2023--2024學年度上學期期末考試初四數學試題注意事項：1．答卷前請考生務必在試卷的規定位置將自己的姓名、準考證號等內容填寫準確．2．本試題分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間為120分鐘．3．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題用0.5mm黑色簽字筆直接答在答題卡相應區域，不能答在試卷上；解答題作圖需用黑色簽字筆，不能用鉛筆．4．考試結束后，由監考教師把答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題40分）一、選擇題（本題共10小題，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分，共40分）1.中國人最早使用負數．可追溯到兩千多年前的秦漢時期．的相反數是（）A.0.5 B. C. D.2.剪紙（中陽剪紙）經中華人民共和國國務院批準列入第一批國家級非物質文化遺產名錄．為弘揚優秀傳統文化，繼承和發揚民間剪紙藝術，今年我市某中學開展了“剪紙進校園非遺文化共傳承”的項目式學習，下列剪紙作品的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.如圖，直線AB∥CD，∠1＝110°，則∠A的度數為（）A.70° B.110° C.60° D.100°4.杭州亞運會已閉幕，中國代表團共收獲201金、111銀、71銅，總計383枚獎牌，創歷史．圖①是2023年10月2日乒乓球男單頒獎現場．圖②是領獎臺的示意圖，則此領獎臺主視圖是（）A. B.C. D.5.我國首個火星探測器“天問一號”經過470000000公里旅程成功著陸在火星上，將470000000用科學記數法表示是（）A. B. C. D.6.有理數a、b在數軸上的對應的位置如圖所示，則下列各式一定成立的是（）A. B. C. D.7.下列式子中，運算正確的是（）A. B. C. D.8.一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“大”、“美”、“鋼”、“城”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區別，每次摸球前先攪拌均勻．從中任取一球，不放回，再從中任取一球，取出的兩個球上的漢字能組成“美城”的概率（）A. B. C. D.9.如圖，中，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點，交于點；②分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內相交于點；③畫射線，交于點，交對角線于點．若，則的長度為（）A.3 B. C. D.10.在平面直角坐標系中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為完美點．已知二次函數的圖象上有且只有一個完美點，且當時，函數的最小值為最大值為則m的取值范圍是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題110分）二、填空題（本大題共6小題，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分，共24分）11.分解因式：______．12.為了對10000件某品牌襯衣進行抽檢，統計合格襯衣的件數，在相同條件下，經過大量的重復抽檢，發現一件合格襯衣的頻率穩定在常數0.98附近，由此可估計這10000件中不合格的襯衣約為______件．13.如果關于方程沒有實數根，那么的取值范圍是_____．14.大自然中有許多小動物都是“小數學家”，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節省材料，多名學者通過觀測研究發現：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．一個巢房的橫截面為正六邊形，如圖所示，若邊心距，則這個正六邊形的面積是______________．15.如圖所示為某新款茶吧機，開機加熱時每分鐘上升，加熱到，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫與通電時間成反比例關系，當水溫降至時，飲水機再自動加熱，若水溫在時接通電源，水溫與通電時間之間的關系如圖所示，則水溫下降過程中，與的函數關系式滿足______．16.如圖，在中，已知，，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，作點關于直線的對稱點，則線段的最小值為______．三、解答題（本大題共10小題，共86分，解答要寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）17.計算：．18.解不等式組：，并求出它的非負整數解．