邏

輯

學導論（第15版）IntroductiontoLogicPPT制作湖南師范大學

彭道林

[美]歐文·M.柯匹[美]卡爾·科恩著[加]維克多·羅迪奇張建軍潘天群頓新國等譯8第8講命題邏輯I：真值函項陳述與論證三大“思想法則”：邏輯的原理第一節目錄Contents邏輯等價第二節陳述形式與實質等值第三節一些常見的論證形式第四節根據真值表檢驗論證：完備的真值表方法第五節“無效”和“有效”的精確含義第六節論證形式與運用邏輯類推進行的反駁第七節條件陳述與實質蘊含第八節合取、否定與析取第九節真值函項性：簡單陳述與復合陳述第十節現代邏輯及其符號語言第十一節第一節

演繹理論1.演繹理論演繹的一般理論有兩大目標：（2）“現代符號邏輯”（數理邏輯）（1）“亞里士多德三段論邏輯”（1）解釋演繹論證中前提和結論之間的關系。兩種杰出的演繹理論：（2）提供區分有效演繹和無效演繹的技術。第一節

現代邏輯及其符號語言現代邏輯不始于對直言命題的分析，因此，并不是建立在三段論系統基礎之上。它所使用的是與古典邏輯完全不同的概念和技術?，F代邏輯始于：識別與區分簡單陳述和復合陳述——演繹論證所依賴的基石。人工語言（符號）能精確地表述邏輯關系。符號能使我們直達一個論證的核心，將其非本質屬性放在一邊而展示出論證的本質屬性，現代邏輯中，事物的類與類之間的關系并不處于核心位置。自然語言的特點：語詞可能是模糊的或歧義的，論證的結構可能是含混的，比喻和習語可能會引起混淆或誤導，訴諸情感可能會引起混亂......——導致精確的邏輯分析變得困難。2.現代符號邏輯的特點第一節

現代邏輯及其符號語言約翰·文恩皮爾斯弗雷格羅素哥德爾阿蘭·圖靈馮·諾依曼現代符號邏輯的杰出人物萊布尼茨喬治·布爾維特根斯坦第一節

現代邏輯及其符號語言直達命題或論證的內部結構和對所有演繹至關重要的邏輯連詞(它們在數量上非常少)。一些三段論無法充分表達的演繹形式，通過現代邏輯的路徑，使用符號語言，可以更為直接地對演繹論證進行更為透徹的分析?，F代符號邏輯不受演繹論證要轉換成標準的三段論形式的制約。3.現代符號邏輯的關注點現代邏輯系統比三段論更為直接、有力。第二節

真值函項性：簡單陳述和復合陳述陳述分為兩大類：真值函項（真值函項陳述）：即陳述的真值是由一個或更多構成該陳述的分支陳述的真值所唯一確定的。每個陳述或者為真或者為假。邏輯學中，這個性質被稱為陳述的真值：真陳述的真值為真，假陳述的真值為假。1.陳述的分類一個簡單陳述不是其他陳述的真值函項：它是且只是它本身的真值函項，這是真值函項的極限情形。簡單陳述“那個盲囚沒戴紅帽子?！睆秃详愂觥澳莻€盲囚戴著紅帽子或者那個盲囚戴著白帽子?！钡诙?/p>

真值函項性：簡單陳述和復合陳述一個復合陳述意味著它是至少一個其他分支陳述的真值函項?！安⒎遣槔硎钦麧嵉摹笔且粋€復合陳述：因為它是另一個陳述“查理是整潔的”的真值函項。復合陳述“那個盲囚戴著紅帽子，或者他戴著白帽子”則是“那個盲囚戴著紅帽子”和“那個盲囚戴著白帽子”這兩個陳述的真值函項。2.復合陳述的真值函項性簡單或復合陳述的判定標準：（1）這個陳述是不是其他不同陳述的真值函項；（2）這個陳述是否包含邏輯詞匯。第二節

真值函項性：簡單陳述和復合陳述邏輯詞匯：“并且”、“或者”、“如果....那么”、“當且僅當”以及“并非”?！鞍⒈壬w爾相信奧巴馬是美國第42屆總統”不是復合陳述：（1）它的真值不由“奧巴馬是美國第42屆總統”確定；（2）這個陳述沒有包含邏輯詞匯。簡單陳述不是其他陳述的真值函項，因此不包含能夠作為邏輯詞匯的語詞。2.復合陳述的真值函項性復合陳述至少是另一個陳述的真值函項，因此，它至少包含一個語詞作為邏輯詞匯。第三節

合取、否定與析取復合的真值函項陳述包含一個或多個邏輯詞匯作為邏輯算子。邏輯聯結詞“并非”置于一個陳述的前面(左邊)。綜

述5個邏輯算子“·”(圓點符，代表“并且”)“∨”(楔劈符，代表“或者”)“?”(馬蹄符，代表“如....那么”)~(波浪符，代表“并非”)“≡”(三杠號，代表“當且僅當")邏輯聯結詞第三節

合取、否定與析取在兩個陳述之間使用語詞“并且”即形成它們的合?。罕蝗绱寺摻Y的兩個陳述叫合取支。A.合取一個合取就是一個真值函項復合陳述：它由兩個陳述(兩個真值函項分支)組成，即由兩個合取支通過真值函項聯結詞“并且”組成，用符號“·”相聯結。合取復合陳述：“查理是整潔的并且查理是可愛的”：第一個合取支是“查理是整潔的”，第二個合取支是“查理是可愛的”。第三節

