2024-2025學(xué)年湖南省岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣高三上學(xué)期12月月數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

一、單選題（每題5分，共40分）

1,設(shè)集合,=上同廣={一切,則（）

A.{0』B,{T，DC.{TO』D.

{-1,0,1,2）

【正確答案】C

【分析】將集合M化簡(jiǎn)，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橛?^Z了==T^j}={-1,0/},所以〃'cN={-1,0,1}.

故選：C.

2.若zQ+i）=2+3i,則復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)［的虛部是（）

A.2B.2C.2D.2

【正確答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，化簡(jiǎn)整理為標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)合共軌復(fù)數(shù)與虛部的定義，可得答案.

_2+3i_（2+3i）（l—i）_2—2i+3i_3i?_5+i_55x

z===2=+

［詳解］^r（i+o（i-oi-~i2\則z-一手，

所以復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)數(shù)1的虛部是2.

故選：B.

3.“。=3”是，，直線V=x+4與圓3）=8相切,，的（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得。，根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】圓(A。)+Q—3)=8的圓心為("㈤，半徑為2虛,

若直線^=》+4，》_卜+4=0與圓。-4)"+(y一3)2=8相切,

卑=20

則有V2V2,解得a=3或—5.

所以“a=3，，是“直線J=x+4與圓(X")+&-3)=8相切,，的充分不必要條件

故選：A

4,已知向量JB滿足同-W=3,"1(1,⑸,則卜斗()

A.2B.9C,4D.16

【正確答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律列式計(jì)算即得.

［詳解］由a+B=(l，G),得|a+B|=2,而

222

|￡+次+|￡_司2=2(?+片)=2(1+3)=20

因此4+|a-邸=20,所以3_加=4

故選：C

5.已知尸都是銳角，tan力一，sinQ+夕=，則CO.i.(.

iLL

A.4B,6c,8D.12

【正確答案】D

【分析】運(yùn)用兩角和與差的正弦公式展開(kāi)，化切為弦得sinacos尸=3cosasin分，代入即

可求解.

./、.1tana

sin(a+/?)=sinacosB+cosasinjS=------3

【詳解】由題意3,又tan尸，

所以cosasin[3即sinacos夕=3cosasin/3

4cossin/?=—cosasin/?=一

所以3,所以12

故選：D

2024.eN*)

6.有一袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的白球k個(gè)，黑球V/甲、乙兩人約定一

種游戲規(guī)則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起,

上一局的負(fù)者先摸球.若第一局中甲先摸球，記第"局甲獲勝的概率為夕"，則關(guān)于以下兩個(gè)

命題判斷正確的是()

2024

①月=4048—左,且A+i=(l-20)P“+Pi；

②若第七局甲獲勝的概率不小于0.9,則左不小于1992.

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

【正確答案】A

【分析】分別計(jì)算在第一局中：摸1次，摸3次，L,摸2加-1次甲獲勝概率，可得

rFk(2024—左丫k/2024—左k~

…[202412024J202412024J2024]，從而求得也由于第

〃+1局甲獲勝包括兩種情況：第〃局甲贏且第〃+1局甲后摸球和第〃局甲輸且第〃+1局甲

先摸球，可得夕〃+1=P"。—0)+0一夕")"，利用數(shù)列求通項(xiàng)公式的構(gòu)造法，可得

I'""I是首項(xiàng)為“萬(wàn)，公比為1—221的等比數(shù)列，求出?7,解不等式即可求解.

【詳解】第一局：摸1次甲獲勝概率為：2024,摸3次甲獲勝概率為:

2024-k}k

20242024

（2024-左丫k（2024-左丫.

2024

摸5次甲獲勝概率：IJ2024,摸7次甲獲勝概率：〔2024）2024,L

（2024一左廣2女

摸2加-1次甲獲勝概率：I2024）2024,

2024-A;?k{2024_后「k

PT=lim2024I2024J2024+…2024J2024

加f+oo

所以

k](2024-21

2024一12024Jk

2024_2024

Pilim<

w—>+oo-1.2024-420244048-Z:

I2024)2024J

所以

第〃+1局甲獲勝包括兩種情況：第〃局甲贏且第〃+1局甲后摸球和第n局甲輸且第〃+1局

甲先摸球,

則"=%(1-口)+"P)R=(1-22”,+口,故①正確;

由0+i=(l_2pJp〃+Pi,設(shè)p“+i+X=(l_2pJ(p“+4),解得=一5,

P“+i_；=(1_2巧)[Pn-g

所以

所以I"'I是首項(xiàng)為“2,公比為1—20的等比數(shù)列，

貝武-即。-卜-2小*9

所以6*2m°：即卜一上退卜0.4

7[7>0.41

110.4

26>0,4二即口一

即,即

竽+9°-98\即0=比+°,84,解得2991.089,

A-Aj

則,

所以％不小于1992,所以②正確.

