第1頁/共1頁2025年聊城市高考模擬試題數學（一）注意事項：1.本試卷滿分150分，考試用時120分鐘.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應位置上.2.回答選擇題時，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，只將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.已知復數，則共軛復數A. B. C. D.3.曲線在處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.4.已知角，向量，，若，則（）A B. C. D.5.已知等比數列的公比為，則“”是“是遞增數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.設是橢圓左焦點，，是上的任意兩點，周長的取值范圍為，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.7.已知函數是定義域為的奇函數，當時，，若是增函數，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.8.在四棱錐中，，、分別為、中點，經過、、三點的平面交于點，為上一點，且平面，為等邊三角形，，，則經過、、、四點的球的表面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，，則（）A.的最小正周期為B.在上單調遞增C.直線是曲線的一條對稱軸D.將的圖象向右平移個單位得到的圖象10.將四個不同的小球，放入四個編號為、、、的盒子中，每個小球放入各個盒子的可能性都相等，設表示空盒的個數，表示號盒子中小球的個數，則（）A.每個盒子中恰有球的概率為B.事件“號是空盒”與事件“號是空盒”不獨立C.隨機變量的方差為D.隨機變量的均值為11.設動直線與拋物線相交于，兩點，分別過，作的切線，設兩切線相交于點，則（）A.直線經過一定點 B.拋物線的焦點為C.點到坐標原點的距離不小于 D.的面積的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設實數，函數為奇函數，則______________.13.在中，已知，，，則的面積為______________.14.在一塊黑板上共有10個點，其中任意3點都不共線，現將任意兩點用紅色線段或綠色線段連結起來，在所得到的圖形中三邊同色的三角形至少有______________個.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程、演算步驟.15.某學校為了調動學生學習數學的積極性，在高二年級舉行了一次數學有獎競賽，對考試成績優秀（即考試成績不小于分）的學生進行了獎勵.學校為了掌握考試情況，隨機抽取了部分考試成績，并以此為樣本制作了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.已知第一小組的頻數為.（1）求值和樣本容量；（2）估計所有參賽學生的平均成績；（3）假設在抽取的樣本中，男生比女生多人，女生的獲獎率為，填寫下列列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，判斷男生與女生的獲獎情況是否存在差異？性別獎勵合計獲獎未獲獎男

