2025年寶雞市高考模擬檢測試題（二）數學第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為集合，，則.故選：C.2.已知關于的實系數方程的一個虛根為，則另外一個根的虛部為（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將虛數根代入可得，即可求解方程的虛數根，利用虛部的定義求解即可.【詳解】將代入中可得，解得，故，故，因此另一個虛數根為，故其虛部為1，故選：A3.已知直三棱柱中，，則直三棱柱外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據直三棱柱的性質即可判斷的中點為外接球的球心，利用勾股定理求解半徑，即可利用表面積公式求解.【詳解】取的中點為,,連接,取的中點,由于且三棱柱為直三棱柱，故為外接球的球心，,,故外接球表面積為,故選：C4.已知焦點在軸上的橢圓的焦距為，則其離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據橢圓的焦距求出的值，可得出的值，由此可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】因為焦點在軸上的橢圓的焦距為，則，可得，所以，該橢圓的標準方程為，則，故該橢圓的離心率為.故選：D.5.若，，則實數、、的大小順序為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出、、，利用對數函數、冪函數的單調性可得出、、的大小順序.【詳解】由題意可得，，可得，，因為對數函數為上的增函數，則，冪函數在上為增函數，則，故.故選：B.6.展開式中的系數為（）A.200 B.230 C.120 D.180【答案】A【解析】【分析】將原式拆成標準的二項式定理，通過找展開式的通項公式求解.【詳解】，由通項公式可得，，則的系數由來確定，由其通項公式可得，.由，得或，所以的系數為.故選：A.7.若函數為奇函數，則（）A B. C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】根據奇函數的定義域關于原點對稱可得，再根據可得，進而可得.【詳解】由奇函數性質可得，的定義域關于原點對稱，又定義域為，即且，，故，解得.又，故，此時為奇函數，故.故選：D8.在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為棱上一點，則（）A.平面B.直線不可能相交于同一點C.正方體表面上滿足的點的軌跡長度為D.平面與平面可能平行【答案】C【解析】【分析】選項A，由空間向量法判斷線面的位置關系；選項B，先根據位置關系確定直線與直線的交點，進而可確定當為的中點時，直線相交于同一點；選項C，由對稱性，由得點位于四邊形的邊上，進而可得；選項D，由空間向量法判斷兩個平面的法向量不平行，進而可得.【詳解】選項A：如圖，建立空間直角坐標系，則，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，則，因，故與平面不平行，故A錯誤；選項B：延長交直線的延長線于，則，則平面，連接，交直線于，則，故可知當為的中點時，直線相交于同一點，故B錯誤；選項C：根據正方體的對稱性，當時，點在四邊形的邊上，故點的軌跡長度即為四邊形的周長為，故C正確；選項D：，，設平面的一個法向量為，則，令，得，則，設，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，故，若平面與平面平行，則，即，顯然不存在，故D錯誤，故選：C二、多項選擇題：（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．）9.已知向量，則下列結論正確的有（）A.若，則B.若，則C.若與的夾角是，則D.若與的方向相反，則在上的投影向量坐標是【答案】ABC【解析】【分析】利用向量平行、垂直的坐標表示判斷AB，利用向量數量積的運算律判斷C，利用投影向量的定義判斷D.【詳解】因為向量，若，則，解得，A說法正確；若，則，解得，B說法正確；若與的夾角是，因為，，所以，所以，C說法正確；若與方向相反，所以，所以在上的投影向量為，D說法錯誤；故選：ABC10.已知、是兩個隨機事件，且，，則下列說法正確的有（）A.若、相互獨立，則B.恒成立C.若，則D.若，則、相互獨立【答案】AC【解析】【分析】利用獨立事件的定義以及條件概率公式可判斷A選項；舉例可判斷B選項；根據并事件的概率公式求出的值，結合條件概率公式可判斷C選項；利用條件概率的性質可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若、相互獨立，則，由條件概率公式可得，A對；對于B選項，拋擲一枚骰子，定義事件向上的點數為，事件向上的點數為奇數，則，，此時，，B錯；對于C選項，若，則，因此，，C對；對于D選項，對任意的事件、恒成立，故、不一定獨立，D錯.故選：AC.11.近年來，寶雞市教育局致力于構建“學好上、上好學、學得好”的“寶雞好教育”品牌體系．在關注學生身體健康的同時，也高度重視學生的心理健康，為此特別推出了“和風計劃”．某校積極響應“和風計劃”，為了緩解學生的學習壓力，面向1630名高三學生開展了團建活動．如果將所有參加活動的學生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…編上號，并按圖所示的順序排隊，我們將2，3，5，7，10，…位置稱為“拐角”，因為指向它的箭頭與離開它時的箭頭方向發生了改變，那么下面說法正確的有（）A.站在第20拐角的學生是111號 B.站在第23拐角的學生是137號C.第133號同學站在拐角位置 D.站在拐角位置的同學共有79名【答案】ACD【解析】【分析】由前幾個拐角的編號，找到規律，即可逐項判斷；【詳解】觀察給出的前幾個拐角位置對應的編號：2，3，5，7，10，13，17，21，26將奇數項的拐角即為，易得：;偶數序號的拐角即為，由規律可得：第20拐角的學生編號為：正確；站在第23拐角的學生編號為：錯誤；由，解得，也即第133號同學站在第22拐角位置；由，可得，由，可得，所以拐角總序號可到第79個，所以站在拐角位置的同學共有79名，正確；故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：由前幾個拐角編號，找到規律；第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.若一個函數的定義域為，值域為，則它的解析式可能為：_______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據所給性質選擇滿足條件的函數作答.【詳解】函數的定義域為，值域為，所以.故答案為：13.