專題練

聚焦重難考點練透熱點題型

專題一函數與導數

微專題1函數的圖象與性質

［考情分析］函數的圖象與性質是高考考查的重點和熱點，主要考查函數的定義域、分段函

數、函數圖象的識別與應用以及函數性質(單調性、奇偶性、周期性、對稱性)的綜合應用，

難度屬于中等及以上.此部分內容多以選擇題、填空題的形式出現，有時在壓軸題的位置，

多與導數、不等式、創新性問題相結合來命題.

■思維導圖

L函數定義域的求法

函數的概念與表示一

—根據函數解析式求值、解不等式

函數的定義域和值域一

一根據新定義判斷新函數

函數的單調性一

一根據函數解析式判斷奇偶性、單調性

函數的奇偶性一必備常見

—根據函數性質求值、解不等式、比較大小

函數的周期性一知識-題型

一函數性質的綜合應用

函數的對稱性一函

數—函數圖象的變換

函數的圖象變換一的

圖—函數圖象的識別

基本初等函數的圖象一象

與—函數圖象的應用

性

定義法一質L忽略函數的定義域

一

圖象法一必備常見—忽略性質的等價轉化

函數模型一解法誤區—忽略定義法的使用

利用函數性質相互轉化一」忽略數形結合

典型例題

考點一函數的概念與表示

【典例1］(1)(2023?沈陽模擬)設函數外)的定義域為(-1,3),則函數g(x)=*l+“)的定義域為

111(1—X)

()

A.(-2,1)B.(-2,0)U(0,1)

C.(0,1)D.(一8,0)U(0,l)

答案B

解析要使成0=膽土立有意義，

In(l-x)

-l<l+x<3,

只需T—x>0,

1—xW1,

—2<x<2,

即VI,

解得一2vx<0或0<x<l,

則函數g(x)的定義域為(一2,0)U(O,1).

(2)已知實數。￡氏函數段)=?''若八1—〃)次1+〃)，則實數。的取值范圍是

—X,x>\,

答案(—2,-1)U(O,+°°)

解析由題意知aWO,

①當a<0時，l-a>l,l+a<l,

一(1—a)>(l+a)2+2a,

化簡得a2+3a+2<0,

解得一2<a<一1,

又。<0,a￡(—2,—1)；

②當心0時，

(1一a)2+2a>—(1+a),

化簡得層+°+2>0,解得°eR,

又0>0,.'.a^(0,+°°),

綜上，實數。的取值范圍是(一2,-l)U(0,+°°).

跟蹤訓練1(1)(2023?濰坊模擬)存在函數人x)滿足：對任意xGR都有()

A.人團)=/B.y(sinx)=x2

C.y(x2+2x)=|x|D.XM)=^2+1

答案D

解析對于A,令x=l,得知1|)=/(1)=1；

令x=—1,得加一1[)=/U)=—1,不符合函數定義，A錯誤；

對于B,令x=0,得/(sinx)=/(0)=0,令x=7i,得/(sin兀)=40)=兀2,不符合函數定義，B

錯誤；

對于C,令x=0,得{0）=0,令X=—2,得人（-2）2+2義（-2））={0）=2,不符合函數定義,

C錯誤；

對于D,4刈=/+1=肝+1,xGR,因為|x|20,則當x20時，/（》）=/+1,符合函數定義,

即存在函數兀0=4+1（無》0）滿足:對任意xdR都有外刈=/+1,D正確.

2-

,,flog2（x3）,x>2,廠

（2）（2023?濟寧模擬）已知adR,函數次x）=?加勺5））=2,則。=.

3工+。，xW2,

答案T

解析因為七>2,所以/（y5）=log2（5—3）=1<2,

所以/（穴3））=/（1）=3+。=2,解得。=—1.

考點二函數的圖象

_Tt匹

【典例2】（1）（2022?全國甲卷）函數尸（3x—3"cosx在區間12’2」上的圖象大致為（）

AB

答案A

解析方法一(特值法)

[3-1]&

取x=l,則y=l3jcosl=-cos1>0；

3

IM

取x=—l,則y=13Jcos(—1)

=--cosl<0.結合選項知選A.

3

方法二令>=〃)，

則X—X)—(33Y)cos(—x)

=-(3X—3-x)cosx=-fix),

所以函數y=(3"一3r)cosx是奇函數，

排除B,D；

f3-l〕8

取x=l,則y=l3jcosl=-cosl>0,排除C,故選A.