女

合計

附：，16.在三棱錐中，為等邊三角形，，，為的中點，為線段上一點，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.17.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若有兩個不同的極值點，，且，求實數的取值范圍.18.已知圓，圓，動圓與、都外切.（1）求圓心的軌跡方程；（2）設，、是圓心軌跡上的不同兩點，過點作，垂足為，若直線與的斜率之積等于，求動點軌跡的長度.19.若各項為正數的無窮數列滿足：對于都有，其中為非零常數，則稱數列為“平方等差數列”.（1）判斷無窮數列和是否是“平方等差數列”，并說明理由；（2）若是“平方等差數列”.（ⅰ）證明：存在正整數，使得不等式成立；（ⅱ）證明：存在正整數，使得.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據交集的定義即可求解.【詳解】由可得，故，故選：C2.已知復數，則共軛復數A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：首先求得復數z，然后求解其共軛復數即可.詳解：由題意可得：，則其共軛復數.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查復數的運算法則，共軛復數的概念等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.3.曲線在處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導數的幾何意義求出切線方程，可得出切線與兩坐標軸的交點坐標，再利用三角形的面積公式即可得解.【詳解】對函數求導得，故所求切線斜率為，切點坐標為，所以，曲線在處的切線方程為，該切線交軸于點，交軸于點，因此，曲線在處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為.故選：D.4.已知角，向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量共線的坐標表示可求出的值，結合角的取值范圍可得出角的值.【詳解】因為，則，向量，，若，則，可得，故.故選：B.5.已知等比數列的公比為，則“”是“是遞增數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先分析充分性：假設特殊等比數列即可判斷；再分析必要性，由條件得恒成立，再對和進行分類討論即可判斷.【詳解】先分析充分性：在等比數列中，，所以假設，，所以，等比數列為遞減數列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數列的公比為，且是遞增數列，所以恒成立，即恒成立，當，時，成立，當，時，不成立，當，時，不成立，當，時，不成立，當，時，成立，當，時，不成立，當，時，不恒成立，當，時，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時成立，所以必要性成立.故選：B.6.設是橢圓的左焦點，，是上的任意兩點，周長的取值范圍為，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，結合橢圓的定義，結合三角形的三邊關系以及共線關系可得周長范圍，再與給定范圍比對即可得解.【詳解】令橢圓右焦點為，，周長，當且僅當共線時取等號，則，即，又，因此，則，解得，所以C的離心率為.故選：A.7.已知函數是定義域為的奇函數，當時，，若是增函數，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導，根據判別式，結合二次函數的性質分類求解.【詳解】要使奇函數是增函數，則需要在上單調遞增，且，當時，恒成立，因為，此時的對稱軸，所以只需即可，即.故選：B8.在四棱錐中，，、分別為、的中點，經過、、三點的平面交于點，為上一點，且平面，為等邊三角形，，，則經過、、、四點的球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，平面內過點且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標系，設，求出平面的一個法向量的坐標，根據線面位置關系與向量的關系求出點的坐標，然后設球心為，由可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可求出球的半徑，即可得解.【詳解】因為平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，平面內過點且垂直于的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，設平面的一個法向量為，，直線的一個方向向量為，則，取，可得，設，所以，，因為平面，則，解得，所以，，即點，設經過、、、四點的球的球心為，由可得，解得，故球半徑為，因此，經過、、、四點的球的表面積為.故選：C.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側面為直角三角形，或正四面體，或對棱二面角均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可；④坐標法：建立空間直角坐標系，設出外接球球心的坐標，根據球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，，則（）A.的最小正周期為B.在上單調遞增C.直線是曲線的一條對稱軸D.將的圖象向右平移個單位得到的圖象【答案】BD【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數的解析式，利用正弦型函數的周期公式可判斷A選項；利用正弦型函數的單調性可判斷B選項；利用正弦型函數的對稱性可判斷C選項；利用三角函數圖象變換可判斷D選項.【詳解】因為，對于A選項，函數的最小正周期為，A錯；對于B選項，當時，，所以，在上單調遞增，B對；對于C選項，因為，故直線不是曲線的一條對稱軸，C錯；對于D選項，將的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，D對.故選：BD.10.將四個不同的小球，放入四個編號為、、、的盒子中，每個小球放入各個盒子的可能性都相等，設表示空盒的個數，表示號盒子中小球的個數，則（）A.每個盒子中恰有球的概率為B.事件“號是空盒”與事件“號是空盒”不獨立C.隨機變量的方差為D.隨機變量的均值為【答案】BCD【解析】【分析】計算出每個盒子中恰有球的概率，可判斷A選項；利用獨立事件的定義可判斷B選項；利用二項分布的方差公式可判斷C選項；利用隨機變量期望公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，每個盒子中恰有球的概率為，A錯；對于B選項，記事件號是空盒，事件號是空盒，則，，所以，，故事件“號是空盒”與事件“號是空盒”不獨立，B對；對于C選項，由題意可知，故，C對；對于D選項，由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，，因此，，D對.故選：BCD.11.設動直線與拋物線相交于，兩點，分別過，作的切線，設兩切線相交于點，則（）A.直線經過一定點 B.拋物線的焦點為C.點到坐標原點的距離不小于 D.的面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據直線的定點求法計算判斷A，根據焦點坐標判斷B，設l的方程及A、B坐標，利用導數求拋物線切線斜率及切線方程，聯立兩直線可得P坐標判定C，利用點到直線的距離公式、弦長公式結合冪函數的性質、三角形面積公式可判定D.【詳解】對于A：化簡為，無論為何值時，令，可得定點為，A選項正確；對于B：的焦點在軸且，所以，所以拋物線的焦點為，B選項錯誤；對于C：設，與拋物線方程聯立有，設，，有，，由，所以的斜率分別為，又因為,則兩切線，，聯立兩直線方程解得，所以，點到坐標原點的距離為，當時點到坐標原點的最小距離為，所以C正確；對于D：P到l的距離為，所以，當時，此時取最小值，故D正確；故選：ACD．【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點時應用弦長公式和點到直線距離得出面積結合二次函數最值計算求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設實數，函數為奇函數，則______________.【答案】【解析】【分析】利用奇函數的定義可求出的值，然后代值計算可得的值.【詳解】實數，且函數為奇函數，則，由奇函數的定義可得，即，整理可得，則，因為，解得，所以，，故.故答案為：.13.在中，已知，，，則的面積為______________.【答案】##【解析】【分析】數形結合，將分為兩角，再運用余弦定理和三角形面積公式計算即得.【詳解】因，故，如圖，過點作射線交線段于點，使，則，則，在中利用余弦定理得，，解得，在中利用余弦定理得，，則，則.故答案為：.14.在一塊黑板上共有10個點，其中任意3點都不共線，現將任意兩點用紅色線段或綠色線段連結起來，在所得到的圖形中三邊同色的三角形至少有______________個.【答案】20【解析】【分析】利用拉姆齊數和Goodman定理判定至少有20個同色三角形，然后進行構造性驗證即可.【詳解】拉姆齊數基礎：拉姆齊數

