2025年高考數學二輪復習壓軸題突破拿高分（導數篇）專題04導數新定義問題（新運算）新定義問題的解題思路：1、找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；2、由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言；3、將已知條件代入新定義的要素中；4、結合數學知識進行解答.解題步驟，求解“新定義”題目，主要分如下幾步：1、對新定義進行信息提取，明確新定義的名稱和符號；2、對新定義所提取的信息進行加工，探求解決方法和相近的知識點，明確它們的相同點和相似點；3、對定義中提取的知識進行轉換、提取和轉換，這是解題的關鍵。題型一：高數背景下的公式、定理【例】（2324高二格致中學練習）材料：函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，在現行的高等數學與數學分析教材中，對“初等函數”給出了確切的定義，即由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算及有限次的復合步驟所構成的，且能用一個式子表示的，如函數，我們可以作變形：，所以可看作是由函數和復合而成的，即為初等函數.根據以上材料：（1）直接寫出初等函數極值點（2）求初等函數極值.【例】（2024·廣西柳州·模擬預測）帕德近似是法國數學家亨利．帕德發明的用有理多項式近似特定函數的方法．給定兩個正整數m，n，函數在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．注：，，，，…；為的導數）．已知在處的階帕德近似為．(1)求實數a，b的值；(2)比較與的大小；(3)若有3個不同的零點，求實數m的取值范圍．【例】帕德近似是法國數學家亨利·帕德發明的用有理多項式近似特定函數的方法．給定兩個正整數，，函數在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：(1)求實數，的值；(2)求證：；(3)求不等式的解集，其中．【例】我們把底數和指數同時含有自變量的函數稱為冪指函數，其一般形式為，冪指函數在求導時可以將函數“指數化"再求導.例如，對于冪指函數，.(1)已知，求曲線在處的切線方程；(2)若且，.研究的單調性；(3)已知均大于0，且，討論和大小關系.題型二：利用運算關系構造新函數【例】（虹口2023二模）設，，.（1）求函數，的單調區間和極值；（2）若關于不等式在區間上恒成立，求實數的值；（3）若存在直線，其與曲線和共有3個不同交點，，，求證：，，成等比數列.【例】（2023·上海寶山·統考一模）已知函數，，其中為自然對數的底數.(1)求函數的圖象在點處的切線方程；(2)設函數，①若，求函數的單調區間，并寫出函數有三個零點時實數的取值范圍；②當時，分別為函數的極大值點和極小值點，且不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.【例】（奉賢2023一模21）已知函數，其中.（1）求函數在點的切線方程；（2）函數是否存在極值點，若存在求出極值點，若不存在，請說明理由；（3）若關于的不等式在區間上恒成立，求實數的取值范圍.題型三：利用函數對稱平行關系下定義【例】（2023·上海閔行·一模）定義：如果函數和的圖像上分別存在點M和N關于x軸對稱，則稱函數和具有C關系．(1)判斷函數和是否具有C關系；(2)若函數和不具有C關系，求實數a的取值范圍；(3)若函數和在區間上具有C關系，求實數m的取值范圍．【例】（2324高三下·上海·期中）定義如果函數和的圖像上分別存在點和關于軸對稱，則稱函數和具有關系.(1)若，試判斷函數和是否具有關系；(2)若函數和不具有關系，求實數的取值范圍；(3)若函數和在區間上具有關系，求實數的取值范圍.【例】（2024屆金山區二模）已知函數與有相同的定義域．若存在常數()，使得對于任意的，都存在，滿足，則稱函數是函數關于的“函數”．（1）若，，試判斷函數是否是關于的“函數”，并說明理由；（2）若函數與均存在最大值與最小值，且函數是關于的“函數”，又是關于的“函數”，證明：；（3）已知，，其定義域均為．給定正實數，若存在唯一的，使得是關于的“函數”，求的所有可能值．題型四：其它角度下定義【例】已知為實數，．對于給定的一組有序實數，若對任意，，都有，則稱為的“正向數組”．(1)若，判斷是否為的“正向數組”，并說明理由；(2)證明：若為的“正向數組”，則對任意，都有；(3)已知對任意，都是的“正向數組”，求的取值范圍．【例】（青浦2023一模21）設函數（其中是非零常數，是自然對數的底），記（）.（1）求對任意實數，都有成立的最小整數的值（）；