微專(zhuān)題44反比例函數(shù)綜合題

1.如圖，已知點(diǎn)A（1，m）、B（n，1）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，

3

過(guò)點(diǎn)A的一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，1）?.

（1）求m、n的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接AB，求點(diǎn)C到線段AB的距離.

第1題圖

2.如圖，已知一次函數(shù)y1＝x－3的圖象與反比例函數(shù)y2＝的圖象相交于點(diǎn)A

3?

（4，n），與x軸相交于點(diǎn)B2.?

（1）求n和k的值；

（2）以AB為邊作菱形ABCD，使點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第一象限，雙

曲線交CD于點(diǎn)E，連接AE，BE，求△ABE的面積.

第2題圖

第1頁(yè)共10頁(yè)

3.如圖，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)直線y＝2x上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B（a，

0）（a＞0），將△ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C

恰好落在反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象上.

?

（1）若AO＝2，求k?的值；

（2）設(shè)直線y＝25x與反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P

?

橫坐標(biāo)為m.求證：為定值.?

?

?

第3題圖

4.如圖，一次函數(shù)y＝－x＋2的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，C為AB的

1

中點(diǎn)，雙曲線的一支y＝（2x＞0）過(guò)點(diǎn)C，連接OC，將線段OC沿著y軸向上

?

平移至EF，線段EF交y?＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)D.

?

（1）求該反比例函數(shù)的表達(dá)?式；

（2）若DE∶DF＝1∶2，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

第2頁(yè)共10頁(yè)

第4題圖

5.如圖，Rt△OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），∠ABO＝90°，且點(diǎn)B在x

軸上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（2，）且與AO相交于點(diǎn)D，

?1

點(diǎn)C與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)B對(duì)?稱(chēng)，連接AC，BD，作直線DE2.

（1）試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）求直線DE的表達(dá)式和△BDE的面積.

第5題圖

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA，OC分別在y軸和x

軸上，點(diǎn)D為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)y＝

?

（k＞0，x＞0）的圖象與BC交于點(diǎn)E，連接OD，OE，DE.?

（1）設(shè)S△AOD＝S1，S△OEC＝S2，當(dāng)S1＋S2＝3時(shí)，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；

第3頁(yè)共10頁(yè)

（2）若OA＝6，AB＝8，記S＝S△ODE－S△BDE，求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)D，使得△BDE沿直線DE折疊后點(diǎn)B的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在OC邊上？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第6題圖備用圖

第4頁(yè)共10頁(yè)

1.解：(1)∵點(diǎn)A(1，m)，B(n，1)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，

3

∴m＝3，n＝3.?

又∵一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象過(guò)點(diǎn)A(1，3)，C(0，1)，

∴＋，解得，

??=3?=2

∴一次函數(shù)的表達(dá)式為＝＋；

?=1.?=y1.2x1

(2)如解圖，連接BC，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足

為E.

∵C(0，1)，B(3，1)，

∴BC∥x軸，BC＝3.

∵點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，AD⊥BC于點(diǎn)D，

∴點(diǎn)D(1，1)，AD＝2，DB＝2.

在Rt△ADB中，AB＝＋＝2.

22

????2

又∵S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，

11

即×3×2＝2×2·CE2，

11

∴C2E＝，2即點(diǎn)C2到線段AB的距離為.

3232

22

第1題解圖

2.解：(1)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y1＝x－3中，得n＝×4－3＝3，

33

∴A(4，3)，22

∵A點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，

∴k＝3×4＝12；

第5頁(yè)共10頁(yè)

(2)如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，連接AC，

∵A(4，3)，∴AH＝3，

當(dāng)y1＝0時(shí)，得x－3＝0，

3

解得x＝2，2

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，

∴AB＝(－)＋(－)＝，

22

∵四邊形A4BC2D是菱3形0，13

∴AB＝BC＝，AB∥CD，

∴S△ABE＝S△ABC1＝3BC·AH＝××3＝.

