解答題專題突破：空間向量與立體幾何題型一、異面直線夾角的求解1.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，，，，分別是，的中點.（1）證明：；（2）設為線段上的動點，若線段長的最小值為，求直線與直線所成的角余弦值.【分析】（1）證明平面得到答案.（2）過作于，連，證明得到，根據余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）∵底面為菱形，，∴三角形為正三角形，∵是的中點，∴，又，∴，又平面，平面，∴，而，∴平面，平面，則.（2）過作于，連，，，故平面，平面，∴，即，∵，∴，故，故.異面直線與所成的角即為與所點的角.在中：，，，故，故直線與直線所成的角余弦值為.2.在三棱柱中，平面平面，，，，.（1）證明：平面；（2）若異面直線所成角的余弦值為，求【答案】（1）證明過程見解析（2）【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，進而得到⊥，結合得到平面，再由平行關系得到證明；（2）作出輔助線，證明出⊥平面，建立空間直角坐標系，設，寫出各點坐標，利用異面直角夾角的余弦值列出方程，求出，得到答案.【小問1詳解】因為平面平面，交線為，，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，因為，，平面，所以平面，又，所以平面；【小問2詳解】取的中點，連接，因為，所以⊥，因為平面平面，交線為，平面，所以⊥平面，取的中點，連接，則，因為，所以⊥，故以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，故，設，則，設，由得，解得，故，，因為異面直線所成角的余弦值為，所以，解得，故.解法指導：1、求異面直線所成角一般步驟：(1)平移：選擇適當的點，線段的中點或端點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線．(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角．(3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因為異面直線所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角．2、可通過多種方法平移產生，主要有三種方法：(1)直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；(2)中位線平移法；(3)補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線)．3、異面直線所成角：若,分別為直線,的方向向量，為直線,的夾角，則.題型二、直線與平面夾角的求解1．如圖，在長方體中，已知，.(1)若點是棱上的中點，求證：與垂直；(2)求直線與平面的夾角的正弦值.【解析】（1）如圖1，連接，且，因為，由已知可得，為正方形，所以，.同理可得，.根據長方體的性質可得，平面，又平面，所以，.因為平面，，所以，平面.因為平面，所以，.（2）

如圖2，連接.由（1）知，.因為平面，平面，所以，.因為平面，所以，平面.所以，即為直線與平面的夾角.因為，，所以，.因為是的中點，所以，在中，有，所以，直線與平面的夾角的正弦值為.2.已知三棱錐，平面平面.（1）求證:;（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）通過證明平面OBP可證明結論；（2）如圖建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，然后由空間向量知識可得答案；（3）由（2）求出平面的法向量，然后由空間向量知識可得答案.【小問1詳解】如圖，取中點，連接..為等腰直角三角形，為中點..為中點，.平面POB，，面OBP.面OBP，【小問2詳解】平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC，面兩兩垂直如圖，以為原點，為軸正向，為軸正向，為軸正向建立空間直角坐標系，則...則，.令平面的法向量為，則，可取.則直線DB與平面所成角的正弦值.小問3詳解】由（2），.令平面的法向量為，則，可取.則點到平面的距離.3.在四棱錐中，底面是正方形，若，，，（1）求四棱錐的體積；（2）求直線與平面夾角的正弦值．【答案】（1）（2）【分析】（1）取的中點，連接，，可證平面，則為四棱錐的高，利用錐體體積公式求解即可；（2）建立空間直角坐標系，求直線的方向向量和平面的法向量，線面角的正弦值即為直線的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對值，求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，，因為，所以，又，，所以，在正方形中，，所以，所以，又，所以，即，又，平面，平面，所以平面，所以四棱錐的體積為；【小問2詳解】過作交于，則，結合（1）中平面，故可建如圖空間直角坐標系：則，，，QUOTED0,1,0，故，，，設平面法向量為，則，故，取，則，，所以，設直線與平面夾角為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為.4.如圖，四棱錐的底面為矩形，平面平面，是邊長為2等邊三角形，，點為的中點，點為上一點（與點不重合）．（1）證明：；（2）當為何值時，直線與平面所成的角最大？【答案】（1）證明見解析；（2）2.【分析】（1）根據面面垂直的性質定理可得平面，可得，結合條件可得，然后利用線面垂直的判定定理及性質定理即得；（2）利用坐標法，表示出平面的法向量，利用向量夾角公式結合基本不等式即得.小問1詳解】因為三角形是等邊三角形，且E是中點，所以，又因為平面，平面平面，平面平面，所以平面，又因為面，所以，因為，，所以，，所以，即，因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以；【小問2詳解】設F是中點，以E為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，由已知得，設，則、設平面的法向量為，則，令，有，設直線與平面所成的角，所以，當且僅當時取等號，當時，直線與平面所成角最大．