1.1空間向量及其運算（單元教學設計）一、【單元教學目標】1．知識與技能目標（1）經歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念．（2）經歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程，掌握空間向量的線性運算，掌握空間向量的數量積運算．（3）了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義．2．學科素養目標（1）能類比平面向量的學習，經歷平面向量推廣到空間向量的過程，并初步建構空間向量及其運算的研究框架．（2）能類比平面向量，用自己的語言解釋空間向量的概念，說明空間向量與平面向量的共性與差異．（3）能將平面向量的線性運算推廣到空間，給出空間向量的加法、減法和數乘運算的定義及其幾何意義．（4）能將平面向量線性運算的運算律推廣到空間，并能借助圖形解釋其意義；會用空間向量的線性運算表示空間中的基本元素，體會空間向量的線性運算在解決立體幾何問題中的作用．（5）能將平面向量數量積的運算推廣到空間，給出空間向量數量積的概念，會計算兩個向量的數量積；能將平面向量數量積的運算律推廣到空間向量數量積的運算律，能用自己的語言解釋空間向量運算律和實數運算律的聯系與區別．（6）能借助圖形解釋空間向量投影的概念以及投影向量的意義．（7）能利用向量數量積解決幾何度量問題，證明與垂直有關的簡單問題；體會空間向量的數量積運算及其運算律在解決立體幾何問題中的作用．二、【單元內容結構框架】《空間向量及其運算》一節主要涉及2節知識內容，分別是“空間向量基本概念”“空間向量的運算”，每部分內容各有其重難點，依據課標要求和教材內容，本單元知識體系如下圖。三、【學情分析】（1）知識準備：空間向量是平面向量的延伸，經歷了高一必修二第六章的平面向量的知識的學習，學生應該很容易理解空間向量及其相關概念，在較好地進行平面向量的線性運算的基礎上推廣到空間向量，但對于將空間中平移到同一起點即同一平面上后，再利用平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則計算這兩個向量的線性計算，學生可能很難理解或想象空間向量進行平移到同一平面上，因此在教學中可以適當利用教學設備，展示向量移動的動畫，加強學生的理解。（2）思維準備、研究方法：通過學生對之前平面向量的學習，學生已經積累了一些經驗，但數學抽象能力較低，在將知識推廣到空間時，對空間想象力的要求很高；再有將空間立體圖形平面化的化歸轉化能力不強，也會導致對后續知識學習理解的匱乏，因此在教學過程中，還是形象直觀為主，可以通過具體實例切入探究，如，為了加深對概念的辨析、理解，可借助于向量的有向線段表示法進行分析，或在已有的平行六面體上，解決簡單有關空間向量的概念問題，如：相等向量、相反向量、共線向量和共面向量等等，體會從具體到抽象、從特殊到一般的思想方法．四、【教學設計思路/過程】本單元分為2課時：第1課時，空間向量及其線性運算；第2課時，空間向量的數量積運算．向量是既有大小又有方向的量，這一概念既適用于平面，也適用于空間．平面內的向量都可以看作空間中的向量，因此空間向量的概念，表示和平面向量具有一致性，但在維數上發生了變化，空間向量是三維的，平面向量是二維的．由于任意兩個空間向量都可以平移到一個平面內，因此兩個空間向量的運算可以看作兩個平面向量的運算﹐它們的加法、減法﹑數乘、數量積運算也具有一致性，當然也要注意維數的變化．空間向量為解決立體幾何問題提供了新的工具．向量讓幾何量帶上了方向，并用符號表示，因此向量運算既是幾何的運算也是數的運算．F·克萊因說：0“對比把長度、面積．體積考慮為絕對值的普通初等幾何學，這樣做有極大的好處．初等幾何必須依照圖形呈現的情況而區分許多情況，而現在用幾個簡單的一般定理就可以概括．”這幾個“一般定理”就是向量的加法與減法，數乘、數量積的運算及運算規則、幾何意義(物理意義)，以及向量基本定理及坐標表示．用空間向量解決立體幾何問題，首先要用空間向量表示立體幾何問題中涉及的幾何元素，將幾何問題轉化為向量問題；然后通過空間向量的運算，研究空間圖形之間的平行、垂直等位置關系以及距離，夾角等度量問題；最后將運算結果“翻譯”成幾何結論．