故選：A

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是在第一局中求出摸1次，摸3次，L,摸2加一1次甲獲勝概率,

可得其概率是等比數(shù)列，從而得到

上+上+「上

加—>+002024I2024)2024(2024)2024

,利用數(shù)列求和和極限

的知識(shí)進(jìn)行求解.

ex-a,x<Q,

/&)=,

+a,x>°在氏上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)°的取值范圍

7.已知aeR,函數(shù)（

A.(0,+8)B.(1，+°°)

C.1+”）。{0}D(1,+")。{0}

【正確答案】D

【分析】分xV°、%〉°討論，根據(jù)/CO沒(méi)有零點(diǎn)求出。的范圍可得答案.

【詳解】時(shí)，0<eYl,

若e*=。無(wú)解，則或。〉1；

x〉0時(shí)，ln(x+l)>0,

若ln(x+l)=-a無(wú)解，則心0,

則ae(l,+”)U{0}.

故選：D.

cox——j〉0)71

f(x)=2sin3,71

8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)。最大

時(shí)/（X）在區(qū)間［-1°°兀'1°°兀］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

)

A.466B.467C.932D.933

【正確答案】B

71

cox—

【分析】方法一：根據(jù)X的范圍，確定3的范圍，結(jié)合已知條件以及函數(shù)的零點(diǎn)，得

(左一1)兀三胃一

兀2兀、兀

Ml<G兀一§V（左+1）兀——2兀—

且刃3,分別驗(yàn)證人二°、k='、左=2確定外的范圍,

兀

t—cox—

求出。的最大值，代入函數(shù)解析式即可求解；方法二：利用換元的令3,根據(jù)尤的

范圍，確定/的范圍，由3,得出。的范圍，結(jié)合V=2sin/圖象性質(zhì)，以及已知

條件，最終確定切的最大值，代入函數(shù)解析式即可求解.

f(x)=2sin|<yx--Vet>>0)T=—

【詳解】方法一：由題意，函數(shù)1,可得函數(shù)的周期為。，

7171兀7i

X€,71COX----€--------,（D71----

33

因?yàn)?可得333

71

y=2sin[GX-g）（g〉0）

3,71

又由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),

Z;1、/G兀兀1

（左一1）兀V----------<左兀

<

kit<am-—<（k+\^n—>n~—

且滿足13，且03,可得。<3,

33

<

,1，，

k<a>——<k+\

即13,且。<3,

1/①I八2

-l<-------<0——<0）<\

333

0<CD-—<I

當(dāng)左=0時(shí),3,解得13,所以3

八/①1,

0<-------<1

331<（?<4

,1C<4:

1<CD——<2—<CD<—

當(dāng)左=1時(shí),3，解得〔3:所以33.

1<---<2

334<o<7

7,10

2<a)--<3—<a><—

當(dāng)左=2時(shí),3,解得133,此時(shí)解集為空集,

47

5

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍為33

7兀

%—f(x)=2sin—x----

所以3,得33

7n

f(x)=2sin—x----=0—x--=A7i(A;eZ)x=苧鼻g)

33則33,，解得

11

-100TC<—+-<1007t-100——<—<100——

令77,則有777,

-100x71,100x71—701/7,699

--------------<k<-------------------------<k<-----

解得3333,即33,

因?yàn)閗eZ,所以共有467個(gè)零點(diǎn).