5.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內過作，交AD于，連PO.（1）求證：平面；（2）在線段上存在一點，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）由已知四邊形為矩形，證明，由條件根據面面垂直性質定理證明平面；（2）建立空間直角坐標系，設，求，利用向量方法求直線與平面所成的角的正弦值，列方程求.【小問1詳解】因為，因為，，所以四邊形為矩形，在中，，，，則，，，且平面平面，平面平面平面，平面；【小問2詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，可得，則，，，，，設，則，又平面的法向量為，直線與平面所成的角的正弦值為，解得，.解法指導：1、垂線法求線面角(也稱直接法)：(1)先確定斜線與平面，找到線面的交點為斜足；找線在面外的一點，過點向平面做垂線，確定垂足；(2)連結斜足與垂足為斜線在面上的投影,投影與斜線之間的夾角為線面角；(3)把投影與斜線歸到一個三角形中進行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。2、公式法求線面角(也稱等體積法)：用等體積法，求出斜線在面外的一點到面的距離，利用三角形的正弦公式進行求解。公式為：，其中是斜線與平面所成的角，是垂線段的長，是斜線段的長。3、向量法求線面角：設是直線的方向向量，是平面的法向量，直線與平面的夾角為.則.題型三、平面與平面夾角的求解1.在四棱錐中，底面是菱形，，，，底面，，點在棱上，且．（1）證明：平面；（2）求二面角的大小．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）可得為中位線，從而，根據線面平行的判斷定理可得平面；（2）根據空間垂直關系的轉化可得，利用解三角形可求二面角的大小。【小問1詳解】連接，在菱形中，，故，而底面，平面，故，而，故，\同理，.因，而，故，而，故，而平面，平面，故平面.【小問2詳解】由（1）中可得且.由菱形可得，而底面，平面，故，而，平面，故平面，而平面，故，故為二面角的平面角，由（1）可得，而，為等腰三角形，故，而為三角形內角，故即二面角的平面角為2．如圖所示，，分別為半圓錐的底面半圓弧上的兩個三等分點，為中點，為母線的中點．（1）證明：平面；（2）若為等邊三角形，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）詳見解析（2）【解析】（1）設的中點為，連接，，，，，在中，為三角形的中位線，所以，，因為，分別為半圓弧上的兩個三等分點，為等邊三角形，，所以，，易得四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（2）解：過作的垂線，則垂足為的中點，過作的垂線，設垂足為，連接，因為平面平面，平面平面，，所以平面，，又因為，，所以平面，，則為平面與平面的夾角，設底面半徑為，則，，，在中，，即，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為．3.如圖，四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為直角梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點，連接，先利用線線垂直證明平面，得，再由題設證平面最后由線面垂直證得平面平面；（2）過作，交于，證明平面,依題意建系，利用題設條件求出相關點坐標，計算兩平面的法向量，利用向量夾角的坐標公式計算即得.【小問1詳解】如圖，取的中點，連接.因四邊形為直角梯形，且，則，又為等邊三角形，，因平面，故平面，又平面,則，又，因平面,故平面又平面，平面平面.【小問2詳解】由（1）知平面因平面,則平面平面，過作，交于，因平面平面,故平面,即為直線與平面所成的角，則，由（1）知平面因平面故，而，則于是，.如圖，以為原點，所在直線為軸，過點在面中與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系.則于是，，設平面的法向量為,由，則可取；又,設平面的法向量為,由，則可取.設平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為.4.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為中點，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）以為原點，建立空間直角坐標系，由已知寫出、、的坐標，由點坐標可得，，的坐標，即有，，根據線面垂直的判定即可證平面；（2）由已知點坐標及，可寫出、的坐標，進而求面的一個法向量，根據直線方向向量與平面法向量夾角的坐標表示，求直線與平面所成角的正弦值；（3）由坐標系易知為平面的法向量，結合（2）所得法向量，根據兩個平面法向量夾角的坐標表示，即可求二面角的余弦值，進而求其正弦值．【小問1詳解】證明：如圖，以為原點，分別以，為軸，軸,過D作AP平行線為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，得，，，所以，，即，，又，所以平面；【小問2詳解】解：由可是，由，可得，所以，設為平面的法向量，則不妨設，則，故，設直線與平面所成角為，所以，則直線與平面所成角的正弦值為；【小問3詳解】解：因為為平面的法向量，設二面角的大小為，所以，所以.則二面角的正弦值為．5.在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，.（1）求證：平面平面；（2）平面于點，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【分析】（1）利用面面垂直的判定定理直接求證即可；（2）利用向量法根據求出點坐標，再結合二面角的定義，即可求出結果.【小問1詳解】在和中，，，與互余，所以，即.又平面，平面，.