第25課時矩形、菱形、正方形

1.(2024·成都)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,則下列結論一定正確的是()

A.AB=ADB.AC⊥BD

C.AC=BDD.∠ACB=∠ACD

2.(2024·邢臺一模)如圖,有甲、乙兩個四邊形,分別標出了部分數據,則下列判斷正確的是()

甲乙

A.甲是矩形

B.乙是矩形

C.甲、乙均是矩形

D.甲、乙都不是矩形

3.(2024·濟寧)如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是AB的中點,連接OE.若OE=3,則

菱形的邊長為()

A.6B.8

C.10D.12

4.(2024·遷安二模)已知下列選項中圖形均為菱形,所標數據有誤的是()

ABCD

5.(2024·唐山路南區二模)如圖1是由一根細鐵絲圍成的正方形,其邊長為1.現將該細鐵絲圍成一

個三角形(如圖2所示),則AB的長可能為()

圖1圖2

A.1.5B.2.0C.2.5D.3.0

6.(2024·滄州南皮縣三模)已知四邊形ABCD是平行四邊形,若AC⊥BD,要使得四邊形ABCD是正

方形,則需要添加條件()

A.AB=BCB.∠ABC=90°

C.∠ADB=30°D.AC=AB

7.(2023·大慶)將兩個完全相同的菱形按如圖方式放置,若∠BAD=α,∠CBE=β,則β=()

A.45°+αB.45°+αC.90°-αD.90°-α

1313

8.(20242·甘肅)如圖,在矩形AB2CD中,對角線AC,BD2相交于點O,∠ABD=620°,AB=2,則AC的長為

()

A.6B.5C.4D.3

9.(2024·邯鄲二模)已知:在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA,如圖,求證,四邊形ABCD是菱形.

證明:∵AB=CD,BC=DA,∴四邊形ABCD是平行四邊形,

又∵“”,

∴四邊形ABCD是菱形.

在以上證明過程中,“”可以表示的是()

A.∠A=∠CB.AD∥BCC.AB=BCD.AB∥DC

10.(2024·石家莊長安區模擬)如圖,在正方形紙片ABCD上進行如下操作:

第一步:剪去矩形紙條AEFD;

第二步:從矩形紙片BCFE上剪去矩形紙條CFGH.

若矩形紙條AEFD和CFGH的面積相等,則AB的長度為()

A.30cmB.15cmC.16cmD.90cm

11.(2024·邯鄲峰峰礦區三模)如圖,菱形ABCD中,AC交BD于點O,CE⊥AB于點E,連接OE,若∠

ABC=80°,則∠OEC的度數為°.

12.(2023·臺州)如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在邊AD上取一點E,使BE=BC,過點C作CF⊥BE,

垂足為點F,則BF的長為.

13.傳統文化“福”字象征著中華民族的歷史文化與精神.如圖1是小紅家大門上的“福”字,如圖2是

抽離出來的菱形ABCD,對角線AC,BD相交于點O,∠ABC=80°,E是線段AO上一點,且BC=CE,

則∠OBE的度數是.

圖1圖2

14.(2024·揚州)如圖1,將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起,得到四邊形ABCD.

圖1圖2

(1)試判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由.

(2)已知矩形紙條寬度為2cm,將矩形紙條旋轉至如圖2位置時,四邊形ABCD的面積為8cm2,求此

時直線AD,CD所夾銳角∠1的度數.

1.(2024·通遼)如圖,?ABCD的對角線AC,BD交于點O,以下條件不能證明?ABCD是菱形的是

()

A.∠BAC=∠BCAB.∠ABD=∠CBD

C.OA2+OB2=AD2D.AD2+OA2=OD2

2.(2024·邯鄲峰峰礦區三模)演示課上,王林用四根長度都為4cm的木條制作了圖1所示正方形,

而后將正方形的BC邊固定,平推成圖2的圖形,并測得∠B=60°,則在此變化過程中結論錯誤的是

()

圖1圖2

A.AB長度不變,為4cmB.AC長度變小,減少4(-1)cm

C.BD長度變大,增大4(-)cmD.四邊形ABCD面積變小2,減少8(-1)cm2

323

3.(2024·邯鄲峰峰礦區二模)如圖1,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,要在對角線BD上