/(x)=2sin|ox-—T=—

方法二：由題意，函數(shù)1,可得函數(shù)的周期為。

「兀、71

xe-,7Tt=(DX——

因?yàn)?3人可設(shè)3,

y2sin(co>0)

又函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),

2兀、兀兀兀兀2兀

——>兀—

~~——3<T,則由.v=2sin/

a)3可得0<。43,所以33圖象性質(zhì),

兀〃;兀兀八

——<---------<0

3330<<?<1

14

0<〃;兀—V兀—<(￡><—-<?<1

可知3，得133即3

amn2TI

0<--------<—

3331<o<3

47

兀兀一二?2兀—<?<—

或者3，得133即33

—f(x)=2sin|—x-—

所以外最大為3,得(33.

/(x)=2sinRx-|j=07

—x-—=hr(A;eZ)x=^^+—(A:eZ)

則33I),解得77、)

i乂i

-100TC<—+-<1007t-100——<—<100——

令77,則有:777,

-100x71,，100x71—701,"699

-------<k<------------<k<--

解得：3333,即33

因?yàn)閗eZ,所以共有467個(gè)零點(diǎn).

故選：B.

思路點(diǎn)睛：對(duì)于區(qū)間長(zhǎng)度為定值的動(dòng)區(qū)間，若區(qū)間上至少含有上個(gè)零點(diǎn)，需要確定含有左個(gè)

零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度，一般和周期相關(guān).

二、多選題（每題5分，共20分）

9.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是（）

A不共線，且=則麗=京+（1-）麗

B,若向量）=（X，2X）,B=（-3X,2）,且d與分的夾角為鈍角，則x的取值范圍是

UM—o卜L

C,已知48=（-l,—G）,NC=（2G,2）,貝I]存在太上的投影的坐標(biāo)為（百，3）

D.已知點(diǎn)〃為V/蛇的垂心，則網(wǎng)=甌閆西H可=|反『+網(wǎng)之

【正確答案】BD

【分析】求得°尸，°4°8三向量間的關(guān)系判斷選項(xiàng)人；求得x的取值范圍判斷選項(xiàng)B；求得

方在"上的投影的坐標(biāo)判斷選項(xiàng)C；求得+忸°|+|C4|]HC\十3,三

者間的關(guān)系判斷選項(xiàng)D.

【詳解】選項(xiàng)A：0405不共線，且ZP=/AB?eR）,

則方-晨03）,則加@一次"

即OP=tOB+(l-t)OA,判斷錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B：向量°=(x,2x),b=(-3x,2),且1與B的夾角為鈍角，

—3x~+Ax<0

I/11c4

2x-(-6x0x<_1--<x<0x>-

則[I),解之得3或3或3

(/1n)I)

—00,---U-----,0U—,+8

則x的取值范圍是I3J13J13人判斷正確；

選項(xiàng)C：方在NC上的投影向量為

芯就AC_-2出-2道〃-V3-_(3_叵

,

西西J12+4J12+44[22?

二—叵

則方在NC上的投影的坐標(biāo)為I2之J判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：點(diǎn)〃為V48c的垂心，則/￡4-8C=//C-48=0,

則HA-HC=HA-HB,HB-HC=HA-HC

由南.阮=南.屜可得

(HAj+(HB^+(HC^j-2HAHC=(HAj+(HB^+(HC^-2HAHB

則畫(huà))+(用—辰j(luò)=?—用j+網(wǎng)工

即網(wǎng)閆因?+網(wǎng)］

由屜?南=屜?近，可得

(HAj+(HB^+匣j—2屬而=回］+?1+西］—2屜.阮

點(diǎn)碼+郵-碎=郵-加

即RT+網(wǎng)丁園二網(wǎng)〔

故選：BD

10.如圖，在三棱錐幺―8C。中，AB、BD8c兩兩垂直，E為NC上一點(diǎn),

DE1AC,M、N分別在直線48、DE上,AB=2BC=2BD=2；貝心（）,

BM

8

C.若平面a//NQ且4B、C。到a距離相等，則直線與a的夾角正弦值為15

4741

D."N的最小值為41

【正確答案】AD

UU_UU2=1

【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)根據(jù)向量垂直可得5.對(duì)于A：根據(jù)向量垂直的坐

標(biāo)表示分析判斷；對(duì)于B：利用坐標(biāo)運(yùn)算求模長(zhǎng)即可；對(duì)于C：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于D：

UUUUUUUUUUU

分析可知當(dāng)WDE,MN1BA時(shí)，MN取到最小值，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

劇A（0,0,2）,5（0,0,0）,C（l,0,0）,￡＞（0,1,0）

火LI，

m俎—=（T0,2）,反=（1,-1,0）,麗=（0,0,2）

、幾CE=mCA=（—加,0,2m）.DE=DC+CE=（l—m-1,2m)

設(shè)、心則n、

因?yàn)椤！旯ょ跜,則。解得-5.

