第07講復數的四則運算【人教A版2019】模塊一模塊一復數的加、減運算及其幾何意義1．復數的加法運算及其幾何意義(1)復數的加法法則

設，(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復數的加法滿足的運算律

對任意∈C，有

①交換律：；

②結合律：.(3)復數加法的幾何意義在復平面內，設，(a,b,c,d∈R)對應的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標運算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應的向量就是與復數(a+c)+(b+d)i對應的向量.2．復數的減法運算及其幾何意義(1)復數的減法法則類比實數減法的意義，我們規定，復數的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復數x+yi(x,y∈R)叫做復數a+bi(a,b∈R)減去復數c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)(c+di).

根據復數相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=ac，y=bd，所以x+yi=(ac)+(bd)i，即(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.這就是復數的減法法則.(2)復數減法的幾何意義兩個復數，(a,b,c,d∈R)在復平面內對應的向量分別是，，那么這兩個復數的差對應的向量是，即向量.如果作，那么點Z對應的復數就是(如圖所示).

這說明兩個向量與的差就是與復數(ac)+(bd)i對應的向量.因此，復數的減法可以按照向量的減法來進行，這是復數減法的幾何意義.【題型1復數加減法的代數運算】【例1.1】（2324高一下·貴州畢節·階段練習）若z1=13?3i，z2=4+A．9?4i B．9?2i C．?9+4i【解題思路】直接利用復數的減法運算求解.【解答過程】若z1=13?3i，z故選：A.【例1.2】（2425高一下·全國·課后作業）若z+2?3i=3?2i（i為虛數單位），則z=A．5?5i B．1+i C．1+5i【解題思路】移項化簡可得z．【解答過程】∵z+2?3i=3?2i故選：B.【變式1.1】（2425高一上·上海·課堂例題）計算：(1)(3?5i(2)5i(3)(a+bi)?(2a?3bi【解題思路】（1）利用復數的四則運算法則求解即可.（2）利用復數的四則運算法則求解即可.（3）利用復數的四則運算法則求解即可.【解答過程】（1）3?5=3?4?3（2）5=5i（3）a+b=a?2a【變式1.2】（2024高一下·全國·專題練習）計算(1)2+4(2)5?(3)?3?4(4)2?【解題思路】根據題意，結合復數的加法與減法的運算法則，準確運算，即可求解.【解答過程】（1）解：由復數的運算法則，可得2+4i（2）解：由復數的運算法則，可得5?3+2（3）解：由復數的運算法則，可得?3?4i（4）解：由復數的運算法則，可得2?i【題型2復數加、減法的幾何意義的應用】【例2.1】（2425高一下·河南鄭州·階段練習）復數6+5i與?3+4i分別表示向量OA與OB，則表示向量BA的復數為（A．3+9i B．2+8i C．?9?i【解題思路】根據BA=【解答過程】復數6+5i與?3+4i分別表示向量OA與因為BA=OA?OB，所以表示向量故選：D.【例2.2】（2021·貴州六盤水·一模）在復平面內，O為原點，四邊形OABC是復平面內的平行四邊形，且A，B，C三點對應的復數分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【解題思路】根據復數加法的幾何意義及法則即可求解.【解答過程】因為O為原點，四邊形OABC是復平面內的平行四邊形，又因為z1所以由復數加法的幾何意義可得，z2故選：C.【變式2.1】（2024高一下·全國·專題練習）已知復數z1=a2?3+(a+5)i,(1)若向量OZ1表示的點在第四象限，求(2)若向量Z1Z2【解題思路】（1）根據復數的幾何意義，結合第四象限的點的特征即可求解，（2）根據復數減法的幾何意義，由純虛數的定義即可求解.【解答過程】（1）因為復數z1=a所以a2?3>0a+5<0所以a的取值范圍是?∞（2）因為Z1Z2=所以向量Z1Z2根據向量Z1Z2對應的復數為純虛數，可得?(解得a=?1.【變式2.2】（2425高一·全國·課后作業）已知復平面內平行四邊形ABCD，A點對應的復數為2+i，向量BA對應的復數為1+2i，向量BC對應的復數為(1)點D對應的復數；(2)平行四邊形ABCD的面積．【解題思路】（1）根據復數與向量間的關系運算得BD=4,1，OB=（2）cosB=BA?【解答過程】（1）∵向量BA對應的復數為1+2i,所以向量BABC對應的復數為3?i,所以向量BCBD=OB=∴OD∴點D對應的復數為5.（2）∵BA∴cos∵B∈0,π，∴S=|BA故平行四邊形ABCD面積為7.模塊二模塊二復數的乘、除運算1．復數的乘法運算(1)復數的乘法法則

設，(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結果中把i2換成1，并且把實部與虛部分別合并即可.(2)復數乘法的運算律對于任意∈C，有

①交換律：；

②結合律：；

③分配律：.