找兩點M,N,使得四邊形AMCN是菱形,現有圖2中的甲、乙兩種方案,則正確的方案是()

圖1

圖2

A.只有甲B.只有乙

C.甲和乙D.甲乙都不是

4.(2024·邯鄲大名縣三模)在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,E是邊AB上的一個動點(不與

A,B重合),連接EO并延長,交CD于點F,連接AF,CE,下列四個結論中:

甲:對于動點E,四邊形AECF始終是平行四邊形;

乙:若∠ABC<90°,則至少存在一個點E,使得四邊形AECF是矩形;

丙:若AB>AD,則至少存在一個點E,使得四邊形AECF是菱形;

丁:若AB>AD,∠BAC=45°,則至少存在一個點E,使得四邊形AECF是正方形.

以上所有正確說法的序號是()

A.甲、丙、丁正確,乙錯誤

B.甲、乙、丙、丁都正確

C.甲、乙、丙正確,丁錯誤

D.甲、乙、丙錯誤,丁正確

5.(2023·菏澤)(1)如圖1,在矩形ABCD中,點E,F分別在邊DC,BC上,AE⊥DF,垂足為G.求證:△ADE

∽△DCF.

【問題解決】

(2)如圖2,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊DC,BC上,AE=DF,延長BC到點H,使CH=DE,連接

DH.求證:∠ADF=∠H.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形ABCD中,點E,F分別在邊DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,求CF的長.

圖1圖2圖3

【詳解答案】

基礎夯實

1.C解析:∵四邊形ABCD是矩形,

∴AC=BD,∠ADC=90°,AD=BC,AD∥BC,OA=AC,

1

2

∴AC⊥BD,∠ACB=∠ACD不一定成立,AC=BD,一定成立,AB=AD不一定成立.故選C.

2.A解析:由題意知,甲中對角線相等且互相平分,

∴甲中的四邊形是矩形,

如圖,記AC,BD的交點為O,

由圖可知,OA=OD,OB=OC,OA,OB的數量關系未知,

∴乙中的四邊形不一定是矩形.故選A.

3.A解析:∵四邊形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,

∴△AOB是直角三角形,

∵E是AB的中點,

∴OE=AB,

1

2

∵OE=3,∴AB=6,

即菱形的邊長為6.故選A.

4.D解析:由菱形的性質得,菱形的四條邊都相等,對角線互相垂直,對角線平分每一對對角得到選項A,B,C不

符合題意,選項D符合題意.故選D.

5.A解析:由正方形的性質知,鐵絲的總長度為1+1+1+1=4,

根據三角形的三邊關系知,兩邊之和大于第三邊,

∴AB邊的長小于2.故選A.

6.B解析:需要添加條件∠ABC=90°,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,AC⊥BD,

∴四邊形ABCD是菱形,

∵∠ABC=90°,

∴四邊形ABCD是正方形.故選B.

7.D解析:∵四邊形ABCD和四邊形BGHF是完全相同的菱形,

∴∠DBE=∠BAD=α,AB=AD,∠ABD=∠CBD=∠CBE+∠DBE=β+α,

∴∠ADB=∠ABD=β+α,

∵∠BAD+∠ADB+∠ABD=180°,

∴α+β+α+β+α=180°,

∴β=90°-α.故選D.

3

2

8.C解析:∵四邊形ABCD為矩形,對角線AC,BD相交于點O,AB=2,

∴OA=OB=OC=OD,

∵∠ABD=60°,

∴△OAB為等邊三角形,

∴OA=OB=AB=2,

∴OC=OA=2,

∴AC=OA+OC=4.故選C.

9.C解析:根據“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形”,可得“”可以表示的是AB=BC.故選C.

10.A解析:設正方形ABCD的邊長為acm,

由題意,得5a=6(a-5),解得a=30.故選A.

11.40解析:∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=80°,AB=BC,

∴∠CAB=∠ACB=×(180°-80°)=50°,AO=CO,

1

2

∵CE⊥AB,

∴OE=OA=OC,∠AEC=90°,

∴∠OEA=∠OAE=50°,

∴∠OEC=90°-50°=40°

12.2解析:∵四邊形ABCD是矩形,

∴AD∥5BC,∠A=90°,

∴∠AEB=∠FBC,

∵CF⊥BE,

∴∠CFB=90°,

∴∠CFB=∠A,

在△ABE和△FCB中,,

∠?=∠???

