2.4空間向量在立體幾何中的應用第2章2.4.4向量與距離1.了解點到直線的距離、點到平面的距離、線線距離、線面距離的概念.2.能用向量法求點到直線的距離、點到平面的距離、相互平行的直線間的距離、相互平行的平面間的距離并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.核心素養：數學推理、數學運算.學習目標新知學習一

點到平面的距離

求空間一點P到直線l（P

l）的距離的算法程序如圖所示.二

點到平面的距離

用向量方法求解點到平面的距離問題的一般步驟是：（1）確定一個法向量；（2）選擇參考向量；（3）確定參考向量在法向量方向上的投影向量；（4）求投影向量的長度.求空間一點P到平面α（P

α）的距離的算法程序如圖所示.三

兩平行線間的距離兩平行線間的距離處處相等，因而可以利用點到直線的距離來解決兩平行線間的距離問題.求兩平行線m，n間的距離的算法程序如圖所示.四

兩平行平面間的距離

求兩平行平面α，β之間的距離的算法程序如圖所示1.空間內有三點A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，則點B到AC的中點P的距離為（）C即時鞏固2.已知直線l過點A(1，－1,2)，和l垂直的一個向量為n＝(－3,0,4)，則P(3,5,0)到l的距離為（）C3.已知直線l與平面α相交于點O，A∈l，B為線段OA的中點，若點A到平面α的距離為10，則點B到平面α的距離為________.54.已知平面α的一個法向量為n＝(－2，－2,1)，點A(－1,3,0)在平面α內，則點P(－2,1,4)到平面α的距離為________.

B

一、點到直線的距離例1如圖，在空間直角坐標系中有長方體ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點B到直線A′C的距離.典例剖析解因為AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，反思感悟用向量法求點到直線的距離的一般步驟(1)求直線的方向向量.(2)計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.跟蹤訓練已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是C1C，D1A1的中點，求點A到EF的距離.解以D點為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示，設DA＝2，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，二、點到平面的距離與直線到平面的距離例2如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分別為AB，BC的中點.(1)求點D到平面PEF的距離；解建立如圖所示的空間直角坐標系，設DH⊥平面PEF，垂足為H，x＋y＋z＝1，(2)求直線AC到平面PEF的距離.解連接AC，則AC∥EF，直線AC到平面PEF的距離即為點A到平面PEF的距離，平面PEF的一個法向量為n＝(2,2,3)，反思感悟用向量法求點面距的步驟(1)建系：建立恰當的空間直角坐標系.(2)求點坐標：寫出(求出)相關點的坐標.(3)求向量：求出相關向量的坐標(，α內兩不共線向量，平面α的法向量n).(4)求距離d＝

.

解設正四棱柱的高為h(h>0)，建立如圖所示的空間直角坐標系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，設平面AB1D1的法向量為n＝(x，y，z)，取z＝1，得n＝(h，h，1)，解得h＝2.故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高為2.三、兩平行平面間的距離例3如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，求平面AMN與平面EFBD之間的距離.

解題技巧（1）求兩個平行平面之間的距離的實質就是求一個平面內的任意一點到另一個平面的距離.（2）用向量法求點到平面的距離的關鍵是正確建系，準確求得各點及向量的坐標，然后求出平面的法向量，正確運用公式求解.

B1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，則點A到直線BC的距離為（）A解析∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，∴點A到直線BC的距離為隨堂小測2.若三棱錐P－ABC的三條側棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點P到平面ABC的距離是（）解析分別以PA，PB，PC所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個法向量為n＝(1,1,1)，D3.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，則平面AB1C

與平面A1C1D

之間的距離為（）B解析建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1)，設平面A1C1D的一個法向量為m＝(x，y，1)，顯然平面AB1C∥平面A1C1D，4.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點E是A1B1的中點，則點A到直線BE的距離是（）解析建立空間直角坐標系如圖所示，B5.如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是（）C則C(0,12,0)，D1(0,0,5).設B(x，12,0)，B1(x，12,5)(x>0).設平面A1BCD1的法向量為n＝(a，b，c)，6.已知直線l經過點A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直線與l垂直，則點P(4,3,2)到l的距離為______.7.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F，G分別是C1C，D1A1，AB的中點，則點A到平面EFG的距離為________.解析建系如圖，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，設n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，點A到平面EFG的距離為d，令z＝1，此時n＝(1,1,1)，8.如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，則點D到平面ACE的距離為______.解析以AB的中點O為坐標原點，分別以OE，OB所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2).設平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，令y＝1，∴n＝(－1,1，－1).9.在底面是直角梯形的四棱錐P－ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為_____.解析AD到平面PBC的距離等于點A到平面PBC的距離.由已知可得AB，AD，AP兩兩垂直.則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，設平面PBC的法向量為n＝(a，b，c)，取a＝1，得n＝(1,0,1)，10.如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分別為OA，BC，AD的中點，求直線MN與平面OCD的距離及平面MNR與平面OCD的距離.解

因為M，R分別為AO，AD的中點，所以MR∥OD.在正方形ABCD中，N，R分別為BC，AD的中點，所以NR∥CD.又MR∩NR＝R，OD∩CD＝D，所以平面MNR∥平面OCD.又MN平面MNR，所以MN∥平面OCD.所以直線MN與平面OCD的距離及平面MNR與平面OCD的距離都等于點N到平面OCD的距離.以點A為