試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期二模考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．2．若，下列選項(xiàng)中，使“”成立的一個(gè)必要不充分條件為（

）A． B． C． D．3．為響應(yīng)黨的二十大報(bào)告提出的“深化全民閱讀”的號(hào)召，某學(xué)校開展讀書活動(dòng)，組織同學(xué)從推薦的課外讀物中進(jìn)行選讀．活動(dòng)要求甲、乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種4．已知函數(shù)定義域?yàn)椋液瘮?shù)與均為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則以下說法中，正確的為（

）A．B．C．不等式的解集為D．函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為6．如圖，一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，則這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球（球與正四棱錐各面均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）的體積為（

）A． B． C． D．7．過直線上的點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．已知拋物線：的焦點(diǎn)為點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為點(diǎn)，線段與在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，若的焦距為6，且在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．9．平面四邊形ABCD中，，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題10．設(shè)集合，，，則．11．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）12．過點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為．13．為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率為．14．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，記，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng)．15．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．三、解答題16．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，．(1)求角B的大小；(2)求b的值；(3)求的值．17．如圖，三棱臺(tái)中，為等邊三角形，，平面ABC，點(diǎn)M，N，D分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)D到平面的距離．18．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)若為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求；(2)等差數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．（i）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求．19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F，橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)A，右頂點(diǎn)為點(diǎn)B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)是否存在過原點(diǎn)O的直線l，使得直線l與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C，且與直線AF交于點(diǎn)D，滿足，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求的取值范圍；(3)在（1）的條件下，設(shè)，，且.求證：當(dāng)，且時(shí)，不等式成立.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期二模考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)123456789答案CABCCBADD1．C【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義求解．【詳解】復(fù)數(shù)，所以的共軛復(fù)數(shù)．故選：C．2．A【分析】根據(jù)題意，等價(jià)于，若所求必要條件對(duì)應(yīng)的范圍為，則，由此判斷即可得到本題的答案．【詳解】不等式等價(jià)于，使“”成立的一個(gè)必要不充分條件，對(duì)應(yīng)的集合為，則是的真子集，由此對(duì)照各項(xiàng)，可知只有A項(xiàng)符合題意．故選：A．3．B【分析】根據(jù)題意，首先選取種相同課外讀物，再選取另外兩種課外讀物，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：首先選取種相同課外讀物的選法有種，再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有種，所以這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種．故選：B．4．C【分析】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)是周期為2的函數(shù)，則可得，，【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，則，又函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，所以函數(shù)是周期為2的函數(shù)，則，，且當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，由可得，即.故選：C5．C【分析】由圖象求出函數(shù)的解析式，然后利用正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解即可逐項(xiàng)判斷出來.【詳解】由圖象可知，，所以，所以，所以，將代入得：，所以，由于，所以，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；由，所以，所以，解得，即不等式的解集為，故C正確；令，解得，所以的圖象的對(duì)稱中心為，故D錯(cuò)誤.故選：C6．B【分析】根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為5，底面正方形的邊長(zhǎng)為6，從而可得正四棱錐的高，設(shè)這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，高線與斜高的夾角為，則易得，，從而可得，再代入球的體積公式，即可求解．【詳解】作出四棱錐如圖：根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為，底面正方形的邊長(zhǎng)為6，正四棱錐的高為，設(shè)這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的球心為，半徑為，與側(cè)面相切于，則高線與斜高的夾角為，則，則,，，這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球的體積為．故選：B．7．A【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、兩直線的交點(diǎn)等知識(shí)求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，直線關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，與直線垂直，所以直線的方程為，由解得，所以.故選：A.8．D【分析】根據(jù)題意可知，，從而可得直線方程，再聯(lián)立拋物線方程求出的橫坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線平行的性質(zhì)，求出漸近線（其中一條）的斜率，即可得解．