表示在6個點的完全圖中，無論如何用兩色著色邊，必然存在一個同色三角形.但本題涉及10個點，需進一步分析.Goodman定理的應用：Goodman定理指出，對于偶數

，雙色完全圖中同色三角形的最少數目為：,當

時，，代入得：這表明無論如何著色，至少存在20個同色三角形。構造性驗證：將10個點分為兩組（每組5個），組內邊全紅，組間邊全綠,此時同色三角形僅來自組內，每組有

個紅色三角形，共

個。這說明存在一種著色方式使得同色三角形恰為20個。根據Goodman定理，無論何種著色，同色三角形數量下限即為20。結論：在所得到的圖形中，三邊同色的三角形至少有20個。故答案為：【點睛】本題主要是圖論中的基礎知識的應用，其中拉姆齊數，Goodman定理.拉姆齊數（RamseyNumber）定義：拉姆齊數

是指在任意一個完全圖的邊被兩種顏色（通常為紅色和藍色）著色后，必然存在一個

個頂點的全紅子圖或一個

個頂點的全藍子圖的最小頂點數.舉例：：在任意一個6個頂點的完全圖中，無論邊如何被紅藍兩色著色，必然存在一個紅色的三角形或一個藍色的三角形.Goodman定理定理內容：在一個

個頂點的完全圖中，每條邊被紅色或藍色著色。設

為單色三角形的數量，則有：,證明：總三角形數：在一個

個頂點的完全圖中，三角形的總數為：.非單色三角形數：對于每個三角形，有三種可能的著色方式：全紅,全藍,兩種顏色混合.設

為單色三角形的數量，則非單色三角形的數量為：.邊著色分析：對于每條邊，假設紅色邊的數量為

，藍色邊的數量為

，則有：.單色三角形數下界：根據Goodman定理，單色三角形數

滿足：有：證明步驟：通過計算所有可能的三角形著色情況，利用概率和組合數學的方法，推導出單色三角形數量的下界.具體證明過程涉及復雜的組合分析和不等式推導，詳細步驟可參考相關組合數學教材或論文.拉姆齊數

