湖北省武漢市武昌區2025屆高三上學期期末質量檢測數學試卷。

一，單選題：本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合4={x\x2＜4},B={x|0＜久W4},則4nB=

A.(0,2)B.(-2,2)C.(0,4]D.(—2,4]

2.若復數z滿足＞(l+z)=1,貝物+2=

A.2B.-2C.2zD.-2i

3.已知雙曲線C的漸近線方程為y=±2%,則C的離心率為

等等或店

A.B./5C.D.不能確定

=

4.已知等差數列｛a九｝的前〃項和為%,且Sis=5(a3+a8+ak),則/c

A.8B.10C.13D.15

5.中國冶煉鑄鐵的技術比歐洲早2000年左右,冶煉鑄鐵技術的誕生標志著真正的鐵器時代的開始.現將一

個表面積為1600冗爪2的實心鐵球熔化后,澆鑄成一個正四棱臺形狀的實心鐵錠(澆鑄過程體積無變化),該

鐵錠的上,下底面的邊長分別為20行0772和40，元/I,則該鐵錠的高為

A”C80八”n270

A.30cmB.—cmC.36cmD.-^-cm

6.已知函數/(%)=cos2x一，5sin2x在［一］,。］與［-'a+弓上的最小值均為一1,最大值也相同,則實數〃的

取值范圍為()

A1-/B-［-P°］C./黑］D.卜川

7.已知平面向量1瓦K滿足五亮=\b-6c\=2|c|=2,則|五-方|的最小值是()

A.0B.3C.YID.2

8.已知函數/(久)在定義域(0,+8)上單調遞減,VxG(0,+oo),均有/Q)?/(/(x)+§=1,則函數y=f(2x-

4，)的最小值是()

A.8B.6C.4D；

二，多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，

部分選對的得2分,有選錯的得0分。

9.某射擊運動員在一次訓練中一共進行了10次射擊,成績依次為6,5,7,8,6,7,9,7,9,5(單位：環),則下列

說法中正確的是

A.這組數的眾數為7

B.這組數的第80百分位數為8

C.若每個數都減去2,則這組數的均值也會減去2

D.若每個數都乘以2,則這組數的方差也會乘以2

10.已知函數f(久)=x3—ax2+(a2—2)x+1,則

A./(I)>0

B.若函數〃久)單調遞增,則>3

C.當a=3時，函數f(x)的圖象關于點(1,6)中心對稱

D.若存在爪>0,使得f(m)<0,則。的最大值是1

11.已知非常數數列｛%J,其前〃項和為立,若VkGN*,BiEN*,i<k,使得四=Sk,則稱｛%J為包容數列.下

列說法鐐誤的是

A.數列0,0,1,1,一1,一1是包容數列

B.任何包容數列的前三項中一定存在兩項互為相反數

C.若一個包容數列從第左項開始連續三項可以構成一個各項均為正數的等差數列,則k的最小值為5

D.由-1,0,1三個數生成的包容數列中,如果去掉一項后依然是包容數列,這項一定是0

三，填空題：本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.(x+萬產展開式中只有第7項的系數最大,則n=.

13.已知隨機變量x,y均服從o-1分布,若p(x=1)=P(Y=1)=I，且P(XY=o)=1,貝”(x=

y)=.

14.設圓0:/+>2=5與拋物線c：y2=2px(p>0)交于點2(久o,2),AB為圓。的直徑，過點8的直線與拋物

線C交于不同于點A的兩個點D,E,則直線AD與AE的斜率之積為.

四，解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

在△力BC中,角A,B,C所對的邊分別為a,4c,點。為線段AC的中點,4C滿足(sinA-sinC)2=sin2(71+

C)—sin/sinC.

⑴求A

(2)若4ABC的面積為，3,6=<13,求中線BD的長.

16.(本小題12分)

如圖，四棱錐F—ABC。中，凡41平面ABC。,四邊形ABC。為直角梯形,

AD=2BC=2.

(1)已知G為AF的中點，求證：8G〃平面。CE

(2)若直線*'與平面A8C。所成的角為*二面角4-DC-F的余弦值為I，求點3到平面Db的距離.

17.(本小題12分)

已知函數f(%)=

(1)當a=1時,求函數/(?的單調區間.

(2)當％<1時,/(%)<1,求實數a的取值范圍.

18.(本小題12分)

已知橢圓C：捻+，=l(a>b>0)的長軸長是短軸長的2倍,焦距為2，百,點A,B分別為C的左,右頂點，

I

點P,。為C上的兩個動點,且分別位于x軸上,下兩側,AAPQ^ABPQ的面積分別為S，S2,記自=A.

(1)求橢圓C的方程.

(2)若4=7-4/3,求證直線P。過定點,并求出該點的坐標.

(3)若4>1,設直線AP和直線BQ的斜率分別為七,k2,求察的取值范圍.

