第七章計數原理（17題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記知識點01：分類加法計數原理（1）定義：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：如果完成一件事情有類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,……在第類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.知識點02：分步乘法計數原理（1）定義：完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：完成一件事需要個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,……做第步有種不同的方法,則完成這件事共有種不同的方法.知識點03：排列（1）定義：一般地,從個不同元素中取出()個元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.（2）相同排列：兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.知識點04：排列數與排列數公式（1）定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同排列的個數,叫做從個不同元素中取出個元素的排列數,用符號表示.（2）排列數公式①（連乘形式）：，，②（階乘形式），，（3）全排列：把個不同的元素全部取出的一個排列,叫做個元素的一個全排列,用符號表示.（4）階乘：正整數1到的連乘積,叫做的階乘,用符號表示.知識點05：組合（1）定義：一般地：從個不同的元素中取出()個元素作為一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.（2）相同組合：只要兩個組合的元素相同，無論元素的順序如何，都是相同的組合.（3）組合與排列的異同相同點:組合與排列都是“從個不同的元素中取出()個元素”.不同點:組合要求元素“不管元素的順序合成一組”,而排列要求元素“按照一定的順序排成一列”因此區分某一問題是組合問題還是排列問題,關鍵是看選出的元素是否與順序有關,即交換某兩個元素的位置對結果有沒有影響,若有影響,則是排列問題，若無影響，則是組合問題.知識點06：組合數與組合數公式（1）組合數的定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同組合的個數,叫做從個不同元素中取出個元素的組合數,用符號表示.（2）組合數公式或：（，）.規定：知識點07：組合數的性質（1）性質1：（2）性質2：知識點08：知識鏈接（1）（2）知識點09：二項式定理及相關概念（1）二項式定理一般地，對于每個（），的展開式中共有個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：（）.這個公式叫做二項式定理.（2）二項展開式公式中：，等號右邊的多項式叫做的二項展開式.（3）二項式系數與項的系數二項展開式中各項的二項式系數為(),項的系數是指該項中除變量外的常數部分,包含符號等.（4）二項式定理的三種常見變形①②③知識點10：二項展開式的通項二項展開式中的()叫做二項展開式的通項,用表示,即通項為展開式的第項:.通項體現了二項展開式的項數、系數、次數的變化規律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項常數項、中間項、有理項、系數最大的項等)及其系數等方面有著廣泛的應用.知識點11：二項式系數的性質①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數相等：②增減性：當時，二項式系數遞增，當時，二項式系數遞減；③最大值：當為奇數時，最中間兩項二項式系數最大；當為偶數時，最中間一項的二項式系數最大.④各二項式系數和：；奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等：0303題型歸納題型一兩個計數原理綜合例題1：（2324高二上·江西九江·期末）從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個不同的數作對數的底數和真數，則所有不同的對數的值有（

）A．30個 B．42個 C．41個 D．39個【答案】D【知識點】代數中的計數問題、分類加法計數原理、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】分是否取兩類，當不取時，排除重復的即可得解.【詳解】當取時，則只能為真數，此時這個對數值為，當不取時，底數有種，真數有種，其中，故此時有個，所以共有個.故選：D.例題2：（2324高二下·江蘇蘇州·期末）若，則符合條件的有序集合對的個數為（

）A．81 B．90 C．108 D．114【答案】A【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、組合數的計算、分類加法計數原理【分析】根據滿足條件的集合可看成由的子集與的并集，然后分類計算即可.【詳解】當時，滿足條件的有序集合對有1個；當為單元集合時，例如，則滿足條件的集合可看成由的子集與集合的并集，共有個，所以為單元集合時，滿足條件的有序集合對有個；當為二元集合時，滿足滿足條件的有序集合對有個；當為三元集合時，滿足滿足條件的有序集合對有個；當為四元集合時，滿足滿足條件的有序集合對有個.綜上，符合條件的有序集合對的個數為.故選：A例題3：（2324高二上·全國·課后作業）為亮化城市，現在要把一條路上7盞燈全部改裝成彩色路燈，如果彩色路燈有紅、黃、藍共三種顏色，在安裝時要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要有2盞，那么有多少種不同的安裝方法？【答案】114種【知識點】實際問題中的計數問題、分類加法計數原理、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】根據題意，結合分類加法計數原理與分步乘法計數原理，代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意知，每種顏色的路燈至少要有2盞，這說明有三種顏色的路燈的分配情況只能是2，2，3的形式．不妨設紅的3個，七個位置分別用1，2，3，4，5，6，7表示，那么紅的可以排135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10種，其中135，136，146，247，257，357會留下4個空，兩個不相鄰，兩個相鄰，連續的不能放一樣的顏色，那么就必須一藍一黃，剩下兩個一黃一藍放到剩下兩個不相鄰的空里，各4種.147留4個空，兩個兩個相鄰，共4種放法.137，157，四個空中3個相鄰，一個分開，各2種放法.246，四個空都分開，有6種放法．所以共有種，當黃或藍有3個時，總數一樣，故一共有種不同的放法．鞏固訓練1．（2324高二下·江蘇連云港·期中）甲、乙等5人計劃去上海、蘇州及青島三個城市調查農民工薪資情況．每個人只能去一個城市，并且每個城市都要有人去，則不同的分配方案共有種數為（

）A．150 B．300 C．450 D．540【答案】A【知識點】分類加法計數原理、分組分配問題、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】先分組再分配，結合排列組合即可求解.【詳解】把5人分組有兩類情況：和.先把5人按分組，有種分組方法，按分組，有種分組方法，因此不同分組方法數為，再把三組人安排到三個城市，有種方法，所以不同分配方法種數是.故選：A.2．（2324高二下·江蘇南京·期末）從0，1，2，，9這10個數字中選出3個不同的數字組成三位數，其中大于130的共有（

）A．520個 B．631個 C．632個 D．647個【答案】B【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、實際問題中的組合計數問題【分析】分類討論百位數、十位數的數字，結合組合數、排列數運算求解即可.【詳解】（1）若百位數大于1，此時三位數均符合題意，共有個；（2）若百位數為1，則有：①若十位數大于3，此時三位數均符合題意，共有個；②若十位數為3，符合題意的三位數共有個；綜上所述：共有個.故選：B.3．（2324高三·全國·對口高考）甲廠生產的外殼有3種，顏色有4種．乙廠生產的形狀有4種，顏色有5種，且均與甲廠生產的不同．這兩廠生產的僅從外殼的形狀和顏色看，共有種．【答案】32【知識點】分類加法計數原理、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】根據分步與分類求法求解即可.【詳解】由題意，共種.故答案為：32題型二實際問題中的計數例題1：（2324高二下·江蘇南京·階段練習）某物流公司需要安排四個區域的快遞運送，公司現有甲、乙、丙三位快遞員可選派，要求每個區域只能有一個快遞員負責，每位快遞員至多負責兩個區域，則不同的安排方案共有（

）A．60種 B．54種 C．48種 D．36種【答案】B【知識點】實際問題中的計數問題、分組分配問題【分析】分選派2名快遞員和選派3名快遞員兩種情況討論.【詳解】第一：選派2名快遞員的時候：首先，快遞員的選法有種不同選法，其中一名快遞員從四個區域中選2個區域，有種選法，剩余快遞員的選法只有1種，所以不同安排方案有：種；第二：選派3名快遞員的時候：先從四個區域中選2個區域，有種選法，將其看做一個區域，現在3個區域安排給三個人有種方法，所以不同安排方案有：種.綜上，不同安排方案有：種.故選：B例題2：（2324高二下·江西·開學考試）小王同學家3樓與4樓之間有8個臺階，已知小王一步可走一個或兩個臺階，那么他從3樓到4樓不同的走法總數為（