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)獒j十:'Ml,且苑=0，。，。）,

BE=BC+CE=（-,0,^}

可得A5）

則55，所以NC,BE,故A正確；

DE=U,-1,^]|詞='酌F3#>

+——=-----

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?55）,所以??V25255,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)c：因?yàn)椤！?（°T2）,

1'障,0,0

例如平面“過(guò)5C的中點(diǎn)12且與平面480平行，

則4B、。。到平面。的均為距離符合題意，此時(shí)平面0的法向量"=（L°，°）,

4

/一~nr\元，DE:5=46

cosin.DE）=-------1=

\'\n[\Dl?|,3舊15

1X---------

可得5

此時(shí)直線DE與a的夾角正弦值為15,故c錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)

42

7777z-、MN=DN-DM

則0河=(0n，一1，2〃)，

UUULKJUUUUUU

若MN取到最小值，則MNIDE,MNIBA

3/+八1+222人

2555

2序—2〃)=0

可得

MN

則需。

4741

所以的最小值為41，故D正確;

故選：AD.

f(x)=Asin((z>x+(p)(A>0,<?>0,|^|<—)

11.如圖，函數(shù)2的部分圖象，則()

nn\

123\

/(x)=2sin(2x+—)

A.3

2兀

B.將/（X）圖象向右平移3后得到函數(shù)了=2sin2x的圖象

[7兀13兀]

C./（X）在區(qū)間12'12上單調(diào)遞增

D./（X）在區(qū)間'§上的最大值與最小值之差的取值范圍為12百]

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用五點(diǎn)法作圖求出/（X）,再結(jié)合正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)

逐項(xiàng)分析判斷.

T=4（__2L）=兀=幺

【詳解】對(duì)于A,觀察圖象,2=2,/（X）的最小正周期312。解得

a)=2

JTTTTT7T71

/(-)=22--+cp=-+2kK,k^\cp\<-k=O,p=-

由12,得122，而2,則(3

/(x)=2sin(2x+—)

所以3,A正確；

〃、—/(%--)=2sin[2(x-—)+-]=-2sin2x

對(duì)于B,將圖象向右平移3后得到函數(shù)333

B錯(cuò)誤；

「7兀13兀一7i「3兀5兀「3兀5兀

X￡I---------12%H---￡I-------1I------1

對(duì)于C,當(dāng)12'12時(shí)，32'2,而正弦函數(shù)歹=sinx在2'2上單調(diào)

遞增,

[7兀13兀]

因此/（X）在區(qū)間12'12上單調(diào)遞增，c正確.

兀kit

JQ—_____|_，_左___￡Z

對(duì)于D,函數(shù)/（X）的圖象對(duì)稱軸為122

兀7thi[r

tH—x------1E.ZJ、

當(dāng)/與3關(guān)于直線122-對(duì)稱時(shí)，/（X）的最大值與最小值的差最小,

71ku/+巴=巴+如，左eZ=+=l

t=----1---

此時(shí)122342,當(dāng)左為偶數(shù)時(shí)，3,而

/哈+果=2

/（o=/（r+-）=-i/（—+—）=-2%

當(dāng)左為奇數(shù)時(shí)，3，而122,最大值與最小值的差為1；

+u[—+br,—+hi][t,t+—}u[N+E,12ZE，+E]（keZ）

當(dāng)3J-L1212■）或L3J-L1212'時(shí)，

f（\

函數(shù)J（x）在3上單調(diào)，最大值與最小值的差最大，

1/（”（Y*12sg++2sm[2（Y）+/3sm2'+Gcos2/1

=273|sin（2r+-）|<273t=—t=—

6，當(dāng)12或12時(shí)均可取到等號(hào)，

所以最大值與最小值之差的取值范圍為工2百],D正確.

