微專題26菱形

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

考點(diǎn)梳理

1.菱形的性質(zhì)與判定(6年3考)

(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

(2)菱形的性質(zhì)

邊對(duì)邊平行，四條邊①

角對(duì)角②

對(duì)角對(duì)角線互相③，并且每一條對(duì)角線④一

線組對(duì)角(人教獨(dú)有)

既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，有⑤條對(duì)稱軸，

對(duì)稱

對(duì)稱軸為兩條對(duì)角線所在的直線，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線

性

的交點(diǎn)

(3)菱形的判定

①有一組⑥的平行四邊形是菱形(定義)；

邊

②⑦相等的四邊形是菱形

對(duì)角

對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形

線

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2.菱形面積

面積計(jì)算公式：S＝ah＝(a表示一條邊長(zhǎng)，h表示此邊上的高，m，n表示對(duì)角

??

線的長(zhǎng)).2

練考點(diǎn)

1.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，E為BC

的中點(diǎn)，連接OE，已知OE＝1.

第1題圖

(1)∠ABD＝°，∠BAD＝°；

(2)菱形ABCD的周長(zhǎng)為；

(3)△BOE的形狀為；

(4)AC＝，BD＝；

(5)菱形ABCD的面積為.

2.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且互相平分，添加下列條

件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是()

第2題圖

A.BC＝CD

B.AB＝AC

第2頁(yè)共12頁(yè)

C.AC⊥BD

D.∠ABD＝∠CBD

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1與菱形有關(guān)的證明及計(jì)算(6年3考)

例如圖①，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是線段AD，BC邊上的點(diǎn)，EF與BD

相交于點(diǎn)O，且EF⊥BD，連接BE，DF，BE＝DF.

例題圖①

(1)求證：四邊形BEDF為菱形；

(2)核心設(shè)問(wèn)若∠ABE＝30°，且四邊形BEDF的面積為4，求四邊形BEDF

的周長(zhǎng)；[2022廣東13題考查]3

(3)若∠ADB＝30°，EF＝2，求AD的長(zhǎng)；

第3頁(yè)共12頁(yè)

(4)若AD＝6，AB＝4，求的值.

??

??

(5)如圖②，連接OC，若AB＝4，BF＝5，求tan∠OCB的值.

例題圖②

真題及變式

命題點(diǎn)與菱形性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算(6年3考)

1.(2022廣東13題3分)菱形的邊長(zhǎng)為5，則它的周長(zhǎng)為.

2.(2024廣東15題3分)如圖，菱形ABCD的面積為24，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)

F是BC上的動(dòng)點(diǎn).若△BEF的面積為4，則圖中陰影部分的面積為.

第2題圖

2.1變圖形——將菱形背景變?yōu)榫匦?/p>

如圖，矩形ABCD的面積為36，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，CD的中點(diǎn)，H為AD

上任一點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為.

第4頁(yè)共12頁(yè)

變式2.1題圖

3.(2017廣東21題7分)如圖所示，已知四邊形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD

＝∠FAD，∠BAD為銳角.

第3題圖

(1)求證：AD⊥BF；

(2)若BF＝BC，求∠ADC的度數(shù).

拓展訓(xùn)練

4.(2024遼寧)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形AOBC的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)

半軸上，頂點(diǎn)B在直線y＝x上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是8，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

3

4

第4題圖

A.(－1，6)

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B.(－2，6)

C.(－3，6)

D.(－4，6)

新考法

5.[注重過(guò)程性](2024重慶A卷)

在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識(shí)后，智慧小組進(jìn)行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，

過(guò)矩形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條

對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論.根

據(jù)他們的想法與思路，完成以下作．圖．和填．空．：

(1)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn).用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)O作AC的垂

線，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，CE(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)；

(2)已知：矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經(jīng)過(guò)對(duì)角線AC的中點(diǎn)O，

且EF⊥AC.求證：四邊形AECF是菱形.

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD.

∴①，∠FCO＝∠EAO.

∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

∴②.

∴△CFO≌△AEO(AAS).

∴③.

又∵OA＝OC，

∴四邊形AECF是平行四邊形.

∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形.

第6頁(yè)共12頁(yè)

進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請(qǐng)你模仿題中表述，寫(xiě)出你猜

想的結(jié)論：④.