化2

19.(本小題12分)

有五張背面完全相同的數字卡片,正面分別寫著1,2,3,4,5,將它們背面朝上隨機放在桌子上(不疊放),翻開

這些卡片時,要求按照從小到大的數字順序依次翻開,如果翻開了一張卡片其順序不符合要求,應該立刻將

它翻回至背面朝上(翻回不計入次數)并記住此卡片出現的數字，以保證翻卡片的次數盡可能少,直到所有卡

片正面朝上為止.

(1)求第三次恰好翻開數字為2的卡片且不再翻回的概率.

(2)記X為需要翻開的次數,求X的分布列及數學期望.

(3)將卡片數量改為n張(九6N*),并依次寫上數字1,2,3,…,n,記E(Xn)為翻開這些卡片需要的平均次數,求

證：E(XQN竽.

附：數學期望具有線性可加性，即E(X+y)=E(X)+E(Y).

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合4=(x\x2<4}={x\-2<x<2].

B={x|0<x<4}.

則An8=(0,2).

2.【答案】B

【解析】解：因為i(z+l)=l.

所以T

z=I—1=—1—i.

所以2=—1+i

所以z+z=-1—i+(—1+i)=—2.

故選：B.

3.【答案】C

【解析】解：當雙曲線方程為最一，=1(。>0方>0)時，^=2,則離心率6=

當雙曲線方程為,一/=l(a>0,6>0)時，戶2,則離心率e=J1+.=苧

綜上所述：雙曲線的離心率為號或，虧.

故選C.

4.【答案】C

【解析】解：根據題意得，15%+—d5(a1+2d+a1+7d+a1+(k—l)d)

15al+105d=15al+5(k+8)d

解得k=13.

故選C.

5.【答案】B

2

【解析】解：設實心鐵球的半徑為民則4TTR2=i6007Tcm,解得R=20cm.

則實心鐵球的體積為，底=32°007rcm3.

設正四棱臺的實心鐵錠的高為h.

因為實心鐵球的體積和正四棱臺的實心鐵錠體積相等.

則孑h(20-/?r)2+(40-/TT)2+J(20-/^)2-(40-/TF)2=必羅兀，解得h=：cm.

故選B.

6.【答案】D

【解析】解：由題"（久）=cos2x-V-3sin2x=2cos（2x+。

當xeH，a]時,2x+與e[-y,2cz+1.

當xe[—+W時,2x+1卜第2a+乳

要使〃久）在卜（a]與卜9a+3上的最小值均為-1,最大值也相同.

顯然2a+-Jr>2a+—,且/（—―）-2cos（-兀+§）=

r2a+^>0

則有《2n24，解得

0<2a+y<y6

故實數a的取值范圍是[Y，0].

故選。.

7.【答案】D

【解析】解：向量優至1滿足五亮=\b-6c\=2|c|=2.

則不妨設H=(1,0),方=(2,t),b—6c=(2cos0,2sin0).

則b=(2cos0+6,2sin8).

則2—b=(—2cos0-43-2sin。)，且teR.

貝lj|五一b|=J(—2cos「一4尸+(t-2sin6)2

=Jt2—4sin0-t+16cos0+20

=-J(t—2sin0)2—4sin20+16cos0+20

=J(t—2sin6)2+4cos2。+16cos6+16

=J(，-2sin6)2+4(cos6+2)2

>|2(cos0+2)|>2.

當五=(2,0),1=(4,0)時.

I五一至lmin=2.故選D

8.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查函數的單調性和利用配方法求最值，屬于難題.

首先求出/(久)的解析式,再利用配方法求最值即可求解.

【解答】

7

解：記y=f(久)+)

用y替換/(%)-/(/(%)+|)=1中的X得〃加V(y)+：)=1，且f⑶)=1-

2

由函數單調性知f(y)+|=%.

因為7W(y)=1.

所以<f(x)=1

m"xf(x)+2f(x),

=>(x/(x)+1)(%/(x)—2)=0

=■f(K)=或/'(x)=I，又函數/(x)在定義域(0,+8)上單調遞減

所以有"%)=1滿足題設條件.

所以y=f(2、-4X)=^7=Y'+J,X<°-

所以x=-1時,函數y=f(2x-4與的最小值是8.

故選4

9.【答案】AC

【解析】解：將成績從小到大排列為：5,5,6,6,7,7,7,8,9,9.

對于A,這組數的眾數為7,故A正確.

對于B,因為10x80%=8,則這組數的第80百分位數為等=8.5,故B錯誤.

對于C,若每個數都減去2,則這組數的均值也會減去2,故C正確.

對于D,若每個數都乘以2,則這組數的方差會乘以4,故。錯誤

10.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查函數的單調性，對稱性,屬于中檔題.

