高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定含答案1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過實例總結(jié)含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)律.2.能寫出全稱量詞命題與存在量詞命題的否定并判斷真假.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象邏輯推理全稱量詞命題與存在量詞命題的否定命題的類型全稱量詞命題存在量詞命題命題的符號表示?x∈M,p(x)?x∈M,p(x)命題的否定的符號表示?x∈M,?p(x)?x∈M,?p(x)命題的否定的類型存在量詞命題全稱量詞命題版本交融(人BP28嘗試與發(fā)現(xiàn))一個命題與它的否定的真假性關(guān)系如何?提示:一個命題與它的否定的真假性關(guān)系是“一真一假”或“此假彼真”.【教材深化】一般命題的否定與含有一個量詞的命題的否定的區(qū)別與聯(lián)系.一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結(jié)論,得到真假性完全相反的兩個命題;含有一個量詞的命題的否定,是在否定結(jié)論p(x)的同時,改變量詞的屬性,即將全稱量詞改為存在量詞,存在量詞改為全稱量詞.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)存在量詞命題的否定一定是全稱量詞命題.(√)提示:因為存在量詞命題否定時要把存在量詞改為全稱量詞,所以它的否定一定是全稱量詞命題.(2)對全稱量詞命題或存在量詞命題進(jìn)行否定時,只否定其結(jié)論即可.(×)提示:對全稱量詞命題或存在量詞命題進(jìn)行否定時,除了否定其結(jié)論外,還要改變量詞.(3)短語“都是”的否定短語是“都不是”.(×)提示:短語“都是”的否定短語是“不都是”.(4)短語“至少有一個”的否定短語是“至多有兩個”.(×)提示:短語“至少有一個”的否定短語是“一個也沒有”.類型一全稱量詞命題的否定及真假的判斷(邏輯推理)【典例1】(1)設(shè)x∈Z,集合A是奇數(shù)集,集合B是偶數(shù)集.若命題p:?x∈A,2x∈B,則?p為()A.?x∈A,2x∈BB.?x?A,2x?BC.?x?A,2x∈BD.?x∈A,2x?B【解析】選D.命題p:?x∈A,2x∈B是一個全稱量詞命題,?p:?x∈A,2x?B.(2)寫出下列命題的否定,并判斷否定的真假.①p:不論m取何實數(shù),方程x2+x-m=0必有實數(shù)根;②q:對所有實數(shù)x,都有x2+x+3>0.③r:等圓的面積相等,周長相等.【解析】①這一命題可以表述為p:“對所有的實數(shù)m,方程x2+x-m=0有實數(shù)根”,所以?p:“存在實數(shù)m,使得x2+x-m=0沒有實數(shù)根”.當(dāng)Δ=1+4m<0,即m<-14時,一元二次方程沒有實數(shù)根,所以?p是真命題②?q:存在一個實數(shù)x,使得x2+x+3≤0.因為x2+x+3=(x+12)2+③?r:存在一對等圓,其面積不相等或周長不相等,由平面幾何知識知?r是一個假命題.【總結(jié)升華】對全稱量詞命題的否定的關(guān)注點(1)兩變:一變量詞,即把全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~;二變結(jié)論,即否定結(jié)論.(2)一補(bǔ):對省略全稱量詞的全稱量詞命題要補(bǔ)上量詞后再進(jìn)行否定.【即學(xué)即練】1.命題“?x>0,2x2=5x-1”的否定是()A.?x>0,2x2≠5x-1B.?x≤0,2x2=5x-1C.?x>0,2x2≠5x-1D.?x≤0,2x2=5x-1【解析】選C.因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,根據(jù)命題否定的規(guī)則知,C選項正確.2.寫出下列全稱量詞命題的否定,并判斷所得命題的真假:(1)每一個四邊形的四個頂點共圓.【解析】(1)該命題的否定:存在一個四邊形,它的四個頂點不共圓.真命題.(2)對任意x∈Z,x2的個位數(shù)字都不等于1.【解析】(2)該命題的否定:存在x∈Z,x2的個位數(shù)字等于1.真命題.(3)每個三角形至少有兩個銳角.【解析】(3)該命題的否定:有的三角形至多有一個銳角,由三角形的內(nèi)角和為180°知原命題的否定為假命題.