第5題圖

第7頁(yè)共12頁(yè)

考點(diǎn)精講

①相等②相等③垂直平分④平分⑤2⑥鄰邊相等⑦四條邊

教材改編題練考點(diǎn)

1.(1)30，120(2)8(3)等腰三角形(4)2，2(5)2

2.B33

高頻考點(diǎn)

例(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，

＝，

在Rt△ABE和Rt△CDF中，

＝，

????

∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，????

∴AE＝CF.

∵AD＝BC，

∴DE＝BF.

∵DE∥BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形.

又∵EF⊥BD，

∴四邊形BEDF為菱形；

(2)解：∵∠ABE＝30°，

∴∠EBF＝60°.

由(1)知四邊形BEDF是菱形，

∴BE＝BF，∠EBO＝30°，

∴△BEF為等邊三角形，OB＝OE，即BD＝EF，

∴BE＝EF，33

∵S四邊形BEDF＝4，

3

第8頁(yè)共12頁(yè)

∴BD·EF＝×EF2＝4，

11

解得2EF＝22(負(fù)3值已舍去)3，

∴BE＝BF＝D2E＝DF＝EF＝2，

∴四邊形BEDF的周長(zhǎng)＝BE＋B2F＋DE＋DF＝8；

(3)解：∵四邊形BEDF是菱形，2

∴DE＝DF.

∵BD⊥EF，∠ADB＝30°，

∴∠EDF＝2∠ADB＝60°，

∴△DEF是等邊三角形，

∴DE＝DF＝EF＝BF＝2.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝∠C＝90°，

∴∠CDF＝30°，

∴在Rt△CDF中，CF＝DF＝1，

1

∴AD＝BC＝BF＋CF＝2＋21＝3；

(4)解：∵四邊形BEDF是菱形，

∴BF＝DF.

∵AD＝BC＝6，

設(shè)CF＝x，則DF＝BF＝BC－CF＝6－x.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝4，∠C＝90°，

在Rt△CDF中，由勾股定理得，CD2＋CF2＝DF2，

即42＋x2＝(6－x)2，

解得x＝，

5

3

第9頁(yè)共12頁(yè)

∴CF的長(zhǎng)為，

5

∴DF＝6－CF3＝.

13

3

在Rt△BCD中，由勾股定理，得DB＝＋＝2，

22

????13

∴＝13＝；

??313

(5)?解?：2∵1四3邊形6BEDF為菱形，

∴BF＝DF＝5，BO＝DO，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠DCB＝90°，

∴在Rt△BCD中，O為BD中點(diǎn)，

∴OC＝BD＝BO，

1

∴∠OBC2＝∠OCB.

又∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠BCD＝90°，

∵CD＝AB＝4，

∴CF＝－＝3，

22

∴BC＝3＋??5＝8?，?

∴tan∠OCB＝tan∠OBC＝＝＝.

??41

真題及變式??82

1.20【解析】∵菱形的四條邊都相等，且邊長(zhǎng)為5，∴菱形的周長(zhǎng)為20.

2.10【解析】如解圖①，連接BD，∵E是AB的中點(diǎn)，∴S△AED＝S△ABD＝S菱

11

24

形ABCD＝6，連接EC，同理可得S△BEC＝S△AED＝6，∵S△BEF＝4，∴S△BEF＝S△BEC，

2

3

第10頁(yè)共12頁(yè)

∴FC＝BC，∴S△DFC＝S△BCD＝S菱形ABCD＝4，∴S陰影＝S菱形ABCD－S△AED－S△BEF

111

－S△DFC3＝24－6－4－4＝310.6

第2題解圖①

一題多解法

如解圖②，延長(zhǎng)DE，CB交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BG，∴∠GBE

＝∠DAE，∵E是AB中點(diǎn)，∴BE＝AE，∵∠GEB＝∠DEA，∴△AED≌△

BEG(ASA)，∴GE＝DE，∴E為DG中點(diǎn)，∴S△DEF＝S△FGE＝S△BEF＋S△BEG＝4＋S

△AED＝4＋24×＝10.

1

4

第2題解圖②

變式2.118【解析】如解圖，連接CH，在矩形ABCD中，設(shè)AD＝a，AB＝

b，則AE＝b＝GC，BF＝a，∴S陰影＝S長(zhǎng)方形ABCD－S△AEH－S△HFC－S△HCG＝36－

11

AE·AH－F2C·AB－HD·CG2＝36－AD·AE－FC·AB＝36－ab＝18.

111111

222222

變式2.1題解圖

3.(1)證明：∵四邊形ABCD，ADEF都是菱形，

∴AB＝AD＝AF，

∴△ABF是等腰三角形，