）A．28種 B．32種 C．34種 D．40種【答案】C【知識點】實際問題中的計數問題【分析】分五種情況：8，7，6，5，4步走完樓梯，每一種情況的方法數都求出來再相加即可．【詳解】①8步走完樓梯，走8步走一個臺階，有1種；②7步走完樓梯，走1步兩個臺階6步一個臺階，有種；③6步走完樓梯，走2步兩個臺階4步一個臺階，有種；④5步走完樓梯，走3步兩個臺階2步一個臺階，有種；⑤4步走完樓梯，走4步兩個臺階，有1種，共計34種．故選：C．例題3：（多選）（2324高二下·江蘇常州·階段練習）現有4個小球和4個小盒子，下面的結論正確的是（

）A．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法B．若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有2個空盒的放法共有18種C．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有1個空盒的放法共有72種D．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，每個盒子一個小球，且小球的編號和盒子的編號全不相同的方法共有9種【答案】BD【知識點】實際問題中的組合計數問題、實際問題中的計數問題【分析】對于A：利用分步計數原理計算可得答案；對于B：利用分別分步原理，先選出兩個空盒，再放球，即可求解；對于C：分2步進行分析：①將4個小球分為3組，②在4個盒子中任選3個，放入三組小球，由分步計數原理計算即可判斷.對于D：直接列舉所有情況，即可判斷.【詳解】對于A：根據題意，4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，每個小球有4種放法，則4個小球有種不同的放法，A錯誤；對于B：因為恰有兩個空盒,則先選出兩個空盒；再放球有兩種放法：一個盒子放3個,另盒子放1個有種方法,或者兩個盒子都放兩個有1種放法,所以一共有(種)放法,故B正確;對于C：根據題意，分2步進行分析：①將4個小球分為3組，有種分組方法，②在4個盒子中任選3個，放入三組小球，有種情況，則有種不同的放法，故C錯誤.對于D：若編號為1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3,4的盒子,沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同,若(2,1,4,3)代表編號為1,2,3,4的盒子放入的小球編號分別為2,1,4,3,列出所有符合要求的情況:(2,1,4,3),(4,1,2,3)，（3,1,4,2),(2,4,1,3),(3,4,1,2),(4,3,1,2)，（2,3,4,1),(3,4,2,1),(4,3,2,1),共9(種)放法.故D正確.故選：BD鞏固訓練1．（2024·廣東·模擬預測）某人從上一層到二層需跨10級臺階，他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（

）種.A．10 B．9 C．8 D．12【答案】A【知識點】實際問題中的計數問題【分析】利用計數原理直接計算即可.【詳解】按題意要求，不難驗證這6步中不可能沒有三階步，也不可能有多于1個的三階步.因此，只能是1個三階步，2個二階步，3個一階步.為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來記錄從一層到二層跨越10級臺階的過程：白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步，每一過程可表為3個白球、2個黑球、1個紅球的一種同色球不相鄰的排列.下面分三種情形討論.（1）第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側，此時，共有4個黑白球之間的空位放置紅球，所以此種情況共有4種可能的不同排列；（2）第1球不是白球.（i）第1球為紅球，則余下5球只有一種可能的排列；（ii）若第1球為黑球，則余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，此種情形共有3種不同排列；（3）第6球不是白球，同（2），共有3種不同排列.總之，按題意要求從一層到二層共有種可能的不同過程.故選：A2．（2324高二下·江蘇蘇州·階段練習）甲組有男同學名，女同學名：乙組有名男同學、名女同學．若從甲、乙兩組中各選出名同學，則選出的人中恰有名女同學的不同選法共有（

）A．345種 B．225種 C．120種 D．690種【答案】A【知識點】實際問題中的計數問題、實際問題中的組合計數問題【分析】分選出的名女生來自甲組和來自乙組兩類計算，再求和即可求解.【詳解】恰有名女同學，這名女同學可能來自甲組也可能來自乙組，若甲組中選出名女同學有種；若乙組中選出名女同學有種；所以選出的人中恰有名女同學的不同選法共有種；故選：A.3．（2324高二下·江蘇鹽城·階段練習）已知一個袋內有4只不同的紅球，6只不同的白球．現從中一次任取5只球，取一只紅球記2分，取一只白球記1分.(1)求總分不小于7分的取法共有多少種？(2)若要抽出總分為8的5個球排成一排，且僅有2個紅球相鄰，共有多少種不同的排法？【答案】(1)；(2).【知識點】實際問題中的計數問題、不相鄰排列問題、相鄰問題的排列問題、實際問題中的組合計數問題【分析】（1）總分不小于7分的取法可分為三類，第一類取4個紅球1個白球，第二類取3個紅球2個白球，第三類取2個紅球3個白球，利用分步乘法計數原理求出各類的方法數，相加可得；（2）先確定5個球中紅球個數，再求5個球的所有全排列數及不滿足要求的排法數，結合（1）由分步乘法計數原理可得結論.【詳解】（1）總分不小于7分的取法可分為三類，第一類取4個紅球1個白球，滿足條件的取法有種，第二類取3個紅球2個白球，滿足條件的取法有種，第三類取2個紅球3個白球，滿足條件的取法有種，由分類加法計數原理可得總分不小于7分的取法共有種；（2）由已知若抽出的5個球的總分為8，則5個球種含3個紅球2個白球，事件3個紅球2個白球排成一排，僅有2個紅球相鄰的對立事件為3個紅球連排在一起或3個紅球任意兩個都不相鄰，又3個紅球2個白球排成一排的排法共有種，3個紅球連排在一起排法有種，3個紅球任意兩個都不相鄰的排法有種，所以僅有2個紅球相鄰的排法有種，又從袋中取3個紅球2個白球的取法數為種，由分步乘法計數原理可得滿足條件的排法有種.題型三代數（幾何）中的計數問題例題1：（2324高二下·江蘇宿遷·階段練習）完全展開后的項數是（

）A．7 B．9 C．12 D．18【答案】C【知識點】代數中的計數問題、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】由分步乘法計數原理計算即可.【詳解】由分步乘法計數原理得，完全展開后的項數為.故選：C例題2：（2425高二上·全國·課后作業）古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出形狀相同的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有個陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現代哲學中的矛盾對立統一規律．由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個頂點中任意取出4個構成四邊形，其中梯形的個數為．

【答案】24【知識點】幾何計數問題、null【分析】首先分情況，先確定兩個頂點，再確定其他頂點，即可求解.【詳解】梯形的上、下底平行且不相等，如圖，

若以AB為底邊，則可構成2個梯形，根據對稱性可知此類梯形有（個），若以AC為底邊，則可構成1個梯形，此類梯形共有（個），所以梯形的個數是（個）．故答案為：24例題3：（2024·全國·模擬預測）二維碼是一種由黑色和白色組成的雙色方格陣圖，規定如果一個的二維碼有對稱軸且繞其中心逆時針旋轉后能與自身重合，稱其為“轉轉碼”，則“轉轉碼”的個數為.（用數字作答）【答案】【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、幾何計數問題【分析】根據圖形的旋轉規律，結合分步計數原理即可求解.【詳解】由題意知，作出的正方形方格陣圖，如圖所示：因為“轉轉碼”有對稱軸且繞其中心逆時針旋轉后能與自身重合，則可知正方形、、和的黑色和白色方格數量相等且位置排列完全相同，且每個正方形關于其對角線、、和對稱，矩形、、和的黑色和白色方格數量相等且位置排列也完全相同，其中正方形逆時針旋轉后位置不變，只需該的二維碼中的正方形的個方格、矩形的3個方格及正方形方格，共計個方格，出現雙色方格，該二維碼即是“轉轉碼”，則該“轉轉碼”的個數有：種，故答案為：.鞏固訓練1．（2324高二下·廣東深圳·階段練習）若從1，2，3，…，9這9個整數中取出4個不同的數排成一排，依次記為a，b，c，d，則使得為偶數的不同排列方法有（