故選：ACD

思路點(diǎn)睛：給定/（》）="0由（0%+。）（“>0,0〉0）的部分圖象求解解析式，一般是由函數(shù)

圖象的最高（低）點(diǎn)定/,求出周期定。，由圖象上特殊點(diǎn)求

12.如圖，圓錐3。的底面直徑和母線長(zhǎng)均為6,其軸截面;為△546,C為底

N5上一點(diǎn)，且公=2無(wú)，W=25C,SN=〃S8（0<2<1,0<//<1)

:

C

,1VTo

A.當(dāng)2時(shí)，直線2/與5c所成角的余弦值為20

人〃」生1

B.當(dāng)2時(shí)，四面體S47W的體積為16

2=1

C.當(dāng)3且.//面ONC時(shí)，2

2=-

D,當(dāng)幺〃,SB時(shí)，7

【正確答案】ACD

【分析】對(duì)于A,算出各個(gè)線段長(zhǎng)度，將異面直線通過(guò)轉(zhuǎn)化化為同面直線，根據(jù)余弦定理求

解即可；對(duì)于B,根據(jù)題意先計(jì)算出四面體S48c的體積，又因四面體S4MN中一個(gè)底面

積是原來(lái)的四分之一，故可求解；對(duì)于C,法一：根據(jù)中位線定理，即可判斷，法二：構(gòu)建

空間坐標(biāo)系，將各點(diǎn)表示出來(lái)，同時(shí)設(shè)平面的一個(gè)法向量為7=(%y,z),根據(jù)向量運(yùn)算

法則NW=NS+S”，根據(jù)而工=°可求解；對(duì)于D,法一：求出所需線段，根據(jù)余弦

定理可求出cosNCS8,代入求解即可，法二：解出S8,同時(shí)而=次+麗，根據(jù)

AM1SB,則ZM-S5=0,即可求解.

【詳解】由題意可知△SNB是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，SA=SB=SC,AC=343,

BC=3

,11

A——U——

2時(shí)，/為SC的中點(diǎn)，取2得MN〃BC,NNMN為直線與8c所成角

或其補(bǔ)角，

M+SC2—"36+36-27_5

PnQ/A^C-

又根據(jù)余弦定理可得2SASC2x6x68,

再根據(jù)余弦定理可求得

545

AM02=SA02+SM02-2SA-SM-cosZASC=36+9-2x6x3%-=—

82

90,9_

T4~27Vio

,—cosZAMN

3V10BC32x亞、廠20

AM=-----「MN=——=-

所以2AN=3^,22.則22

故A正確;

在中，AB=6,BC=3,得'

\ABC22

廠3x3鳳"

SOV/\ABC,且SO=3j3,則四面體S48C的體積為322

2,/為&:的中點(diǎn)，N為S5的中點(diǎn)，故四面體S4MN體積為四面體S48C體

27

積的四分之一，得四面體”及乂體積為8,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于CD選項(xiàng)：

2

//——

【法一】當(dāng)3時(shí)，取SN的中點(diǎn)尸，則4P〃°N,所以4P〃面ONC

過(guò)尸作尸CN交于/,所以pw〃面ONC,

此時(shí)“為的中點(diǎn)，又因AP,PM相較于點(diǎn)P,

所以面4PM7/面ONC,

2=-

得/"http://面ONC,所以2.故c正確；

1

當(dāng)"2時(shí)，ANLSB,

在面SC3內(nèi)過(guò)N作7W_LSH交S?于M,

則S3_1_面AMN,AMu面AMN,

故此時(shí)得到的AMVSB,

△SC",SC=SB=2CB=6,

7

cosZCSB=-

由余弦定理得8,SN=NB=3,NSNM=90。，

24

SM=—24A=^-7=-4

得7,則67,故D正確.

故選：ACD.

【法二】則以°為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。與N6垂直的直線為x軸，分別以05、°S所在直線為

了軸和Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得

4°

J3V33'

S0,0,3百）幺（0,-3,0）5（0,3,0）[2'2',

，，，

豆=@,3,-36）SC-[2P

SM=ASC而=〃赤（0＜彳＜1,0＜〃＜1）

得SNJ2勺2取；而=（0,3〃,-3品），

而=詬+而=0,3,3百＞1孚4|/1,—36/1=-

2A,A+3,3-\/3

2_

〃=彳甌=（0,2,-20ON=OS+SN^@,2,G）

對(duì)于C,3,則V5）,

設(shè)平面ONC的一個(gè)法向量為或=（x,y,z）,

2y+#）z=0

產(chǎn)西=°3G3°/廠、

貝G.反二°J〒七…，可/yGT

_一手,+3,3百、

—3y/3A.《1,V^,-2）=0

AM//面ONC時(shí)，得AM?〃=（）,1）

2=-

解得2.故c正確

對(duì)于D,a=（。,3，-3百）

而=詬+而=《,3,3行孚/L+g/l—=^2,11+3,3V3-3A/32

-2,-2+3,373-3732.（0,3,-373）=02=1

由N/,SB得，I22J,'.故D正確.