這個“三步曲”，是立體幾何中向量方法的具體化．本單元的學習，可以幫助學生在學習平面向量的基礎上，利用類比的方法理解空間向量的概念、運算、基本定理和應用，體會平面向量和空間向量的共性和差異，提升直觀想象，數學運算、邏輯推理和數學抽象素養．五、【教學問題診斷分析】(1)學生已有“立體幾何初步”的基礎，學習了空間直線、平面間的平行和垂直等概念﹐也有了平面向量學習的基礎，把向量的概念﹑運算從平面推廣到空間并不困難，也能較容易地由平面向量的運算律推廣得到空間向量對應的運算律．但是，現在研究的范圍已由平面擴展到空間，一個向量可以確定空間的一個平移，兩個不平行向量確定的平面已經不只是一個平面，而是互相平行的“平面集”，這需要學生對向量有新的理解．另外，盡管在形式上空間向量的運算、運算律和平面向量一致，但因為維數發生了變化，所以它們的幾何表示是不同的，這些是本單元學習的難點．在教學中，要鼓勵學生自主探究，在梳理平面向量及其運算的學習內容，過程和方法的基礎上，類比提出空間向量及其運算的學習內容、過程和方法，將平面向量及其運算推廣到空間．在這一過程中，要引導學生發現空間向量和平面向量的不同之處，主要是維數的變化所產生的幾何表達上的變化，并驗證推廣過程中的合理性與嚴謹性，達到對空間向量及其運算的深入理解，這是突破難點的關鍵所在．(2)本單元在給出共線、共面向量的充要條件之后，安排了證明立體幾何中四點共面的問題；在數量積運算之后，安排了證明直線與平面垂直的判定定理以及其他一些簡單的立體幾何問題等．對于這些問題，盡管學生已經有了用平面向量解決平面幾何問題的經驗，但是由于初次接觸用空間向量解決立體幾何問題，學生還缺乏利用空間向量解決立體幾何問題的經驗．另外，由于圖形的維數增加了，也更抽象了，想到向量方法以及把空間圖形的位置關系轉化為向量表示，對學生來講都是難點．突破難點的關鍵是引導學生利用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”的思路和方法，結合具體問題，從幾何元素的向量表示入手，深入理解問題中相關條件的幾何意義﹐在此基礎上進行向量表示和向量運算，讓學生完整經歷用空間向量解決立體幾何問題的過程，從中體會解決問題的基本思路和方法．(3）對于空間向量的投影，將其轉化為平面向量的投影﹐并畫出投影向量，需要較強的空間想象能力，這也是本單元的一個難點．在教學時，應類比平面向量投影的畫法，借助輔助平面把空間向量投影轉化為平面向量的投影．六、【課時教學設計】第1課時空間向量及其線性運算教學內容（1）建構空間向量及其運算的研究框架；（2）空間向量的概念，空間向量的線性運算及其運算律；（3）空間向量共線、共面的充要條件；（4）用空間向量線性運算解決幾何中的平行、共面問題.教學目標（1）能類比“平面向量及其應用”，建構空間向量及其運算的研究框架.（2）能類比平面向量，給出空間向量的概念，能解釋相等向量、相反向量、共線向量的相互關系；能通過具體例子解釋空間向量共線、共面的充要條件.（3）能應用平行四邊形法則和三角形法則進行空間向量的加減運算；能借助平行六面體解釋空間三個向量之和的幾何意義；能類比平面向量，進行空間向量的數乘運算.（4）能將平面向量線性運算的運算律推廣到空間，并能進行證明；會用空間向量的線性運算表示空間中的基本元素.（5）會用空間向量的線性運算解決立體幾何問題中的共面和平行問題.教學重點與難點（1）教學重點：本章內容整體框架的構建；空間向量的相關概念；空間向量的線性運算及其運算律的驗證；空間向量共線、共面的充要條件.（2）教學難點：從平面向量推廣到空間向量的合理性和嚴謹性驗證；空間向量加法結合律的證明.教學過程設計（一）創設情境，提出問題通過“平面向量及其應用”的學習，我們知道，平面內的點、直線可以通過平面向量及其運算來表示，它們之間的平行、垂直、夾角、距離等關系可以通過平面向量運算而得到，從而有關平面圖形的問題可以利用平面向量的方法來解決.在“立體幾何初步”中，我們用綜合幾何方法研究了空間幾何體的結構特征以及空間點、直線、平面的位置關系.問題1:能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量表示空間中點、直線、平面等基本元素，通過空間向量運算解決立體幾何問題?師生活動:學生閱讀章引言，師生共同歸納.追問1:你能舉幾個空間向量的例子嗎?