）A．1224種 B．1800種 C．984種 D．840種【答案】A【知識點】排列組合綜合、代數中的計數問題【分析】考慮為偶數和為奇數兩種情況，判斷的奇偶性，根據中偶數的個數計算得到答案.【詳解】當為偶數，則為偶數，有；當為奇數，則為奇數，四個數均為奇數，有.所以不同排列方共有1224種．故選：A2．（2324高二下·江蘇南京·階段練習）已知，，則不同的有序集合對有種.【答案】27【知識點】代數中的計數問題【分析】先根據條件將集合分類，列舉出滿足條件的集合.【詳解】AB、、、、、、、、、、、、、、、、、、、如上表，每一種集合可確定滿足條件的集合，不同的有序集合對有27種.故答案為：27.3．（2425高三上·上海·階段練習）在平面直角坐標系內，點的坐標滿足，且都是集合中的元素.又點到原點的距離，則這樣的點的個數為.【答案】【知識點】由距離求點的坐標、幾何計數問題【分析】根據已知有，結合的取值判斷滿足條件的點，即可得答案.【詳解】由題設，又都是集合中的元素，且，所以，滿足要求的點有、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，所以這樣的點有20個.故答案為：20題型四數字排列問題例題1：（2324高二下·江蘇徐州·期末）用數字組成沒有重復數字的四位數，其中偶數的個數為（

）A．48 B．60 C．96 D．120【答案】A【知識點】數字排列問題【分析】考查排列組合中的分步計數原理，先確定個位數字，再確定其他位數字即可.【詳解】第一步，個位為2或4，共兩種排法；第二步，千、百、十位有種排法.所以，共種排法.故選：A.例題2：（2324高二下·河南洛陽·期中）用0，1，2，3，4這五個數字組成沒有重復數字的三位數，其中奇數共有（

）A．48個 B．24個 C．18個 D．12個【答案】C【知識點】數字排列問題【分析】根據題意，依次分析三位數的個位、百位、十位數字的情況，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】根據題意，三位數的個位數字必須為1或3，有2種情況，百位數字不能為0，有3種情況，十位數字在剩下的3個數字任選1個，有3種情況，則共有種情況，即有18個符合題意的三位奇數．故選：C．例題3：（2324高二下·江蘇·課后作業）用0，1，2，3，4五個數字．(1)可以排成多少個三位數字的號碼？(2)可以排成多少個三位數？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？(4)可以組成多少個無重復數字的四位奇數？【答案】(1)125(2)100(3)30(4)36【知識點】數字排列問題【分析】（1）三位數字的號碼，數字可以重復，首位可以是0，由分步乘法計數原理計算即可；（2）排成三位數，首位不能為0，先排首位，再排其他位，由分步乘法計數原理計算即可；（3）排成能被2整除的無重復數字的三位數，分為2類，個位為0或者個位為2，4，再排其他位，根據分類加法和分步乘法計數原理計算即可；（4）先排個位，再排首位，最后排其他位，根據分步乘法計數原理計算即可．【詳解】（1）三位數字的號碼，首位可以是0，數字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有(個)．（2）三位數的首位不能為0，但可以有重復數字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有(個)．（3）被2整除的數即偶數，末位數字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數字是0，則有(種)排法；一類是末位數字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有(種)排法，因此有(種)排法，即可以排成30個能被2整除的無重復數字的三位數．（4）完成“組成無重復數字的四位奇數”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，從1，2，3，4中除去用過的一個，從剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內的3個數字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步計數原理知共有(個)．鞏固訓練1．（2324高二下·福建福州·期中）定義：“各位數字之和為6的四位數叫幸運數”，比如“1005，2013”，則所有“幸運數”的個數為（

）A．20 B．56 C．84 D．120【答案】B【知識點】分類加法計數原理、數字排列問題【分析】根據定義分類討論首位數字,再應用計數原理計算即可.【詳解】“各位數字之和為6的四位數叫幸運數”，故首位最大為6，且首位不為0，則有：若首位為6，則剩余三位均為0，共有1個“幸運數”；若首位為5，則剩余三位為，共有個“幸運數”；若首位為4，則剩余三位為或，共有個“幸運數”；若首位為3，則剩余三位為或或，共有個“幸運數”；若首位為2，則剩余三位為或或或，共有個“幸運數”；若首位為1，則剩余三位為或或或或，共有個“幸運數”；綜上所述：共有個“幸運數”.故選：B.2．（2324高二下·天津南開·期中）用這個數字，可以組成個沒有重復數字的三位偶數（

）A．720 B．648 C．320 D．328【答案】D【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、數字排列問題【分析】按個位數字為和不為分類討論，利用分步計數原理即可求得沒有重復數字的三位偶數的個數.【詳解】若個位數字為，十位和百位的排法種數為；若個位數字不為，則確定個位數字有種方法，確定百位數字有種方法，確定十位數字有種方法，所以排法種數為.所以可以組成個沒有重復數字的三位偶數.故選：D3．（2024·全國·模擬預測）由數字組成沒有重復數字的三位數，則能被5整除的三位數共有個.【答案】【知識點】數字排列問題、分類加法計數原理【分析】能被整除的三位數末位數字是或，分成末位數字是5和末位數字是0兩種情況討論.【詳解】能被整除的三位數說明末尾數字是或當末尾數字是時，百位數字除了有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據分步乘法原理一共有種方法；當末尾數字是時，百位數字有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據分步乘法原理一共有種方法；則一共有種故答案為：題型五涂色問題例題1：（2324高二下·江蘇連云港·階段練習）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有（

）種．A．480 B．600 C．360 D．750【答案】D【知識點】涂色問題、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】由分步乘法計數原理即可得解.【詳解】首先給最左邊的一個格子涂色，有6種選擇，左邊第二個格子有5種選擇，第三個格子有5種選擇，第四個格子也有5種選擇，根據分步計數原理得，共有（種）涂色方法．故選：D.例題2：（2324高二下·江蘇南京·期中）如圖，用4種不同的顏色給圖中四塊區域涂色，若相鄰的區域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】涂色問題【分析】根據區域同色和不同色分類討論即可得.【詳解】區域同色的方法數為區域不同色的方法數為，總的方法數為．故選：C．例題3：（2324高二下·江蘇徐州·期中）如圖是一個由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形，現在用四種顏色給這四個直角三角形和一個小正方形區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方法有種.

【答案】【知識點】排列組合綜合、涂色問題【分析】把5個區域，分為①②③④⑤，分①③或②④中，恰有一個處同色和①與③同色，且②與④同色時，結合分類計數原理，即可求解.【詳解】如圖所示，把5個區域，分為①②③④⑤，當①③或②④中，恰有一個處同色時，此時用4中顏色涂色，共有種涂法；當①與③同色，且②與④同色時，此時用你3中顏色涂色，共有種涂法，由分類計數原理，可得共有中不同的涂色方法.故答案為：.