合取、否定與析取合取陳述的真值是它的兩個合取支確定的真值函項。一個合取陳述是真的，當且僅當，它的兩個合取支都是真的；否則，它就是假的。A.合取如果p為真且q為真，那么p?q為真如果p為真且q為假，那么p?q為假如果p為假且q為真，那么p?q為假如果p為假且q為假，那么p?q為假合取符號真值表pqp·qTTTTFFFTFFFF第三節

合取、否定與析取“和”與“并且”除了真值函項連接詞之外，還有其他的用法：“和”：“愛因斯坦和哥德爾是同時代的人”這是個簡單陳述而非合取，雖然有聯結詞“和”?！安⑶摇币策€有“隨之而來”的意味，即時續關聯?！碍偹箯慕M約進人該國并且直接趕往芝加哥”，“他脫了鞋并且躺在了沙發上”......注意：自然語言語詞“但是”“還”“也”“仍然”“盡管”“然而”“此外”“雖然如此”等，甚至逗號和分號都可以用來把兩個陳述聯結成一個復合陳述，在合取的意義上來說，它們都可以用圓點符號表示。A.合取第三節

合取、否定與析取自然語言中，一個陳述的否定通常是在原陳述前加一個“并非”?；蛘呖梢越o一個陳述加一個后綴來表達該陳述的否定。B.否定所有人生來都是平等的。并非所有人生來都是平等的。沒有三角形是圓。并非沒有三角形是圓。有的脊椎動物是哺乳動物。有的脊椎動物是哺乳動物，然而，事實并非如此。第三節

合取、否定與析取通常用符號“~”來表示一個陳述的否定。B.否定任何真陳述的否定都是假的，任何假陳述的否定都是真的。否定符號真值表p~PTFFT第三節

合取、否定與析取自然語言中，兩個陳述的析取是通過語詞“或”形成的，兩個分支陳述叫“析取支”。自然語言語詞“或”有兩個相關但可區分的含義。（1）弱的或可兼的含義：“保險金會因生病或失業而被取消”?？杉嬉饬x上的“或”有“二者之一，可能二者都”之意。C.析取（2）強的或不可兼的含義“至少且至多一個”：“那個盲囚或者帶紅帽子或者帶白帽子”，意思是只能戴一種顏色的帽子。要精確表達“或”的不可兼的含義，通常要加上詞組“二者不可得兼”。第三節

合取、否定與析取自然語言中，弱的或可兼的析取寫為p∨q，楔劈符(或稱可兼析取號“∨”)是一個真值函項聯結詞。一個弱析取為假，僅當它的兩個析取支皆假；否則，它就是真的。C.析取析取符號真值表pqp∨qTTTTFTFTTFFF第三節

合取、否定與析取一個含有析取前提的論證：那個盲囚戴著紅帽子或者那個盲囚戴著白帽子。那個盲囚沒戴紅帽子。因此，那個盲囚戴著白帽子。C.析取不管語詞“或”采取何種含義，可兼析取還是不可兼析取，該析取三段論都是有效的，因此，可以簡單地把語詞“或”翻譯為邏輯符號“∨”。除非能確定不可兼析取，將析取當做可兼是明智的。第三節

合取、否定與析取自然語言中，“或”的不可兼含義，通常是需要明確表述“二者不可兼得”，即便是“除非”這樣看似不可兼的語詞，也會被用來傳達多重可能的含義：“除非你努力學習，否則你考不好”可以符號化P∨S，因為它斷言的是有一個析取支是真的，但也有可能“努力學習也考不好”。對于不可兼析取，用符號“∨”表示?！俺窍掠?，野餐將舉行”以及“這場比賽除非中國隊獲勝，否則中國隊將不可能出現，盡管這早已是常態”，斷言的是“不下雨就會舉行野餐”以及“沒有獲勝就不可能出現”，但并未斷言“不下雨是否舉行野餐”以及“獲勝了就一定能出現”。C.析取第三節

合取、否定與析取析取的否定通常是由語詞“不......也不”來完成的?！盎蛘邜垡蛩固够蛘吒绲聽柺莻ゴ蟮漠嫾??！盋.析取“愛因斯坦不是偉大的畫家，哥德爾也不是。”精確的符號描述只有在引入標點符號之后才能完成。否定第三節

合取、否定與析取自然語言中，要使復雜陳述意義明確，標點符號是必需的。若沒有不同的標點符號的使用，許多句子就會非常含混。引入的()、[]、{}等標點符號，表達意義同數學使用。D.標點符號（S·P）∨F“我將努力學習并通過考試，否則我將不及格?！盨·（P∨F）“我將努力學習，并且我或者通過考試或者不及格。”“我將努力學習并通過考試或不及格。”S·P∨F沒有標點符號的意義是含混的。第三節

合取、否定與析取引入標點符號后的析取否定的符號表達：這兩個表達式是邏輯等價的，即德·摩根律的一個變體。D.標點符號“或者愛因斯坦或者哥德爾是偉大的畫家?！狈柣篈∨G否定表達式1：~（A∨G）否定表達式2：（~A）·（~G）第三節

合取、否定與析取引入標點符號之后，語句的符號表達將會十分精確，從而展示出符號邏輯的強大力量。約定：在任意公式中，否定符號都是施加于標點符號所管轄的最小陳述。~p∨q的含義是：（~p）∨q，而不是：~（p∨q）。D.標點符號杰瑪和德勒克二者都不會當選。符號化：（~J）·（~D）杰瑪和德勒克不會二者都當選。符號化：~（J·D）不可兼析取的準確含義：（p∨q）·~（p·q），“∨”。課堂練習一、確定下列陳述的真值：1.~[~(斯德哥爾摩是挪威的首都V巴黎是法國的首都)V~(~倫敦是英國的首都·~羅馬是西班牙的首都)]。2.