師生活動:師生共同舉例說明，聯想用平面向量解決物理問題的方法，體會平面向量推廣到空間向量的必要性.追問2:你能類比平面向量及其運算的研究過程，說說本章我們將學習哪些內容、用到哪些研究方法.師生活動從類比平面向量的研究方法、研究過程和研究框架出發，明確本單元的研究主題和研究框架.教師總結：在本章的學習中，我們要注意利用類比的方法進行研究，研究內容主要有：空間向量的概念、運算、基本定理及其坐標表示；體會推廣的合理性和嚴謹性；利用空間向量表示空間中的幾何元素并解決位置、度量等立體幾何問題.設計意圖：通過情境創設，體會學習本章內容的必要性，從而激發學生的學習熱情和求知欲望.通過繼續追問，引導明確本單元的學習內容和學習方法，從而體會和構建學習的“先行組織者”（二）抽象概念，內涵辨析1、回顧舊知，類比得到空間向量的基本概念問題2:請同學們回顧平面向量的概念及表示，類比給出空間向量的概念及表示.表1.11平面空間概念在平面內，把具有大小和方向的量叫做平面向量；平面向量的大小叫做長度或模.表示印刷體用a,b,c,?表示；書寫用a,b,c看大小有向線段的長度表示平面向量的模，記作a或AB.長度為0的向量叫做零向量，記作0，零向量的起點與終點重合.模為1的向量叫做單位向量.看方向表示平面向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量，規定：零向量與任意向量平行.既看大小又看方向與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作a.方向相同且模相等的向量叫做相等向量，師生活動:首先讓學生回憶平面向量的概念，師生共同畫出表格并完成表格的左側部分，然后通過小組合作，完成表格右側部分.設計意圖:類比平面向量引入空間向量及其相關概念、空間向量的表示、共線向量與相等向量.通過完成表格這種形式，使得類比學習更為直接，讓學生體會平面向量到空間向量推廣的必要性和合理性.追問:從空間向量的相等概念出發，你對共線向量、平行向量有什么認識?任給兩個向量，它們一定共面嗎，為什么?師生活動:教師引導學生共同歸納出以下幾點體會：第一，空間向量是自由的，可以將它們在空間中進行平移；第二，因為向量可以平移，所以共線向量和平行向量本質相同；第三，空間任意兩個向量，都可以平移到同一個平面內；第四，涉及空間兩個向量的問題，平面向量中的有關結論仍適用.設計意圖:引導學生體會和經歷空間任意兩個向量都可以轉化為同一平面內的向量，為學習空間向量的運算奠定基礎.2、類比平面向量，理解空間向量的線性運算問題3:數學中，引進一種量后，一個很自然的問題就是要研究它的運算.你認為空間向量的線性運算與平面向量的線性運算有什么關系，為什么?你能類比平面向量的線性運算給出空間向量的加法、減法以及數乘運算的定義嗎?表1.12平面空間加法三角形法則：首尾相接平行四邊形法則：起點重合減法三角形法則：起點重合數乘當λ>0時，λa與a當λ<0時，λa與a方向相反，且當λ=0時，師生活動:首先讓學生回憶平面向量的加、減、數乘運算，畫出表格并完成表格的左側部分，然后通過小組合作，完成表格右側部分，最后通過全班交流完善表格.設計意圖:師生共同畫出并完成表格的過程體現了從平面向量到空間向量研究內容和方法的類比.追問:向量線性運算的結果，與向量起點的選擇有關系嗎?師生活動:學生經過思考后，得出結論“向量的線性運算的結果，與向量起點的選擇無關”.設計意圖:讓學生思考向量線性運算的結果是否與表示向量的有向線段的起點的選擇有關，進一步讓學生理解“向量是自由的”.3、推廣運算律，理解與平面向量的異同點問題4:類比平面向量的研究過程，我們知道，定義了一種運算就要研究它的運算律.你能類比平面向量線性運算的運算律猜想空間向量線性運算的運算律嗎?師生活動:教師提出問題，結合平面向量線性運算的運算律，學生不難得到空間向量線性運算的運算律：（1）交換律：a+（2）結合律：a+（3）分配律：λ+追問1:你能證明這些運算律嗎?師生活動:請學生根據加法和數乘的定義完成運算律（1）、（3）以及（2）中λμa=對于給定的三個向量a,第一種，學生作出三個首尾相連的向量.如圖1.11所示，a=圖1.11c=BC，則a+b+c=第二種，學生作出三個起點重合的向量.