描述了在完全圖著色中必然存在的單色子圖的最小頂點數.Goodman定理

給出了在完全圖著色中單色三角形數量下界，通過組合分析證明了該下界的存在性.這兩個概念在組合數學和圖論中具有重要的理論和應用價值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程、演算步驟.15.某學校為了調動學生學習數學的積極性，在高二年級舉行了一次數學有獎競賽，對考試成績優秀（即考試成績不小于分）的學生進行了獎勵.學校為了掌握考試情況，隨機抽取了部分考試成績，并以此為樣本制作了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.已知第一小組的頻數為.（1）求的值和樣本容量；（2）估計所有參賽學生的平均成績；（3）假設在抽取的樣本中，男生比女生多人，女生的獲獎率為，填寫下列列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，判斷男生與女生的獲獎情況是否存在差異？性別獎勵合計獲獎未獲獎男

女

合計

附：，【答案】（1），樣本容量為（2）（3）列聯表見解析，無【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為可得的值，將第一組的容量除以第一組的頻率可得出樣本容量；（2）將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，相加可得出平均數；（3）根據題意完善列聯系表，結合臨界值表可得出結論.【小問1詳解】由頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為可得，解得，樣本容量為.【小問2詳解】所有參賽學生的平均成績為.【小問3詳解】由題意可知，獲獎人數為人，由題意可得如下列聯表性別獎勵合計獲獎未獲獎男女合計所以，，所以，依據小概率值的獨立性檢驗，男生與女生的獲獎無差異.16.在三棱錐中，為等邊三角形，，，為的中點，為線段上一點，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）求出的值，利用正弦定理得到，進而得到為的中點，再利用線線平行即可證明線面平行；（2）取中點，連接，利用勾股定理證明，建系，利用線面角的向量求法求解即可.【小問1詳解】因，，，所以，所以，在中，根據正弦定理得，又，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以為中點，又為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】取中點，連接，因為為的中點，所以，，因為，即，所以，因為為等邊三角形，且，所以，，又，所以，所以，以為原點，分別以為軸的正向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，所以，設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若有兩個不同的極值點，，且，求實數的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）先求出函數的導數，構造二次函數，分類討論，根據導數的正負來判斷函數的單調性.（2）利用極值點與導數的關系，結合二次函數和韋達定理，構造函數，求導研究單調性，解不等式求解.【小問1詳解】的定義域為.

求導可得：.令，其判別式.

當，即時，因為，所以，則，所以在上單調遞增.

當，即或時，方程的兩根為，.(根同號)，.因為，當時，，則，，此時，，在上單調遞增.當時，，則，，且，此時在和上，，，單調遞增；在上，，，單調遞減.

綜上所得，當時，在上單調遞增.當時，在和上單調遞增；在上，單調遞減.【小問2詳解】因為有兩個不同的極值點，所以且，解得.由韋達定理可知，，代入上式可得：.已知，即，可得，即.令，對求導得.因為，所以，在上單調遞增.又，所以的解集為，即實數的取值范圍是.18.已知圓，圓，動圓與、都外切.（1）求圓心的軌跡方程；（2）設，、是圓心軌跡上的不同兩點，過點作，垂足為，若直線與的斜率之積等于，求動點軌跡的長度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設圓的半徑為，根據圓與圓的位置關系得出，，可得出，則點的軌跡是以點、為焦點的雙曲線的右支，求出、、的值，即可得出其軌跡方程；（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與曲線方程聯立，根據求出，可知點在以點為圓心，半徑為的圓上運動，求出點的橫坐標的取值范圍，結合扇形的弧長公式可求得點的軌跡長度.【小問1詳解】設圓的半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為圓與圓、圓都外切，則，，所以，，所以，點的軌跡是以點、為焦點的雙曲線的右支，設雙曲線的標準方程為，則，可得，，則，所以，，所以，圓心的軌跡方程為.【小問2詳解】若直線與軸垂直，則直線與曲線只有一個公共點，不合乎題意，設直線的方程為，設點、，聯立可得①，則且，可得且，由韋達定理可得