鞏固訓練1．（2324高二下·江蘇鹽城·期中）用4種不同的顏色給如圖所示的4塊區域上色，要求相鄰2塊涂不同的顏色，問有（

）種不同的涂法？A．24 B．48 C．96 D．120【答案】B【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、涂色問題【分析】首先涂，再涂，第三步涂，最后涂，按照分步乘法計數原理計算可得.【詳解】首先給涂色有種涂法，再涂有種涂法，第三步涂有種涂法，最后涂有種涂法，按照分步乘法計數原理可知一共有種涂法.故選：B2．（2324高二下·江蘇宿遷·期末）如圖，用四種不同顏色給圖中的五個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色．則不同的涂色方法共有種．【答案】72【知識點】實際問題中的組合計數問題、涂色問題【分析】由圖形可知點比較特殊，所以按照分類分步計數原理從點開始涂色計算可得結果.【詳解】根據題意按照的順序分5步進行涂色，第一步，點的涂色有種，第二步，點的顏色與不同，其涂色有種，第三步，點的顏色與都不同，其涂色有種，第四步，對點涂色，當同色時，點有1種選擇；當不同色時，點有1種選擇；第五步，對點涂色，當同色時，點有2種選擇；當不同色時，點有1種選擇；根據分類分步計數原理可得，不同的涂色方法共有種.故答案為：723．（2324高二下·江蘇·課前預習）用6種不同顏色的粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區域不能用同一種顏色的粉筆，則該板報共有多少種不同的書寫方案？【答案】600【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、涂色問題【分析】根據分步計數原理將問題分成四步，分別求得每一步的選法進行相乘可得結果.【詳解】完成這件事可分四步：第一步，“英語角”用的粉筆顏色有6種不同的選法；第二步，“語文學苑”用的粉筆顏色不能與“英語角”用的粉筆顏色相同，有5種不同的選法；第三步，“理綜世界”用的粉筆顏色與“英語角”和“語文學苑”用的粉筆顏色都不相同，有4種不同的選法；第四步，“數學天地”用的粉筆顏色只要與“理綜世界”用的粉筆顏色不同即可，有5種不同的選法.由分步計數原理知，該板報共有6×5×4×5＝600（種）不同的書寫方案.題型六元素位置有限制的排列問題例題1：（2425高二上·江蘇常州·期末）某班一天上午有4節課，下午有2節課，現要安排該班一天中語文、數學、英語、體育、藝術、通技各一節課的課表，要求數學課排在上午，體育課排在下午，不同的排法種數是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、元素（位置）有限制的排列問題【分析】先排數學、體育，再排其余4節，利用乘法原理即可得到結果．【詳解】由題意，要求數學課排在上午，體育課排在下午，有種排法，再排其余4節，有種排法，根據乘法原理，共有種排法，故選：B．例題2：（2324高二下·江蘇南京·期末）即將暑假，小明一家5人計劃開車回趟老家，車子前排有駕駛座和副駕駛座，后排有3個座位．家人中只有小明和哥哥不會開車，且小明未成年只能坐在后排，則一共有種不同的乘坐方式．【答案】54【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】考慮利用分布乘法計數原理的應用，結合“特殊元素（特殊位置）優先法”解決問題.【詳解】第一步：考慮小明只能坐在后排，所以小明的坐法有：種；第二步：考慮駕駛座的坐法，只能從3人中選1人，有：種；第三步：其他3人，還有3個位置，坐法有：種.根據分步乘法計數原理，一共有：種不同的乘坐方式.故答案為：54例題3：（2324高二下·江蘇南京·期中）晚會上共有7個節目，其中有4個不同的歌唱節目，2個不同的舞蹈節目和1個相聲節目，分別按以下要求各可以排出多少種不同的節目單.(1)2個舞蹈節目不相鄰；(2)前3個節目中既要有歌唱節目又要有舞蹈節目.【答案】(1)3600(2)3456【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、不相鄰排列問題、分類加法計數原理、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】（1）利用插空法，先排非舞蹈節目，然后將2個舞蹈節目插到6個空中，再利用分步乘法原理可求得結果；（2）前3個節目共三種情況：一種為1個歌唱節目，2個舞蹈節目，另外一種為2個歌唱節目，1個舞蹈節目，最后一種為歌唱節目，舞蹈節目、相聲節目各1個，再利用分類加法原理求解.【詳解】（1）先排非舞蹈節目，有種排法，將2個舞蹈節目插到6個空中，有種排法，故由分步乘法原理可知共有種排法.（2）前3個節目共三種情況：一種為1個歌唱節目，2個舞蹈節目，有種排法，另外一種為2個歌唱節目，1個舞蹈節目，有種排法，最后一種為歌唱節目，舞蹈節目、相聲節目各1個，有種排法，故由分類加法原理可知共有種排法.鞏固訓練1．（2425高一上·江蘇南京·自主招生）從1，2，3，…，29，30，中選三個不同的數，，，且滿足的數組的對數為（

）A．120 B．210 C．420 D．105【答案】C【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、分類加法計數原理【分析】由，知，必須同奇偶，結合排列問題和分類加法計數原理計算即可求解.【詳解】由，知，必須同奇或同偶，若，都為奇數，則有種選法；若，都為偶數，則有種選法；由分類加法計數原理知，滿足題意的數對共有種.故選：C.2．（2324高二下·江蘇南通·期中）學校要安排一場文藝晚會的8個節目的演出順序，學生的節目有6個，教師的節目有2個，如果教師的節目既不排在第一個，也不排在最后一個，那么不同的排法數為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】先排兩個學生節目在最前最后，在中間六個位置排剩下節目即可.【詳解】先排兩個學生節目在最前最后位置，然后排在中間六個位置排剩下節目，運用分步乘法原理，總排法數為.故選：C．3．（2324高二下·江蘇南通·期末）電視臺有6個不同的節目準備當天播出，每半天播出3個節目，其中某電視劇和某專題報道必須在上午播出，則不同播出方案的種數為（

）A．24 B．36 C．72 D．144【答案】D【知識點】全排列問題、元素（位置）有限制的排列問題、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】先把某電視劇和某專題報道排在上午，再結合全排列計算即可.【詳解】因為某電視劇和某專題報道必須在上午播出，所以種排法,其他4個節目有種排法，所以不同播出方案的種數為.故選：D.題型七相鄰（不相鄰）問題例題1：（2324高二下·江蘇南通·階段練習）某電視臺計劃在五一期間某段時間連續播放5個廣告，其中2個不同的商業廣告和3個不同的公益廣告，要求第一個必須是公益廣告，且商業廣告不能連續播放，則不同的播放方式有（

）種.A．144 B．72 C．64 D．36【答案】D【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、不相鄰排列問題【分析】先安排3個不同的公益廣告，再用插入法排2個不同的商業廣告即可求總的方法數.【詳解】先排3個不同的公益廣告有，每兩個公益廣告之間及最后一個位置可播放2個不同的商業廣告有種方法，由分步計數原理共有種方法.故選：D.例題2：（多選）（2324高二下·江蘇宿遷·期中）在青華中學舉行的課本劇大賽中，高二（16）班有3名男生，2名女生獲得一等獎.現將獲得一等獎的學生排成一排合影，則（

）A．3名男生排在一起，有36種不同排法 B．2名女生不排在一起，有72種不同排法C．3名男生均不相鄰，有12種不同排法 D．女生不站在兩端，有108種不同排法【答案】ABC【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題、排列數的計算【分析】結合排列數的方法依次求解．【詳解】對于A項，先讓3名男生全排后再作為一個整體和2名女生做一個全排，共有種，故A項正確；對于B項，先讓3名男生全排后，形成4個空位讓2名女生排入，共有種，故B項正確；對于C項，先讓2名女生全排后，形成3個空位讓3名男生排入，共有種，故C項正確；對于D項，先從三個男生種選出2人放在兩端，再將剩下3人進行全排后放中間，共有，故D項錯誤，故選：ABC例題3：（2324高二下·江蘇徐州·期中）有8名同學站成一排照相，符合下列各題要求的不同排法共有多少種（用數字作答）？(1)甲同學既不站在排頭也不站在排尾；(2)甲?乙?丙三位同學兩兩不相鄰；(3)甲?乙兩同學相鄰，且丙?丁兩同學也相鄰；(4)甲?乙兩同學不相鄰，且乙?丙兩同學也不相鄰.【答案】(1)30240；(2)14400；(3)2880；(4)21600.【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題、元素（位置）有限制的排列問題【分析】（1）利用特殊元素優先原則，利用排列列式計算即得.（2）利用插空法求解不相鄰問題.（3）利用捆綁法求解相鄰問題.（4）利用排除法列式計算即得.【詳解】（1）中間6個位置取1個讓甲站，余下7個位置讓另7個人站，所以不同排法種數是.（2）排除甲?乙?丙三位同學的5名同學，再在每一種排法的6個間隙中插入甲?乙?丙，所以不同排法種數是.（3）分別視甲乙、丙丁為一個整體，與其余4名同學作全排列，再分別對甲乙、丙丁作排列，所以不同排法種數是.（4）求出8個人的全排列，去掉甲乙相鄰、乙丙相鄰的排列法，再補上乙在甲丙中間的3人相鄰的排列，所以不同排法種數是.鞏固訓練1．（多選）（2324高二下·江蘇南京·階段練習）2023年國外某智庫發布尖端技術研究國家競爭力排名，在極超音速和水下無人機等23個領域中，中國在其中19個領域領先.某科技博主從這19個領域中選取了六個領域，準備在2024年1月1—6日對公眾進行介紹，每天隨機介紹其中一個領域，且每個領域只在其中一天介紹，則（