如圖1.12所示，aa如何說明AC1'=A圖1.12追問2:經歷了上面的研究過程，你能總結出空間向量加法的性質嗎?師生活動:學生獨立思考后，通過合作交流，得出以下結論：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量終點的向量，求空間若干向量之和時，可通過平移將它們轉化為首尾相接的向量.（2）若首尾相接的若干向量構成一個封閉圖形，則它們的和為0.（3）類比平面中求兩個向量和的問題可以與平行四邊形的對角線建立聯系，求三個不共面向量和的問題，可以與這三個向量為邊的平行六面體的對角線建立聯系.設計意圖:將平面向量線性運算的運算律推廣到空間，讓學生結合平行六面體，數形結合地理解空間向量運算的加法交換律和結合律，進一步理解有限個向量求和，交換相加向量的順序其和不變，完備空間向量的運算體系。4、利用空間向量的運算研究空間向量的位置關系問題5:有了空間向量的線性運算及其運算律，我們就可以通過向量運算研究空間向量的位置關系.對于空間向量的位置關系，你能提出哪些問題?得出哪些結論?師生活動:學生獨立思考、小組討論后進行全班交流，教師幫助梳理后得出：（1）因為空間任意兩個向量都共面，所以對于空間中兩個向量的位置關系，平面向量中的有關結論在空間向量中仍然成立.具體的，平面向量共線的充要條件也是空間向量共線的充要條件，當然要注意維數的不同.（2）對于空間的三個向量，可以有共線、共面和不共面三種位置關系，因此可以研究的問題是：三個向量共線、共面和不共面的充要條件分別是什么?追問1:你能類比平面向量共線的充要條件，給出空間向量共線的充要條件并進行證明嗎?師生活動:學生獨立思考后給出命題：對于任意兩個空間向量a①"如果a=②"如果a//b，且b≠0，則存在唯一的實數追問2:設a是一個非零向量.空間中與a平行的直線有多少條?要使平行于向量a的直線唯一確定，還需要增加什么條件?師生活動:學生獨立思考、作答，教師幫助學生歸納得出結論：平行于向量a的直線有無數條.要確定空間一條直線l，除了以向量a為l的方向，還需要一個點.如圖1.13，設O為直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由向量共線的充要條件可知，存在唯一的實數λ，使得OP圖1.1圖1.13在此基礎上，讓學生閱讀教科書第4頁，明確只要與a共線的非零向量都能確定直線l的方向，由此得到直線方向向量的概念.通過閱讀教科書，明確向量a平行于直線、平行于平面以及共面向量的概念.設計意圖:通過問題引導學生在定義向量線性運算的基礎上，發現利用向量線性運算可以研究哪些位置關系，并將向量共線的充要條件由平面向量推廣到空間向量，明確空間向量共線的充要條件是立體幾何中證明點共線和線平行的重要依據.認識直線的方向向量概念，為后續建立直線的參數方程奠定基礎.問題6:類比平面內兩個向量共線的充要條件，你能研究一下三個空間向量共線或共面的充要條件嗎?追問1:如果三個空間向量共線，那么它們的方向是什么關系?追問2:如果三個不共線向量共面，那么它們有什么關系?師生活動:教師引導學生回顧平面向量基本定理，并將平面向量基本定理置于空間，通過討論得出：（1）如果三個空間向量共線，那么它們的方向相互平行，由平行的傳遞性可得，它們兩兩共線，所以可以轉化為兩個向量共線的問題.（2）設a,b,p是平面α內的三個不共線向量，不妨設a與b不共線.如果p是α內的一個向量，那么存在唯一的有序實數對x,y，使p=如果兩個向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x追問3:你有興趣研究一下三個向量不共面的充要條件嗎?這是一個具有挑戰性的問題，哪些同學敢于迎接挑戰?請你們課下研究一下.設計意圖:通過類比平面向量共線的充要條件，得出空間向量共面的充要條件.通過追問1和2，引導學生對三個向量的位置關系分類討論，培養思維的嚴謹性；通過追問3，給學有余力的學生拓展創新思維空間.在此過程中，發展學生的類比思維，提升空間想象力，發展直觀想象、邏輯推理素養（三）例題練習，鞏固理解圖1.14例1如圖1.14，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O作射線OA,OB,OC,OD，在四條射線上分別取點E,F圖1.14師生活動：教師首先引導學生分析問題的條件和所證明結論的向量表述，得出證明的基本思路：欲證E,F,G,H四點共面，只需證明EH,EF,EG共面.