(斯德哥爾摩是挪威的首都V~巴黎是法國的首都)V~(~斯德哥爾摩是挪威的首都·~倫敦是英國的首都)。3.

~[~(羅馬是西班牙的首都·斯德哥爾摩是挪威的首都)V~(~巴黎是法國的首都V~羅馬是西班牙的首都)]。課堂練習二、用字母E、I、J、L和S分別縮寫簡單陳述“埃及食品短缺惡化”、“伊朗提高石油價格”、“約旦要求更多美國援助”、“利比亞提高石油價格”、“沙特阿拉伯多買500架戰斗機”，來符號化下列陳述：1.沙特阿拉伯多買500架戰斗機，并且或者伊朗提高石油價格或者約旦要求更多美國援助。2.埃及食品短缺惡化或者約且要求更多美國援助，情形并非如此。3.伊朗提高石油價格且埃及食品短缺惡化，或者并非約旦要求更多美國援助且沙特阿拉伯多買500架戰斗機。第四節

條件陳述與實質蘊含由語詞“如果——那么”聯結起來的兩個陳述構成的復合陳述就是一個條件陳述（也叫“假言陳述”、“蘊涵”或“蘊涵陳述"）一個條件陳述斷言在其前件為真的任何情形下，它的后件也是真的。1.條件陳述前件：跟在“如果”后面的分支陳述。后件：跟在“那么”后面的分支陳述。一個條件陳述的基本含義：斷言其前后件之間的某種關系以特定次序成立。既不斷言其前件為真。也不斷言其后件為真。第四節

條件陳述與實質蘊含A：后件由前件邏輯地推出（邏輯）如果所有人都有死且蘇格拉底是人,那么蘇格拉底有死。B：后件由前件中的術語的定義得來（定義）如果理查德是單身漢,那么理查德是未婚的。C：蘊含關系為因果關系（因果關系）如果把這張藍色的石蕊紙放在酸液中,那么這張藍色的石蕊紙就會變紅。D：表述的是說話者在某種特定情況下以特定方式行事的決策（決策）如果中國男足能進入世界杯，那么他就當猴子的叔叔。2.“蘊含”的含義第四節

條件陳述與實質蘊含與析取類似，探討“蘊含”共同部分的含義是極其重要的。如果已知合取p·~q為真，也就是說，如果它的前件為真且后件為假，則可知該條件陳述為假。3.不同含義“蘊含”的共同部分不管一個條件陳述斷言的是何種蘊涵，它的一部分含義是對其前件和后件的否定的合取的否定。對任一條件陳述“如果p，那么q”來說，如果它的后件為假且前件為真，該條件陳述本身就被證明為假。亦即，對任何為真的條件陳述“如果p那么q”而言，它的前件和后件的否定的合取的否定，即陳述~(p·~q)必定也為真。因此，對于一個真的條件陳述，則p·~q必定為假，也就是說，它的否定~(p·~q)必定為真。什么情形足以確立一個給定條件陳述的假?第四節

條件陳述與實質蘊含引入符號“?”來表達短語“如果—那么”的這種共同部分的含義，但它不是與前面提到的任何一種蘊含相同的蘊含，邏輯學家稱之為實質蘊含。4.實質蘊含實質蘊含符號“?”[~（p?~q）]

確切含義的真值表pq~qp?~q~（p?~q）p?qTTFFTTTFTTFFFTFFTTFFTFTT第四節

條件陳述與實質蘊含實質蘊涵沒有表明前后件之間的“實在關聯”，所斷定的僅僅是：并非前件為真而后件為假，即[~（p?~q）]?；蛘哒f，它斷定或者前件為假或者后件為真，即~p∨q。4.實質蘊含~（p?~q）、p?q、~p∨q為真為假的情形是完全一樣的，因此他們之間彼此是邏輯等價的。第四節

條件陳述與實質蘊含一個實質蘊涵陳述或條件陳述是一個真值函項陳述，馬蹄符“?”是一個真值函項聯結詞。因此，真值表可以定義實質蘊涵-條件陳述以及馬蹄符“?”。4.實質蘊含實質蘊含真值表pqp?qTTTTFFFTTFFT一個條件陳述是假的，當且僅當，它的前件是真的而它的后件是假的；否則，它就是真的。第四節

條件陳述與實質蘊含4.實質蘊含這個真值表定義所表明的，馬蹄符“?”有幾個乍看起來很奇怪的特征：1、假前件實質蘊含真后件的斷言是真的;2、假前件實質蘊含假后件也是真的。因為數2比數4?。?<（4），可推出任何小于2的數都小于4，即：如果x<2，那么x<4。當X=1：如果1＜2，那么1＜4（真前件實質蘊含真后件——為真）當X=3：如果3＜2，那么3＜4（假前件實質蘊含真后件——為真）當X=5：如果5＜2，那么5＜4（假前件實質蘊含假后件——為真）第四節