）A．與相鄰，共有240種排法B．相隔一天介紹的方法種數為96C．若與不相鄰，共有480種排法D．若在的前面，共有360種排法【答案】ACD【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題、其他排列模型【分析】相鄰捆綁法可判斷A，特殊情況優先考慮，先安排，再排列，可判斷，不相鄰插空法可判斷，定序問題用除法可判斷.【詳解】對于A，與相鄰，用捆綁法，共有種排法，故A正確；對于，相隔一天介紹的方法種數為，故錯誤；對于，若與不相鄰，用插空法，共有種排法，故正確；對于，若在的前面，屬于定序問題，共有種排法，故正確；故選：2．（2324高二下·江蘇無錫·階段練習）五種不同商品在貨架上排成一排，其中A，B兩種必須連排，而C，D兩種不能連排，則不同的排法共有種．【答案】【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】根據捆綁和插入法，結合分步計數原理即可求解.【詳解】由題意，設五種商品編號分別為，其中A，B兩種必須連排，C，D兩種不能連排，將A，B兩種看作一種商品與進行排列，共有（種），共形成個空，選擇個空，將C，D插入，共有（種），則不同的排法共有：（種）,故答案為:3．（2024·江蘇南通·模擬預測）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法有種．【答案】36【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】根據分步計數原理，結合相鄰問題和不相鄰問題的方法即可求出．【詳解】根據題意，設5人為甲乙丙丁戊，①，將乙丙看成一個整體，考慮2人之間的順序，有種情況，②，將這個整體與丁戊全排列，有種安排方法，③，排好后，有4個空位，由于甲乙安排在不相鄰的兩天，則只能從3個空中任選1個，安排甲，有種安排方法，不同的安排方案共有種；故答案為：題型八間接法例題1：（2025·貴州安順·模擬預測）甲，乙兩名大學生計劃今年寒假分別從黃果樹風景名勝區、龍宮景區、天龍屯堡景區、安順古城四個不同的景區中隨機選兩個景區前往旅游打卡，則這兩人恰好有一個景區相同的選法共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】C【知識點】實際問題中的計數問題、實際問題中的組合計數問題【分析】利用組合數和計數原理，用間接法求解即得.【詳解】由題意得甲選擇兩個景區的選法有種，乙選擇兩個景區的選法有種，故總選法有種，兩人選擇景區完全相同的選法有種，兩人選擇景區完全不相同的選法有種，故兩人恰好有一個景區相同的選法共有種，故C正確.故選：C.例題2：（2425高三上·山東日照·期末）從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔任班長、團支書、學習委員，則甲、乙至多有人被選中的不同選法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【知識點】全排列問題、實際問題中的組合計數問題【分析】利用間接法即可得解.【詳解】從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔任班長、團支書、學習委員，不同的選法種數為種，若甲、乙兩人都被選中，則不同的選法種數為種，因此，甲、乙至多有人被選中的不同選法有種.故選：C.例題3：（多選）（2425高二上·河南駐馬店·期末）甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項活動后合影留念，則（

）A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法C．5人站成一排，甲不在兩端，共有144種排法D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法【答案】BD【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題【分析】對A：根據分步計數原理：先排前排，再排后排；對B：甲、乙看作一個元素排列即可；對C：根據分步計數原理：先排兩端，再排中間；對D：利用間接法：先將5人排隊，再排除不符合題意的情況.【詳解】對A：甲、乙、丙站前排，有種排法，丁、戌站后排，有種排法，共有種排法，故A錯誤；對B：甲、乙看作一個元素，則5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有種排法，故B正確；對C：5人站成一排，甲不在兩端，共有種排法，故C錯誤；對D：5人站成一排，有種排法，則甲在最左端，乙不在最右端，共有種排法；甲不在最左端，乙在最右端，共有種排法；甲在最左端，乙在最右端，共有種排法；則甲不在最左端，乙不在最右端，共有種排法，故D正確.故選：BD.鞏固訓練1．（2425高三上·江西·期末）小明、小紅等5人報名學校的三類選修課(球類、武術類、田徑類)，規定每個人只能報其中的一類選修課，且每類選修課至少一人報名，則小明和小紅不報同一類選修課的情況有（

）A．132種 B．114種 C．96種 D．84種【答案】B【知識點】分組分配問題、實際問題中的計數問題、不相鄰排列問題【分析】法一：按3:1:1分組、2:2:1分組報名，應用排列組合、間接法求小明和小紅不報同一類選修課的情況數；法二：按3:1:1分組、2:2:1分組報名分別求出小明和小紅不報同一類選修課的情況數，即可結果.【詳解】法一：總的情況有種，若小明和小紅報同一類選修課有種，故小明和小紅不報同一類選修課的情況有種.法二：若按照3:1:1報名，則小明和小紅不報同一類選修課的情況有種，若按照2:2:1報名，則小明和小紅不報同一類選修課的情況有種，故小明和小紅不報同一類選修課的情況有種.故選：B2．（2425高二上·河南駐馬店·階段練習）某中學高二年級入學進行了一場為期一周的軍訓，在軍訓過程中，教官根據班級表現從各個維度進行評分，最終評出“先進集體”“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班級”四個獎項．已知總共有三個班級獲獎，其中有兩個班級均獲得了“先進集體”，剩余三個獎項每個獎項均只有一個班級獲得，則所有的頒獎方式有（

）A．57種 B．60種 C．114種 D．120種【答案】A【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、實際問題中的組合計數問題【分析】利用間接法，結合分步乘法計數原理可得解.【詳解】設獲獎的三個班級分別為，，，首先分配“先進集體”獎，有（種）可能；繼續分配“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班級”這三個獎項，每個獎項分別有，，三種可能，于是有（種）可能，相乘一共有（種）可能，其中一個班級一個獎項都不獲得，也就是分配“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班級”這三個獎項時均分配到兩個獲得“先進集體”獎的班級，共有（種）可能；兩者相減得所有的頒獎方式有（種）．故選：A．3．（2324高三上·四川內江·階段練習）根據學校要求，錯峰放學去食堂吃飯，高三年級五樓有4個班排隊，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，則四個班排隊吃飯的不同方案有種.（用數字作答）【答案】【知識點】元素（位置）有限制的排列問題【分析】根據題意，由間接法代入計算，即可得到結果.【詳解】總方案有種，1班排在最后有種方案，4班排在第一位有種方案，1班排在最后且4班排在第一位有種方案，則滿足要求的方案有種.故答案為：題型九幾何中的組合問題例題1：（2324高二下·四川眉山·期末）一個直四棱柱的底面為梯形，這個四棱柱的每兩個頂點相連形成多條直線，這些直線最多能組成（