又平面中，，平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】，，兩兩互相垂直，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.不妨設，則，，，，，.點在平面內，設，則，平面，，，，解得，，即，點到平面的距離，點到棱的距離，設二面角大小為，則，，即二面角的余弦值為.6.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面.（1）求證：；（2）若二面角的正弦值為，且，求.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）過作于點，然后根據面面垂直的性質定理得面，然后再利用線面垂直的性質定理得，同理，然后再利用線面垂直的判定定理得面，然后用線面垂直的性質定理得；（2）以為原點，，分別為，軸建立空間直角坐標系，然后利用坐標計算確定位置，計算的長度即可.【小問1詳解】過作于點，因為平面平面，所以面，因為面所以，又因為平面，所以，而面，所以面，因為面所以【小問2詳解】如圖，以為原點，，分別為，軸建立空間直角坐標系，二面角的平面角與二面角的平面角互補，記為，設，有，，，，設面的法向量為，有，即，令，得，又面的法向量為，所以，解得，所以.7.如圖所示，四邊形是圓柱底面的內接四邊形，是圓柱的底面直徑，是圓柱的母線，是與的交點，.（1）記圓柱的體積為，四棱錐的體積為，求；（2）設點在線段上，且存在一個正整數，使得，若已知平面與平面的夾角的正弦值為，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用圓柱以及棱錐的體積公式，即可求得答案.（2）建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，利用空間角的向量求法，結合平面與平面的夾角的正弦值，即可求得答案.【小問1詳解】在底面中，因為是底面直徑，所以，又，故≌，所以.因為是圓柱的母線，所以面，所以，,因此；【小問2詳解】以為坐標原點，以為軸正方向，在底面內過點C作平面的垂直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以≌，故，所以，，因此，，因為，所以，則設平面和平面的法向量分別為，則有:，，取，設平面與平面的夾角為，則所以有：，整理得，（無解，舍），由于k為正整數，解得.解法指導：1、幾何法(1)定義法(棱上一點雙垂線法)：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內分別過該點作垂直于棱的射線．(2)三垂線法(面上一點雙垂線法)：自二面角的一個面上一點向另外一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(即斜足)，斜足和面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角(3)垂面法(空間一點垂面法)：過空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。(4)射影面積法求二面角2、向量法：若,分別為平面,的法向量，為平面,的夾角，則.題型四、空間點、線、面間的距離求解1．如圖，在四棱錐中，平面，平面平面．(1)證明：；(2)若為的中點，，求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面得到，由題意可得，結合線面垂直的判定、性質即可得證；（2）首先證明平面，平面，即所求為的長度，由解三角形知識即可求解.【詳解】（1）設，連接，過作，垂足為，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，因為平面平面，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以．（2）取的中點，連接，則，又平面平面，所以平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離．過作，垂足為，因為平面平面，平面平面，平面，所以由面面垂直的性質可得平面，由（1）得，因為，所以，因為，所以．所以，所以，即點到平面的距離為．2.如圖，在直三棱柱中，，，，M為的中點.(1)證明：平面；(2)求點A到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接交于點，連接，則有為的中點，M為的中點，所以，且平面，平面，所以平面.（2）連接,因為，所以,又因為平面，平面，所以，,所以平面,又因為平面,所以,又，所以是等腰直角三角形，,所以,,設點A到平面的距離為，因為,所以,所以.3.如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點，點在棱上，，直線與平面相交于點.(1)證明：；(2)求直線與平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）首先證明平面，再由線面平行的性質證明即可；（2）連接,，以點為原點，建立空間直角坐標系，利用點到平面距離公式求解即得.【詳解】（1）因為、分別為、的中點，所以，又平面，平面，則平面，又平面，平面平面，所以.（2）由（1）知，平面，則點到平面的距離即為與平面的距離，連接,，由均為正三角形，為的中點，得，又平面平面，平面平面平面，于是平面，又平面，則，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，又，，又，可得，所以，，，設平面的一個法向量為，則，令，得，設點到平面的距離為，則，所以與平面的距離為.4.如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面間的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在正六棱柱中，因為底面為正六邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，又，所以平面平面.（2）平面與平面間的距離等價于點到平面的距離，設為.連接，則四面體的體積.因為，，，所以，從而，所以，所以，即平面與平面間的距離為.