19.如圖，菱形中，過點分別作邊上的高，求證：．20.為了解甲、乙兩所學校八年級學生綜合素質整體情況，對兩校八年級學生進行了綜合素質展示測評，并分別隨機抽取了50名學生綜合素質展示成績（百分制），并對數據（成績）進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．甲學校學生成績的頻數分布直方圖如下（數據分成6組：）；b．甲學校學生成績在：這一組的是：8081818181838384858686.5878888.58989c．甲、乙學校學生成績的平均數、中位數、眾數、優秀率（85分及以上為優秀）如下：甲學校乙學校平均數中位數眾數優秀率平均數中位數眾數優秀率82m8183.3847846%根據以上信息，回答下列問題：（1），；（2）甲學校學生A，乙學校學生B的綜合素質展示成績同為83分，這兩人在本校學生中的綜合素質展示排名更靠前的是（填“A”或“B”）；（3）根據上述信息，推斷學校綜合素質展示的水平更高，理由為（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）；（4）已知甲校八年級共有600名學生，預估甲學校八年級有多少學生綜合素質測評可以達到優秀？21.如圖是某種云梯車的示意圖，云梯升起時，與底盤夾角為α，液壓桿與底盤夾角為β．已知液壓桿，當時．（參考數據：，，，，）（1）求液壓桿頂端B到底盤的距離的長；（2）求的長．22.如圖，是的直徑，弦于點C，過點F作的切線交的延長線于點D．（1）已知，求的大小；（2）取中點M，連接，請補全圖形；若求的半徑．23.爆竹聲中一歲除，春風送暖入屠蘇．隨著春節即將到來，家家戶戶貼春聯，掛燈籠，歡天喜地迎新年．鋼城某超市計劃購進燈籠和春聯這兩種商品．已知購進2個燈籠和4副春聯花費110元，購進4個燈籠和6幅春聯花費190．（1）求每個燈籠和每副春聯的進價各是多少元？（2）已知每個燈籠售價是30元，每幅春聯的售價是18元，超市兩次購進燈籠和春聯這兩種商品共300件，其中春聯的數量不少于燈籠的數量的3倍，若購進的燈籠和春聯全部售出，請問當購進燈籠多少個時，可使銷售獲得最大利潤，最大利潤是多少元？24.在平面直角坐標系xOy中，對于函數y（x＞0），它的圖象是雙曲線在第一象限內的一部分，如圖1，這條曲線將第一象限分成了三個部分，即曲線上方、曲線下方和曲線上．（1）對于函數y（x＞0）的圖象而言，①點P（3，1）在（填“曲線上方”、“曲線下方”、“曲線上”）．②橫、縱坐標滿足不等式y點在（填“曲線上方”、“曲線下方”、“曲線上”）．（2）已知m＞0，將在第一象限內滿足不等式組的所有點組成的區域記為W．①當m＝1時，請在圖2中畫出區域W（用陰影部分標示）；②若A（1，2），B（2，4）兩點恰有一個點在區域W內，結合圖象，直接寫出m的取值范圍．25.如圖，已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．頂點為D點，點E為拋物線對稱軸上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接，若是以為斜邊的直角三角形，請求出點E的坐標：（3）拋物線對稱軸上是否存在點E，使得取得最小值，若不存在，請說明理由，若存在，求出點E的坐標，并求出的最小值．26.問題情境：綜合與實踐數學活動課上，張老師給出了一個問題：如圖1，在中，，點D，E在邊上，且，則用等式表示線段之間的數量關系是______；問題初探：（1）以下是兩位同學經過思考給出的兩種思路：①如圖2，小明同學經過分析后，將繞點A逆時針旋轉得到，連接，根據三角形全等和勾股定理知識得到線段之間的數量關系；②如圖3，小強同學經過分析后，將、分別沿進行翻折，得到和，根據三角形全等和勾股定理知識也得到了線段之間的數量關系；類比分析：兩名同學分別從旋轉和軸對稱的角度分析、解決問題，將前面問題進行變式，請你解答：（2）如圖4，在中，，點D在邊上，點E在的延長線上，且，用等式表示線段之間的數量關系，并證明：學以致用（3）如圖5，在四邊中，，若，則的長

2023--2024學年度上學期期末考試初四數學試題注意事項：1．答卷前請考生務必在試卷的規定位置將自己的姓名、準考證號等內容填寫準確．2．本試題分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間為120分鐘．3．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題用0.5mm黑色簽字筆直接答在答題卡相應區域，不能答在試卷上；解答題作圖需用黑色簽字筆，不能用鉛筆．4．考試結束后，由監考教師把答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題40分）一、選擇題（本題共10小題，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分，共40分）1.中國人最早使用負數．可追溯到兩千多年前的秦漢時期．