在復數范圍內，正整數指數冪的運算律仍然成立.即對于任意復數z，z1，z2和正整數m,n，有，，.2．復數的除法(1)定義

我們規定復數的除法是乘法的逆運算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復數x+yi叫做復數a+bi除以復數c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(2)復數的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個復數相除(除數不為0)，所得的商是一個確定的復數.3．復數運算的常用技巧(1)復數常見運算小結論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.4．復數的運算的解題策略(1)復數的乘法類似于多項式的乘法運算；(2)復數的除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數.5．復數范圍內實數系一元二次方程的根

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當?>0時，方程有兩個不相等的實根，；

當?=0時，方程有兩個相等的實根；

當?<0時，方程有兩個虛根，，且兩個虛數根互為共軛復數.【題型3復數的乘法、除法運算】【例3.1】（2324高一下·河南洛陽·期中）已知i為虛數單位，4?2i1+iA．1?3i B．1?2i C．【解題思路】根據復數的四則運算法則計算求解即可.【解答過程】由題，4?2i故選：B.【例3.2】（2024·陜西西安·模擬預測）i是虛數單位，復數z1=3?4i,z2=4?2i,A．?i B．i C．35i【解題思路】由題意得，z1=5，【解答過程】因為復數z1所以z1=3所以z1故選：B.【變式3.1】（2324高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）計算：(1)2?(2)1+2(3)i【解題思路】（1）根據復數的加減法運算計算即可；（2）根據復數的乘法運算計算即可；（3）根據復數的除法運算計算即可.【解答過程】（1）2?i（2）1+2i（3）i1?2【變式3.2】（2324高一·上海·課堂例題）計算：(1)(4+i(2)(2(3)?3+29i(4)(1+i(5)(3【解題思路】（1）（2）（3）（4）（5）根據復數的乘除法運算即可.【解答過程】（1）(4+i（2）(2（3）?3+29i（4）(1+i（5）[(=4+23【題型4根據復數的四則運算結果求參數】【例4.1】（2425高二下·四川綿陽·階段練習）已知i為虛數單位，若復數z=a?i2?i的實部與虛部相等，則實數A．－3 B．－1 C．1 D．3【解題思路】根據復數的除法運算，求得z=a?【解答過程】由題意可得z=a?故2a+15=a?2故選：A.【例4.2】（2024·陜西安康·模擬預測）設復數z=1?2ia+ia∈A．?3 B．?13 C．2【解題思路】根據復數的乘法運算化簡復數z，根據實部與虛部互為相反數列式計算，即得答案.【解答過程】z=1?2由已知得a+2+1?2a=0，解得a=3，故選：D.【變式4.1】（2324高一下·河南鄭州·階段練習）復數z1=a+3i，z2=?4+bi，a,b為實數，若z1A．?7 B．7 C．?1 D．1【解題思路】由z1+z2為實數，z1【解答過程】因為z1+z2=a?4+又z1?z2=a+4+3?bi綜上可知a=?4b=?3，所以a+b=?7故選：A.【變式4.2】（2324高二下·河南商丘·期中）若復數z=3+mii2023（m∈R，iA．?3+3i B．C．3+3i D．【解題思路】根據i的周期性及復數的除法運算法則，結合復數實部與虛部相等即可求解.【解答過程】由題意可知，z=3+m因為復數z的實部和虛部相等，所以?m=3，解得m=?3，所以z=3+3i故選：C．【題型5根據復數的四則運算結果求復數特征】【例5.1】（2324高一下·湖南邵陽·期末）實數m>1時，復數m3+i?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】先將復數化為一般形式，結合m的范圍判斷出實部和虛部的符號，從而得到答案.【解答過程】∵m又m>1，故3m?2>1>0,m?1>0,故該復數在復平面內對應的點位于第一象限.故選：A【例5.2】（2324高二下·陜西咸陽·期中）設i是虛數單位，z是復數z的共軛復數，若z=2?i，則z+izA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】利用復數的運算公式，以及復數的幾何意義，即可求解.S【解答過程】由條件可知z+i對應的點是1,1，位于第一象限.故選：A.【變式5.1】（2324高一下·福建龍巖·期中）已知復數z=1+ai（a∈R，(1)若1?2i?z為純虛數，求實數(2)若ω=z1+i，且復數ω【解題思路】（1）由復數1?2i?z為純虛數，列出方程組求解即可得（2）由在復平面上對應的點在第四象限列出不等式組求解即可得a的取值范圍．【解答過程】（1）1?2i因為1?2i?z為純虛數，∴1+2a=0a?2≠0所以a=?1（2）由ω=z由復數ω在復平面內所對應的點位于第四象限，得a+12>0a?1∴a的取值范圍為(?1,1)．【變式5.2】（2425高一下·全國·課后作業）已知復數z=1+mi（i是虛數單位，m∈R），且z?(3+i)為純虛數（(1)設復數z1=m+2(2)設復數z2=a?i2021【解題思路】（1）化簡z?