而由已知AD,證明：因為OEOA所以OE=因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AC=所以EG=由向量共面的充要條件可知，EH,又EH,EF,EG過同一點完成例題后，可讓學生歸納用空間向量解決立體幾何問題的一般方法，即選擇恰當的向量表示問題中的幾何元素，通過向量運算得出幾何元素的關系.設計意圖熟練空間向量的線性運算，經歷利用空間向量的線性運算研究共線與共面問題的過程.（四）小結提升，形成結構問題7回顧本節課的學習內容，回答下列問題：（1）空間向量線性運算的定義、運算律是什么?與平面向量的線性運算有什么聯系與區別?（2）空間向量共線的充要條件是什么?直線的方向向量如何確定?如何利用向量解決平行和共線問題?（3）空間三個向量共面的充要條件是什么?與平面向量基本定理有什么聯系?能解決立體幾何中的哪些問題?（4）我們是如何開展本節內容的學習的，重點用到了哪些思想方法，接下來我們要學習空間向量的哪些內容?（5）兩個向量a,b不共線，那么向量p與向量師生活動:學生獨立思考、回答，教師幫助學生歸納總結.空間向量的運算可以通過類比平面向量的運算，將平面向量的運算推廣到空間得到空間向量運算的定義及運算律，但要注意維數的變化.例如，空間向量加法結合律的證明與平面向量加法結合律的證明就有較大的不同.（2）因為向量是自由的，所以兩個空間向量共線等價于兩個平面向量共線，要注意的是向量的維數不同；兩條直線平行，本質上就是它們的方向相同，所以要證明兩條直線平行，只要證明它們的方向向量共線.（3）三個向量共面是空間中三個向量的一種特殊位置，這種特殊的位置可以用平面向量基本定理來刻畫，向量共面的充要條件可以解決空間中的共面、平行等問題.（4）本節課的學習中，類比平面向量研究空間向量是基本的思想方法，空間向量的研究框架應建立在平面向量的基礎上，同時類比的過程要注意空間與平面的不同之處，接下來還會研究空間向量的數量積、空間向量的坐標表示以及空間向量解決立體幾何問題等內容.（5）向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對x,y，使得p=xa+y設計意圖:通過問題引導學生復習本節課所學知識，進一步體會類比平面向量學習空間向量的思想方法、體會平面向量與空間向量的異同.（五）布置作業，應用遷移作業1：教科書第5～6頁練習第作業2：整理本節課的研究方法和研究過程，請你簡要描述一下空間向量的后續研究內容.設計意圖:本環節旨在鞏固空間向量線性運算及其幾何意義.七、【教學成果自我檢測】1．如圖E，F分別是長方體的棱AB，CD的中點，化簡下列表達式：(1)；(2)；(3)；(4).2．如圖所示，在平行六面體中，設，分別是的中點，試用表示以下各向量：(1)；(2)；(3).3．如果A，B，C，D是空間中的四點，且，那么這四個點是否一定共面？4．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，點P(x，－1，3)在平面ABC內，求x的值.5．已知四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，，，，E為PC的中點，試用：，，表示向量．設計意圖:第1、5題檢測學生對空間向量線性運算及其幾何意義的掌握情況，第2、4題檢測空間向量線性運算及空間向量共面的充要條件，第3題檢測利用空間向量共面的充要條件證明四點共面問題.教學成果自我檢測答案：1．(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）根據空間向量的線性運算，結合長方體性質可得.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）因為E，F分別是棱AB，CD的中點，所以.2．(1)(2)(3)【分析】根據空間向量的線性運算，結合圖形依次求解即可.【詳解】（1）∵是的中點，∴；（2）∵是的中點，∴；（3）∵是的中點，∴.3．共面【分析】根據空間向量共面定理即可判斷結果．【詳解】由于，根據空間向量共面基本定理得，向量共面則A，B，C，D四個點一定共面．4．11.【分析】將四點共面轉化為三向量共面，再利用向量線性運算的坐標表示和向量相等進行求解.【詳解】∵點P在平面ABC內，∴存在實數k1，k2，使，即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，∴，解得，∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.5．【分析】如圖，利用空間向量的線性運算計算得解.【詳解】解：如圖：由題得所以.