類型二存在量詞命題的否定及真假的判斷(邏輯推理)【典例2】(1)命題p:?a>0,a+1a<2,則p的否定為(A.?a<0,a+1a<2 B.?a<0,a+1C.?a>0,a+1a<2 D.?a>0,a+1【解析】選D.命題p:?a>0,a+1a<2為存在量詞命題,其否定為?a>0,a+1a(2)寫出下列存在量詞命題p的否定?p,并判斷?p的真假.①p:?x<0,x+1x+2<0②p:有一個質(zhì)數(shù)含有三個正因數(shù).③p:存在實數(shù)m,x2+x+m=0的兩根都是正數(shù).【解析】①?p:?x<0,x+1x+2≥0當(dāng)x=-2時,x+1x+2<0,所以?p是假命題②?p:每一個質(zhì)數(shù)都不含有三個正因數(shù),?p是真命題.③?p:對任意實數(shù)m,x2+x+m=0的兩根不都是正數(shù).假設(shè)x2+x+m=0的兩根x1,x2都是正數(shù),則必須Δ≥0,x1+x2>0,x1x2>0,即1-【總結(jié)升華】存在量詞命題的否定形式與判斷真假的方法(1)寫否定命題時,先將存在量詞變?yōu)槿Q量詞,再把性質(zhì)p(x)否定為?px;(2)由于命題與命題的否定一真一假,所以如果判斷一個命題的真假困難時,那么可以轉(zhuǎn)化為判斷命題的否定的真假,從而進(jìn)行判斷.【即學(xué)即練】1.設(shè)命題p:?n∈N,n2>2n,則?p為()A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2nC.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n【解析】選C.將“?”改寫成“?”,“>”改寫為“≤”即可.2.寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷其否定的真假.(1)有的素數(shù)是偶數(shù);【解析】(1)命題的否定:所有的素數(shù)都不是偶數(shù).由于2是素數(shù)也是偶數(shù),因此命題的否定為假命題.(2)?a,b∈R,a2+b2≤0.【解析】(2)命題的否定:?a,b∈R,a2+b2>0.因為當(dāng)a=b=0時,a2+b2=0,所以命題的否定是假命題.2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時不等關(guān)系與比較大小【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中的等量關(guān)系與不等關(guān)系.2.會用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系.3.會運(yùn)用作差法比較兩個數(shù)或式的大小、證明不等式.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)建模邏輯推理一、不等式與不等關(guān)系不等式的定義所含的兩個要點:(1)不等符號<,>,≤,≥或≠.(2)所表示的關(guān)系是不等關(guān)系.版本交融(人BP61想一想)5≥3,2≥2,2≤2這三個命題都是真命題嗎?為什么?提示:都是真命題.不等式a≥b的含義是指“a>b或者a=b”,即若a>b或a=b之中有一個正確,則a≥b正確.a≤b也類似.二、實數(shù)a,b的大小比較文字語言數(shù)學(xué)語言等價條件a-b是正數(shù)a-b>0a>ba-b等于零a-b=0a=ba-b是負(fù)數(shù)a-b<0a<b三、重要不等式一般地,?a,b∈R,有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)a不小于b應(yīng)表示為a>b.(×)提示:a不小于b應(yīng)表示為a≥b.(2)任意兩個實數(shù)a,b之間的大小關(guān)系,有且只有a>b,a<b兩種關(guān)系中的一種.(×)提示:任意兩數(shù)之間,有且只有a>b,a=b,a<b三種關(guān)系中的一種,沒有其他大小關(guān)系.(3)若x-y<0,我們就說x大于y.(×)提示:若x-y<0,則x小于y.(4)?a,b∈R,且a≠b有a2+b2>2ab.(√)提示:因為a≠b,所以a2+b2>2ab.類型一用不等式(組)表示不等關(guān)系(邏輯推理)【典例1】(1)如圖兩種廣告牌,其中圖①是由兩個等腰直角三角形構(gòu)成的,圖②是一個矩形,從圖形上確定這兩個廣告牌面積的大小關(guān)系,并將這種關(guān)系用含字母a,b(a≠b)的不等式表示出來()A.12(a2+b2)>ab B.12(a2+b2C.12(a2+b2)≥ab D.12(a2+b2【解析】選A.