若函數的極大值點為，則_______．【答案】##0.8【解析】【分析】根據極大值的定義，對函數求導并利用輔助角公式進行整理，由余弦函數的圖象可得角的值，結合誘導公式，可得答案.【詳解】由函數，求導可得，令，則，由題意可得，由函數可知當（）時，，當（）時，，且為函數的極大值點，則可得（），解得（），所以.故答案為：.14.直線恒與圓相切，則圓的方程為_______，若過雙曲線的左焦點，交雙曲線的右支于點，雙曲線的右焦點為，三角形的面積為，則_______．【答案】①.②.【解析】【分析】計算出原點到直線的距離，可得出圓的方程；利用三角形的面積公式可得出，不妨設點位于第一象限，則，，利用雙曲線的焦半徑公式以及三角形的面積公式可得出點，再利用可求出的值，由此可得出的值.【詳解】因為原點到直線的距離為，所以，直線與圓心為原點，半徑為的圓恒相切，故圓的方程為，因為為的中點，則，則，不妨設點位于第一象限，則，，則，可得，又因為，可得，即點，其中，因為，整理可得，解得，則，故.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于利用三角形的面積公式、雙曲線的焦半徑公式求出點的坐標，在利用兩點間的距離公式求出、的值.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.在三棱錐中，平面平面，，，，，為的中點，為上一點，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取為中點，連接、，證明出平面，利用線面垂直的性質可得出；（2）利用面面垂直的性質得出平面，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】取為中點，連接、，因為、分別為、的中點，則，因為，則，因為，為的中點，所以，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，故.【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，則，，設平面的一個法向量為，則，取，則，，則，因為，則點為的中點，即點，又有，則，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值.16.某企業對某品牌芯片開發了一條生產線進行試產．其芯片質量按等級劃分為五個層級，分別對應如下五組質量指標值：、、、、．根據長期檢測結果，發現芯片的質量指標值服從正態分布，現從該品牌芯片的生產線中隨機抽取件作為樣本，統計得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）根據檢測結果，樣本中芯片質量指標值的標準差的近似值為，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，可得到X服從的正態分布．求和的值；（2）從樣本中質量指標值在和的芯片中隨機抽取件，記其中質量指標值在的芯片件數為，求的分布列和數學期望；（3）將指標值不低于的芯片稱為等品．通過對芯片長期檢測發現，在生產線任意抽取一件芯片，它為等品的概率為，用第（1）問結果試估計的值．（附：①同一組中的數據用該組區間的中點值代表；②參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，．）【答案】（1），（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）由在頻率分布直方圖可知，所有矩形的面積之和為，可求出的值，將每個矩形底邊的中點值乘以對應的矩形面積，再將所求結果全加可得的值；（2）分析可知，隨機變量可能取的值為、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值；（3）利用原則求得，結合百分位數的定義可求得的估計值.小問1詳解】由于在頻率分布直方圖可知，所有矩形的面積之和為，由題可知：，解得，所以，估計從該品牌芯片的生產線中隨機抽取件的平均數為：．所以，.【小問2詳解】樣本中質量指標值在和的芯片數量為，所取樣本的個數為件，質量指標值在的芯片件數為件，故可能取的值為、、、，所以，，，，，隨機變量的分布列為：所以的數學期望．【小問3詳解】由（1）可知：，則，，由題可知：．所以：，即.17.已知：數列的前項和為，，當時．（1）求證：數列為等差數列；（2）記表示不超過的最大整數，設，求數列前2025項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據題意結合整理可得，即可證等差數列；（2）由（1）可得：，分和兩種情況，結合取整函數的定義求數列的通項公式，進而求和.【小問1詳解】當時，且，可得，整理得，即，且，所以數列為以1為首項，1為公差的等差數列．【小問2詳解】由（1）可得：，即，由定義可得：，當時，，即，所以；當且時，不是整數，可設，則，則，可得；綜上所述：.在上，，，所以.18.已知拋物線的焦點為，為上的動點，到點的距離與到的準線的距離之和的最小值為．（1）求拋物線的方程；（2）給出如下的定義：若直線與拋物線有且僅有一個公共點，且與的對稱軸不平行，則稱直線為拋物線上點處的切線，公共點稱為切點．請你運用上述定義解決以下問題：（ⅰ）證明：拋物線上點處的切線方程為；（ⅱ）若過點可作拋物線的2條切線，切點分別為、．證明：直線、的斜率之積為常數．【答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義、焦半徑公式可求出的值，由此可得出拋物線的方程；（2）（i）當拋物線上處的切線斜率存在時設其方程為，其中，將該直線方程與拋物線的方程聯立，由可求出，代入切線方程可證得結論成立；當切線斜率不存在時，直接驗證即可；（ii）設、、，根據（i）中的結論成立寫出直線、的方程，將點的坐標分別代入兩切線方程，可得出直線的方程，將直線的方程與拋物線方程聯立，結合韋達定理可求出的值，即可證得結論成立.【小問1詳解】拋物線的焦點，準線方程為，設動點，動點到其準線的距離為，由拋物線定義得，則，當且僅當時取等號，依題意，，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】（ⅰ）當拋物線上處的切線斜率存在時,設其方程為，其中，由得①，由題意可得，可得，即，所以，解得，所以切線方程為，即，即，即②；即為上處的切線斜率存在時的方程；當上處的切線斜率不存在時，即時處切線方程為，符合②式．所以上處的切線方程為.（ⅱ）設、，由（ⅰ）知點處的切線方程為④，點處的切線方程為⑤，將分別代入上面兩式得．所以點、的坐標均滿足方程，所以直線方程為，由④⑤知直線、斜率分別為，，則⑥，由得，則，可得，由韋達定理可得，則，所以直線、斜率之積為常數．【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理