的相反數是（）A.0.5 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，0的相反數是0．根據相反數的定義求解即可．【詳解】解：﹣0.5的相反數是0.5，故選：A．【點睛】本題考查了相反數，在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數．2.剪紙（中陽剪紙）經中華人民共和國國務院批準列入第一批國家級非物質文化遺產名錄．為弘揚優秀傳統文化，繼承和發揚民間剪紙藝術，今年我市某中學開展了“剪紙進校園非遺文化共傳承”的項目式學習，下列剪紙作品的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，即可作答．【詳解】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B、不軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，如果一個圖形沿著一條直線對折，直線兩旁的部分能夠重合，那么這個圖形就是軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的對稱軸；如果一個圖形沿著某一個點旋轉后，仍能與原來的圖形重合，那么這個圖形就是中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．3.如圖，直線AB∥CD，∠1＝110°，則∠A的度數為（）A.70° B.110° C.60° D.100°【答案】A【解析】【分析】由AB∥CD，∠2＝∠1＝110°，根據兩直線平行，同旁內角互補，即可求得答案．【詳解】解：如圖，∵AB∥CD，∠2＝∠1＝110°，∴∠A＝180°﹣∠2＝70°．故選：A．【點睛】此題考查了平行線的性質．此題比較簡單，注意掌握兩直線平行，同旁內角互補定理的應用．4.杭州亞運會已閉幕，中國代表團共收獲201金、111銀、71銅，總計383枚獎牌，創歷史．圖①是2023年10月2日乒乓球男單頒獎現場．圖②是領獎臺的示意圖，則此領獎臺主視圖是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了組合體的主視圖．熟練掌握從正面看到的是主視圖是解題的關鍵．根據從正面看到的是主視圖進行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，是主視圖，故選：B．5.我國首個火星探測器“天問一號”經過470000000公里旅程成功著陸在火星上，將470000000用科學記數法表示是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查用科學記數法表示較大的數．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．【詳解】解：將470000000用科學記數法表示是．故選：C．6.有理數a、b在數軸上的對應的位置如圖所示，則下列各式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查利用數軸判斷式子的符號，根據點在數軸上的位置，判斷有理數的大小關系，進一步確定式子的符號，進行判斷即可．【詳解】解：由圖可知：，∴，，，，故只有選項D正確；故選D．7.下列式子中，運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依次根據合并同類項，整式的除法，冪的乘方，完全平方公式的運算判斷【詳解】A.，不符合題意B.，不符合題意C.符合題意D.不符合題意故選C【點睛】此題是整式的混合運算，主要考查了合并同類項，整式的除法，冪的乘方，完全平方公式的運算，掌握這些知識點是解本題的關鍵．8.一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“大”、“美”、“鋼”、“城”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區別，每次摸球前先攪拌均勻．從中任取一球，不放回，再從中任取一球，取出的兩個球上的漢字能組成“美城”的概率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．畫出樹狀圖，進行求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果數，其中取出的兩個球上的漢字能組成“美城”的結果數為2，所以取出的兩個球上的漢字能組成“美城”的概率為，故選：C．9.如圖，中，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點，交于點；②分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內相交于點；③畫射線，交于點，交對角線于點．