條件陳述與實質蘊含詞組“如果——那么”的任何一次出現都可以翻譯成邏輯符號“?”。用符號“?”把所有條件陳述僅翻譯成實質蘊涵是合理的。4.實質蘊含盡管許多論證包含各種不同類型的條件陳述，但是，即便忽略這些論證的條件陳述的附加含義，我們所關注的一般類型的有效論證的有效性也都得到了保留。如果他有一個好律師，那么他會被判無罪。如果他有一個好律師，他會被判無罪。他會被判無罪，如果他有一個好律師的話。他有一個好律師蘊含他會被判無罪。他有一個好律師蘊含他會被判無罪。如果他有一個好律師，那么他不可能不被判無罪。均可符號化為：p?q第四節

條件陳述與實質蘊含（1）“p是q的充分條件”5.充分條件和必要條件q如果p：p?q油箱里有油是轎車行駛的一個必要條件。如果轎車行駛，那么它的油箱里有油。轎車行駛僅當它的油箱里有油。均可符號化為：p?q（2）“p是q的必要條件”q僅當p：q?p（3）“p是q的充分條件且p是q的必要條件”q當且僅當p：（p?q）·（q?p）p是q的必要且充分條件。第四節

條件陳述與實質蘊含并非每個含有“如果”(或類似語詞)的陳述都是條件陳述。NOTE特定語詞的出現與否絕不是決定性的。在每種情形下，必須先理解給定語句的含義，然后用符號公式重新表述這種含義?！氨淅镉惺称?，如果你想吃?！薄澳淖雷訙蕚浜昧?，如果您樂意的話?！薄凹偃绺信d趣，有個消息給你?！薄凹幢銢]得到允許，會議也會舉行。”并非條件陳述課堂練習如果A、B、C是真陳述，而X、Y、Z是假陳述，用馬蹄號、圓點號、楔劈號和波浪號的真値表確定下列陳述的真值。1.[(AつB)つC]つZ2.[(A·X)V(~A·~X)]つ[(AつX)·(XつA)]3.{[Aつ(BつC)]つ[(A·B)つC]}つ[(YつB)つ(CつZ)]第五節論證形式與運用邏輯類推進行的反駁若兩個論證具有完全相同的論證形式，一個論證無效（真前提假結論即無效論證），可類推說明另一論證無效，即基于邏輯類推進行反駁。如果華盛頓是被暗殺的，那么華盛頓死了，華盛頓死了，因此，華盛頓是被暗殺的。1.運用邏輯類推進行反駁如果培根寫了那些通常歸功于莎士比亞的劇本，那么培根是一位偉大的作家，培根是一位偉大的作家，因此，培根寫了那些通常歸功于莎士比亞的劇本。第五節論證形式與運用邏輯類推進行的反駁基于邏輯類推進行反駁的原理：基于邏輯類推進行反駁的思路：1.運用邏輯類推進行反駁（1）有效性和無效性是演繹論證的純粹形式的特征。（2）不管它們討論的題材有何差別，任何兩個具有完全相同形式的論證，或者都是有效的，或者都是無效的。要證明某論證A無效，構造論證形式相同的另一論證B：（（1）它與第一個論證有完全一樣的形式；（（2）它有明顯的真的前提和假的結論。第五節論證形式與運用邏輯類推進行的反駁將之前的兩個論證符號化，隨后引入論證形式的概念：如果華盛頓是被暗殺的，那么華盛頓死了，華盛頓死了，因此，華盛頓是被暗殺的。2.論證形式如果培根寫了那些通常歸功于莎士比亞的劇本，那么培根是一位偉大的作家，培根是一位偉大的作家，因此，培根寫了那些通常歸功于莎士比亞的劇本。B?GG?BA?WW?A符號化符號化引入變量

p（B、A）、q（G、W）：p?qq?p第五節論證形式與運用邏輯類推進行的反駁論證形式：即一個符號序列——一行符號串作為結論并且一行或多行符號串作為前提，其中包含一些不是陳述的陳述變元，使得當用陳述代入陳述變元時(同一陳述始終代人同一陳述變元)，其結果就是一個論證。如果華盛頓是被暗殺的（A），那么華盛頓死了（W），華盛頓死了（W），因此，華盛頓是被暗殺的（A）。2.論證形式以陳述代人一個論證形式中的陳述變元而得到的任何論證——相同的陳述變元要始終代人相同的陳述——就叫作該論證形式的一個代入例。p?qq?p論證形式代入例A?WW?A論證第五節論證形式與運用邏輯類推進行的反駁對任何論證來說，通常有多個論證形式,