解法指導：1、幾何法求點面距(1)定義法(直接法)：找到或者作出過這一點且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；(2)等體積法：通過點面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應的點線距離；(3)轉化法：轉化成求另一點到該平面的距離，常見轉化為求與面平行的直線上的點到面的距離．2、向量法求空間距離：(1)點面距：已知平面的法向量為,是平面內的任一點，是平面外一點,過點作則平面的垂線，交平面于點，則點到平面的距離為(2)平行平面的直線與平面之間的距離：，其中,，是平面的法向量。(3)兩平行平面,之間的距離：，其中,，是平面的法向量。題型五、空間幾何體的體積求解1．在三棱錐中，，平面，點在平面內，且滿足平面平面，．

(1)求證：；(2)當二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作，證得平面，得到，再由平面，證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而證得；（2）以為原點，建立空間直角坐標，設，由，得到，求得，在求得平面和的法向量和，結合向量的夾角公式，列出方程求得點的坐標，根據棱錐的體積公式，即可求解.【詳解】（1）作交于，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為平面，且平面，所以，又因為，，且平面，，所以平面，因為平面，所以.（2）解：以為原點，以所在的直線分別為，建立空間直角坐標，如圖所示，則，設，因為，所以，因為，所以，即，又由，設平面的一個法向量為，則，取，可得，所以，又因為為平面的一個法向量，設二面角的平面角為，則，因為，解得（舍去）或，所以點或，所以三棱錐的體積為.

2．如圖，為邊長為2的等邊三角形，為菱形，，為的中點，平面平面，為棱上一點，（1）證明：平面平面；（2）若平面，求三棱錐的體積。答：（1）,(2)如圖：連接交于,連接因為平面，,所以，則平面平面，又設到平面的距離為，則，所以解法指導：1、處理空間幾何體體積的基本思路(1)轉：轉換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉換為容易求面積的底面，或將原來不容易看出的高轉換為容易看出并容易求解的高；(2)拆：將一個不規則的幾何體拆成幾個規則的幾何體，便于計算；(3)拼：將小幾何體嵌入一個大幾何體中，如有時將一個三棱錐復原成一個三棱柱，將一個三棱柱復原乘一個四棱柱，還臺位錐，這些都是拼補的方法。2、求體積的常用方法(1)直接法：對于規則的幾何體，利用相關公式直接計算；(2)割補法：把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算；(3)等體積法：選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面作為三棱錐的底面進行等體積變換。題型六、空間幾何體的翻折問題1.如圖甲，在梯形中，，為中點．將沿折起到位置，連接，，得到如圖乙所示的四棱錐．（1）證明：平面；（2）當二面角為時，求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據給定條件，利用線面垂直的判定推理得證.（2）由（1）結合二面角大小可得正，取的中點，利用線面垂直的判定性質、面面垂直的判定性質求出點到平面的距離即可.【小問1詳解】在梯形中，，則四邊形為平行四邊形，而，則是矩形，即，在四棱錐中，，而平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，是二面角的平面角，即，又，則是正三角形，取的中點，連接，，則有，又平面，于是平面，而，則平面，又平面，則平面平面，在平面內過作于，而平面平面，因此平面，又，平面，平面，所以平面，于是點到平面的距離等于，而，由（1）知，平面，則平面，又平面，則，而，則，，所以點到平面的距離為.2.如圖，在中，角，，所對的邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，將沿折成直二面角，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1），，化簡得.由余弦定理得，，故；（2）設，，在中，由得，解得.①在中，.②由①、②得.，，從而.二面角為直二面角，，平面平面，平面，平面建立如圖所示的空間直角坐標系，易知，，，，，，.設平面的法向量，則有，即令，解得.，故直線與平面所成角的正弦值為.3.已知如圖①，在菱形中，且，為的中點，將沿折起使，得到如圖②所示的四棱錐.（1）求證：平面平面；（2）若為的中點，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用題中所給的條件證明，，因為，所以，，即可證明平面，進一步可得面面垂直；（2）先證明平面，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求解解：（1）在圖①中，連接，如圖所示：因為四邊形為菱形，，所以是等邊三角形.因為為的中點，所以，.又，所以.在圖②中，，所以，即.因為，所以，.又，，平面.所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，.因為，，平面.所以平面.以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系：則，，，，.