(3+i)，由其為純虛數求出m的值，將m（2）將z=1?3i代入z2=a?i【解答過程】（1）∵z=1+mi∴z又∵z∴3+m=01?3m≠0，解得所以z1∴z（2）由（1）知z=1?3i∴z又∵復數z2∴a+3>03a?1>0，解得即實數a的取值范圍是13【題型6復數范圍內分解因式】【例6.1】（2425高一上·上海·課后作業）在復數范圍內分解因式：(1)x4(2)2x【解題思路】（1）根據i2（2）將原式配成完全平方式，再根據i2【解答過程】（1）x=(=[=(=(x+2（2）2=2(=2=2=2[=2(x?3【例6.2】（2324高一·上海·課堂例題）在復數范圍內分解因式：(1)a2(2)x2(3)2x【解題思路】（1）直接根據復數范圍的要求分解因式即可.（2）直接根據復數范圍的要求分解因式即可.（3）先應用求根公式再寫成兩個因式相乘；【解答過程】（1）a2+2ab+b（2）x2（3）令2x2?6x+5=0解方程可得：x1=3+所以2x【變式6.1】（2425高一·全國·課后作業）在復數范圍內分解因式：(1)x2(2)a2【解題思路】（1）由x2（2）由a2【解答過程】（1）x2（2）a2【變式6.2】（2425高一·湖南·課后作業）利用公式a2(1)x2(2)a4(3)a2(4)x2【解題思路】（1）根據所給等式a2（2）利用平方差公式結合所給等式，可得答案；（3）先用完全平公式化簡，再利用已知等式，可得答案；（4）先配方變為平方和形式,再利用已知等式分解可得答案.【解答過程】（1）x2（2）a4（3）a2（4）x2【題型7復數范圍內方程的根的問題】【例7.1】（2324高一下·河南焦作·期末）已知1+mi(m>0)是關于x的方程x2+px+2=0(p∈RA．?1 B．?1或?3 C．?3 D．2【解題思路】根據一元二次方程在復數域內的兩個虛根互為共軛復數及韋達定理即可求解.【解答過程】因為1+mi(m>0)是關于x的方程所以關于x的方程x2+px+2=0的另一個根為由韋達定理，得{1?mi+1+mi=?p(1?mi所以p+m=?2+1=?1.故選：A.【例7.2】（2324高一下·廣東珠海·期中）已知復數z1，z2是關于x的方程x2+bx+1=0A．z1=zC．z1=z2=1【解題思路】在復數范圍內解方程得z1，z【解答過程】對于關于x的方程x2+bx+1=0，則∴x=?b±4?b2iz1z1z1z2=1，∴z1當b=1時，z1=?12+z22=z1故選：B．【變式7.1】（2324高一下·湖南·期中）已知關于x的方程3x2?2ax+a=0(1)當a=1時，在復數范圍內求方程的解；(2)已知復數z=2a+i，若方程3x2【解題思路】（1）代入a=1，配方得到x?1（2）由已知可得Δ<0，求解得出a的取值范圍，進而得出1<【解答過程】（1）當a=1時，方程為3x配方可得，x?1兩邊開方可得，x?1所以，方程的解為x=1（2）要使方程3x2?2ax+a=0所以0<a<3，所以0<a又z2=4a所以，1<z【變式7.2】（2324高一下·上海·期末）設i是虛數單位，m?k∈R.α?β是關于x的方程(1)若α=2+5i，求m與(2)若m=0，求k的值.【解題思路】（1）由α=22+5（2）當m=0時，則α，β是關于x的方程x2【解答過程】（1）解：由α=2+5i，得而α+β=3因為α，β是關于x的方程所以2+5得β=m?5i，由β得β=0，則k=0；（2）當m=0時，則α，β是關于x的方程則△=4?4k，當k=1時，則α=β=1，不滿足α+當k<1時，得△=4?4k>0得α+由α+β=3得α2得α+β2得?2k+2k當0≤k?<1時，不成立，當k<0時，得當k>1時，得△=4?4k<0，不妨記α=1?k?1由α+β=3得k=9故k的值為：?54或【題型8復數中的新定義問題】【例8.1】（2324高一下·陜西咸陽·階段練習）如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”，若3+aii為“等部復數”，則實數a的值為（A．?1 B．0 C．3 D．?3【解題思路】先運用復數的四則運算法則化簡3+ai【解答過程】因3+aii=故選：D.【例8.2】（2024·四川成都·模擬預測）定義運算abcd=ad?bc，則滿足z?i1?A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由已知得?2i【解答過程】由題意，z?i1?所以z=1+所以z在復平面內對應的點的坐標為12所以復數z在復平面內對應的點在第四象限．故選：D．【變式8.1】（2324高一下·江蘇南京·期末）若定義一種運算：a,bcd=ac+bd.已知z(1)求復數z；(2)設t,x為實數，若t+cosx,i【解題思路】（1）設z=a+bi(a,b∈R)，可求z=a?bi，由條件可得6a?2bi（2）由題意可求t+cosx?sinx+i為純虛數，根據實部為0【解答過程】（1）設復數z=a+bi(a,b∈R，i因為2,z解得a=1，b=2，可得z=1+2i（2）t+cos由題意可得t+cos當sinx?π4=1時，【變式8.2】（2324高一下·上海靜安·期末）設復數z1=a+bi，z2=c+di，其中(1)已知2?i?x+(2)現給出如下有關復數新運算?性質的兩個命題：①z1②若z1?z2=0請判定以上兩個命題是真命題還是假命題，并說明理由.【解題思路】（1）根據復數新定義的運算及模長運算即可得結論；（2）根據復數新定義設z1=a+bi【解答過程】（1）由定義，有2?i?即2x?12+2?x∴x=1或x=3（2）①設z1=a+bi，zz1?∴①是真命題.②設z1=a+bi，z所以ac+bd=0,ad+bc=0，則a=1,b=?1,c=1,d=1是其一組解，故得不到z1=0或∴②是假命題.一、單選題1．（2324高一下·廣東茂名·階段練習）若z+2=3?2i（i為虛數單位），則z的虛部為（

