2025高考數學三輪沖刺-“8+3+3”小題速練(16)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

X2XBA

1.已知集A=合G|II-2-8<0「L=IGI|2'<8)/,則4cA()

A.{x|-2<^<4}B.{x|-4<^<2}

C.1x|-2<x<3|D.{x|YWx<3}

2.某班的全體學生參加數學測試,成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為[20,40),

[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人數是15,則該班的學生人數是()

上頻率/組距

0.020.........

0.015............

0.010.....|—

0.005--I—

4060801do成麝/分

A.40B.45C.50D.60

3.已知直線/與曲線/(x)=e“+sinx在點(0,/(0))處的切線垂直，則直線/的斜率為

()

1

A.-1B.1C.——D.2

2

4.若數歹!]{〃4}的前〃項和北=2"伽+1)(2〃+1),則數列{4}的前〃項和S〃=()

n1223

A.n2+1InB.-n-\---nC.6n2+6nD.-6n2+12n

22

5.如圖，AB為圓錐SO底面圓的一條直徑，點C為線段曲的中點，現沿必將圓錐SO

的側面展開，所得的平面圖形中AABC為直角三角形，若$4=4,則圓錐SO的表面積為

()

s

C.8兀D.12K

6.2024年伊始，隨著“廣西沙糖桔”“馬鈴薯公主”等熱梗的不斷爆出，哈爾濱火爆出

圈，成為旅游城市中的“頂流”.某班級五位同學也準備共赴一場冰雪之約，制定了“南方

小土豆，勇闖哈爾濱”的出游計劃，這五位同學準備在行程第一天在圣索菲亞教堂，冰雪

大世界，中央大街三個景點中選擇一個去游玩，已知每個景點至少有一位同學會選，五位

同學都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學生甲和學生乙準備選同一個景點，則

不同的選法種數是（）

A.54B.21C.18D.36

7.已知tana_1=2,則sin（2a+工）的值為（）

1+tancif6

.4+36n4-373,4+3gn4-373

10101010

0001

8.若a=0.001+sin0.001,〃=lnl.OOl,c=e-b則（）

A.b>oaB.c>a>bC.c>b>aD.a>ob

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.用“五點法”作函數〃x）=Asin（公r+（p）+3（A>0,a>>0,陷v］）在一個

周期內的圖象時，列表計算了部分數據，下列有關函數y=/（x）描述正確的是（）

713兀

cox+（p0712兀

2~2

兀5兀

XabC

i~6

4%)131d1

A.函數的最小正周期是兀

B.函數/(%)的圖象關于點—,0對稱

I6

C.函數八％)的圖象關于直線x=g對稱

D.函數/(%)與8(a=-2312%+|^+1表示同一函數

10.已知z為復數，設z,",iz在復平面上對應的點分別為4B,C,其中。為坐標原點，

則()

A.|OA|=|OB|B.OA±OC

C.|AC|=|BC|D.OB//AC

11.定義在R上的函數同時滿足①/(x+1)—/(X)=2X+2,XGR；②當

時，則()

A./(O)=-l

B.〃尤)為偶函數

C.存在〃eN*，使得/5)>2023〃

D.對任意R,|/(x)|<x+|x|+3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量Z=B為單位向量，且滿足口+q=忸—24,則向量B在向量￡方

向的投影向量為

13.若正四面體ABCD的頂點都在一個表面積為6兀的球面上，過點C且與3D平行的平面

?分別與棱交于點瓦尸，則空間四邊形6CFE的四條邊長之和的最小值為

14.已知P是雙曲線C：A-￡=彳（彳〉0）上任意一點，若P到C的兩條漸近線的距離之

積為：2，則C上的點到焦點距離的最小值為

參考答案與詳細解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.【答案】C

［解析］A={X|X2-2X-8<O}={^|-2<%<4),

8={電<8}={中<3},

則Ac3={止2<x<3}.

故選：C.