它們以該給定論證作為代入例之一。如果華盛頓是被暗殺的（A），那么華盛頓死了（W），華盛頓死了（W），因此，華盛頓是被暗殺的（A）。A?WW?A2.論證形式形式1：p?qq?pA代入p，W代入q給定論證的多個論證形式：形式2：p?qr?pA代入p，W代入q和r形式3：

p?qr?sA代入p和s，W代入q和r形式4：

pr?sA?W代入p，A代入r，W代入s第五節論證形式與運用邏輯類推進行的反駁論證形式1顯然比其他幾個更緊密地對應于給定論證的結構，該論證是通過以不同的簡單陳述，代入其中的每個不同陳述變元而獲得的。2.論證形式形式1：p?qq?pA代入p，W代入q形式2：p?qr?pA代入p，W代入q和r形式3：

p?qr?sA代入p和s，W代入q和r形式4：

pr?sA?W代入p，A代入r，W代入s特征形式：只要一個論證是通過一致地以不同的簡單陳述帶入一個論證形式中每個不同的陳述變元而產生的，該論證形式就是這個論證的特征形式。特征形式第六節“無效”和“有效”的精確含義論證形式有效性的定義：一個論證形式是有效的，當且僅當，它不可能出現前提皆真而結論為假的情形，即它沒有前提皆真而結論為假的代入例。如果一個給定論證，其特征形式出現任何前提皆真而結論為假的代入例，即可判定該論證無效。特征形式無效的論證一定是無效論證。論證形式無效性的定義：一個無效的論證形式可以前提皆真而結論為假，即至少存在一個代入例，使得該論證形式前提皆真而結論為假。邏輯類推反駁的基礎。第七節根據真值表驗證論證：完備的真值表方法對于命題邏輯的任何真值函項論證形式(或論證)來說，CTTM通過驗證它是否可以有前提皆真且結論為假，來確定此論證是否有效。利用CTTM，通過一個論證形式的陳述變元的每一種真值組合，可以確定給定的論證是不是邏輯可能的。如何確定一個演繹論證形式是有效或無效？完備的真值表方法(簡稱CTTM)：對任何論證或論證形式的有效或無效的一種判定程序。1.概述第七節根據真值表驗證論證：完備的真值表方法無效論證形式：一個無效論證形式可以有所有前提為真且結論為假的情形。對于陳述變元的任何真值組合，一個無效的論證至少有一種組合使得前提皆真而結論為假。有效論證形式：一個有效論證形式不可能所有前提為真且結論為假。對于論證形式的陳述變元的任何真值組合，一個有效的論證形式不可能所有前提為真且結論為假。在一個完備的真值表中，一個有效的論證形式在任一行（即陳述變元的任何一種真值組合）都不可能出現所有前提皆真而結論為假的情形。在一個完備的真值表中，一個無效論證形式至少存在一行（即陳述變元的至少某種真值組合）使得所有前提皆真而結論為假。2.判定原則第七節根據真值表驗證論證：完備的真值表方法（一）必須展示論證形式中的每個陳述變元（p、q、r等）的真假值的全部組合。對于含有3個陳述變元的論證形式：（P（1）p?q（P（2）q?~r?p?~r3.正確構造完備的真值表pqrTFTFFFTTTTTTFFFFTTTTFFFF（1）在第3列（r下面）T、F交替使用；（2）在第2列（q下面）TT、FF交替使用；（3）在第3列（p下面）4個T、4個F交替使用；第七節根據真值表驗證論證：完備的真值表方法（二）每個前提和結論構成的復合陳述也要有一個列。對于含有3個陳述變元的論證形式：（P（1）p?q（P（2）q?~r?p?~r3.正確構造完備的真值表pqr~rTTTTTFTFTTFFFTTFTFFFTFFF前提和結論中含有“~r”，因此，在開啟前提和結論列之前，先為“~r”開啟一列。FTFTFTFT第七節根據真值表驗證論證：完備的真值表方法謹記：在構造前提列和結論列之前，先構造前提和結論的復合列，然后按從最簡單到最復雜的順序構造它們。對于含有4個陳述變元的論證形式：（P（1）p?（q·r）（P（2）（q∨r）?s?p?s3.正確構造完備的真值表pqrsq·rq∨r在開啟前提和結論列之前，先開啟前提和結論中的復合列。第七節根據真值表驗證論證：完備的真值表方法（三）在最右邊開啟前提列和結論列（右數第一列）。對于含有4個陳述變元的論證形式：（P（1）p?（q·r）（P（2）（q∨r）?s?p?s3.正確構造完備的真值表pqrsq·rq∨r必須正確標記前提和結論！完成真值表后，只需要檢查前提和結論所在列的真值。P1P2∴p?（q·r）（q∨r）?sp?s第七節根據真值表驗證論證：完備的真值表方法4.已構造的真值表第七節根據真值表驗證論證：完備的真值表方法案例1：5.諸多案例∴P2P1pqp?qTTTTFFFTTFFT（P（1）p?q（P（2）

q

?

