2025年中考數學一輪復習

第2講無理數與實數

一．選擇題（共10小題）

1．在1，﹣2，，0四個數中最小的數是（）

A．13B．﹣2C．D．0

3

2．若，則估計m的值應在（）

1

A．?3=和(41之2間+6)×B3．2和3之間C．1和2之間D．4和5之間

3．設實數的整數部分為a，小數部分為b．則b2+2ab的值為（）

A．17B．45C．3D．﹣3

4．我國南宋時期數學家秦九韶曾7提?出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長分別為a，b，c，

那么面積．若某個三角形的三邊長分別為2，3，3，其面積S介于整數n﹣1

222

122?+???2

和n之間，?=則n4的[?值?為?（(）2)]

A．2B．3C．4D．5

5．下列四個實數中，最小的數是（）

A．2B．﹣3C．D．0

6．圖中的內容是某同學完成的作業，嘉琪幫他做了批?改2，嘉琪批改正確的題數是（）

填空：

①﹣1的倒數是1；（×）

②1的平方根，立方根都等于它本身；（√）

③；（×）

12

(?)=9ˉ

④3；（√）

|1?2|=2ˉ?1

⑤；（√）

33

16

A．2個?2=?ˉ8B．3個C．4個D．5個

7．實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）

A．0＜a＜bB．|a|＝|b|C．ab＞0D．a﹣b＞0

8．在實數范圍內定義一種新運算“*”，其規則是a*b＝a2﹣b2，如果（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），那么x

的值是（）

A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝46D．x＝﹣46

9．如圖，在數軸上，點O對應數字0，點A對應數字2，過點A作AB垂直于數軸，且AB＝4，連接OB，

繞點O順時針旋轉OB，使點B落在數軸上的點C處，則點C所表示的數介于（）

A．3和4之間B．4和5之間C．5和6之間D．6和7之間

10．的算術平方根是（）

1

A．16B．C．D．±

1111

?

二．4填空題（共5小題）422

11．請寫出一個大于2且小于3的無理數．

12．設n為正整數，若的整數部分是1，則n的值可以是.（寫出一個即可）

13．比較大小：?．（填“＞”、“＜”或“＝”）

14．已知與5|b?﹣12|互為相反數2，ab＝．

?+1，當＞時

15．對于實數m，n，先定義一種新運算“”如下：mn，若x（﹣1）＝

2，當時

?+?+???

??=2?

11，則實數x的值為．?+?+??≤?

三．解答題（共5小題）

16．計算：．

3

?10

17．【觀察思(考?】2)?4???45°+|2?8|+(??2)+8

如圖是由長度為1cm和的兩種線段拼成的正方形圖案：

2??

【規律發現】

請用含n的式子表示：

（1）第n個圖案中需要cm長的線段的條數為；

（2）第n個圖案中需要12cm長的線段的條數為；

【規律應用】

（3）若要組成一個面積為100cm2的正方形圖案，則需要這兩種線段各多少條？

18．如圖，是一條不完整的數軸，點A、B、C對應的實數分別為a、b、c，AB＝6，c＝﹣1，其中2a、﹣

b與c的和記為M．

（1）若a＝4，求M的值；

（2）若a＝2x，5≤M＜9，求滿足條件的x的整數解．

19．小杰計算過程如下：

0

2???60°+(??2024)?|3?2|

小杰的計算是否正確？若正確請在框內打“√”，直做第20題；若錯誤．請指出錯誤：（.從“①”