∠???=∠???

??=??

∴△ABE≌△FCB(AAS),

∴FC=AB=4,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴BC=AD=6,

在Rt△FCB中,由勾股定理得BF=--=2.

2222

13.25°解析:∵四邊形ABCD是菱形??,∠?AB?C=80°6,45

∴∠ABO=∠CBO=40°,AC⊥BD,

∴∠BAC=90°-40°=50°=∠ACB,

∵BC=CE,

∴∠CBE=∠CEB=×(180°-50°)=65°,

1

2

∴∠OBE=65°-40°=25°.

14.解:(1)四邊形ABCD是菱形,理由如下:如圖1,過點C作CH⊥AB,垂足為H,CG⊥AD,垂足為G,

∵兩個紙條均為矩形,

∴AB∥CD,AD∥BC,

∴四邊形ABCD是平行四邊形,

∵?=AB·CH=AD·CG,且CH=CG,∴AB=AD,

∴?四?邊??形?ABCD是菱形.

圖1圖2

(2)如圖2,過點A作AM⊥CD,垂足為M,

2

∵菱形=CD·AM=8cm,且AM=2cm,

?????

∴CD=4cm,

∴AD=CD=4cm,

在Rt△ADM中,sin∠1=,

??1

??2

∴∠1=30°.=

能力提升

1.D解析:A.∵∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,

∴?ABCD是菱形,故選項A不符合題意;

B.∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,

∵∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,

∴?ABCD是菱形,故選項B不符合題意;

C.∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴OB=OD,

∵OA2+OB2=AD2,∴OA2+OD2=AD2,∴∠AOD=90°,

∴AC⊥BD,∴?ABCD是菱形,故選項C不符合題意,

D.∵AD2+OA2=OD2,∴∠OAD=90°,∴OA⊥AD,

∴不能證得?ABCD是菱形,故選項D符合題意.故選D.

2.D解析:如圖1,連接AC,BD,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ABC=90°,AB=BC=4cm,AB2+BC2=AC2,

∴AC2=32,正方形ABCD面積=42=16(cm2),

∴AC=BD=4cm,

2

如圖2,在菱形ABCD中,連接AC,BD,過A作AH⊥BC于點H,AB=BC=4cm,BO=DO,AO=CO,

∵∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

∴AC=AB=BC=4cm,AO=2cm,BH=CH=2cm,

∴BD=2BO=2-=4(cm),

22

AH=-=?2??(c?m),3

22

∴菱形??ABC?D?面積=34×2=8(cm2),

故選項A不符合題意;33

∵4-4=4(-1)(cm),

故選項2B不符2合題意;

∵4-4=4()(cm),

323?2

故選項C不符合題意;

∵16-8=8(2-)(cm2),

故選項D3符合題3意.故選D.

3.C解析:∵四邊形ABCD是菱形,

∴OB=OD,OA=OC,AC⊥BD,

∵BM=DN,

∴OM=ON,

∵OA=OC,MN⊥AC,

∴四邊形AMCN是菱形,

故方案甲正確;

∵四邊形ABCD是菱形,

∴OB=OD,OA=OC,AC⊥BD,∠BAC=∠DAC,

∵AM,AN分別是∠BAC和∠DAC的平分線,

∴∠MAC=∠NAC,

∵∠AOM=∠AON=90°,

,

在△AOM和△AON中,,

∠???=∠???,

??=??

∴△AOM≌△AON(ASA∠),???=∠???

∴OM=ON,

∵OA=OC,

∴四邊形AMCN是平行四邊形,

∵AC⊥MN,

∴四邊形AMCN是菱形,

故方案乙正確.故選C.

4.A解析:如圖1,

圖1

∵四邊形ABCD為平行四邊形,對角線AC與BD交于點O,

∴AB∥DC,AB=DC,OA=OC,OB=OD,

∴∠OAE=∠OCF,

∵∠AOE=∠COF,

∴△AOE≌△COF(ASA),

∴AE=CF,