p完備的真值表顯示，存在一行（第3行）前提皆真而結論為假，論證無效！所有特征形式為肯定后件式的論證均為無效論證！

完備的真值表第七節根據真值表驗證論證：完備的真值表方法案例2：5.諸多案例（P（1）p?q（P（2）q?~r?p?~r完備的真值表P1P2∴pqr~rp?qq?~rp?~rTTTFTFFTTFTTTTTFTFFTFTFFTFTTFTTFTFTFTFTTTTFFTFTTTFFFTTTT結論為假時，前提并非皆真，論證有效！前提皆真時結論也是真的，論證有效！第七節根據真值表驗證論證：完備的真值表方法案例3：5.諸多案例（P（1）p?q（P（2）q?r（P（3）~r?p·~q完備的真值表P1P2P3∴pqr~qp?qq?r~rp·~qTTTFTTFFTTFFTFTFTFTTFTFTTFFTFTTTFTTFTTFFFTFFTFTFFFTTTTFFFFFTTTTF前提皆真時結論為假，論證無效！第七節根據真值表驗證論證：完備的真值表方法案例4：5.諸多案例（P（1）p?（q·r）（P（2）（q∨r）?s?p?s完備的真值表P1P2∴pqrsq·rq∨rp?（q·r）（q∨r）?sp?sTTTTTTTTTTTTFTTTFFTTFTFTFTTTTFFFTFFFTFTTFTFTTTFTFFTFFFTFFTFFFTTTFFFFFFTFFTTTTTTTTFTTFTTTFTFTFTFTTTTFTFFFTTFTFFTTFTTTTFFTFFTTFTFFFTFFTTTFFFFFFTTT無前提皆真結論為假的情形，論證有效！第八節一些常見的論證形式A.常見的有效論證形式析取三段論否定后件式假言三段論構造式二難有效的論證形式肯定前件式第八節一些常見的論證形式A1.

析取三段論∴P1P2pqp∨q~pTTTFTFTFFTTTFFFT析取三段論的論證形式1：（P（1）p∨q（P（2）~p

?q完備的真值表唯一一行前提皆真，此時，結論也是真的，論證有效！第八節一些常見的論證形式A1.

析取三段論P2P1∴pqp∨q~pTTTFTFTFFTTTFFFT析取三段論的論證形式2：（P（1）p∨q（P（2）

q

?~p完備的真值表前提皆真結論為假，論證無效！廣義上的析取三段論還包括一些無效的形式：析取三段論是有效的論證形式是“析取三段論”一詞狹義上的使用。第八節一些常見的論證形式A2.

肯定前件式P2∴P1pqp?qTTTTFFFTTFFT肯定前件式：（P（1）p?q（P（2）

p

?q完備的真值表前提皆真時結論為真，論證有效！真值表可以為把“如果——那么”翻譯成“?”提供辯護。論證：如果第二個土著說真話，那么只有一個土著是政客。第二個土著說真話，因此，只有一個土著是政客。特征形式第八節一些常見的論證形式A3.

否定后件式P1P2∴pqp?q~q~pTTTFFTFFTFFTTFTFFTTT否定后件式：（P（1）p?q（P（2）

~q

?~p完備的真值表前提皆真時結論為真，結論為假時前提并非皆真，論證有效！論證：如果獨眼犯人知道自己所戴帽子的顏色，那么瞎眼犯人戴的就是紅帽子。瞎眼犯人戴的不是紅帽子，因此，獨眼犯人不知道自己戴的是什么顏色的帽子。特征形式第八節一些常見的論證形式A4.

假言三段論假言三段論：（P（1）p?q（P（2）q?r

?p?r論證：如果第一個土著人是政客，那么第一個土著人撒謊。如果第一個土著人撒謊，那么第一個土著人否認自己是政客。因此，如果第一個土著人是政客，那么第一個土著人否認自己是政客。特征形式第八節一些常見的論證形式A4.

假言三段論完備的真值表P1P2∴pqrp?qq?rp?rTTTTTTTTFTFFTFTFTTTFFFTFFTTTTTFTFTFTFFTTTTFFFTTT前提皆真時結論為真，論證有效！假言三段論：（P（1）p?q（P（2）q?r

?p?r結論為假時前提并非皆真，論證有效！第八節一些常見的論證形式A5.

構造式二難構造式二難：（P（1）(p?q)?(r?s)（P（2）p∨r

?q∨sP1P2∴pqrsp?qr?s(p?q)?(r?s)p∨rq∨sTTTTTTTTTTTTFTFFTTTTFTTTTTTTTFFTTTTTTFTTFTFTTTFTFFFFTFTFFTFTFTTTFFFFFFTFFTTTTTTTTFTTFTFFTTFTFTTTTFTFTFFTTTFTFFTTTTTTTFFTFTFFTFFFFTTTTFTFFFFTTTFF完備的真值表有4種情形結論為假，但前提都不是同時為真，論證有效！有5種情形前提都是真的，而結論都不是假的，論證有效！第八節一些常見的論證形式B.常見的無效論證形式否定前件式常見的無效論證形式有2種：肯定后件式特征形式（P（1）p?q（P（2）q?p（P（1）p?q（P（2）

~p

?~q特征形式第八節一些常見的論證形式B1.

肯定后件式∴P2P1pqp?qTTTTFFFTTFFT肯定后件式特征形式：（P（1）p?q（P（2）

q

?p完備的真值表前提皆真時結論為假，論證無效！第八節一些常見的論證形式B2.

否定前件式否定前件式特征形式：（P（1）p?q（P（2）

~p

?~q完備的真值表P1P2∴pqp?q~p~qTTTFFTFFFTFTTTFFFTTT前提皆真時結論為假，論證無效！第八節一些常見的論證形式C.

代入例與特征形式有效論證：R∨W~R

?W有效論證形式析取三段論的代入例：p∨q~p?q并非原論證的特征形式，不能用來表明原論證無效！一個無效論證形式的所有代入例并非都是無效論證！也是無效論證形式的代入例：pq?r一個特征形式無效的論證才是無效論證！第八節一些常見的論證形式C.