“②”“③”中選填），并寫出你的解答過程．

20．計算：．

1?10

(2023)+(3.14??)+|23?2|+2???45°?12

2025年中考數學一輪復習之無理數與實數

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題）

1．在1，﹣2，，0四個數中最小的數是（）

A．13B．﹣2C．D．0

【考點】實數大小比較；算術平方根．3

【專題】實數；推理能力．

【答案】B

【分析】正實數都大于0，負實數都小于0，正實數大于一切負實數，兩個負實數絕對值大的反而小，據

此判斷即可．

【解答】解：∵﹣2＜0＜1＜，

∴在1，﹣2，，0四個數中3最小的數是﹣2．

故選：B．3

【點評】此題主要考查了實數大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：正實數＞0＞負

實數，兩個負實數絕對值大的反而小．

2．若，則估計m的值應在（）

1

A．3和?=4之(間12+6)×B3．2和3之間C．1和2之間D．4和5之間

【考點】估算無理數的大小．

【專題】實數；運算能力．

【答案】A

【分析】先根據二次根式的乘法法則進行計算，并進行化簡，然后估算的大小，進行判斷即可．

【解答】解：∵2+2

1

?=(12+6)×3

11

=12×3+6×3

11

=12×3+6×3

=4+，2

=∵21+＜2＜，

∴1＜22＜，

2+12+22+2

＜＜，

3∴3＜2+m＜24，4

∴m的值應在3和4之間，

故選：A．

【點評】本題主要考查了無理數的估算，解題關鍵是熟練掌握二次根式的乘法法則和如何估算無理數的大

小．

3．設實數的整數部分為a，小數部分為b．則b2+2ab的值為（）

A．17B．45C．3D．﹣3

【考點】估算無理數的大小；實7數?的運算．

【專題】實數；數感；運算能力．

【答案】C

【分析】先估算的近似值，確定a、b的值，再代入計算即可．

【解答】解：∵7＜＜，即2＜＜3，

∴a＝2，b42，797

∴b2+2ab=7?

＝（2）2+2×2×（2）

＝3，7?7?

故選：C．

【點評】本題考查無理數的估算，理解算術平方根的意義是解決問題的前提，求出a、b的值是正確解答

的關鍵．

4．我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長分別為a，b，c，

那么面積．若某個三角形的三邊長分別為2，3，3，其面積S介于整數n﹣1

222

122?+???2

和n之間，?=則n4的[?值?為?（(）2)]

A．2B．3C．4D．5

【考點】估算無理數的大小．

【專題】計算題；運算能力．

【答案】B

【分析】根據題意計算出三角形的面積為，再估算出的取值范圍即可得出結果．

【解答】解：∵三角形的三邊長分別為2，83，3，8

∴S

222

1222+3?32

=4(2×3?(2)

1

=4，×(36?4)

=∵8＜＜，

∴2＜4＜83，9

∵面積8S介于整數n﹣1和n之間，

∴n的值為3，

故選：B．

【點評】本題考查的是估算無理數的大小，熟練計算出三角形的面積是解題的關鍵．

5．下列四個實數中，最小的數是（）

A．2B．﹣3C．D．0

【考點】實數大小比較；算術平方根．?2

【專題】實數；數感．

【答案】B

【分析】根據正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數比較即可．

【解答】解：﹣3＜＜0＜2，

故選：B．?2

【點評】本題考查了實數的大小比較，比較實數大小的方法：1、數軸法：在數軸上表示的兩個數，右邊

的總比左邊的數大；2、正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數；3、絕對值法：①兩個正數比較大