3

(2)(多選)(2023?揚州模擬)函數於)的定義域為［—1,1),其圖象如圖所示.函數g(x)是定義域為

R的偶函數，滿足g(x+2)=g(x),且當1,0］時，g(x)=/(x).給出下列四個結論，其中

正確的是()

1

A--

2

B.函數g(x)的圖象關于直線x=-1對稱

C.不等式g(x)>0的解集為R

D.函數g(x)的單調遞增區間為［2匕2左+1］,kGZ

答案ABD

解析對于A,因為函數g(x)是定義域為R的偶函數，所以g(l)=g(—1),

又g(—1)=｛一1)=:所以g(D=；，故A正確；

對于B,因為函數g(x)是定義域為R的偶函數，所以g(—x)=g(x),

又g(x+2)=g(x),所以g(—x)=g(—x—2),所以g(—2—x)=g(x),

所以函數g(x)的圖象關于直線x=—1對稱，故B正確；

對于C,由題意知，g(O)=y(O)=O,故C錯誤；

對于D,由題意知，g(x)在［—1,0］上單調遞減，

又g(x)為偶函數，圖象關于y軸對稱，所以g(x)在［0,1］上單調遞增.又g(x+2)=g(x),所以

gG)是以2為周期的周期函數，

所以函數g(x)在［2左,2左+1］,左GZ上單調遞增，故D正確.

’3。xWl,

跟蹤訓練2(1)已知函數於)=<log/,》〉：1，則函數V=/(l—x)的大致圖象是()

答案D

解析方法一作函數加)的圖象關于y軸對稱的圖象，得到函數八一x)的圖象，再把函數人一

X)的圖象向右平移1個單位長度即可得到函數H1—X)的圖象，如圖.

3\xWL

方法二因為函數兀

0="logjXjX>1,

、3

3H

所以函數人1一%)=<logJl-x'xvO,

3

當x=0時，y=/(l)=3,即>=;(1一%)的圖象過點(0,3),排除A；

當x=-2時，歹=次3)=—1,即y=/(l—x)的圖象過點(一2,—1),排除B；

當X。時，41—x)=log](l-x)<0,排除C.

3

(2)(2022?全國乙卷)如圖是下列四個函數中的某個函數在區間［—3,3］的大致圖象，則該函數是

()

A.尸^±^

N+1

2xcosx2sinx

C.yD.y2

x2+1~x+l

答案A

解析對于選項B,當工=1時，歹=0,與圖象不符，故排除B；對于選項D,當x=3時，y

1.

-sin3>0,與圖象不符，故排除D；對于選項C,當0<%<攵時，0<cos,故》

52

2xcosx2x

---------<-----<1,與圖象不符，所以排除C.

x2+1x2+1

考點三函數的性質

廣+J為偶函數，則

【典例3］(1)(2023,全國甲卷)若人x)=(x—1>+辦+sina

答案2

解析=(X—1A+辦+sin

=(%—l)2+?x+cosx=x2+(tz—2)x+1+cosx,

且函數為偶函數，

.,.a—2=0,解得a=2.

經驗證，當a=2時滿足題意.

(2)(多選)(2023?新高考全國I)已知函數外)的定義域為R,Axy)=y2Ax)+x2fiy),則(

A.X0)=0

B."1)=0

C.加)是偶函數

D.x=0為火x)的極小值點

答案ABC

解析方法一因為兀

對于A,令x=y=O,/(O)=Q/(O)+Q/(O)=O,故A正確；

對于B,令x=y=l,{1)=1丸1)+1/(1),則火1)=0,故B正確；

對于C,令x=y=-1,八1)=八一1)+八-1)=賀一1),則八一1)=0,

令y=—1，X-^)=?+^-i)=?，

又函數加)的定義域為R,所以Hx)為偶函數，故C正確；

對于D,不妨令正)=0,顯然符合題設條件，此時段)無極值，故D錯誤.