若，則的長度為（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據平行四邊形的性質得到BC＝AD＝10，再利用勾股定理計算出AC＝8，利用基本作圖得到BQ平分∠ABC，則根據角平分線的性質得到點O到BA的距離等于點O到BC的距離，接著利用三角形的面積公式得到S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝OA：OC，所以OAAC．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC＝AD＝10，∵BA⊥CA，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，AC8，由作法得BQ平分∠ABC，∴點O到BA的距離等于點O到BC的距離，∴S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝6：10＝3：5，∵S△ABO：S△BCO＝OA：OC，∴OA：OC＝3：5，∴OA：AC＝3：8，∴OAAC8＝3．故選：A．【點睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質，平行四邊形的性質，勾股定理，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．10.在平面直角坐標系中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為完美點．已知二次函數的圖象上有且只有一個完美點，且當時，函數的最小值為最大值為則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數圖象上的點的坐標特征，二次函數的性質以及根的判別式的知識，利用數形結合和分類討論是解題關鍵．由完美點的概念可得：，即，由只有一個完美點可得判別式，得方程根為2，從而求得，所以得出函數解析式，由此解析式可求得此拋物線的頂點坐標以及與坐標軸的交點坐標，根據函數值，可求得m的取值范圍．【詳解】解：由題意可得，當時，，即圖象上有且只有一個完美點，∴，則，方程根為函數，該二次函數頂點坐標為，與y軸交點為，由對稱性可知：點也是該二次函數圖象上的點，在左側，隨增大而減小；在右側，隨的增大而增大；且當時函數的最小值為最大值為則故選：B．第Ⅱ卷（非選擇題110分）二、填空題（本大題共6小題，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分，共24分）11.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】用平方差公式即可得到結果．【詳解】原式=(m+6)(m?6)，故答案為(m+6)(m?6)．【點睛】考查用平方差公式因式分解，解題的關鍵是熟記用平方差．12.為了對10000件某品牌襯衣進行抽檢，統計合格襯衣的件數，在相同條件下，經過大量的重復抽檢，發現一件合格襯衣的頻率穩定在常數0.98附近，由此可估計這10000件中不合格的襯衣約為______件．【答案】200【解析】【分析】本題考查利用頻率估算概率．根據題意，得到合格襯衣的概率為0.98，進而得到不合格的概率為，用總數量乘以概率求出數量即可．【詳解】解：由題意，得：合格襯衣的概率為0.98，∴不合格的概率為，∴這10000件中不合格的襯衣約為（件）；故答案為：200．13.如果關于的方程沒有實數根，那么的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根，據此求解即可．【詳解】解：∵關于的方程沒有實數根，∴，∴，故答案：．14.大自然中有許多小動物都是“小數學家”，蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節省材料，多名學者通過觀測研究發現：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．一個巢房的橫截面為正六邊形，如圖所示，若邊心距，則這個正六邊形的面積是______________．【答案】【解析】【分析】連接，，證明為等邊三角形，得出，根據勾股定理求出，得出，求出，得出六邊形的面積即可．【詳解】解：連接，，如圖所示：六邊形是正六邊形，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，，∴，根據勾股定理得：，即，解得：，負值舍去，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了正六邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，三角形面積計算，解答本題的關鍵是明確正六邊形的特點．15.如圖所示為某新款茶吧機，開機加熱時每分鐘上升，加熱到，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫與通電時間成反比例關系，當水溫降至時，飲水機再自動加熱，若水溫在時接通電源，水溫與通電時間之間的關系如圖所示，則水溫下降過程中，與的函數關系式滿足______．