A．?2 B．2 C．?2i D．【解題思路】根據復數運算和共軛復數定義進行計算，求解虛部.【解答過程】z=3?2i?2=1?2i故選：B.2．（2324高一下·安徽安慶·期末）若復數z=(2?a)+(2a?1)i(a∈R)為純虛數，則復數z?a在復平面上的對應點的位置在（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】借助純虛數的定義可計算出復數z?a，結合其幾何意義即可得其在復平面上的對應點的位置.【解答過程】∵復數z=(2?a)+(2a?1)i(a∈R)為純虛數，∴2?a=0復數z?a=3i?2=?2+3i故選：B.3．（2324高一下·山東青島·期末）若1+2iz=4+3i，則A．1?i B．2+i C．1+i【解題思路】根據復數除法以及共軛復數的概念直接求解.【解答過程】由題意知z=所以z=2+i故選：B.4．（2324高一下·北京東城·期末）已知復數z1=3?i，z2=?1+2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】計算出復數的表達式，即可求出在復平面內所表示的點的位置.【解答過程】由z1=3?i，z由復數的幾何意義，可知z=z故選：A.5．（2324高一下·云南曲靖·期末）若復數z=m2?2m?3+imA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據純虛數的定義，求出z，結合復數四則運算以及復數虛部定義求解即可【解答過程】因為復數z=m所以m2?2m?3=0m2?3m?4≠0所以z+3+5i故選：B.6．（2324高一下·四川雅安·期末）在復平面內，滿足z?5?i1?i=1的復數z對應的點為Z，復數?1?i對應的點為A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據復數代數形式的除法運算化簡5?i1?i，設z=x+yix,y∈R，則Zx,y，根據z?5?i1?i=1得到x?32【解答過程】因為5?i設z=x+yix,y∈R，則Zx,y，又所以x?32+y?22=1，即x?32+又復數?1?i對應的點為Z0，所以Z0所以Z0Z=又Z0所以Z0C?r≤

