，

1

BDBC0.3m，

222

25

在Rt△BPD中，根據勾股定理可得：PDBDBP2m，

22222210

15351

，

D1D2AD2AD1APPD2AD1m

5101010

18.答案：85

解析：如圖2，連接OP并延長，交AB、EF于點M、N，連接CD，與MN交于點Q，

∵四邊形CODP是菱形，等腰三角形OAB、PEF的腰長都是定值且相等，

∴MNEF,MNAB，QPPNQOOM，

∵載物臺EF到水平底座AB的距離h1為60cm，

∴MN60cm，

∴QPPNQOOM15cm，

∵AOB120，

∴∠OAB∠OBA30，

∴OA2OM30cm，

如圖3，連接OP并延長，交AB、EF于點G、H，

同理可得，

GHh24OG

∵AOB90，

∴△OAB是等腰直角三角形，

∴OA2OG，

30

∴OG21.3cm，

2

∴；

GHh2421.385cm

故答案為85.

19.答案：（1）x2

（2）x224

（3）<；>

（4）當x5時，選方案二；

當x5時，選方案一或方案二；

當x5時，選方案一

解析：（1）由題意得，d1PAABx2km，

故答案為：x2；

（2）AD2AB2BD2x21，

AB2AD2BD2x2152x224，

2，

d2x24

故答案為：x224；

（3）當x4時，d16，d2210，

d1d2，

當x6時，d18，d2215，

，

d1d2

故答案為：<；>；

22222

（4）d1d2(x2)(x24)4x20，

22

當4x200，即x5時，d1d20，

d1d20,

d1d2，

當，即時，22，

4x200x5d1d20

，

d1d20

d1d2，

22

當