房山區20242025學年度第一學期學業水平調研（二）高三數學本試卷共6頁，滿分150分，考試時長120分鐘.考生務必將答案填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.2.已知復數z滿足i?z＝2+i，則z的共軛復數是A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i3.已知，，，且，，則（）A. B.C D.4.在的展開式中，的系數為（）A. B. C. D.5.下列函數的圖象中，不是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.6.在平面直角坐標系中，已知點，，則到直線的距離的最大值為（）A. B. C. D.7.已知非零平面向量，則“”是“存在非零實數，使”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知正三棱錐的底面邊長為2，側面與底面所成角是，則三棱錐的體積等于（）A. B. C.2 D.19.已知實數，滿足，，給出下列三個結論：①；②；③.其中所有正確結論的序號是（）A.① B.② C.①③ D.②③10.已知由正整數組成集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶數的個數.若.則的最小值為（）A.5 B.7 C.9 D.10第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域為_____.12.在中，，，，則_____；若為邊上一點，且，則_____.13.已知雙曲線（）的漸近線方程為，則，的一組值依次為_____.14.《九章算術》是我國古代的優秀數學著作，內容涉及方程、幾何、數列、面積、體積的計算等多方面.《九章算術》中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”由以上條件，該女子第5天織布_____尺；若要織布50尺，該女子所需的天數至少為_____.15已知函數，，給出下列四個結論：①當時，方程有且只有一個實數根；②當時，對任意，或；③當時，對任意，；④存在，對任意，.其中正確結論的序號是_____.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數，，且的最小值為.（1）求的值；（2）設，求函數在區間上的最大值及相應自變量的值.17.近年中國新能源汽車進入高速發展時期，2024年中國新能源汽車銷售量已超過1100萬輛，繼續領跑全球.某市場部為了解廣大消費者購買新能源汽車和燃油汽車情況，從某市眾多4S店中任意抽取8個作為樣本，對其在12月份的新能源汽車、燃油汽車銷售量（單位：輛）進行調查.統計結果如下：1店2店3店4店5店6店7店8店新能源汽車銷售量108162320182211燃油汽車銷售量1411131921252326（1）若從該市眾多門店中隨機抽取1個，估計該門店12月份新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的概率；（2）若從樣本門店中隨機抽取3個，其中12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個數記為，求的分布列和數學期望；（3）新能源汽車銷售量和燃油汽車銷售量的樣本方差分別記為和.試比較和的大小.（結論不要求證明）18.已知三棱柱中，側面為菱形，側面為正方形，，，為中點.（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.（ⅰ）求證：平面；（ⅱ）求與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.19.已知橢圓過點，離心率為，一條直線與橢圓交于、兩點，線段的垂直平分線為，為直線與直線的交點.（1）求橢圓的方程；（2）若，直線是否過定點？如果是，求出該定點的坐標；如果不是，說明理由.20.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意，都有，求實數的取值范圍；（3）求證：存在實數，使方程有正實根.21.已知和都是無窮數列.若存在正數，對任意的，均有，則稱數列與具有關系.（1）分別判斷下列題目中的兩個數列是否具有關系，直接寫出結論；①，，；②