2.【答案】C

【解析】由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率為20(0.005+0.010)=0.300,

由于低于60分的人數是15,則該班的學生人數是^=50，

0.300

故選：c

3.【答案】C

【解析】由函數/(%)=6*+5加，可得/''⑺=e'+cosx,

貝1J/'(O)=2,所以直線/的斜率為

故選：C.

4.【答案】C

［解析】因為數列｛"4｝的前n項和Tn=2n｛n+1)(2〃+1),

所以當〃22時,"2〃(〃一1)(2〃-1),兩式相減，得

2

nan=2n(n+1)(2H+1)—2幾(幾—l)(2n-1)=12n,

當〃=1時，q=2x2x3=12也符合該式，所以4=12〃，

an+1-an=12(〃+1)—12〃=12,

所以數列｛4｝是首項為12,公差為12的等差數列,

所以=12〃+<一版12=6/+6〃.

2

故選：C.

5.【答案】B

【解析】如圖所示，作出展開圖，可得NCA氏/CBA為銳角，故5CLS4,

27r

由SC=C4,可得BS=BA,即△ASB為等邊三角形，所以NAS4'=——，

3

2兀

12JE16冗4x__

則圓錐的側面積為一義——義16=——，底面積,3、216兀，

233兀x(-=—

2兀9

所以圓錐SO的表面積為

故選：B.

6.【答案】D

【解析】若甲乙選的景點沒有其他人選，則分組方式為：1,2,2的選法總數為:

CM=18,

c'c1

若甲乙選的景點還有其他人選擇，則分組方式為：LL3的選法總數為：T^A；=18,

A；

所以不同的選法總數為：18+18=36.

故選：D.

7.【答案】A

.5工廠.itanci-1.

【解析】由--------=2,得tana=-3,

1+tancif

2sin。cos。2tana_-63

所以sin2。=

si.n2a+cos2atan2a+1105

ccos2a-sm2a1-tan2a1-94

cos2a=——------7=——2-----------=-----------=——

sina+cosatana+1105

所以sin(2cifH——)=sin2acos——I-cos2asin—

666

_36/4)1_4+3后

52I210

故選：A

8.【答案】D

【解析】令/(x)=x+sinx,g(x)=ln(x+l),/z(x)=e"—l,

/?(x)=/z(x)-/(x)=ex-1-x-sinx,^(x)=/z(x)-g(x)=ex-l-ln(x+l),

則p'(x)=e%-l-cosx,g，(%)=e%---,

x+1

令制x)=p'(x),加(x)=e*+sinx,當xe0,；卜寸，后(%)>0,所以夕'(％)在0,；］

時單調遞增，

所以當xe0,；］時，p'(^x)<p,^^=A/e-l-cos^<Ve-l-cos:|-=A/e-l-^-<0,

所以MH在xe0,g)時單調遞減，所以M0-001)<P(°)=0,所以c<。；

當，jr

xe0,1時，＜7(x)=e匕，令=貝In'(x)=evH------7>0,

—(x+1)2

所以〃(x)=q'(x)在0,；)上單調遞增，所以/(x)2/(O)=O,

所以q(x)在O,gj上單調遞增,

所以q(O.OOl)>q(O)=O,所以c>方，

綜上，a>c>b.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】ACD

兀.兀「一C

【解析】根據表格可知《[3；2=兀，且《

57r3兀(p=——

3--------r(/J——6、

I621

/(x)=2sin^2x-^+l,

由正弦函數的周期性可知/(x)的最小正周期為7=m=兀，故A正確;

由已知結合正弦函數的對稱性可知：

x=葛n/(x)=2sin^2x+1=2sin+1=-1,

顯然“力此時取得最小值，所以〃力的圖象不關于點[不,Oj對稱，故B錯誤;

由已知結合正弦函數的對稱性可知：

jrIIT7T?71

x=-=>/(x)=2sinl2x^---l+l=2sin-+l=3,此時/(%)取得最大值，

所以/(x)的圖象關于直線x=g對稱，故C正確；

由誘導公式可知g(x)=-2cos[2x+,J+l=2sin[2x+§-5j+l=/(x),故D正確.