【答案】【解析】【分析】本題考查反比例函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根據題意和圖象，可以求出水溫下降過程中，與的函數關系式．【詳解】解：由題意可，升溫過程中，當時，所用的時間，設水溫下降過程中，與的函數關系式滿足，點在該函數圖象上，，解得，即，故答案為：．16.如圖，在中，已知，，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，作點關于直線的對稱點，則線段的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了圓的有關知識，平行四邊形的性質，解直角三角形等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．過點作于，利用解直角三角形得，，，由勾股定理得，再由，可得點在以為圓心為半徑的上，即當、、三點共線時最小，的最小值．【詳解】解：如圖，過點作于，連接，，，，則，，，在中，，點與點關于直線對稱，，點在以為圓心為半徑的上，當、、三點共線時最小，的最小值，故答案為：．三、解答題（本大題共10小題，共86分，解答要寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）17.計算：．【答案】【解析】【分析】代入特殊角三角函數值，利用負整數指數冪，絕對值和二次根式的性質化簡，然后計算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了實數的混合運算，牢記特殊角三角函數值，熟練掌握負整數指數冪，絕對值和二次根式的性質是解題的關鍵．18.解不等式組：，并求出它的非負整數解．【答案】；非負整數解為【解析】【分析】先求出每個不等式的解集，再確定其公共解，得到不等式組的解集，然后求其整數解．【詳解】解：解不等式①得x＜2，解不等式②得x≥-1，∴此不等式組的解集為：-1≤x＜2，則它的非負整數解x=0，1．【點睛】本題主要考查了解不等式組及其非負整數解，解答此題關鍵求出不等式組的解集，求不等式組的解集要遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．19.如圖，菱形中，過點分別作邊上的高，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，菱形性質等知識，由菱形性質結合條件，利用全等三角形的判定與性質即可得證，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．【詳解】證明：在四邊形是菱形，，，，在和中，，∴．20.為了解甲、乙兩所學校八年級學生綜合素質整體情況，對兩校八年級學生進行了綜合素質展示測評，并分別隨機抽取了50名學生的綜合素質展示成績（百分制），并對數據（成績）進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．甲學校學生成績的頻數分布直方圖如下（數據分成6組：）；b．甲學校學生成績在：這一組的是：8081818181838384858686.5878888.58989c．甲、乙學校學生成績的平均數、中位數、眾數、優秀率（85分及以上為優秀）如下：甲學校乙學校平均數中位數眾數優秀率平均數中位數眾數優秀率82m8183.3847846%根據以上信息，回答下列問題：（1），；（2）甲學校學生A，乙學校學生B的綜合素質展示成績同為83分，這兩人在本校學生中的綜合素質展示排名更靠前的是（填“A”或“B”）；（3）根據上述信息，推斷學校綜合素質展示的水平更高，理由為（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）；（4）已知甲校八年級共有600名學生，預估甲學校八年級有多少學生綜合素質測評可以達到優秀？【答案】（1）；（2）A（3）乙，從優秀率和中位數兩個方面比較，乙校均高于甲校（4）240名【解析】【分析】本題考查求中位數，利用中位數做決策，利用樣本估計總體數量．掌握相關計算方法，是解題的關鍵．（1）根據中位數的確定方法求出，利用成績在85分及以上的人數除以總人數求出；（2）根據兩個學生的成績與甲，乙的中位數的大小關系進行判斷即可；（3）從優秀率和中位數兩個角度進行說明即可；（4）利用樣本估計總體的思想進行求解即可．【小問1詳解】解：甲組數據的第25和第26個數據均為81，∴；；故答案為：，；小問2詳解】因為，∴A同學的排名更靠前；故答案為：A；【小問3詳解】從優秀率和中位數兩個方面比較，乙校均高于甲校，∴乙學校的綜合素質展示的水平更高；故答案為：乙，從優秀率和中位數兩個方面比較，乙校均高于甲校；【小問4詳解】（名）；答：預估甲學校八年級有240名學生綜合素質測評可以達到優秀．21.如圖是某種云梯車的示意圖，云梯升起時，與底盤夾角為α，液壓桿與底盤夾角為β．已知液壓桿，當時．