故選：ACD.

三、填空題（每題5分，共20分）

）若不等式

13.已知函數(shù)

/(/(-4工+m-2x)>/(-32)<0

對(duì)任意％6R恒成立，則m的取值范圍是

【正確答案】（一°°'4）

【分析】首先分析函數(shù)/（“）的奇偶性和單調(diào)性，再將不等式轉(zhuǎn)化為

/（7（—平+加2））＜/（32）加＜-^=不+2，

71〃八人再將不等式，轉(zhuǎn)化為22,利用基本不等

式求最值，即可求解.

【詳解】因?yàn)?（X）的定義域?yàn)镽,

所以/（x）為奇函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)'4'1在@+”）上單調(diào)遞增，

函數(shù)'」嗎、9+x+"）在口+功上單調(diào)遞增，

所以/G）在［°，+"）上單調(diào)遞增.

因?yàn)?（x）為R上的奇函數(shù)，所以/GO在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)?"-32）="32）,所以不等式/（/（-平+底32）＜。即為

/。（―4、+機(jī)2））＜/（32）,則/（一4、+切2）＜32

4+4*4x

因?yàn)?4)=31-1+1唯9=32,所以_4、+%2，<4,即'〃<^^=斤+2、

—+2Y>2—?2X=4—=2X

因?yàn)?'V2A,當(dāng)且僅當(dāng)2工，即x=l時(shí)，等號(hào)成立，

所以加<4,即他的取值范圍是

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等式.

117

--------1--------=—

14.已知。〉1,且l°g8alog“42,則。=.

【正確答案】2或64

【分析】根據(jù)條件，利用換底公式得到Q°g2a)2-7腕2"+6=0,從而得到/暇0=1或

log2a=6,即可求解.

1131,7

--------1-----------------1—log2a=一

【詳解】因?yàn)閘og—l°g/log2a22,整理得到

1

(loga)-71ogQ+6=0

22j

解得/og?0=1或log2a=6,所以a=2或。=26=64,

故2或64.

15.一只盒子中裝有4個(gè)形狀大小相同的小球，小球上標(biāo)有4個(gè)不同的數(shù)字.摸球人不知最大

數(shù)字是多少，每次等可能地從中摸出一個(gè)球，不放回.摸球人決定放棄前面兩次摸出的球，從

第3次開(kāi)始，如果摸出的球上標(biāo)有的數(shù)字大于前面摸出的球上的數(shù)字，就把這個(gè)球保存下來(lái),

摸球結(jié)束，否則繼續(xù)摸球.問(wèn)摸球人最后保存下來(lái)是數(shù)字最大的球的概率是.

5

【正確答案】12

【分析】先求出標(biāo)有數(shù)字的4只球排序情況，標(biāo)有數(shù)字最大的球分為第3次摸到和第4次摸

到兩種情形，結(jié)合古典概型即可得結(jié)果.

【詳解】標(biāo)有數(shù)字的4只球排序共有人：=24種情況.

要摸到標(biāo)有數(shù)字最大的球，有以下兩種情況：

①標(biāo)有數(shù)字最大的球第3次摸到，其他的小球隨意在哪個(gè)位置，有人；=6種情況.

②標(biāo)有數(shù)字最大的球第4次摸到，標(biāo)有數(shù)字第二大的球在第1次或第2次被摸出,

6+4_5

其他的球在哪次摸出任意，有2人；=4種情況.故所求概率為2412.

5

故答案為.12

22

土—匕=1

16.已知片，鳥(niǎo)分別為雙曲線/b-。>06>°的左、右焦點(diǎn)，過(guò)月的直線/與雙曲

線的右支交于A、8兩點(diǎn)（其中A在第一象限），△'耳外的內(nèi)切圓半徑為幻大鳥(niǎo)的

內(nèi)切圓半徑為G,若〃=2々，則直線/的斜率為.