因為為的中點，所以.所以，.設平面的一個法向量為，由得.令，得，，所以.設平面的一個法向量為.因為，由得令，，，得則，所以二面角的余弦值為.4.在平面四邊形中，，，將沿AC翻折至，其中P為動點.（1）設，三棱錐的各個頂點都在球O的球面上．（i）證明：平面平面；（ii）求球O的半徑（2）求二面角的余弦值的最小值.【答案】（1）（i）證明見解析；（ii）球O的半徑為；（2）.【分析】（1）（i）由題設求證，即可由線面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得證；（ii）建立以A為原點空間直角坐標系，設球心，半徑，由列方程組即可計算求解.（2）過P作于G，在平面中，過G作，設，，以G為原點建立空間直角坐標系，求平面和平面的一個法向量，由空間向量夾角公式，通過換元結合二次函數的性質求解即得.【小問1詳解】在中，由，得，所以，且，即，（i）證明：因為，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（ii）以A為原點，分別為x軸和y軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系，則，設球心，半徑，則，所以，解得，所以球O的半徑為；【小問2詳解】在平面中，過P作于G，在平面中，過G作，則由（1），設，以G為原點，分別為x軸和y軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面和平面的一個法向量分別為QUOTEm=x1,y1,z1，QUOTEn=x2,則，，所以，，取，，則，，所以，令，則,由得，則，則，當且僅當即，時等號成立，所以二面角的余弦值的最小值為.【點睛】求空間二面角常用方法：（1）定義法：根據定義作出二面角的平面角；（2）垂面法：作二面角棱的垂面，則垂面與二面角兩個面的兩條交線所成的角就是二面角所成角的平面角；（3）向量坐標法：作空間直角坐標系，求出二面角的法向量，由空間向量的夾角公式計算即可；（4）射影面積法：求出斜面面積和它在有關平面的射影的面積，再由射影面積公式計算求解.解法指導：翻折問題的兩個解題策略：1、確定翻折前后變與不變的關系：畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數量關系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置和數量關系不變，而位于“折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發生變化；對于不變的關系應在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決。2、確定翻折后關鍵點的位置：所謂的關鍵點，是指翻折過程中運動變化的點．因為這些點的位置移動，會帶動與其相關的其他的點、線、面的關系變化，以及其他點、線、面之間位置關系與數量關系的變化．只有分析清楚關鍵點的準確位置，才能以此為參照點，確定其他點、線、面的位置，進而進行有關的證明與計算。題型七、空間動點存在性問題的探究1.如圖，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且．(1)設線段中點為，證明：平面；(2)在線段上是否存在點，使得點到平面的距離等于，如果存在，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)存在，的長為【解析】（1）取的中點，的中點，連結、、則有，，因為，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.（2）存在.設，在中，.因為面，所以.因為面，面，面所以,，則均為直角三角形.在中，同理，.取的中點，因為，所以，而.故.因為點到面的距離等于，所以.而，所以，解得.所以在線段上只存在唯一一點，當且僅當時，點到面的距離等于.如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面.

(1)求證：；(2)若，在棱上是否存在一點，使得四棱錐的體積為？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見講解；(2)當點為中點時，四棱錐的體積為，理由見詳解.【詳解】（1）過點作，垂足為，

因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）當點為中點時，四棱錐的體積為，理由如下：

過點作，交于點，因為平面，平面，所以，又，所以，由（1）可知，，所以，即，所以，設點到平面的距離為，則，所以，即到平面的距離為，在三棱柱中，，由（1）可知，平面，所以平面，又，所以，又，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為，即，故為中點，所以為中點時，四棱錐的體積為.3.如圖，在多面體中，四邊形為平行四邊形，且平面，且,點分別為線段上的動點，滿足.（1）證明：直線平面；（2）是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？請說明理由.（1）證明見解析（2）存在，理由見解析【分析】（1）以為原點，分別以方向為軸建立如圖所示空間直角坐標系，證明與平面的法向量垂直即可證；（2）由線面角的向量法求線面角后可得結論．【小問1詳解】如圖，以為原點，分別以方向為軸建立坐標系