方法二因為大刈)=了為)+工為)，

對于A,令x=y=O,/(O)=Q/(O)+Q/(O)=O,故A正確；

對于B,令x=y=l,負1)=歡1)+1{1),則{1)=0,故B正確；

對于C,令x=y=—1,人1)=八一1)+八―1)=〃一1),則八-1)=0,

令y=—1,A-x)=Ax)+-^7(-1)=Ax)>

又函數加)的定義域為R,所以{x)為偶函數，故C正確；

對于D,當/產N0時，對人孫)=y2/(x)+x2)兩邊同時除以Ny2,得至嗎?=^十印,

xzyzx2yz

故可以渭i=1中叱0),則?=產兇'X*"

X2lo,x=0,

當x>0時，fix)=x2lnx,則f(x)=2xlnx+x2--=x(21nx+1),

令，(x)<0,得O<x<e一萬；

令，(x)>0,得介e”，

故外)在O,eW上單調遞減，在屋1+8上單調遞增，

<)\)

/j_A(j_\

因為外)為偶函數，所以外)在-e3,0上單調遞增，在—8,—e”上單調遞減，

77

顯然，此時x=0是/）的極大值點，故D錯誤.

跟蹤訓練3⑴設函數兀0=ln|2x+l|-ln|2x—1|,貝）

A.是偶函數，且在上單調遞增

B.是奇函數，且在1―2,J上單調遞減

C.是偶函數，且在1—s,―J上單調遞增

D.是奇函數，且在卜8'—]單調遞減

答案D

解析;(x)=ln|2x+l|—ln|2x—1］的定義域為

*.*/(_x)=ln|-2x+1|—ln|-2x-1|

=ln|2x—1|—ln|2x+1|

=一%），

?7Ax）為奇函數.

當X」—8,一j時,

—2r—1

—ln(—2x—1)—ln(l—2x)=ln—~—

—oo-------I

.一’2j上單調遞減.

（2）（多選）（2022?新高考全國I）已知函數於）及其導函數，（x）的定義域均為R,記g（x）

f（x）.若2^,gQ+x）均為偶函數，則（）

A.人0）=0B.g[l）=0

C.4-1）={4）D.g(-l)=g(2)

答案BC

解析方法一(轉化法)因為/t—21，gQ+x)均為偶函數，

所以2X)/+2X］

即/CT=/M,

g(2+x)=g(2—x),

所以｛3—x)=/(x),g(4—x)=g(x),

則八-1)=/(4),故C正確；

函數人x),g(x)的圖象分別關于直線x=2，x=2對稱，又g(x)=r(x),且函數4)可導，

所以Jj=O,g(3—x)=—g(x),

所以g(4—x)=g(x)=-g(3—x),

所以g(x+2)=—g(x+l)=g(x),

所以JHL?=0,

g(—l)=g(l)=—g(2),故B正確，D錯誤;

若函數/(x)滿足題設條件，

則函數於)+C(。為常數)也滿足題設條件，

所以無法確定火0)的函數值，故A錯誤.

方法二(特例法)因為/C一2】，g(2+x)均為偶函數，所以函數人月的圖象關于直線》=:對

稱，函數g(x)的圖象關于直線x=2對稱.取符合題意的一個函數八x)=l(xCR),則H0)=1,

排除A；

取符合題意的一個函數外)=sinnx,

貝Uf(x)=71COSTtx,即g(x)=7TCOSTtX,

所以g(—1)=71COS(—7T)=-71,g(2)=7TCOS2兀=兀，

所以g(一l)Wg(2),排除D.

［總結提升］

1.一是要熟練掌握基本初等函數的圖象與性質，二是準確識記函數圖象變換的規律，三是掌

握函數圖象識別的一些技巧，如利用圖象的對稱性、函數的符號等排除干擾項，從而得到正

確選項.

2.要準確理解函數的基本性質，把握自變量之間的關系與對應函數值之間的相互轉化.

熱點突破

1.若定義在R上的奇函數人x)在(-8,0)上單調遞減，且｛2)=0,則滿足研x—1)20的x

的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+8)

B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]U[l,+°°)

D.[-1,0]U[1,3]

答案D

解析因為函數段)為定義在R上的奇函數,

則人0)=0.

又兀0在(一8,0)上單調遞減，且人2)=0,

畫出函數人x)的大致圖象如圖(1)所示，

則函數加一1)的大致圖象如圖(2)所示.

當xWO時，要滿足取X—1)20,

則加一1)WO,得一IWXWO.