）對異面直線A．174 B．180 C．210 D．368【答案】B【知識點】幾何組合計數問題、棱柱的結構特征和分類、棱錐的結構特征和分類、異面直線的概念及辨析【分析】分析底面是梯形的直四棱柱中，任取4個頂點能構成四面體的最多個數，再利用一個四面體有3對異面直線，列式計算即得.【詳解】每對異面直線，需4個頂點并且這4個頂點不共面，而不共面的4個點順次連接構造一個四面體，一個四面體的3組相對棱都是異面直線，底面是梯形的直四棱柱有8個頂點，從8個頂點中任取4個有種方法，其中6個表面四邊形4個頂點共面，對角面都是平面四邊形，4個頂點共面，因此從底面是梯形的直四棱柱的8個頂點中任取4個頂點，構成四面體的個數最多有，所以最多能組成異面直線對數是.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題求出異面直線對數的關鍵是求出最多的四面體個數.例題2：（2324高三下·江蘇泰州·階段練習）將“用一條線段聯結兩個點”稱為一次操作，把操作得到的線段稱為“邊”．若單位圓上個顏色不相同且位置固定的點經過次操作后，從任意一點出發，沿著邊可以到達其他任意點，就稱這n個點和k條邊所構成的圖形滿足“條件”，并將所有滿足“條件”的圖形個數記為，則．【答案】125【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、幾何組合計數問題【分析】利用新定義，結合排列組合，分情況討論即可.【詳解】，即，.如圖，在單位圓上有5個顏色不同的點，由4條邊連接起來，每條邊有2個端點，所以4條邊一共有8個端點，又由于從任意一點出發，沿著可邊可以達到任意一點，所以每一點必定會作邊，至少一條邊的端點.所以可能出現的情形有三種情形，按照5個點可能同時做邊幾條邊的公共端點來分情況討論.情形1：有3個點是2條邊的端點，另2個點是1條邊的端點，有種；情形2：有1個點是3條邊的端點，有1個點是2條邊的端點，另3個點是1條邊的端點，有種；情形3：有1個點是4條邊的端點，另4個點是1條邊的端點，共有種；綜上：.故答案為：125【點睛】方法點睛：對于特殊類型的排列問題，注意根據問題的特征將其轉化等價的排列問題，而后者容易計數.例題3：（2324高二下·江蘇淮安·階段練習）平面上有9個點，其中有4個點共線，除此外無3點共線．(1)這9個點，可確定多少條不同的直線？(2)以這9個點中的3個點為頂點，可以確定多少個三角形？(3)以這9個點中的4個點為頂點，可以確定多少個四邊形？【答案】(1)31(2)80(3)105【知識點】幾何組合計數問題【分析】（1）方法一：采用直接法，分三類討論；方法二：采用間接法，算出所有取點情況，再排除不符合題意的情況；（2）方法一：采用直接法，分三類討論；方法二：采用間接法，算出所有取點情況，再排除不符合題意的情況；（3）方法一：采用直接法，分三類討論；方法二：采用間接法，算出所有取點情況，再排除不符合題意的情況；【詳解】（1）方法一（直接法）共線的4點記為A，B，C，D.第一類：A，B，C，D確定1條直線第二類：A，B，C，D以外的5個點可確定條直線；第三類：從A，B，C，D中任取1點，其余5點中任取1點可確定條直線．根據分類計數原理，共有不同直線（條）．方法二（間接法）9個點取2個點共有種，4個共線點取2個共有種，以上均表示同一條直線，則可確定多少條不同的直線為（條）．（2）方法一（直接法）第一類：從A，B，C，D中取2個點，可得個三角形；第二類：從A，B，C，D中取1個點，可得個三角形；第三類：從其余5個點中任取3點，可得個三角形．共有（個）三角形方法二（間接法）9個點取3個點共有種，其中不能構成三角形的則是在4個共線點取3個共有種，可確定三角形（個）．（3）方法一（直接法）分三類：從其余不共線的5個點中任取4個，3個，2個點共得（個）四邊形．方法二（間接法）9個點取4個點共有種，其中不構成四邊形的分為兩類：第一類：4個點共線則有種，第二類其中3點來自于共線的4點，第4點來自于其余的5個點，則共有種，可確定四邊形（個）．鞏固訓練1．（2024·福建·模擬預測）正八面體中，以其頂點為頂點的三棱錐的個數為（用數字作答）．【答案】12【知識點】幾何組合計數問題【分析】根據給定條件，利用幾何圖形的組合計數問題，結合排除法列式計算即得.【詳解】作出正八面體，如圖，正八面體共有6個頂點，其中有3組不同的四點共面，則以正八面體頂點為頂點的三棱錐的個數為.故答案為：122．（2324高二下·河南洛陽·期中）已知正四棱錐，從底面四個頂點A，B，C，D和四條側棱的中點共8個點中任選4個作為三棱錐的頂點，可得三棱錐個.（用數字作答）【答案】58【知識點】幾何組合計數問題【分析】根據三棱錐的性質，結合三角形中位線定理、確定平面的條件、組合的定義進行求解即可.【詳解】如圖所示：在正四棱錐中，分別是側棱的中點，于是有，而是正方形，所以有，因此有，因為一對平行線確定唯一的一個平面，當時，此時一共確定平面的個數為，當時，此時一共確定平面的個數為，當時，可以確定2個平面，其中平面均被計算了兩次，所以共四點共面的情況共有個，一共8個點，任取四個點，一共有種情形，所以可得三棱錐個，故答案為：

3．（2425高三·上海·隨堂練習）連結正三棱柱的6個頂點，可以組成個四面體．【答案】12【知識點】棱柱的結構特征和分類、幾何組合計數問題【分析】求出4個點共面的情況有3種情況，利用正難則反進行求解.【詳解】正三棱柱共有6個頂點，從中任取4個，有種，其中4個點共面的情況有3種情況，分別為三個側面，故可以組成個四面體．故答案為：12題型十分組分配問題例題1：（2324高二下·福建福州·階段練習）正值元宵佳節，赤峰市“盛世中華?龍舞紅山”紀念紅山文化命名七十周年大型新春祈福活動中，有5名大學生將前往3處場地開展志愿服務工作.若要求每處場地都要有志愿者，每名志愿者都必須參加且只能去一處場地，則當甲去場地時，場地有且只有1名志愿者的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】分組分配問題、計算古典概型問題的概率、元素（位置）有限制的排列問題、實際問題中的組合計數問題【分析】將其他四人分組為、、三種情況，求出甲去場地的所有安排，再求出場地有且只有1名志愿者的安排方法數，即可求概率.【詳解】其它四人分成三組，有種，再把三組安排到場地，有種，其它四人分成兩組，有種，再把兩組安排到場地，有種，其它四人分成兩組，有種，再把兩組安排到場地，有2種，所以甲去場地時共有種安排方法，場地有且只有1名志愿者，分成三組有種，分成兩組有種，分成兩組有0種，所以甲去場地時，場地有且只有1名志愿者共有種安排方法，所求概率為.故選：C例題2：（2025·甘肅白銀·模擬預測）某高校有8名研究生要去小興安嶺采集植物樣本，其中男生6人，女生2人，將這8人分成兩組，若要求每組至少2人，且兩名女生不單獨成組，則不同的分組方案共有（