故選：ACD

10.【答案】AB

【解析】設2=。+歷(a,Z?eR),

z=?-Z>i(a,Z>eR),:.B^a,-b),

iz=i^a+bi)=-b+ca,:.C(~b,a),

OA=(a,b^,OB=(a,-/?),OC=(-/?,a),AC=(-b-a,a-b^,BC=(-Z?-a,a+b^

對于A,y/a2+b2=y/a2+(-b)2|OA|=|OB|,故選項A正確；

對于B,■.■a(-b)+ba=O,；,OAIOC故選項B正確；

對于C,,,c|=+(a+1)",

當"wo時，?而卜?豆故選項c錯誤；

對于D,—b)-(—b)(—b—ci^—a~—2ab—b~,

儲―2ab-尸可以為零，也可以不為零，所以礪不一定平行于正，故選項D錯誤.

故選:AB.

11.【答案】ACD

【解析】對于A,Q/(x+l)-/(x)=2x+2,令x=0,則/⑴—/(0)=2,即

/(1)=/(0)+2,又xe[0,l],『⑴國，BP-l</(x)<l,

可知仁器;即口:黑工r得-1即〃。)=-1,故A正

確;

對于B,由選項A可得/(l)=/(O)+2=l,又令x=—1得/(O)—/(—1)=0,解得

=1片/⑴，

所以函數了(九)不是偶函數，故B錯誤；

對于C*因為/"(x+1)—〃x)=2x+2,當“22,附eN*時，

/(?)=[/(?)-/(?-l)]+[/(?-l)-/(?-2)]+L+[/(2)-/(l)]+/(l)

=2〃+2〃—2+L+2x2+1=2(〃+〃—1+L+2)+1

=2x^~1^H+2^+l=n2+H-l,又/(1)=1滿足上式，

:.f(ri)=r^+n—l,neN*>令〃=2023,則

/(2023)=20232+2022>2023x2023,

所以存在〃eN*，使得/(")>2023”，故C正確；

對于D,令g(x)=/(x)-*一％,

則g(九+1)—g(x)=/(x+l)-(x+l)2-(x+l)-/(x)+x2+x

=/(x+l)-/(x)-2x-2=0,即g(x+l)=g(x),即g(x)是以1為周期的周期函

數，因為當xe[0,l],|/(x)0,

則心(力|=|〃力一%2-上/(力|+,2+%|<3,

當且僅當％=1且/。)與2異號時等號成立，但/。)=1,故/。)與2同號，

故等號不成立，故|g(x)|<3

結合周期性可知對任意尤eR,均有|g(x)|<3,

所以|/(%)|=卜(％)+/+|g(%)|+X2+|x|<X2+\X\+3,故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.r答案】島1

【解析】因為口+q=口—2年所以/+片+2￡4=￡2+4片一癡石，即=

又a=辦為單位向量，則，|=1,a-b=^,

a-ba

所以向量B在向量￡方向的投影向量為不丁.尸［

HH

3

故答案為:

13.【答案】4+G##百+4

【解析】如圖，將正四面體放置到正方體中，易知正四面體外接球即正方體的外接球,

設正四面體A3CD棱長為&a，所以正方體的邊長為。，

易知正方體的外接球直徑為體對角線的長，又DH=耳，所以正四面體的半徑

?DH6a

IX------------9

22

依題有4兀氏2=3兀6=6兀，得到a=&,即正四面體ABCD的棱長為2,

因為6。//面CEF,面ABDc面CEF=EF\NDu面ABD,所以EF//BD,

設AF=2AD(O</1<1)

因為鉆=4￡>=5￡>=2,則AF=AE=2；l,BE=DF=2-2A,

JT

在△EA廠中，因為ZEA/=—,所以所=24,

3

jr