第2課時空間向量的數量積運算教學內容空間向量數量積的定義、幾何意義以及運算律，向量投影的概念，數量積運算的簡單應用.教學目標（1）能類比平面向量數量積的定義，給出空間向量夾角的概念和數量積的定義，會計算兩個向量的數量積.（2）能類比平面向量數量積的幾何意義，得出空間向量數量積的幾何意義.能將空間向量的投影轉化為平面向量的投影，并畫出投影向量；能用自己的語言解釋一個向量在另一個向量、一條直線上或者一個平面上投影的意義.（3）能將平面向量數量積的運算律推廣到空間向量，能說明空間向量運算律和實數運算律的聯系與區別.（4）能用空間向量數量積運算及運算律解決簡單的立體幾何問題.教學重點與難點（1）教學重點：空間向量數量積的概念、運算律及其幾何意義.（2）教學難點：空間向量的投影.教學過程設計（一）創設情景，提出問題問題1前面我們學習了空間向量的線性運算，任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量，因此，空間向量的線性運算與平面向量完全一致.類比平面向量的運算，接下來應研究哪一種運算?有哪些研究內容?可以利用這種運算解決哪些幾何問題?師生活動：學生獨立思考、作答，全班交流，教師幫助總結，得出結論：類比平面向量的運算，接下來應該研究空間向量的數量積運算，研究的內容包括空間向量數量積的定義、幾何性質、運算律等，我們可以利用空間向量的數量積運算解決空間的長度、角度問題，也可以用于證明垂直等問題.設計意圖：引導學生明確本節課的學習內容和學習方法，進而激發學生的學習熱情和求知欲望.（二）抽象概念，內涵辨析問題2回顧平面向量數量積的學習過程，完成下表.表1.13平面空間夾角對非零向量a,b，作OA=a,OB=b特例：當?a,b?=π數量積定義：兩個非零向量a,b，則abcos?a,b?叫做幾何性質：a⊥師生活動：首先讓學生回憶平面向量數量積運算的內容和學習過程，師生共同畫出上述表格，確定表格的表頭、并完成與平面向量數量積相關的部分，然后獨立思考并完成空間向量數量積部分，師生共同對表格進行完善.在完成表格的過程中，教師應引導學生注意對兩個非零向量的方向之間關系的辨析，進而明確空間向量夾角的范圍.設計意圖：通過建立表格、填表活動，引導學生開展更加明確的類比學習，進一步體會平面向量到空間向量的推廣過程.師生共同畫出表格的過程，也體現了從平面向量到空間向量的研究內容和方法的類比.問題3：根據平面向量數量積的學習經驗，為了研究數量積的運算律，需要先定義向量的投影.想一想，空間向量的投影有哪些情況?師生活動：學生獨立思考后，通過合作交流，得出結論：一個空間向量可以向另一個空間向量投影，也可以向一條直線或一個平面投影.設計意圖：明確問題，培養空間想象能力.追問1：如何定義并畫出空間向量a向向量b的投影?師生活動：先讓學生自主探究，然后教師引導學生總結畫投影的步驟：空間向量是自由向量，任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內，因而空間向量的投影就是平面向量的投影.首先平移向量a，使表示向量a的有向線段的起點與表示向量b的有向線段的起點重合，畫出這時它們確定的平面α，再圖1.16在平面α內畫出向量a向向量b的投影，得到投影向量c（如圖1.16所示）.追問2：由作圖過程可知，投影向量c由向量a和向量b唯一確定，你能用向量a、向量b表示出投影向量c嗎?師生活動：教師引導學生類比平面向量的投影，得到空間向量a向向量b投影得到的投影向量c的表示：c=abcos?a,b?b.進一步地，因為cos?a,b?=追問3：類似于向量向向量投影，你能定義并畫出空間向量a向直線l的投影嗎?