小，絕對值大的數大；②兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小．

6．圖中的內容是某同學完成的作業，嘉琪幫他做了批改，嘉琪批改正確的題數是（）

填空：

①﹣1的倒數是1；（×）

②1的平方根，立方根都等于它本身；（√）

③；（×）

12

(?)=9ˉ

④3；（√）

|1?2|=2ˉ?1

⑤；（√）

33

16

A．2個?2=?ˉ8B．3個C．4個D．5個

【考點】實數的運算；平方根；立方根．

【專題】實數；運算能力．

【答案】C

【分析】運用倒數、平方根、立方根和絕對值知識分別進行計算、辨別．

【解答】解：∵﹣1的倒數是﹣1；

1的平方根是±1，立方根都等于它本身；

（）2；

11

|1?3|=91；

?2=2?，

333

16

∴?嘉琪2批=改?的8第=①?③8④⑤題正確，第②題錯誤，

∴嘉琪批改正確的題數是4個，

故選：C．

【點評】此題考查了實數的運算能力，關鍵是能準確確定各種運算方法，并能進行正確地計算．

7．實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）

A．0＜a＜bB．|a|＝|b|C．ab＞0D．a﹣b＞0

【考點】實數與數軸；絕對值．

【專題】實數；數感．

【答案】B

【分析】根據圖示，可得a＝﹣2，b＝2，a＜0＜b，據此逐項判斷即可．

【解答】解：根據圖示，可得a＝﹣2，b＝2，a＜0＜b，

∵a＜0＜b，

∴選項A不符合題意；

∵a＝﹣2，b＝2，

∴|a|＝2，|b|＝2，

∴|a|＝|b|，

∴選項B符合題意；

∵a＜0，b＞0，

∴ab＜0，

∴選項C不符合題意；

∵a＜b，

∴a﹣b＜0，

∴選項D不符合題意．

故選：B．

【點評】此題主要考查了絕對值的含義和求法，在數軸上表示數的方法，以及數軸的特征：一般來說，當

數軸正方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大．

8．在實數范圍內定義一種新運算“*”，其規則是a*b＝a2﹣b2，如果（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），那么x

的值是（）

A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝46D．x＝﹣46

【考點】實數的運算；解一元一次方程．

【專題】新定義；運算能力．

【答案】A

【分析】按照定義的新運算可得（x+2）2﹣25＝x2﹣25，然后進行計算即可解答．

【解答】解：由題意得：（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），

（x+2）2﹣25＝x2﹣25，

x2+4x+4﹣25＝x2﹣25，

x2+4x﹣x2＝﹣25+25﹣4，

4x＝﹣4，

x＝﹣1，

故選：A．

【點評】本題考查了實數的運算，解一元一次方程，理解定義的新運算是解題的關鍵．

9．如圖，在數軸上，點O對應數字0，點A對應數字2，過點A作AB垂直于數軸，且AB＝4，連接OB，

繞點O順時針旋轉OB，使點B落在數軸上的點C處，則點C所表示的數介于（）

A．3和4之間B．4和5之間C．5和6之間D．6和7之間

【考點】實數與數軸．

【專題】常規題型．

【答案】B

【分析】因為△OAB是一個直角三角形，且有OC＝OB，所以可求得OB的長度即得C點所表示的數，可

判斷其大小．

【解答】解：∵AB⊥OA

∴在直角三角形OAB中有OA2+AB2＝OB2

∴OB

22

∴4＜=2＜+54=20

又∵OC2＝0OB

∴點C所表示的數介于4和5之間

故選：B．

【點評】此題考查的重點就是由垂直而組成的直角三角形的性質，從而解得答案．

10．的算術平方根是（）

1

A．16B．C．D．±

1111

?

【考4點】算術平方根．422

【專題】二次根式．

【答案】C

【分析】直接利用算術平方根的定義得出答案．

【解答】解：的算術平方根是：．

111

=

故選：C．1642

【點評】此題主要考查了算術平方根，正確把握定義是解題關鍵．

二．填空題（共5小題）

11．請寫出一個大于2且小于3的無理數（答案不唯一）．

【考點】實數大小比較；無理數．5

【專題】實數；數感．

【答案】見試題解答內容

【分析】根據完全平方數，即可解答．

【解答】解：∵4＜5＜9，

∴2＜＜3，

5

∴寫出一個大于2且小于3的無理數是，

故答案為：（答案不唯一）．5

【點評】本題5考查了實數大小比較，無理數，熟練掌握完全平方數是解題的關鍵．

12．設n為正整數，若的整數部分是1，則n的值可以是2（答案不唯一）.（寫出一個即可）

【考點】估算無理數的大?小；二次根式有意義的條件．

【專題】計算題；數感．

【答案】2（答案不唯一）．

【分析】根據題意可得：＜，即1≤n＜4，因此n的值可以是1，2，3．

【解答】解：∵n為正整數1，≤若?的整4數部分是1，

∴＜，?