代入例與特征形式論證：(IVJ)?(I?J)~(IVJ)∴~(I?J)完備的真值表P1P2∴IJIVJI?J(IVJ)?(I?J)~(IVJ)~(I?J)TTTTTFFTFTFFFTFTTFFFTFFFFTTT其特征形式不是否定前件式！有效性需要通過真值表來確定。前提皆真時，結論也是真的，論證有效！第八節一些常見的論證形式C.

代入例與特征形式有效論證形式的有效性的真值表證明可以確證這一點。一個有效論證形式的所有代入例必定有效！一個有效形式有前提為真而結論為假的代人例是不可能的。課堂練習用真值表確定下列論證的有效性或無效性練習題1：如果蒙大拿遭受嚴重干旱，那么，如果內華達低于正常平均降兩量，則俄勒岡的水供應會大幅度減少。內華達確實低于正常平均降雨量，因此，如果俄勒岡的水供應大幅度減少，那么蒙大拿會遭受嚴重干旱。練習題2：如果人是完全理性的，那么，或者一個人的所有行為可以被提前預測，或者宇宙本質上是確定性的。并非一個人的所有行為可以被提前預測。因此，如果宇宙本質上不是確定性的，那么人不是完全理性的。第九節陳述形式與實質等值A.陳述形式與陳述“陳述形式”：一個陳述形式是任何一個含有陳述變元但不含陳述的符號序列，若用陳述代人這些陳述變元——用同一個陳述始終一致地代入同一個陳述變元——其結果是一個陳述。陳述和陳述形式之間的關系與論證和論證形式之間的關系是完全平行的。與某種形式的論證稱為該論證形式的代入例類似，具有某種形式的任一陳述稱為該陳述形式的代入例。陳述的特征形式：通過一致地用不同的簡單陳述代入每個不同的陳述變元，就可以從其產生該給定陳述。pVq就是陳述“那個盲囚戴紅帽子或者那個盲囚戴白帽子”的特征形式。“論證形式”：一個論證形式是一個陳述形式序列，它的最后一個陳述形式是結論，其他陳述形式都是前提。第九節陳述形式與實質等值B.重言的、矛盾的和偶真的陳述陳述“以不同的方式”（“不同種類”）為真或假：陳述L∨~L：林肯或者是被暗殺的，或者不是。陳述L：林肯是被暗殺的。史實上的真。邏輯上的真，與史實無關。陳述W：華盛頓是被暗殺的。史實上的假。陳述W·~W：華盛頓既是被暗殺的又不是被暗殺的。邏輯上的假，與史實無關。第九節陳述形式與實質等值B.重言的、矛盾的和偶真的陳述兩種“不同種類”的真或假之間的差別是非常大的：事實上的真或假沒有邏輯必然性，必須通過經驗研究才能被發現。邏輯上的真或假具有邏輯的必然性：事件不可能如此這般以致使它為假（或真），它的真或假可以獨立于任何經驗研究而被知曉。陳述LV~L是一個邏輯真理，或曰形式真理，其真僅因其形式。第九節陳述形式與實質等值B.重言的、矛盾的和偶真的陳述一個其分支陳述變元的所有真值組合都為真的陳述形式叫作重言的陳述形式，或重言式。任何一個作為重言的陳述形式的代人例的陳述，依據其形式就是真的。真值表陳述形式pV~p是一個重言式p~pp∨~pTFTFTT第九節陳述形式與實質等值B.重言的、矛盾的和偶真的陳述正如一個有效的、純粹的真值函項論證形式，對于其分支陳述的任何真值組合都不可能出現前提皆真且結論為假的情形，一個重言陳述形式對于其分支陳述的任何真值組合都不可能為假。P1∴ppTTFF預期理由（丐題）論證形式：（P（1）p

?p真值表pp?pTTFT對應的條件陳述：p?p（重言式）真值表預期理由（丐題）是一種有效的論證形式，但這種特征形式的論證不能論證其結論的真，從而它不是篤證性論證。第九節陳述形式與實質等值B.重言的、矛盾的和偶真的陳述一個對于所有分支陳述變元的所有真值組合都為假的陳述形式，稱為自相矛盾的陳述形式，或矛盾式，它是邏輯地為假的。真值表陳述形式p·~p是一個矛盾式p~pp·~pTFFFTF第九節陳述形式與實質等值B.重言的、矛盾的和偶真的陳述既可為真又可為假的陳述形式——它的分支陳述變元的真值組合至少有一種為真，并且至少有一種為假——叫作偶真陳述形式。它們的真或假由內容而非形式決定。~q、p?q、p∨q、p?q等都是偶真陳述形式，~L、L?W、L∨W、L?W等都是偶真陳述。簡單陳述均為偶真陳述！第九節陳述形式與實質等值B.重言的、矛盾的和偶真的陳述并非所有陳述形式看上去都是簡單的、明顯是重言的、自相矛盾的或是偶真的。偶真式皮爾斯律[(p?q)?p]?ppqp?q(p?q)?p[(p?q)?p]?pTTTTTTFFTTFTTFTFFTFT真值表偶真式重言式一個陳述形式究竟是屬于重言式、矛盾式或是偶真式，最終需要真值表來檢驗。第九節陳述形式與實質等值C.實質等值實質等值陳述：一種真值函項陳述，斷言它所聯結的陳述有同樣的真值，當兩個陳述都為真或都為假時，它們就是“實質等值的”。實質等值的符號：三杠號“≡”。pqp≡qTTTTFFFTFFFT真值表任何兩個真陳述彼此實質地蘊涵；任何兩個假陳述也彼此實質地蘊涵。因此，任何兩個實質等值的陳述必定彼此蘊涵，因為它們或者都是真的，或者都是假的。第九節陳述形式與實質等值C.實質等值三杠號“≡”讀做“當且僅當”。A≡B邏輯等價于A?B與B?A的合取，因此，實質等值也被稱作“雙條件陳述”。僅當(只有)A是真的，才可以從B?A的真推斷出B是真的。當(如果)B是真的，從B?A的真可以推斷出A是真的;僅當(只有)