當x>0時，要滿足求x—l)20,

則人x—1)20,痔f

故滿足求x—l)》0的x的取值范圍是

2.(2021?全國乙卷)設函數4)=3,則下列函數中為奇函數的是()

1+x

A.—1)-1B.fix—1)+1

C./(x+1)—1D./(x+1)+1

答案B

解析方法一因為人x)=",

1+x

所以"一1)=匕0=口，

l+(x-l)x

"+1)=匕3==

1+(x+1)x+2

0--Y，---0丫

對于A,令產(x)=/(x—1)—1=---1=-

XX

則尸(x)的定義域關于原點對稱，但不滿足F(x)=—尸(一x)；

=口+

對于B,令G(x)=/(x—1)+11=2

XX

則G(x)定義域關于原點對稱，且滿足G(x)=-G(—x),是奇函數;

—JC—x—x-2_2x+2

對于C,危+1)—1=^——1定義域不關于原點對稱;

x+2x+2x+2

—x——x+x+22

對于D,/(x+l)+l=——+1定義域不關于原點對稱.

x+2x+2x+2

方法二?=—=2-(%+1)=--1,為保證函數變換之后為奇函數，需將函數y=Ax)

1+x1+xl+x

的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的圖象對應的函數為

-1)+1.

3.(2023?滁州模擬)如圖是下列某個函數在區間［—2,2］上的大致圖象，則該函數是()

x3+3x2-3x%

A.?=COS一

x2+l

%3+312—3x

B.?=

x2+l

%3—N+x

C.?=sinx

x2+l

D-AX)=￡TCOSX

答案A

丫3-I—Q丫2—3丫1A

解析對于B,由次x)二,知八2)=詈2,但由圖象知人2)<2,故可排除B；

x2+l5

對于C,危)=/三4七%nx=xa：x+D.sinx,當xd(0,l)時，負x)>0,而由函數圖象知函數

x2+lx2+l

在(0,1)上有零點，故可排除C；

工幺—SX一

對于D,由於)=一^一%osx知，而由函數圖象可知人1)>0,故可排除D.

x2+1

4.已知函數/(x)=sinxH■-^―,貝!］()

sinx

A.小)的最小值為2

B.小)的圖象關于〉軸對稱

C.7(x)的圖象關于直線、=兀對稱

D.4）的圖象關于直線x=1對稱

答案D

解析,當xGI0]時，/)<0,

.*.Ax)min<0,故A錯誤；

V?=sinxH■-匚的定義域為{x|xWE,左GZ},

sinx

X-x)=sin(-x)+-1-=-sinx---=一加),

sin(—x)sinx

.\Ax)為奇函數，關于原點對稱，故B錯誤；

兀一1)=sinxd---,火兀+x)=—sinx-----,

sinxsinx

?7/（兀一%）壬/（兀+x）,

???加）的圖象不關于直線X=7l對稱，故C錯誤;

,.y^-X）=cosxH■——,

COSX

/bLcosxH—

cosx

二府）的圖象關于直線對稱，故D正確.

pX——p一工

5.（2023?背澤模擬）已知函數於則兀0的圖象可能為（）

x2+\x\~2

答案c

解析段）的定義域為{x|xW±l},

e^—e-x

=----------------=—?x),

x2+|x|-2

所以｛x)為奇函數，其圖象關于原點對稱，所以排除A,D；

QX一Q~X

當時，fix)=-----------,

x2+x-2

因為x2~\-x—2<0,

e2x—1

e^—ex=-------->0,

所以｛x)<0,所以排除B.

6.(2022?新高考全國II)已知函數｛x)的定義域為R,且/(》+夕)+加一用=/。m)，｛1)=1,

22

則區級)等于()

A.-3B.-2C.0D.1

答案A

解析因為黃1)=1,

所以在/(x+y)+fix-y)=J[x]fiy)中，

令尸1,

得人x+l)+八X—l)=Ax)/(l),

所以"+1)+/(X—l)=/(x),①

所以於+2)+於)=加+1).②

由①②相加，得"+2)+大x—1)=0,

故火x+3)+危)=0,

所以/(x+3)=-Ax),

所以/(x+6)=-Ax+3)=Ax),

所以函數人x)的一個周期為6.

在加+用+/一y)=/(x)/(y)中，

令y=0,得人x)+/(x)=/31/(0),

所以｛0)=2.

令x=y=l,得火2)+H0)=/(1)/(1),

所以H2)=-1.

由<x+3)=-/(x),

得八3)=一八0)=-2,負4)=-/(1)=-1,

｛5)=一負2)=1,｛6)=一八3)=2,

所以7U)+/(2)H------^6)=1-1-2-1+1+2=0,

22

根據函數的周期性知，4/(?=/⑴+{2)+{3)+八4)=1—1—2—1=—3.