題圖①是由兩個等腰直角三角形構(gòu)成的,面積為12(a2+b2),題圖②是一個矩形,面積為ab.由題中圖形知,題圖①的面積大于題圖②的面積,故12(a2+b2(2)某汽車公司因發(fā)展需要,需購進(jìn)一批汽車,計劃使用不超過1000萬元的資金購買單價分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車,根據(jù)需要,A型汽車至少買5輛,B型汽車至少買6輛,寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式(組).【解析】設(shè)購買A型汽車和B型汽車分別為x輛,y輛,則40【總結(jié)升華】用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟(1)審清題意,明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語:至多、至少、大于等.(2)適當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)表示變量.(3)用不等號表示關(guān)鍵詞語,連接變量得不等式.提醒:要注意題中的隱性不等關(guān)系,如由變量的實際意義限制的范圍.【即學(xué)即練】1.某高速公路要求行駛的車輛的速度v的最大值為120km/h,同一車道上的車間距d不得小于10m,用不等式表示為()A.v≤120km/h且d≥10mB.v≤120km/h或d≥10mC.v≤120km/hD.d≥10m【解析】選A.v的最大值為120km/h,即v≤120km/h,車間距d不得小于10m,即d≥10m.2.如圖,在一個面積小于450m2的矩形地基中心位置上建造一個倉庫,倉庫的四周建成綠地,倉庫的長x(單位:m)大于寬y(單位:m)的3倍.試用不等式組表示上面的不等關(guān)系.【解析】依題意,得x類型二作差法比較大小(邏輯推理)【典例2】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)比較(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小;【解析】(1)因為(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=(x2+10x+21)-(x2+10x+24)=-3<0,所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6).(2)比較2x2+5x+4與x2+3x+2的大小;【解析】(2)(2x2+5x+4)-(x2+3x+2)=x2+2x+2=(x+1)2+1,因為(x+1)2≥0,所以(x+1)2+1≥1>0.所以(2x2+5x+4)-(x2+3x+2)>0,所以2x2+5x+4>x2+3x+2.(3)已知x∈R且x≠-1,比較11+x與1-x【解析】(3)因為11+x-(1-x)=1-(當(dāng)x=0時,11+x=1-當(dāng)1+x<0,即x<-1時,x21+x<0,所以1當(dāng)1+x>0且x≠0,即-1<x<0或x>0時,x21+x>0,所以【總結(jié)升華】作差法比較大小的步驟【即學(xué)即練】1.設(shè)a=3x2-x+1,b=2x2+x,則()A.a>b B.a<bC.a≥b D.a≤b【解析】選C.a-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以a≥b.2.已知a>0,試比較a與1a的大小【解析】因為a-1a=a2-1a所以當(dāng)a>1時,(a-1)(a當(dāng)a=1時,(a-1)(a當(dāng)0<a<1時,(a-1)(a綜上,當(dāng)a>1時,a>1a當(dāng)a=1時,a=1a當(dāng)0<a<1時,a<1a【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a≥1,試比較M=a+1-a和N=a-a-【解析】因為a≥1,所以M=a+1-a>0,N=a-a-所以MN=a+1-因為a+1+a>a+a所以MN<1,所以M<類型三作差法證明不等式(邏輯推理)【典例3】已知a>0,b>0,證明a3+b3≥ab2+a2b.【證明】a3+b3-(ab2+a2b)=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+b2).因為a>0,b>0,且a2+b2≥2ab,所以a+b>0,a2+b2-2ab≥0.所以a3+b3-(ab2+