（參考數據：，，，，）（1）求液壓桿頂端B到底盤的距離的長；（2）求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義，數形結合．（1）根據，代入數據求出結果即可；（2）根據三角函數的定義分別求出，，再求出結果即可．【小問1詳解】解：根據題意得：∵，，；【小問2詳解】解：，，，，，．22.如圖，是的直徑，弦于點C，過點F作的切線交的延長線于點D．（1）已知，求的大小；（2）取的中點M，連接，請補全圖形；若求的半徑．【答案】（1）（2）的半徑為【解析】【分析】（1）連接，如圖，先根據垂徑定理，再根據圓周角定理得到，接著利用切線的性質得到，然后利用互余計算的度數；（2）連接，如圖，設的半徑為，根據垂徑定理得到，再根據圓周角定理得到，則，所以，則根據含30度角的直角三角形三邊的關系得到,然后利用勾股定理，求出，從而得到OF的長．【小問1詳解】解：連接，，如圖，，是的直徑，．，，．為的切線，．．，；【小問2詳解】連接，如圖，為的直徑，為中點，．為的中點，，，，，，設的半徑為，在中，，，在中，．即，解得，即的半徑為．【點睛】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理和切線的性質．23.爆竹聲中一歲除，春風送暖入屠蘇．隨著春節即將到來，家家戶戶貼春聯，掛燈籠，歡天喜地迎新年．鋼城某超市計劃購進燈籠和春聯這兩種商品．已知購進2個燈籠和4副春聯花費110元，購進4個燈籠和6幅春聯花費190．（1）求每個燈籠和每副春聯的進價各是多少元？（2）已知每個燈籠的售價是30元，每幅春聯的售價是18元，超市兩次購進燈籠和春聯這兩種商品共300件，其中春聯的數量不少于燈籠的數量的3倍，若購進的燈籠和春聯全部售出，請問當購進燈籠多少個時，可使銷售獲得最大利潤，最大利潤是多少元？【答案】（1）每個燈籠的進價是25元，每副春聯的進價是15元（2）購進燈籠75個時，可使本次銷售獲得最大利潤，最大利潤是1050元【解析】【分析】本題考查二元一次方程組的實際應用，一次函數的實際應用．正確的列出方程組和一次函數解析式，是解題的關鍵．（1）設每個燈籠的進價是元，每副春聯的進價是y元，根據購進2個燈籠和4副春聯花費110元，購進4個燈籠和6幅春聯花費190，列出方程組進行求解即可；（2）設購進燈籠個，銷售獲得的利潤為，根據春聯的數量不少于燈籠的數量的3倍，求出的取值范圍，根據總利潤等于燈籠的利潤加上春聯的利潤，列出函數關系式，利用一次函數的性質，求出最大值即可．【小問1詳解】解：設每個燈籠的進價是元，每副春聯的進價是y元，由題意得：，解得：，答：每個燈籠的進價是25元，每副春聯的進價是元；【小問2詳解】解：設購進燈籠個，則購進春聯副，由題意得：，解得：，設銷售獲得的利潤為，則，整理，得：．，∴w隨著a的增大而增大，∴當時，有最大值，最大值為，答：購進燈籠75個時，可使銷售獲得最大利潤，最大利潤是1050元．24.在平面直角坐標系xOy中，對于函數y（x＞0），它的圖象是雙曲線在第一象限內的一部分，如圖1，這條曲線將第一象限分成了三個部分，即曲線上方、曲線下方和曲線上．（1）對于函數y（x＞0）的圖象而言，①點P（3，1）在（填“曲線上方”、“曲線下方”、“曲線上”）．②橫、縱坐標滿足不等式y的點在（填“曲線上方”、“曲線下方”、“曲線上”）．（2）已知m＞0，將在第一象限內滿足不等式組的所有點組成的區域記為W．①當m＝1時，請在圖2中畫出區域W（用陰影部分標示）；②若A（1，2），B（2，4）兩點恰有一個點在區域W內，結合圖象，直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）①曲線上方；②曲線下方（2）①見解析；②1＜m＜8且m≠2【解析】【分析】（1）①把相應坐標代入函數式即可得到答案；②根據函數圖象可得到答案；（2）①根據題意得不等式組，根據軌跡可得答案；②分當點A（1，2）在區域W內時，當點B（2，4）在區域W內時，兩種情況得不等式組，求解可得答案．【小問1詳解】解：①在函數y圖象上，當x＝3時，y，∴點P（3，1）在曲線上方；②y為曲線，橫、縱坐標滿足不等式y的點在曲線下方．故答案為：①曲線上方；②曲線下方．【小問2詳解】解：①由題意知，區域W滿足，∴區域W滿足在y的上方且在y＝x+1的下方，如圖：②當點A（1，2）在區域W內時，，得1＜m＜2，當點B（2，4）在區域W內時，，得2＜m＜8，∴m的取值范圍為1＜m＜8且m≠2．【點睛】此題考查的是函數的軌跡問題，掌握反比例函數性質及數形結合思想的應用是解決此題關鍵．25.如圖，已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．頂點為D點，點E為拋物線對稱軸上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接，若是以為斜邊的直角三角形，請求出點E的坐標：（3）拋物線對稱軸上是否存在點E，使得取得最小值，若不存在，請說明理由，若存在，求出點E的坐標，并求出的最小值．【答案】（1）（2），（3），【解析】【分析】（1）把，代入，解方程組，求出a、c的值即可．（2）過點C作垂直拋物線的對稱軸于點M，