11313

22132

第2題解圖

3.(1)解：∵AB⊥x軸于點(diǎn)B(a，0)，點(diǎn)A是直線y＝2x上一點(diǎn)，

∴A(a，2a)，

∴OB＝a，AB＝2a，

在Rt△ABO中，

∵AO＝2，AB2＋OB2＝AO2，

∴(2a)2＋a52＝(2)2，

解得a＝2(負(fù)值已5舍去)，

∴AB＝4，BO＝2，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得AC＝AB＝4，∠ACD＝∠ABO＝90°，

∴C(6，4)，

∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝圖象上，

?

?第6頁(yè)共10頁(yè)

∴k＝6×4＝24；

(2)證明：由旋轉(zhuǎn)可得OB＝CD＝a，由(1)知A(a，2a)，

∴AC＝AB＝2a，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3a，2a)，

∴k＝2a·3a＝6a2.

∵直線y＝2x與反比例函數(shù)y＝(k≠0，x＞0)的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

?

m，?

∴＝，即＝.

2m223

6??

2

由題意得?，點(diǎn)P?在第一象限內(nèi)，

∴m＞0且a＞0，

∴＝，

?

∴?為定3值.

?

4.?解：(1)在一次函數(shù)y＝－x＋2中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝4，

1

∴一次函數(shù)y＝－x＋2的圖象2交x軸于點(diǎn)A(4，0)，交y軸于點(diǎn)B(0，2)，

1

∵C為AB的中點(diǎn)，2

∴點(diǎn)C(2，1)，

∵點(diǎn)C(2，1)在反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上，

?

∴k＝2×1＝2，?

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝；

2

(2)如解圖，連接FC，過(guò)點(diǎn)D?作x軸的平行線與FC交于點(diǎn)N，與y軸交于點(diǎn)M，

由題意可得FC∥y軸，

∴△EMD∽△FND，

∴＝＝，

????1

????2

第7頁(yè)共10頁(yè)

∴MD＝MN＝×2＝，

112

即點(diǎn)D的3橫坐標(biāo)3為，3

2

∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)3圖象上，

∴當(dāng)x＝時(shí)，y＝＝3，

22

2

33

∴點(diǎn)D(，3).

2

3

第4題解圖

5.解：(1)BD∥AC，BD＝AC.理由如下：

1

∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)2過(guò)點(diǎn)E(2，)，

?1

∴k＝2×＝1，?2

1

∴反比例2函數(shù)的表達(dá)式為y＝.

1

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，?

∴OA所在直線表達(dá)式為y＝x，令y＝，解得x＝1或x＝－1(舍去)，

1

∴D(1，1)，?

∴點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，

∵點(diǎn)C與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)，

∴點(diǎn)B為OC的中點(diǎn)，即BD為△AOC的中位線，

∴BD∥AC，BD＝AC；

1

(2)設(shè)直線DE的表2達(dá)式為y＝ax＋b(a≠0)，

將D(1，1)，E(2，)分別代入，

1

2

第8頁(yè)共10頁(yè)

＋＝－

得，解得1，

＋＝＝

??=1?2

13

2

∴直2?線D?E的表達(dá)式為?y＝2－x＋.

13

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，∠AB2O＝290°，點(diǎn)B在x軸上，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，

∴BE＝，

1

2

∴S△BDE＝BE×(｜xE｜－｜xD｜)＝××(2－1)＝.

1111

6.解：(12)∵點(diǎn)D，E在反比例函數(shù)2y＝2(k＞0，x＞40)的圖象上，

?

?

∴設(shè)D(x1，)，E(x2，)，x1＞0，x2＞0，x2＞x1，

??

?1?2

∴S1＝x1·＝，S2＝x2·＝.

1??1??

2?122?22

∵S1＋S2＝3，

∴＋＝3，

??

∴k2＝23，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝(x＞0)；

3

(2)由題意得，D(，6)，E(8，?)，

??

68

∴S△BDE＝BD·BE＝(8－k)(6－k)，

1111

2268

∴S△ODE＝S矩形OABC－S△AOD－S△COE－S△BDE＝6×8－k－k－S△BDE＝48－k－S△BDE，

11

22

∴S＝S△ODE－S△BDE＝48－k－2S△BDE＝48－k－2×(8－k)(6－k)，

111

∴S＝－k2＋k.268

1

∵－＜408，

1

∴當(dāng)4k8＝－＝24時(shí)，S有最大值，最大值為－×242＋24＝12；

1)1

1

2×(?4848