∴1≤1≤n＜4?，4

∴n的值可以是1，2，3，

故答案為：2（答案不唯一）．

【點評】本題考查的是估算無理數的大小，熟練掌握無理數估算的方法是解題的關鍵．

13．比較大小：＜．（填“＞”、“＜”或“＝”）

【考點】實數大小5比?較1；算術平方2根．

【專題】實數；數感．

【答案】＜．

【分析】先估算出和的取值范圍，再求出1的取值范圍，再比較即可．

【解答】詳解：∵52.2236，1.414，5?

∴1≈1.236＜1.541≈4，2≈

∴5?1＜．

故答5案?為：＜2．

【點評】本題考查了實數的大小比較和估算無理數的大小，能估算出的范圍是解此題的關鍵．

14．已知與|b﹣2|互為相反數，ab＝1．5

【考點】非?負+數1的性質：算術平方根；非負數的性質：絕對值．

【專題】二次根式；運算能力；應用意識．

【答案】1．

【分析】根據互為相反數的兩個數的和等于0列式，再根據非負數的性質列式求出a、b，然后代入代數式

進行計算即可得解．

【解答】解：∵與|b﹣2|互為相反數，

∴?+10，

∴a+?1+＝10，+b|?﹣?2＝2|0=，0=

解得a＝﹣1，b＝2，

所以，ab＝（﹣1）2＝1

故答案為：1．

【點評】本題考查了非負數的性質，關鍵是根據“幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0”列出方

程．

，當＞時

15．對于實數m，n，先定義一種新運算“”如下：mn，若x（﹣1）＝

2，當時

?+?+???

??=2?

11，則實數x的值為3．?+?+??≤?

【考點】實數的運算．

【專題】一元二次方程及應用；幾何直觀；運算能力．

【答案】3．

【分析】根據新定義，當x＞﹣1時，x2+x﹣1＝11，即x2+x﹣12＝0，當x≤﹣1時，（﹣1）2+x﹣1＝11，

然后分別解一元二次方程和一元一次方程可得到滿足條件的x的值．

【解答】解：當x＞﹣1時，x2+x﹣1＝11，即x2+x﹣12＝0，

解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），

當x≤﹣1時，（﹣1）2+x﹣1＝11，

解得：x＝11，

所以x的值為3．

故答案為：3．

【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，

這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了實數的運算．

三．解答題（共5小題）

16．計算：．

3

?10

【考點】實數(?的2運)算?；4零??指?4數5°冪+；|2負?整數8|指+數(?冪?；2特)殊+角的8三角函數值．

【專題】實數；運算能力．

【答案】．

1

2

【分析】首先計算零指數冪、負整數指數冪、特殊角的三角函數值、開立方和絕對值，然后計算乘法，最

后從左向右依次計算，求出算式的值即可．

【解答】解：

3

?10

22(?2)2+1?+24???45°+|2?8|+(??2)+8

1

=??2+2?

．2

1

【=點2評】此題主要考查了實數的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數運算時，和有理數運算一樣，

要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要

按照從左到右的順序進行．

17．【觀察思考】

如圖是由長度為1cm和的兩種線段拼成的正方形圖案：

2??