7.(多選X2023?威海模擬)已知函數兀v)的定義域為R,且加+1)為奇函數，/+2)為偶函數,

對任意的XI,X2G(1,2),且X1WX2,都心2)一歡)>0,則下列結論正確的是()

X2~Xi

A.人工)是奇函數

B.023)=0

C.的圖象關于點(1,0)對稱

D.

答案BCD

解析根據題意，函數{x)的定義域為R,且加+1)為奇函數，負x+2)為偶函數，

則人x)的圖象關于點(1,0)對稱，同時關于直線x=2對稱，

則有{2+x)=—/(—x),八一x)=/(4+x),

故有"+4)=一"+2),Xx+2)=-?,即Hx+4)=/(x),

則函數段)是周期為4的周期函數，

對于A,小)的圖象關于點(1,0)對稱，同時關于直線x=2對稱，則x=0即y軸也是函數作)

的對稱軸，則大x)為偶函數，A錯誤；

對于B,以)是周期為4的周期函數，則人2023)=/(3+4X505)=犬3)=-/(1)=0,B正確；

對于C,加+1)為奇函數，人功的圖象關于點(1,0)對稱，C正確；

對于D,對任意的xi,改晝(1,2),且xiWx2,都有/2)-AXI)>0,則於)在區間(1,2)上單調遞增，

X2-X\

由于")為偶函數，則/卜IK，段)的圖象關于直線x=2對稱，則/0=/圖，

又由;比，故/IW

即口dD正確.

8.(多選)(2023?重慶模擬)已知定義在R上的連續奇函數人勸滿足人工一4)=一段),且在區間［0,2］

上單調遞增，下列說法正確的是()

A.函數加)的圖象關于直線x=4左一66GZ)對稱

B.函數於)的單調遞增區間為［8左一6,8左一2］(左CZ)

C.函數4)在區間(一2019,2019)上恰有1010個最值點

D.若關于x的方程加)一加=0在區間［—8,8］上有根，則所有根的和可能為0或±4或±8

答案ACD

解析由加—4)=—〃)得，

>-4-4)=-A%-4)=?,

所以函數;(x)的周期為8,

因為八%)是奇函數，

所以"一4)=一五4—x)=-Ax),/(4-x)=?,

對稱軸為直線x=2,

根據次x)在［0,2］上單調遞增，可知人x)在［—2,0］上也是單調遞增的，得函數圖象大致如下,

對于A,對稱軸為x=2+4左(左GZ),x=4k—6=4(左一2)+2(左eZ),故A正確；

對于B,單調遞增區間為［8左一2,8左+2］住WZ),［8左一6,8左一2］=［8(左一1)+2,8(后一1)+6］(左WZ)

是單調遞減區間，故B錯誤；

對于C,2019—(—2019)=4038=504X8+6,共有504個周期多6,

函數加0在每個周期上有2個最值點，在504個完整的周期上有504X2=1008(個)最值點，

在(一2019,—2016)上有1個最值點，在(2016,2019)上有1個最值點，

共有1008+2=1010(個)最值點，故C正確；

對于D,若機=冽1=最大值，如圖中所示，則所有根之和為-6+2=—4,

若0〈加=加2〈最大值，如圖中所示，則所有根之和為一6X2+2X2=—8,

若加=0,則所有根之和為0,

若最小值<%=加3<0,如圖中所示，則所有根之和為2X(—2)+2X6=8,

若機=機4=最小值，如圖中所示，則所有根之和為-2+6=4,故D正確.

9.(2023?滄州模擬)已知函數兀r)=xln(e*+a)—］是奇函數，貝！J°=.

答案1

解析因為函數八工)=111(^+0)—；是奇函數，

所以火—1)=-7(1)，

,,1ln(e+a)--

—ln(e'+a)--=-L2」，

e-1+a

所以e+0=e,e+a=e(e-1+a)=1+ea,

e-'+a

即a—ea=a(l—e)=l—e,解得a=l,

此時段)的定義域為R,滿足題意.

10.(2023?荷澤模擬)寫出一個同時滿足下列兩個條件的非常數函數.

①當XI,X2>0時，兀n+x2)=/ai)y(X2)；②/(X)為偶函數.

答案")=。叫a>0,aW1)(答案不唯一)

解析若滿足①對任意的Xl,X220有於1+X2)=/(X1)；/(X2)成立，

則對應的函數為指數函數的形式；

若滿足②/(x)為偶函數，只需要將