三角形的重心與應用一．基本原理1.重心：三角形三條中線的交點.2.重心是三角形中線上靠近底邊的三等分點.3.重心的向量形式（1）重心為證明：是所在平面內一點，=0點G是△ABC的重心.證明:作圖如右，圖中，連結BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點，AD為BC邊上的中線.將代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（證略））（2）是△ABC所在平面內任一點.G是△ABC的重心.證明：∵G是△ABC的重心∴=0=0，即，由此可得.（反之亦然（證略））4.重心的坐標形式假設三角形三個頂點坐標分別為：，那么該三角形的重心坐標為：證明：設重心，由，可得，故，所以重心5.重心的一個重要特征如圖，已知點G是的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且，，則.證明：點G是的重心，知O，得O，有.又M，N，G三點共線（A不在直線MN上），于是存在，使得，有=，得，于是得6.重心的距離最值：在中，設點，到的3個頂點距離的平方和最小的點為的重心.證明：設點，其中，則當且時，取得最小值，此時點為重心.二．典例分析例1．已知的頂點都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點F，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12解析：由題意得,，設，，，點是的重心，，，根據拋物線的定義可得.故選：B.例2．如圖所示，已知點是的重心，過點作直線分別交，兩邊于兩點，且，，則的最小值為_________解析；根據條件：，因為G是的重心，，，又三點共線，.，，當且僅當，即時取等號成立.的最小值為，故答案為：．例3．在中，記為的重心，過的直線分別交邊于兩點，設，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．解析：設為的中點，則，又因為，所以，因為三點共線，所以，所以；A錯，所以，所以，當且僅當時取等號；B對，所以，當且僅當時取等號；C對，，當且僅當時取等號；D對，故選：BCD例4．如圖，函數的圖象與坐標軸交于點，直線交的圖象于點，坐標原點為的重心三條邊中線的交點，其中，則（

）

A． B． C． D．解析：根據題意可知，點是的一個對稱中心，又直線交的圖象于點，利用對稱性可知兩點關于點對稱；不妨設，由重心坐標公式可得，又，即可得；由最小正周期公式可得，解得，即；將代入可得，又，所以；即，所以.故選：C例5．已知拋物線：，過焦點的直線交拋物線于，兩點，為坐標原點，為平面上一點，為的重心，則的面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析：由：，則焦點坐標為1,0，設，Ax1,y1、聯立，得，，則，，由為的重心，則有，點到直線的距離為，則，故.故選：C.例6．已知拋物線C：的焦點為F，過點的直線垂直x軸于Q，為等腰直角三角形.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l交拋物線C于A，B兩點，且F恰為的重心，求直線l的方程.解析：（1）因為過點的直線垂直x軸于Q，為等腰直角三角形，所以，即，所以拋物線C的方程為；（2）由題可設直線，由，可得，則，即，設，，又，，F恰為的重心，∴，即，所以，解得，滿足，所以直線l的方程為，即.例7．在△中，角的對邊分別為，已知(1)求;(2)若分別為邊上的中點，為的重心，求的余弦值.解析：（1）因為，所以，即由正弦定理得，由余弦定理得，因為（2）設，依題意可得，所以所以.例8．已知過點的直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，當直線垂直于軸時，的面積為.(1)求拋物線的方程；(2)過曲線上一點作兩條互相垂直的直線，分別交曲線于（異于點）兩點，求證：直線恒過定點；(3)若為的重心，直線分別交軸于點，記的面積分別為，求的取值范圍.解析：（1）當時，，，所以，由題意可知，，所以，所以拋物線的方程為（2）根據題意,設直線方程為,聯立，得到，所以，由于兩條直線垂直，則.即化簡整理得到所以，代入得，故直線恒過定點.（3）如圖，設，因為為的重心，所以；因為，且..；所以；設，與聯立得：，所以，所以，則；所以；所以的取值范圍為.三．習題演練1．直線與x軸的交點F為拋物線的焦點，若點O為坐標原點，l與C交于A、B兩點．則（

）A．B．C．以線段為直徑的圓被y軸截得的弦長為定值D．重心橫坐標的最小值為2．斜率為1的直線與雙曲線交于兩點，點是上的一點，滿足的重心分別為的外心為.記直線，的斜率為.若，則雙曲線的離心率為.3．已知是的重心，的面積是，則的最小值是_______.4．已知在中，角的對邊分別為.若為的重心，則的最小值為___________.參考答案1.解析：A：易知直線與軸交于點，即，所以，解得，故A錯誤；B：由選項A知拋物線，設，，由，得，所以，得，所以，故B正確；C：設的中點為，則，，所以以為直徑的圓的方程為，即，設該圓與y軸交，，令，得，所以，，所以，所以以為直徑的圓被y軸所截的弦長為，不是定值，故C錯誤．D：由選項B知的重心的橫坐標為，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：BD2.解析：不妨取的中點.因為的重心為，且在中線上，所以.由中點弦結論知，，，，因為，所以，，又由，可得的外心為的中點，于是由中點弦結論知，又，所以，即.由得，，解得，所以雙曲線的離心率.

3.解析：如圖，取的中點，連接.設的內角的對邊分別為.因為是的重心，所以在線段上，且.因為的面積是，所以，解得.因為是的中點，所以，所以，即，當且僅當時，等號成立，則.因為是