【正確答案】2企

【分析】作出示意圖，由切線性質(zhì)結(jié)合雙曲線定義可得兩內(nèi)切圓都與軸相切于4,后設(shè)直線

傾斜角為由幾何知識(shí)可得/=6,后由兩圓外切相關(guān)條件可得答案.

【詳解】設(shè)△"片片的內(nèi)切圓的圓心為°】，△幽心的內(nèi)切圓的圓心為02,

記邊'用”用田片上的切點(diǎn)分別為己/，4,

由切線的性質(zhì)可得J仍耳尸上片41，閨W=l與41,由雙曲線定義可得:

\AFi\-\AF2^2aj即|ZP|+1公尸|一（|Z/|+/此）=2a,則

|=|^41-1^4l=2a又出4|+|g4|=2c（c=J77^）.

\FXP\-\F2M；

則I片41=0+a[￡41=°_Q,又則Q4I=Q,即4（a，。）

同理可得，△明耳的內(nèi)切圓也與軸相切于點(diǎn)4（%°）.

連接。°2,則0102與X軸垂直，設(shè)圓Q與/相切于點(diǎn)N,連接WN,

1能用w/?1

過(guò)點(diǎn)2作2±O1,M,記垂足為火，貝miU（O1}N1.AB,'O2?MAB

設(shè)直線傾斜角為6,則=兀-W

TT

OAFMNF2Moi=

在四邊形142以中，注意到2,又四邊形內(nèi)角和為2兀，

則NAfO/1=。，在R/。］。2氏中，I°。2H°14I+。4rzi+々=3々，

|0R|=|0MI-1W|=|OMI-1ON|=々=r,

｝xX2，

則|。2期=7l010212-1O.RI2=J-(4=2億,

tan0=tanAMOXAX==2&&=2M

則直線斜率，即口洲4

故答案為.2血

結(jié)論點(diǎn)睛：雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)形成的三角形的內(nèi)切圓與x軸相切于雙曲線頂點(diǎn)處.

四、解答題(共70分)

17.已知數(shù)列｛4｝,其前"項(xiàng)和為S”，對(duì)任意正整數(shù)〃，S"=2%-〃恒成立，且

%+。2=12

(1)證明：數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，并求實(shí)數(shù)〃的值；

b=1T＞出一+2

⑵若"l°g2%,數(shù)列(〃)前〃項(xiàng)和為北，求證："2.

⑶當(dāng)〃川寸，設(shè)集合4=｛%+續(xù)2+,+勺＜3.*｝,3＜乙—*,集合

B"中元素的個(gè)數(shù)記為I，求數(shù)列｛'"｝的通項(xiàng)公式.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析，〃=4

c=?(?>1)

（2）證明見(jiàn)解析(3)n

【分析】（1）根據(jù)S"，4的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義，即可證明結(jié)論；進(jìn)而結(jié)合已知求出實(shí)

數(shù)〃的值；

bn=--—

（2）結(jié)合（1）可求出“l(fā)og2fl?的表達(dá)式，進(jìn)而可得北表達(dá)式，繼而推出只需證明

11〃+2

----->In-------

〃+1〃+1,構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可證明結(jié)論；

（3）由題意可知8"中元素個(gè)數(shù)等價(jià)于滿足3?2"<2,+2,<3-2向的不同解的個(gè)數(shù)，利

用反正思想推出/=〃+2,從而推出不等式共〃個(gè)不同解（'”），即可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

S=2%-〃

由題意得［與-1=2%—G之2）,

兩式相減可得%=~2%T，,an=2an-i,

令〃=］可得百=2%—〃，即q=〃

令〃=2可得52~2a2-〃，即%+%=2a2.4,所以。2=2〃

又%+%=12,.*.4=4

數(shù)列｛%｝為首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.

【小問(wèn)2詳解】

b=—1—=—^—

由6可知%=4*2,1=2",所以"log2??〃+l,

n1〃+2.3.4[〃+2

=個(gè)工In-------In—In—F...+In------

m+1223〃+1

〃+2

，要證小

2成立,

J_〉ln*'inj+l]

只需證〃+1〃+1,即〃+11〃+1>