利用配方法判斷A,利用導數判斷B,利用中心對稱的性質判斷C,分類討論判斷D.

【解答】解：因為/(%)=x3—ax2+(a2—2)x+1.

1cli

所以/(1)=1—a+a2—2+1=a2—a=(a--)2——4J錯誤.

求導數,/'(%)=3x2—2ax+(a2—2)>0.

所以4a2-12(a2-2)<0,所以4>3,8正確.

當a=3時,/(%)=x3—3x2+7%+1.

所以/(—%+1)+f(x+1)=(—%+l)3—3(—%+l)2+7(—x+1)+1+(%+1)3—3(%+l)2+7(%+

1)+1=12.

所以函數/(%)的圖象關于點(1,6)中心對稱,C正確.

當。=1時,〃1)=0,滿足題意.

當a>1時,/(%)=x3-ax2+(a2-2)x+1=%(x—a)2+ax2—2x+1>%2—2x+1>0.

所以〃的最大值是1,。正確.

故選BCD.

11.【答案】ACD

【解析】解：對于A,當k=4時,不存在右使四=S4=2.

所以數列0,0,1,1,-1,-1不是包容數列,故A錯誤.

對于B,當｛廝｝為包容數列.

貝期=的+劭+。3或。2=%.+%+。3或。3=%.+%+

即。2+。3=0或%.+。3=0或%,+。2=。，故3正確.

對于0,1去掉一1后,得至!J0,1仍是包容數列,故D錯誤.

對于C,由可為任意數.

考慮刖2項，Q]—Q]+a2或。2=+。2?

得口2—0或—0.

所以包容數列｛⑥J的前2項中必有1個數為0.

設包容數列｛a九｝的前2項為小,0或0,m.

考慮前3項，由5項知｛&J的前3項中必有2項互為相反數.

則｛a九｝的前3項為見0,0或0,m,0或m,0,—m或0,m.

-in.同理可知｛a九｝的前幾項中必有荏—1項之和為0.

｛。九｝的前4項為m,0,0,0①或m,0,0,一血②或0,m,0,0③或0,m,0,④或m,0,-m,〃⑤或

0,m,-m,n@.

｛%J從第5項開始：

對于①.

fO

m,0,0,0,][0;對于②.

I-171,71j

11—71

m,0,0,-m,n;對于③，0,小，0,0,1(0.

I—n—m,n]

I1一n

對于④，0,犯0,一皿nf°.

對于⑤.

fO

m,0,-m,n,|_n「｛0;對于⑥.

fO-

0,m,-m,n,|_n「｛0.綜上所述,口6,。7中要么會有一個。，要么會有一組相反數.

所以as，a6,a7不可能全為正,故C錯誤.

故選2CD.

12.【答案】12

【解析】【分析】

本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質,屬于基礎題.

由題意利用二項式定理,二項式系數的性質，得出結論.

【解答】

解：:(%+/?)"的展開式中，只有第七項的系數最大.

故展開式共有13項，則n=12.

故答案為：12.

13.【答案】1

【解析】解:因為隨機變量x,y均服從o-1分布,且P(X=I)=P(y=l)=

所以p(x=1,r=o)+=1,y=1)=|.

p(x=o,r=1)+P(X=i,r=1)=掾.因為P(XY=o)=1,所以p(x=i,y=o)+p(x=o,y=1)+

p(x=o,y=o)=1,且p(x=i,y=i)=o.

因為P(X=1,Y=I)=o,所以P(X=I,y=O)=P(X=0,y=1)=熱

Ill

因此p(x=o,y=o)=1-p(x=I,Y=o)—p(x=o,y=i)=i-j-1=j.

11

所以p(x=r)=p(x=o,y=o)+=1,y=1)=j+o=

14.【答案】2

【解析】解：將2(比,2)代入圓的方程/+y2=5中.

并結合拋物線的位置可求得點4(1,2).

則p=2.

由為圓。的直徑可得,A,B關于O對稱.

則8(-1,-2),設DO")F(x2,y2).

則由B,D,E三點共線可得好=若.

結合資=4%1，yl-4X2-

可代換整理得y,2+2(%+y2)=&

所以％D?:;=---―――=2.

%1一1%2-1%丫2+2(%+、2)+4

故答案為2.

15.【答案】解：(1)因為/+8+C=7T,所以.

sin2A—2sinAsinC+sin2c=sin2(7r—B)—sinZsinC.又因為=-r-z=-r-^.

''sm力smBsine

所以，a2—2ac+c2=b2—ac,得爐=a2+c2—ac.

所以，由余弦定理得C0S8==產=*

laclac2

又B為三角形內角.

所以.

B=60°.(2)因為△ABC的面積為，3,b=/13,B=60°.

所以，jacsinB=V_3,所以ac=4,又a?+c2=b2+ac=17.