）A．240種 B．158種 C．126種 D．118種【答案】D【知識點】分組分配問題【分析】由題意，分組方案有4，4和3，5及2，6三種情況，利用組合計算每種情況，即可求解.【詳解】根據題意，分3種情況討論：①分為4，4的兩組時，不會出現兩名女生單獨成組情況，有種分組方法；②分為3，5的兩組時，有種分組方法；③分為2，6的兩組時，有種分組方法，其中有1種兩名女生單獨成組情況，則有27種符合條件的分組方法，故共有種分組方法.故選：D例題3：（2425高三上·黑龍江大慶·期中）有5項不同的任務安排給甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一項且每項任務只安排一人完成，則分配給甲的任務不超過兩項的安排方法有（

）A．260種 B．220種 C．160種 D．130種【答案】D【知識點】分組分配問題【分析】根據題意，分甲只安排一項任務與甲只安排兩項任務討論，結合排列數與組合數代入計算，即可得到結果.【詳解】若甲只安排一項任務，則有種；若甲只安排兩項任務，則有種；故分配給甲的任務不超過兩項的安排方法共有130種．故選：D例題4：（2425高三上·內蒙古通遼·期末）為深入貫徹黨的二十大精神，我市邀請、、、、五位黨的二十大代表分別到一中、五中、鐵中、蒙中做宣講工作，每個學校至少一人參加.若其中、因只會漢語不能到蒙中宣講，其余三人蒙漢兼通，可選派到任何學校宣講.則不同的選派方案共有種.【答案】126【知識點】分組分配問題、分類加法計數原理【分析】先考慮人員分配到學校的不同組合情況，再針對每種情況計算其具體的選派方法數，最后相加即可.【詳解】根據題意可分為2種情況討論：（1）從、、三人中選1人去蒙中，有種選法，剩下4人安排到其余三所學校，即4人分成2,1,1三組，有種分法，然后將這三組全排列安排這三所學校有種排法，根據分步原理，這種情況的選派方案有種；（2）從、、三人中選2人去蒙中，有種選法，剩下3人安排到其余三所學校，有種排法，根據分步原理，這種情況的選派方案有種；綜上可得，共有種不同的選法.故答案為：126.鞏固訓練1．（2425高三下·山東聊城·開學考試）寒假期間某校6名同學打算去安徽旅游，體驗皖北與皖南當地的風俗與文化，現有黃山、宏村、八里河三個景區可供選擇，若每個景區中至少有1名同學前往打卡，則不同方案的種數為（

）A．180 B．360 C．450 D．540【答案】D【知識點】分組分配問題、分類加法計數原理【分析】分類考慮前往每個景區的人數，求出每種情況的方案數，即可得答案.【詳解】由題意，當每個景區都有2名同學前往時，此時方案有種；當按分別有1，2，3名同學前往景區時，此時方案有種；當按分別有1，1，4名同學前往景區時，此時方案有種；故不同方案的種數為（種），故選：D2．（2425高二上·江西贛州·期末）2024年是紅軍長征出發九十周年，習近平總書記考察江西于都五周年，為弘揚紅色文化、促進健康生活方式，江西省體育局、贛州市人民政府共同舉辦了一場2024于都紅色半程馬拉松比賽．某單位6名志愿者準備分成三組前往比賽途徑的中央紅軍長征出發地紀念碑、金山大道、于都體育中心這三個站點進行志愿者活動，要求每組至少有1名且最多有3名志愿者，則不同安排的方法數為（

）A．540 B．450 C．360 D．180【答案】B【知識點】分組分配問題【分析】根據給定條件，將6名志愿者按和分成3組，再安排三個站點即可.【詳解】將6名志愿者按和分成3組，不同分組方法種數為，再將每一種分法的3組安排到三個站點有種，則不同安排的方法數為（種）.故選：B.3．（遼寧省丹東市20242025學年高二上學期期末數學試題）將甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三個地區參加公益活動，要求每個地區都要有志愿者且最多不超過2人，則不同的分配方案有（

）A．90種 B．180種 C．60種 D．120種【答案】A【知識點】分組分配問題【分析】先將5名志愿者按要求分成三組，再將分得的三組分配到A，B，C三個地區，按分組分配方法計算即可得解.【詳解】由題先將5名志愿者分成三組有種分法，再將分得的三組分配到A，B，C三個地區參加公益活動有種分法，所以所求的不同的分配方案有種.故選：A.4．（2425高三上·河北邢臺·期末）運動會期間，將甲、乙等5名志愿者安排到，，三個場地參加志愿服務，每名志愿者只能安排去一個場地，每個場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法種數為（

）A．72 B．96 C．114 D．124【答案】C【知識點】分組分配問題、排列組合綜合【分析】根據題意，先將5人分為三組并分配到各個場地，再計算得出甲乙不在同一個場地的情況即可求解.【詳解】將5名志愿者分為1，2，2，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法有種.將5名志愿者分為1，1，3，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法有種.故不同的安排方法共有種.故答案為：C.題型十一隔板法例題1：（2425高三上·陜西西安·期末）《九章算術》是我國古代數學名著之一，其中記載了關于粟米分配的問題．現將14斗粟米分給4個人，每人分到的粟米斗數均為整數，每人至少分到1斗粟米，則不同的分配方法有（

）A．715種 B．572種 C．312種 D．286種【答案】D【知識點】實際問題中的組合計數問題【分析】本題以《九章算術》中的粟米為背景，考查排列組合的應用，考查化歸與轉化的數學思想和應用意識．【詳解】本題可轉化為將14個大小相同，質地均勻的小球分給甲，乙，丙，丁4個人，每人至少分1個，利用隔板法在中間13個空隙（兩端除外）當中插入3個隔板，可得分配的方案數為，所以不同的分配方法有286種．故選：D.例題2：（2024·湖北·模擬預測）不等式，其中是非負整數，則使不等式成立的三元數組有多少組（

）A．560 B．455 C．91 D．55【答案】B【知識點】代數中的組合計數問題【分析】在都加上1，把問題轉化成方程有正整數解的問題解決.【詳解】設，，，則不等式有多少組非負整數解的問題，轉化為：的正整數解的組數.因為方程：的解的組數為：；的解的組數為：；…的解的組數為：.所以原不等式解的組數為：.故選：B【點睛】結論點睛：方程（且）正整數解的組數為.例題3：（2425高三上·內蒙古赤峰·階段練習）2024年9月1日出版的第17期《求是》雜志發表了中共中央總書記、國家主席、中央軍委主席習近平的重要文章《培養德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人》·某校積極響應總書記的指示，創造性提升學生勞動意識和社會實踐能力，利用周末進社區義務勞動.高三年級共有6個班，其中只有1班有2個勞動模范，本次義務勞動一共20個名額，勞動模范必須參加并不占名額，每個班都必須有人參加.給出以下四個命題：①若1班不再分配名額，則共有種分配方法；②若1班有除勞動模范之外的學生參加，則共有種分配方法；③若每個班至少3人參加，則共有90種分配方法；④若每個班至少3人參加，則共有126種分配方法.其中正確命題的序號是.【答案】②④【知識點】實際問題中的組合計數問題【分析】根據題意，由隔板法，對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】對于①，若1班不再分配名額，即將20個名額分配到5個班級，每個班級都必須有人參加，可以將20個名額看成20個小球，排成一排，中間有19個空位，在其中任選4個，放置4個隔板，有種分配方法，故①錯誤；對于②，若1班有除勞動模范之外的學生參加，即將20個名額分配到6個班級，每個班級都必須有人參加，可以將20個名額看成20個小球，排成一排，中間有19個空位，在其中任選5個，放置5個隔板，有種分配方法，故②正確；對于③④，若每個班至少3人參加，可以將每個班的2個名額收回，即將10個名額分配到6個班級，每個班級都必須有人參加，可以將10個名額看成10個小球，排成一排，中間有9個空位，在其中任選5個，安排5個擋板，有種分配方法，故③錯誤，④正確；故答案為：②④鞏固訓練1．（2324高二下·河南漯河·階段練習）某學校利用周末時間組織學生進行志愿者服務，高二年級共6個班，其中（1）班有2個志愿者隊長，本次志愿者服務一共20個名額，志愿者隊長必須參加且不占名額，若每個班至少有3人參加，則共有（

