2026屆高二上學期期末柳鹿聯考數學科試卷（考試時間120分鐘滿分150分）注意：1．請把答案填寫在答題卡上，否則答題無效．2．答卷前，考生務必將密封線內的項目填寫清楚，密封線內不要答題．3．選擇題，請用2B鉛筆，把答題卡上對應題目選項的信息點涂黑．非選擇題，請用0.5mm黑色字跡簽字筆在答題卡指定位置作答．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據并集和補集的概念與運算直接得出結果.【詳解】由題意知，，所以.故選：A.2.已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】應用復數乘法求復數，進而有，根據其對應點坐標確定所在象限.【詳解】由，則，所以在復平面內z對應點的坐標為，位于第一象限.故選：A3.已知向量，，若，則（）A.或 B.C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直得到，從而得到方程，求出答案.【詳解】，故，解得.故選：D4.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將方程化簡為標準形式，求出的值，根據定義求準線方程即可.【詳解】由方程，則，則，所以拋物線開口向下，所以準線方程為.故選：C5.高速公路管理部門在某一測速點，測得100輛車輛的速度（單位：）并匯總整理車速數據如下表，根據表中數據，下列結論中正確的是（）車速頻數61218302410A.100輛車的車速的中位數小于B.100輛車中車速低于的車輛所占比例超過80%C.100輛車的車速的極差介于至之間D.100輛車的車速的平均值介于至之間【答案】C【解析】【分析】根據頻率分布直方圖中，中位數的估計值、頻率計算、極差的估計值以及平均數的估計值計算公式，可得答案.【詳解】對于A，，，則中位數位于，故A錯誤；對于B，100輛車中車速低于的車輛數量為，頻率為，故B錯誤；對于C，100輛車的車速的極差小于等于，大于等于，故C正確；對于D，，故D錯誤故選：C.6.設是等比數列的前項和，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設等比數列的公比為，求得的值，再利用等比數列的求和公式可求得結果.【詳解】設等比數列的公比為，若，則，矛盾，所以，故，則，所以，，因此，故選：B.7.將函數圖像上各點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，再沿著軸向右平移個單位，得到的函數的圖像的一個對稱中心點可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據函數的伸縮平移變換可得函數解析式，進而可得對稱中心.【詳解】將函數圖像上各點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，再沿著軸向右平移個單位，可得，令，，解得，，即對稱中心為，，當時，對稱中心為，令得k均為整數解.故選：D.8.圖，已知圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，為下底面圓周上一點，滿足，則異面直線AE與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，如圖所示，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則,所以,所以異面直線與所成角的余弦值為,則異面直線AE與所成角的正弦值為.故選:A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數為冪函數，則下列結論正確的為（）A. B.為偶函數C.為單調遞增函數 D.的值域為【答案】ABD【解析】【分析】由冪函數定義可得，然后可得奇偶性，單調性，值域.【詳解】對于A，因為冪函數，則，故A正確；對于B，由A，偶函數，故B正確；對于C，在上單調遞減，在上單調遞增，則不為定義域上的單調遞增函數，故C錯誤；對于D，注意到，則的值域為，故D正確.故選：ABD10.甲、乙兩人準備進行一場乒乓球比賽，規定每球交換發球權，通過拋硬幣決定誰先發球．已知兩人在自己發球時得分的概率均為，則（）A.第二次由乙發球的概率為 B.甲先得一分的概率為C.前兩次發球都由乙得分的概率為 D.前兩次發球甲、乙各得1分的概率為【答案】BD【解析】【分析】A直接判斷，BC根據獨立事件，互斥事件同時發生的概率公式即可求解，D根據對立事件的概率公式求解.【詳解】A，若第一次由甲發球，則第二次由乙發球，故第二次由乙發球的概率為，故A錯誤；B，甲先得一分概率為，故B正確；C，前兩次發球都由乙得分的概率為，故C錯誤；D，前兩次發球都由甲得分的概率為，則前兩次發球甲、乙各得一分的概率為，故D正確．故選：BD11.如圖，在正方體中，為線段的中點，為線段上的動點（不包括端點），則（）A.存在點，使得B.存在點，使得平面C.對于任意點Q，均不成立D.三棱錐的體積是定值【答案】BC【解析】【分析】在正方體中建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明判斷ABC；利用點到平面距離的向量求法計算判斷D.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，令，則點，，對于A，，若，則，必有，即與矛盾，A錯誤；對于B，，若平面，則，即，解得，則點是中點時，，而平面，因此平面，B正確；對于C，，即對任意，向量與都不垂直，C正確；對于D，，設平面的法向量，則，令，得，于是點到平面的距離，，不是常數，又點是三個定點，面積是定值，因此三棱錐的體積不是定值，D錯誤.故選：BC第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設是數列的前項和，且，則的通項公式為___________.【答案】【解析】【分析】利用求出，再求出可得通項公式．【詳解】由題意時，，又也滿足上式，所以．故答案為：.13.