【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，依題意可得，直線方程為，即，聯(lián)立，可得，解得或，又線段與在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，由，所以，在點(diǎn)處的切線斜率為，又在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，雙曲線的一條漸近線的斜率為，雙曲線的漸近線方程為．故選：D．9．D【分析】由已知，得，，，四點(diǎn)共圓，從而判斷點(diǎn)的軌跡是以為弦，圓周角為的劣弧（不含，兩點(diǎn)），根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得出結(jié)論．【詳解】由，，，可得，故，又，所以，以為直徑作圓，則，，，四點(diǎn)共圓，如圖所示，故點(diǎn)的軌跡是以為弦，圓周角為的劣弧（不含，兩點(diǎn)），則，又表示在上的投影，由圖可知，，，故（此時(shí)點(diǎn)在劣弧的中點(diǎn)位置），即的最小值為．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：①由，得到，，，四點(diǎn)在以為直徑的圓上，②看作是在上的投影,結(jié)合圖形特征可得投影的取值范圍.10．【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算以及補(bǔ)集定義即可求解.【詳解】，，故，故答案為：11．【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，再令，求出，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為．令，解得，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：．12．【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程，將代入求解即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，，所以過切點(diǎn)的切線方程為：，把代入得：，即，所以，則切點(diǎn)坐標(biāo)為：即.故答案為：13．/【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，先由相互獨(dú)立事件的概率公式求出、的值，結(jié)合對(duì)立事件的性質(zhì)求出第一空答案，利用全概率公式計(jì)算第二空的答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，則，，，所以，，若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率，若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率．故答案為：；．14．【分析】當(dāng)時(shí)求出，當(dāng)時(shí)，，作差即可求出的通項(xiàng)公式，從而求出，即可表示出，再由基本不等式求出數(shù)列的最大項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也成立，所以；因?yàn)椋裕裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng).故答案為：；．15．,,．【分析】方程可化為，根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，分別討論函數(shù)與函數(shù)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象并觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，建立關(guān)于的不等式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】方程，即，結(jié)合，得，原方程可化為，①時(shí)，原方程變?yōu)椋挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；②，記，的圖象是開口向下的拋物線，函數(shù)的最大值，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以的最小值為，結(jié)合圖象可知：此時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；③，則，在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)，的最小值為，的圖象是開口向上的拋物線，函數(shù)的最小值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)的最小值，觀察圖象可知：此時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值，方程即的根的判別式△，且方程即的根的判別式△，結(jié)合與都在處取最小值，可知與的圖象不止有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．綜上所述，或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是,,．故答案為：,,．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．16．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換即可求解；（2）利用余弦定理即可求解；（3）利用正弦定理和二倍角的正、余弦公式即可求解．【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ碛校驗(yàn)?所以，所以，即，由于,所以，故，解得；（2）因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ恚矗獾茫唬?）由正弦定理有，有，因?yàn)椋詾殇J角，故，又，則，．17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用，結(jié)合平面，得出平面；（2）利用向量的夾角公式即可求解；（3）利用點(diǎn)到平面的距離的向量法公式，即可求解．【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)棱底面，為等邊三角形，所以過點(diǎn)作，則以為點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)長(zhǎng)為，則，，因?yàn)椋裕瑒t有，．所以，，，，，，．證明：因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，則，令，則，又因?yàn)椋裕裕忠驗(yàn)槠矫妫云矫妫?）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，則，有，又，設(shè)直線與平面所成角為，，則直線與平面所成角的正弦值為．（3）因?yàn)椋矫娴姆ㄏ蛄繛椋裕c(diǎn)D到平面的距離為．18．(1)(2)（i），；（ii）.【分析】（1）設(shè)數(shù)列公差為，求出，然后求出數(shù)列的前n項(xiàng)和即可；（2）（i）設(shè)數(shù)列公差為，由（1）得，又，求出，然后求出即可；（ii）利用錯(cuò)位相減法與裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列公差為，由公式，，有，求得，即，所以．設(shè)，前項(xiàng)和為，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．所以（2）（ⅰ）設(shè)數(shù)列公差為，由（1）得，又，即，解得，所以．（ⅱ），設(shè)，，①，②①－②得，．所以，．設(shè)，所以，．．所以，．19．(1)(2)因此存在直線滿足條件．【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解，即可結(jié)合的關(guān)系求解，（2）聯(lián)立方程可得坐標(biāo)，即可根據(jù)根據(jù)，即可求解.【詳解】（1）依題意，，解得，又因?yàn)椋裕?）設(shè)直線的方程為，橢圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，解得，①，直線AF方程為，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程組，解得，②，又因?yàn)椋O(shè)，則有，即，所以，所以．所以，則有，代入①②有，解得，由題意得，所以，因此存在直線滿足題中條件．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強(qiáng)化有關(guān)直線與曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．20．(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間