因為8。為△ABC的中線，所以，麗=瓦5+瓦》

所以，|前『=：(C2+a?+2accosB)=：(17+2x4x：)=?.

44Z4

所以，I麗I=亨.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

16.【答案］【解答】

(1)證明：

取。尸的中點K,連接GK,KC,因為G為A尸中點，所以KG〃4D,KG=

因為BC〃他BC=^AD,所以KG〃BC,KG=BC,所以四邊形KG8C為平行四邊形.

所以KC〃BG,因為BGC平面DCF,KCu平面DCF,故BG〃平面DCF.

(2)解：因為凡41平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,4D〃BC,所以FA,AD,A8兩兩垂直.

以A為坐標原點,AF,AB,AD所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.

直線8b與平面ABC。所成的角為NZ8F=*有AB=AF,設4B=AF=a(a>0),

則8(0,a,0),F(0,0,a),C(l,a,0),0(2,0,0),所以反=(-1,a,0),DF=(-2,0,a),AF=(0,0,a).

設平面OCE的法向量為元=(x,y,z),所以件匹二°,即『y—；=_°C.

(71?DF—01az—LX—U

令％=1,則y=-,z=-,所以冗=(I2,，).

,aavaar

——>n-AF-'a21

所以cos<n,"/>=而j前=[2臺~3j所以。=2,即記=(1,弓，1).

I叫叫\12+(l)2+(^)2.a2

因為加=(0,—2,2),所以點B到平面DCF的距離八=|警|=|。一客=

1m1J12+(1)+12

【解析】本題考查線面平行的證明,利用空間向量求線面角,二面角，點到平面的距離,屬中檔題.

(1)取。尸的中點K,可證明四邊形KGBC為平行四邊形,即可證明BG〃平面DCF.

(2)由凡4_L平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,則FA,AD,AB兩兩垂直.

以A為坐標原點建立空間直角坐標系,設4B=2F=a(a>0),求出平面DCF的法向量為元=(1,^).

由cos(元，/>=今所以a=2,即元=(1,1,1),即可求點B到平面DCF的距離.

17.【答案】解：(1)當a=1時(%豐1).

則-。)二哈券.

(I)

令(。)=0,解得％=0或|.

當久<0或％>|時.

/'(%)>0;當0VX<1或1<%<|時.

f(x)<0.所以/(久)在(一8,0),6,+8)單調遞增,/0)在(0,1),(1,方單調遞減.

(2)因為x<1時,f(x)<1.

所以/(久)=丫丁)<1(%<1),得a<2%-3(久<1).

即(2<(2x-3)min.

.Y—1

令h(%)=2x———(%<1).

則h'(x)=2-寫=半匕.

令(p0c)=2ex+%—2(%<1),且0(%)在(―8,1)上單調遞增,且0(0)=0.

所以，當口<0時,(p(x)<0,即//(%)<0;當0<x<1時,(p(x)>0,即〃(%)>0.

所以,仗工)在(-8,0)上單調遞減,在(0,1)上單調遞增.

所以/l(%)min=h(。)=1，故a<1-

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

18.【答案】解：(1)由題意知,2a=2?2b,2c-2V~3,又a2-b2=c2”.a=2,b=1.

2

所以橢圓C的方程為：^r+y2=l.

(2)證明:由⑴知2(—2,0),8(2,0),由圖形對稱性可知,定點M在x軸上.

設直線PQ方程為:x=my+x0,M(x0,0),P(x"i),Q(x2,y2).

Q他0=黑=爐=7-40,解得x0=-6

s?l\BM\-\yr-y2\18Ml2ro

即定點坐標為(-，G,o).

(3)設直線PQ的方程為x=my+x0,P(%i，yi).

x=my+x0,

<?(%2，、2)?聯立可得(租2+4)y2+2mxy+—4=0.

3+*=Lo%Q

則乃+%=常，乃%=令，且為%=至(%+y2).

于是打=當.犯一2=%.加丫2+和-2=砂佻+丫式和-2)

k.2%i+2y2my1+%o+2y2my^2+y2^0+2)

X2_4

_加仇+72)?^^+打。廠2)___1

恒伍+力)?里高+力(殉+2)沏+2'

v2>1,0<^<1,即3的范圍是(0,1).

?2?2

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

19.【答案】解：(1)前兩次一定會翻到1,否則第三次翻到2也會被翻回.

故分兩種情況：如果第一張翻出了1,那么第二次一定不能翻2.

因此Pi="白［=焉;

如果第二張翻出了1,那么有兩種情況,第一種情況第一張翻出了2并翻回.

為了保證最優解,在第三次翻卡片時必須把2翻開；

另一種情況是第一張沒有翻出2,第三張恰好翻到2.

rn,,11,3111

mP2=^x-+-x-x-=-.

3

所以P=P1+P2=萬?

(2)根據題意可以推斷