）種分配方法.A．90 B．60 C．126 D．120【答案】C【知識點】分組分配問題【分析】將問題轉化為將10個名額分配到6個班級，每個班級至少1個名額，進而結合隔板法求解即可得到.【詳解】若每個班至少3人參加，由于（1）班有2個志愿者隊長，故只需先滿足每個班級有2個名額，還剩10個名額，再將10個名額分配到6個班級，每個班級至少1個名額，故只需在10個名額中的9個空上放置5個隔板即可，有種分配方法.故選：C.2．（2425高三上·江蘇南通·階段練習）把8個相同的籃球分發給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發種數為（

）A．70 B．99 C．110 D．165【答案】D【知識點】分組分配問題【分析】相同元素的分配問題用“隔板法”即可.【詳解】當8個相同的藍球只分給其中1人時，有4種分法；當8個相同的藍球分給其中的2人時，先從4人里面選出2人，再將8個相同的藍球排成一排，形成的7個空里面選出1個空插入1個“隔板”即可，此時有種分法；當8個相同的藍球分給其中的3人時，先從4人里面選出3人，再將8個相同的藍球排成一排，形成的7個空里面選出2個空插入2個“隔板”即可，此時有種分法；當8個相同的藍球分給其中的4人時，每人至少一個，此時將8個相同的藍球排成一排，形成的7個空里面選出3個空插入3個“隔板”即可，此時有種分法；因此把8個相同的藍球分發給甲、乙、丙、丁4人時，不同的分發種數有：故選：D.3．（2324高二下·山西臨汾·期中）將10個詩歌朗誦比賽名額全部分給6個不同的班，每個班至少有1個名額，則不同的分配方案種數為（

）A．56 B．126 C．210 D．462【答案】B【知識點】分組分配問題【分析】根據題意，結合“隔板法”，即可求解.【詳解】將10個詩歌朗誦比賽名額全部分給6個不同的班，每個班至少有1個名額的分法，類比于用5個隔板插入10個小球中間的空隙中，將球分成6堆，由于10個小球中間共有9個空隙，因此共有種不同的分法.故選：B題型十二系數與二項式系數例題1：（2425高三上·江蘇無錫·期末）在二項式的展開式中二項式系數的和是32，則展開式中的系數為（

）A．40 B．80 C． D．【答案】A【知識點】求指定項的系數、二項式的系數和【分析】根據二項式系數的和可得，再利用二項展開式的通項計算可得結果.【詳解】由展開式二項式系數和為，可得，易知展開式第項，令，即的系數為40，故選：A.例題2：（2324高三上·江蘇揚州·階段練習）的展開式中的系數為（

）A．20 B． C．28 D．【答案】B【知識點】兩個二項式乘積展開式的系數問題【分析】根據二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】依題意，的系數為.故選：B例題3：（2324高二下·江蘇·期中）若的展開式中，僅第6項二項式系數最大，則n等于．【答案】10【知識點】二項式系數的增減性和最值【分析】根據二項式系數的最大值公式，即可列式求解.【詳解】由題意可知，，即.故答案為：10例題4：（2425高三上·江蘇常州·期末）已知的展開式中項的系數為30，則．【答案】/【知識點】由項的系數確定參數、兩個二項式乘積展開式的系數問題【分析】原式展開，設的二項式展開式通項為，分別求出、的系數可得答案．【詳解】原式，設的二項式展開式通項為，令，得的系數為，令，得的系數為，所以項的系數，得：．故答案為：．鞏固訓練1．（2024·江蘇無錫·模擬預測）在的展開式中，若第4項與第5項的二項式系數之和等于第10項與第11項的二項式系數之和，則（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】D【知識點】組合數的性質及應用、求指定項的二項式系數、組合數方程和不等式【分析】由題意可得：，結合組合數的性質分析求解.【詳解】由題意可得：，則，可得，所以.故選：D．2．（2324高二下·江蘇南京·階段練習）在的二項展開式中，含的項系數是（

）A．132 B．240 C．480 D．196【答案】B【知識點】求指定項的系數【分析】利用二項式定理的原理分析取得的方式，就可求出其系數.【詳解】可以看成6個因式相乘，要得到，只需兩個因式取，其他4個因式取常數即可，所以的系數為：.故選：B3．（2324高二下·四川南充·階段練習）的展開式中只有第6項的二項式系數最大，則（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【知識點】二項式系數的增減性和最值【分析】利用二項式系數的性質：展開式中中間項的二項式系數最大，得到展開式共有項，可求得的值．【詳解】因為展開式中，二項式系數最大的項只有第項即最大，根據二項式系數的性質：展開式中中間項的二項式系數最大，所以，解得.故選：B.4．（2425高三上·江蘇蘇州·期末）已知，則的值為．【答案】28【知識點】求指定項的系數【分析】由，利用二項展開的通項公式求解即可.【詳解】由，則，上式二項展開的通項為：.令，可得.故答案為：28.題型十三有理項，常數項問題例題1：（2425高三上·江蘇·期末）在的展開式中，系數為整數的項數是（

）A．9 B．4 C．3 D．2【答案】C【知識點】求有理項或其系數【分析】根據二項式展開式的通項,即可求解.【詳解】根據題意有：，因為，所以，所以系數為整數的項為：1，4，7，故有3項故選：C.例題2：（2425高三上·江蘇南京·階段練習）的展開式中常數項是.（用數字作答）【答案】15【知識點】求指定項的系數【分析】求出展開式通項公式，令，解得，從而求出常數項.【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，則，故展開式中常數項為15.故答案為：15例題3：（2324高二下·江蘇宿遷·期末）在的展開式中，第2，3，4項的二項式系數依次成等差數列．(1)證明展開式中不存在常數項；(2)求展開式中所有的有理項．【答案】(1)證明見解析；(2)，，，.【知識點】求二項展開式的第k項、由項的系數確定參數、等差中項的應用、求有理項或其系數【分析】（1）根據題意可求得，利用二項展開式的通項可得展開式中不存在常數項；（2）由二項展開式的通項令的指數為整數即可解得合適的值，求出所有的有理項.【詳解】（1）易知第2，3，4項的二項式系數依次為，可得，即，整理得，解得或（舍）；所以二項式為，假設第項為常數項，其中，即可得為常數項，所以，解得，不合題意；即假設不成立，所以展開式中不存在常數項；（2）由（1）可知，二項展開式的通項可得，其中的有理項需滿足，即，且；當，此時有理項為；當，此時有理項為；當，此時有理項為；當，此時有理項為；綜上可知，展開式中所有的有理項為，，，.鞏固訓練1．（2324高二下·江蘇南通·階段練習）已知（其中）的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項共有項.【答案】3【知識點】求有理項或其系數【分析】由二項式的展開式可得的值，結合有理項的定義賦值求解即可.【詳解】展開式的第7項為，則，，則，，則展開式的通項為，，令，則，所以展開式中的有理項共有3項.故答案為：32．（2425高三上·江蘇·階段練習）的展開式中常數項為．【答案】【知識點】求指定項的系數【分析】寫出二項展開式的通項，令的指數為零，求出參數的值，代入通項即可得解.【詳解】的展開式通項為，令，可得，所以，展開式中的常數項為.故答案為：.3．（2324高二下·江蘇泰州·期末）在的展開式中，第3項與倒數第3項的系數之比為．(1)求的值；(2)求展開式中的有理項．【答案】(1)(2)和【知識點】由項的系數確定參數、求有理項或其系數【分析】（1）由題意求出第3項與倒數第3項的系數，建立等量關系求解