【規律發現】

請用含n的式子表示：

（1）第n個圖案中需要cm長的線段的條數為2n2；

（2）第n個圖案中需要12cm長的線段的條數為2n2+2n；

【規律應用】

（3）若要組成一個面積為100cm2的正方形圖案，則需要這兩種線段各多少條？

【考點】算術平方根；規律型：圖形的變化類．

【專題】猜想歸納；幾何直觀；運算能力；推理能力．

【答案】（1）2n2；

（2）2n2+2n；

（3）需要cm長的線段200條，需要1cm長的線段220條．

【分析】（1）2根據題干中所給的圖案總結出規律即可；

（2）根據題干中所給的圖案總結出規律即可；

（3）由題意可得此為第10個圖案，然后代入（1）（2）中所得結論中計算即可．

【解答】解：（1）第1個圖案中cm長的線段的條數為2×1．

第2個圖案中cm長的線段的條數2為2×4＝2×22，

第3個圖案中2cm長的線段的條數為2×9＝2×22，

…2

第n個圖案中cm長的線段的條數為2n2，

故答案為：2n2；2

（2）第1個圖案中1cm長的線段的條數為4×1．

第2個圖案中1cm長的線段的條數為4×2+2×2×1，

第3個圖案中1cm長的線段的條數為4×3+3×2×2，

…

第n個圖案中1cm長的線段的條數為4×n+n?2（n﹣1）＝2n2+2n，

故答案為：2n2+2n；

（3）由題意得，面積為100cm2的正方形圖案為第10個圖案，

當n＝10時，2n2＝200，2n2+2n＝220，

即需要cm長的線段200條，需要1cm長的線段220條．

【點評】2本題考查算術平方根及圖案的規律總結問題，結合已知條件總結出規律是解題的關鍵．

18．如圖，是一條不完整的數軸，點A、B、C對應的實數分別為a、b、c，AB＝6，c＝﹣1，其中2a、﹣

b與c的和記為M．

（1）若a＝4，求M的值；

（2）若a＝2x，5≤M＜9，求滿足條件的x的整數解．

【考點】實數與數軸；解一元一次方程．

【專題】計算題；運算能力．

【答案】（1）M＝9；

（2）x的整數解為0或1．

【分析】（1）由題意得，a﹣b＝6，已知a＝4，可得b的值，已知c＝﹣1，可得M的值；

（2）已知a＝2x，a﹣b＝6，可得b的值，可求得M的值，因為5≤M＜9，可得x的取值范圍，因為x為

整數，可得滿足條件的x的整數解．

【解答】解：（1）由題意得，a﹣b＝6，

∵a＝4，

∴b＝﹣2，

∴M＝2a﹣b+c＝4×2﹣（﹣2）+（﹣1）＝9；

（2）∵a＝2x，a﹣b＝6，

∴b＝2x﹣6，

∴M＝2a﹣b+c＝4x﹣（2x﹣6）﹣1＝2x+5，

∵5≤M＜9，

∴5≤2x+5＜9，

解得：0≤x＜2，

∴x的整數解為0或1．

【點評】本題考查了實數與數軸，關鍵是正確化簡計算．

19．小杰計算過程如下：

0

2???60°+(??2024)?|3?2|

小杰的計算是否正確？若正確請在框內打“√”，直做第20題；若錯誤．請指出錯誤：①②③.（從

“①”“②”“③”中選填），并寫出你的解答過程．

【考點】實數的運算；零指數冪；特殊角的三角函數值．

【專題】實數；運算能力．

【答案】①②③．

【分析】根據實數的混合運算法則運算檢驗即可．

【解答】解：小杰做的不正確，①②③都錯，正確解答如下：

0

＝2?2??60°+1﹣(?（?22024）)?|3?2|

1

＝1+×12﹣+2?3

．+3

=故答3案為：①②③．

【點評】本題考查了實數的運算，熟練掌握實數混合運算是關鍵．

20．計算：．

1?10

【考點】實數(2的02運3)算；+零(3指.1數4?冪?；)負+整|2數指3?數冪2；|+特2殊???角45的°三?角1函2數值．

【答案】2024．

【分析】分別計算負整數指數冪、零指數冪、絕對值、三角函數值、二次根式，然后算加減即可．

【解答】解：

1?10

(2023)+(3.14??)+|23?2|+2???45°?12

2

=2023+1+23?2+2×2?23

=＝202243．+1+23?2+2?23

【點評】本題考查了實數的混合運算，熟練掌握實數混合運算法則是解決問題的關鍵．

考點卡片

1．絕對值

（1）概念：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值．

①互為相反數的兩個數絕對值相等；

②絕對值等于一個正數的數有兩個，絕對值等于0的數有一個，沒有絕對值等于負數的數．

③有理數的絕對值都是非負數．

（2）如果用字母a表示有理數，則數a絕對值要由字母a本身的取值來確定：

①當a是正有理數時，a的絕對值是它本身a；

②當a是負有理數時，a的絕對值是它的相反數﹣a；

③當a是零時，a的絕對值是零．

即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）

2．非負數的性質：絕對值

在實數范圍內，任意一個數的絕對值都是非負數，當幾個數或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項

都必須等于0．

3．平方根

（1）定義：如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．