故選：A.7．（2024·甘肅蘭州·二模）定義運算abcd=ad?bc，則滿足zi1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由已知運算和復數的運算化簡即可.【解答過程】由題意可得?2i即z=i所以復數z在復平面內對應的點為?1故選：B.8．（2024·上海寶山·一模）已知z是復數，z是其共軛復數，則下列命題中正確的是（

）A．z2=z2 B．若zC．若z=1?2i2，則復平面內z對應的點位于第一象限 D．若1?3i是關于x【解題思路】設出復數的代數形式計算判斷A；利用復數的幾何意義判斷B；求出復數z判斷C；利用復數相等求出q判斷D.【解答過程】對于A，設z=a+bi(a,b∈R)，則對于B，由z=1知，在復平面內表示復數zz?1?i可看作該單位圓上的點到點1,1的距離，因為圓心到1,1的距離為2則該單位圓上的點到點1,1的距離最大值為2+1對于C，z=1?2i2對于D，依題意，(1?3i)2而p,q∈R，因此p+q?8=0?3p?6=0，解得故選：B.二、多選題9．（2324高一下·重慶九龍坡·期中）已知復數z=?12+A．1z=z B．復數C．z2=z2 D．復數w滿足【解題思路】利用復數的四則運算、乘方運算以及共軛復數的概念可判斷A正確，B錯誤，C正確，利用復數的幾何意義可求得D正確.【解答過程】對于A，由z=?12+而z=?12對于B，z4+1=?對于C，z2對于D，設w=x+yi,x,y∈R，則由w?z所以復數w對應的點的軌跡是以?1因此w=x2故選：ACD.10．（2425高三上·云南德宏·階段練習）設z1，z2為復數，則下列說法中正確的有（A．若z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈RB．若m2?3m+2+m2C．若關于x的方程x2+px+q=0，p，q∈R的一個虛根為2D．若z1=?1+2i，z【解題思路】對于A：根據復數不能比較大小即可判斷；對于B：根據純虛數的概念列式求解；對于C：可知另一個虛根為?2i?1，利用韋達定理運算求解；對于D：可得【解答過程】對于選項A：因為b>d，可知z1，z對于選項B：若m2?3m+2+m則m2?3m+2=0m對于選項C：若關于x的方程x2+px+q=0，p，q∈R的一個虛根為則另一個虛根為?2i可得?p=2i?1對于選項D：若z1=?1+2i，z復數z1?z故選：BD.11．（2324高一下·遼寧遼陽·階段練習）已知復數z1，z2是關于z的方程3z2?az+b=0（a，b∈R，a>0）的兩個復數根，且A．z1與z2互為共輒復數 C．a2+b【解題思路】根據韋達定理與題目所給條件建立方程組，可得a=2,b=1，進而可得z1【解答過程】因為z1,z2是關于所以z1所以z1又因為z1所以b3解得b=1,a=±2，因為a>0，所以a=2.對于A，由3z2?2z+1=0所以z1與z對于B，a?b=2?1=1，故B正確；對于C，a2對于D，由A選項知，z1所以|z故選：AB.三、填空題12．（2324高一下·天津·階段練習）已知z1=1，z2=1，z【解題思路】設出復數z1【解答過程】設z1由z1=z2=1由z1+z2=有a2+c而z1所以z1故答案為：1.13．（2324高一下·上海·期末）已知復數z1和復數z2滿足：z1+z2【解題思路】設z1=a+bi,z2=c+d【解答過程】設z1=a+bi因為z1+z且z1?z由a+c=3a?c=22由b+d=?2d?b=3則z1z2可得z1z2所以z1故答案為：3614．（2324高一下·廣東東莞·期中）復平面上兩個點Z1,Z2分別對應兩個復數z1,z2，它們滿足下列兩個條件：①z2=z1?2【解題思路】設z1=a+bi(a,b∈R)，根據復數的運算及集合意義可得點Z1,Z【解答過程】設z1則z2所以點Z1,又兩點Z1,Z∴a?2b2∴O又O∴∴△Z1O故答案為：20.四、解答題15．（2324高一·上海·課堂例題）計算：(1)1?i(2)?2+23(3)(1+i【解題思路】（1）（2）（3）根據復數的乘除法、乘方運算即可得到答案.【解答過程】（1）∵1?∴1?（2）?2+2=?1+（3）(1+=(216．（2324高一下·山西·期中）已知m∈R，復數z1=(m(1)若z1?z(2)設O為坐標原點，z1，z2在復平面內對應的點分別為A，B（不與O重合），若OA?【解題思路】（1）求出z1（2）利用復數的向量表示，結合給定數量積求出m，進而求出z1，z【解