圓關于直線對稱，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】由題設得直線ax?by+6=0a>0,b>0過圓心，進而得，再結合基本不等式常數“1”的代換方法計算即可求解..【詳解】圓的圓心坐標為，因為圓關于直線ax?by+6=0a>0,b>0對稱，則直線ax?by+6=0a>0,b>0過圓心，所以，則，所以，當且僅當3ba=3a故的最小值為.故答案為：.14.已知雙曲線的右焦點為，點，為雙曲線上的兩點，為坐標原點，且四邊形為菱形，則雙曲線的離心率為__________.【答案】##【解析】【分析】利用雙曲線的對稱性，連結，根據圖形分析可得是直角三角形，且，在結合雙曲線的定義，即可得到雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設雙曲線的左焦點為，連結，因為四邊形是菱形，所以，所以，并且根據對稱性可知是等邊三角形，所以，，所以根據雙曲線定義可知，即，解得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.【點睛】方法點睛：一般求雙曲線離心率的方法是：1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.構造法：根據條件，可構造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關于的方程.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知、、分別為三個內角、、的對邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求、.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A；（2）由三角形面積公式結合余弦定理可得．【小問1詳解】根據正弦定理，變為，即，也即，所以．整理，得，即，所以，所以，則．【小問2詳解】由，，得．由余弦定理，得，則，所以．則．16.已知函數.（1）當時，求的圖象在點處的切線方程；（2）若，時，求實數a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，由導數的幾何意義代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，求導可得，然后分與討論，代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】，，，，所以的圖象在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】，則，當時，，即在上單調遞增.當時，，與題意不符.當時，，，在上單調遞增；，，在上單調遞減.當時，取得最大值，且為.由題意可得，解得.即實數的取值范圍為.17.已知等差數列的前項和為，且，．（1）求數列的通項公式；（2）若，令，求數列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設等差數列的公差為，根據題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出數列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得.【小問1詳解】設等差數列的公差為，由，可得，可得①，由可得，整理可得②，聯立①②可得，，所以，.【小問2詳解】因，則，所以，，，上式下式得，因此，.18.如圖，四棱錐的底面為菱形，，為的中點，.（1）證明：平面平面；（2）若，，求平面與平面夾角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作輔助線，根據菱形的特征得到線面垂直，即可得到面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，分別求出兩個面的法向量，根據夾角的余弦公式可求得結果.【小問1詳解】證明：連接，底面為菱形，且，為的中點，，為等邊三角形，故，，，又，，平面，平面，又平面，平面平面；【小問2詳解】過作于點，由（1）得平面平面，因為平面平面，平面，平面，由，，得，，，又，，，根據，得，則，，以，分別為軸，軸，過作的平行線為軸，建立如圖空間直角坐標系，故，，，，，，，設平面的一個法向量，則，即，令，則，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，則，，所以平面與平面夾角的正切值為.19.在平面直角坐標系中，重新定義兩點之間的“距離”為，我們把到兩定點的“距離”之和為常數的點的軌跡叫“橢圓”．（1）求“橢圓”的方程；（2）根據“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；（3）設，作出“橢圓”圖形，設此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點為，過作直線交于兩點，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）設“橢圓”上任意一點為，則，再根據兩點之間的“距離”得新定義即可得解；（2）將點分別代入即可判斷其對稱性，取絕對值符號，進而可得出范圍；（3）先求出橢圓方程，設直線的方程為，聯立方程，利用韋達定理求出，分別求出直線的方程，設，再次求出的關系，進而求出，從而可得出結論.【小問1詳解】設“橢圓”上任意一點為，則，即，即，所以“橢圓”的方程為；【小問2詳解】由方程，得，因為，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“橢圓”的范圍為，，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關于軸對稱，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關于軸對稱，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關于原點對稱，所以“橢圓”關于軸，軸