一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根．

（2）求一個數a的平方根的運算，叫做開平方．

一個正數a的正的平方根表示為“”，負的平方根表示為“”．

正數a的正的平方根，叫做a的算術?平方根，記作．零的算?術平?方根仍舊是零．

平方根和立方根的性質?

1．平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．

2．立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是

0．

4．算術平方根

（1）算術平方根的概念：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數x叫做a的算

術平方根．記為．

（2）非負數a的算?術平方根a有雙重非負性：①被開方數a是非負數；②算術平方根a本身是非負數．

（3）求一個非負數的算術平方根與求一個數的平方互為逆運算，在求一個非負數的算術平方根時，可以

借助乘方運算來尋找．

5．非負數的性質：算術平方根

（1）非負數的性質：算術平方根具有非負性．

（2）利用算術平方根的非負性求值的問題，主要是根據被開方數是非負數，開方的結果也是非負數列出

不等式求解．非負數之和等于0時，各項都等于0利用此性質列方程解決求值問題．

6．立方根

（1）定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，

那么x叫做a的立方根．記作：．

3

（2）正數的立方根是正數，0的立?方根是0，負數的立方根是負數．即任意數都有立方根．

（3）求一個數a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數．

注意：符號中的根指數“3”不能省略；對于立方根，被開方數沒有限制，正數、零、負數都有唯一一

3

個立方根．?

【規律方法】平方根和立方根的性質

1．平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．

2．立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是

0．

7．無理數

（1）、定義：無限不循環小數叫做無理數．

說明：無理數是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數，即無限不循環小數．如圓周率、2的平方根

等．

（2）、無理數與有理數的區別：

①把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成有限小數和無限循環小數，

比如4＝4.0，0.33333…而無理數只能寫成無限不循環小數，比如1.414213562．

1

=2=

②所有的有3理數都可以寫成兩個整數之比；而無理數不能．

（3）學習要求：會判斷無理數，了解它的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環小數，③含有

的數，如分數是無理數，因為是無理數．π

?

π

無理數常見的三2種類型

（1）開不盡的方根，如，，等．

3

（2）特定結構的無限不循2環小3數，5

如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．

（3）含有的絕大部分數，如2．

注意：判斷π一個數是否為無理數π，不能只看形式，要看化簡結果．如是有理數，而不是無理數．

8．實數與數軸16

（1）實數與數軸上的點是一一對應關系．

任意一個實數都可以用數軸上的點表示；反之，數軸上的任意一個點都表示一個實數．數軸上的任一點表

示的數，不是有理數，就是無理數．

（2）在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數a的絕對值就是

在數軸上這個數對應的點與原點的距離．

（3）利用數軸可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原

點左側，絕對值大的反而小．

9．實數大小比較

實數大小比較

（1）任意兩個實數都可以比較大小．正實數都大于0，負實數都小于0，正實數大于一切負實數，兩個負

實數比大小，絕對值大的反而小．

（2）利用數軸也可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在

原點左側，絕對值大的反而小．

10．估算無理數的大小

估算無理數大小要用逼近法．

思維方法：用有理數逼近無理數，求無理數的近似值．

11．實數的運算

（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，

又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方．

（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算

加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行