師生活動：學生獨立完成后在課堂上展示、交流，最后教師總結：類比空間向量a向向量b的作投影的過程，只需將向量a與直線l平移到同一個平面內，然后作出投影向量c（如圖1.17所示）.圖1.17圖1.17追問4：請嘗試定義并畫出向量a向平面β的投影，并說說與前面兩種投影的畫法有什么不同之處.師生活動：學生獨立畫圖，并交流結果.在此基礎上，教師小結：畫向量a向平面β的投影向量，可以直接以向量a的起點A和終點B向平面β作垂線，垂足分別為A'和B'，則起點為A'，終點為B'的向量A'B'便是滿足要求的投影向量.其中向量a和向量A'B'圖1.18圖1.18設計意圖：結合平面向量的投影，理解空間向量投影的概念，畫圖表示空間向量向向量的投影、向直線的投影、向平面的投影，使學生進一步體會空間向量和平面向量的內在聯系.問題4：定義了運算就要研究它的運算律.類比平面向量數量積的運算律，你能說出空間向量的數量積具有哪些運算律嗎?師生活動教師提出問題，結合平面向量數量積的運算律，學生不難得到空間向量數量積的運算律：（1）λa（2）a?（3）a+追問：你能證明這些運算律嗎?師生活動：請學生根據數量積的定義證明運算律（1）和（2），并在課堂上展示、交流.對于（3）的證明，可以在課堂上組織學生進行小組合作探究，也可以留給學生課后完成.設計意圖：將平面向量數量積運算的運算律推廣到空間，進一步完備空間向量的運算體系.問題5：我們知道，數及其運算是一切運算的基礎，空間向量的數量積運算在形式上是兩個向量相乘，由此，自然會想到將它與數的乘法作類比.向量的數量積是否具有一些與數的乘法類似的性質呢?它們之間有什么共性和差異嗎?師生活動：學生獨立思考，聯想數的乘法，提出空間向量的數量積運算的一些性質，并分組交流討論.追問1：對三個不為0的數a,b,c，有師生活動：學生獨立思考，舉出反例.例如，取三個不共面的向量a,b,c，使a?b≠0,b?c≠0，則a?bc教師指出：空間向量的數量積運算滿足的運算律和實數運算的運算律有很多相似之處，但也有區別，如向量數量積運算不滿足“結合律”，也就是說，向量不可以“連乘”.追問2：對三個不為0的實數a,b,c，若ab=ac，則b=師生活動教師可以引導學生結合長方體中的反例說明上述結論不成立.例如，向量b,c都垂直于向量a，則a?b=a?c，但是向量b,c的方向可能不同，所以b=c不一定成立.實際上，由向量數量積的幾何意義可知，向量a?b的數量積，即為向量a在向量b方向上的投影acos?a,b?追問3：對三個不為0的實數a,b,c，若ab=c，則a=cb或b師生活動：學生獨立思考，教師適當引導：因為對于給定的實數k和向量a，滿足a?b=k的向量b不唯一（實際上只要向量設計意圖：通過對向量數量積運算和運算律與實數乘法運算和運算律的對比分析，使學生明確向量運算與實數運算的聯系與區別，更好地構建空間向量的運算體系，為后續使用空間向量及其運算解決立體幾何問題奠定基礎.（三）例題練習，鞏固理解例2如圖1.19，在平行六面體ABCD?A'圖1.19A圖1.19（1）AB?AD；（2）師生活動學生根據向量數量積的定義獨立完成.解（1）AB?（2）AC'=AB所以AC設計意圖：通過例題，讓學生體會如何計算兩個空間向量的數量積，以及利用數量積計算向量的模，進而得到線段的長度，加深對向量數量積概念的理解，并熟悉其運算律.例3如圖1.110，m,n是平面α內的兩條相交直線.如果l⊥m，圖1.1圖1.110師生活動：教師首先引導學生分析問題的條件和所證明結論的本質，得出證明的基本思路：由已知條件可知，直線l,m的方向向量l,m相互垂直，直線l,根據直線與平面垂直的定義，要證明l⊥α，就是要證明l垂直α內任意一條直線g.要證l⊥g，只要證直線l,g的方向向量聯系已知條件，由直線m,n相交，可得它們的方向向量m,n不共線.由空間向量共線定理可知，存在唯一的有序實數對x,在分析的基礎上，由學生獨立完成解答，再進行全班交流，教師引導學生規范書寫.設計意圖：通過層層遞進的問題，引導學生用向量方法證明直線與平面垂直的判定定理，幫助學生進一步體會向量方法的威力.（四）小結提升，形成結構問題6：回顧本節課的學習內容，回答下列問題：（1）空間向量數量積的定義、運算律與平面向量數量積的定義、運算律有什么聯系與區別?（2）空間向量投影的意義是什么?與平面向量的投影有什么聯系與區別?如何畫出空間向量向另一個向量、一條直線和一個平面的投影?（3）你認