B是真的，才可以從A?B的真推斷出A是真的。A≡B當(如果)A是真的，從A?B的真可以推斷出B是真的;第九節陳述形式與實質等值C.實質等值“p，當且僅當q”(q是p的充分且必要條件):p≡q?！皅，僅當p”

(p是q的必要條件):q?p?！皅，當且僅當p”(p是q的充分且必要條件):(p?q)·(q?p)?！皃，當且僅當q”(q是p的充分且必要條件):(q?p)·(p?q)。實質等值與條件陳述間的關系：“q，如果p”或“如果p，那么q”(p是q的充分條件)：p?q。第九節陳述形式與實質等值概覽五個真值函項邏輯算子真值函項連接詞符號（符號的名稱）命題類型該命題類型中組成部分的名稱例子并且·

圓點號合取合取支卡羅是卑鄙的并且鮑勃唱藍調C·B或者V

楔劈號析取析取支卡羅是卑鄙的或者泰勒是一位音樂愛好者CVT如果……那么?

馬蹄號條件陳述前件?后件如果鮑勃唱藍調，那么莫娜情緒低落B?M當且僅當三杠號雙條件陳述等值支莫娜情緒低落當且僅當鮑勃唱藍調。MB并非~

波浪號否定陳述否定支并非泰勒是一位音樂愛好者~T第九節陳述形式與實質等值D.論證、條件陳述與重言式每個論證都對應著這樣一個條件陳述：它的前件是論證的前提的合取，后件是該論證的結論。肯定前件式：（P（1）p?q（P（2）

p

?q真值表P2∴P1前件后件條件陳述pqp?q(p?q)?pq[(p?q)?p]?qTTTTTTTFFFFTFTTFTTFFTFFT對應的條件陳述：[(p?q)?p]?q一個有效論證對應的條件陳述必定是重言式，因為不可能出現前件（前提的合?。檎妫蠹ńY論）為假的情形。第九節陳述形式與實質等值D.論證、條件陳述與重言式一個無效論證對應的條件陳述，或者是偶真式，或者是矛盾式，因為至少存在一種前件（前提的合?。檎?，后件（結論）為假的情形?？隙ê蠹剑海≒（1）p?q（P（2）

q

?p真值表∴P2P1前件后件條件陳述pqp?q(p?q)?qp[(p?q)?q]?pTTTTTTTFFTTTFTTTFFFFTFFT對應的條件陳述：[(p?q)?q]?p一個論證形式有效，當且僅當它所對應的條件陳述是重言式！第十節邏輯等價

1.邏輯等價的概念實質等值：斷言兩個陳述具有相同的真值（或同時為真或同時為假）。這種斷言或真或假，因此，兩個實質等值陳述之間不能相互替換?！澳拘潜鹊厍虼蟆焙汀氨本┦侵袊氖锥肌睂嵸|等值（同真），但不能相互替換?！八猩叨加卸尽昂汀彼猩叨紵o毒”實質等值（同假），也不能相互替換。允許相互替換的關系，即邏輯等價：兩個陳述形式是邏輯等價的，當且僅當，對于它們的分支陳述的每一種真值組合而言，它們都有相同的真值。第十節邏輯等價

1.邏輯等價的概念對于3個陳述：~（p?~q）、p?q、~p∨q，構造真值表如下：pq~p~qp?~qp?q~p∨q~（p?~q）TTFFFTTTTFFTTFFFFTTFFTTTFFTTFTTT真值表顯示，對于p和q的四種真值組合中的任意一種，3個陳述形式都有相同的真值，因此，它們中任何2個都是邏輯等價的。邏輯等價的另一種定義：兩個陳述形式是邏輯等價的，當且僅當，它們的實質等值是重言式，用符號“

”表示，這個符號可視為重言的雙條件陳述。（p?q）≡（~p∨q）TTTT真值表增加1列p?q和~p∨q的實質等值：≡T第十節邏輯等價

1.邏輯等價的概念實質等值和邏輯等價二者之間的差別很大，并且也很重要。實質等值是一個真值函項陳述形式，即“p≡q”，它為真或為假僅取決于它所聯結的分支的真或假。邏輯等價“”不只是一個聯結詞，它還表達兩個陳述之間某種非真值函項的關系。邏輯等價陳述總是有相同的真值，它們必定有同樣的（邏輯）意義。因此，它們可以在任何真值函項語境中互相替換而不改變在該語境中的真值。≡T兩個實質等值陳述僅僅碰巧有相同的真值，甚至它們之間沒有實際的聯系，那么，它們當然不能互相替換。第十節邏輯等價

2.幾個重要的邏輯等價式“雙重否定原則”：p~~p“他意識到那個困難?！薄八皇菦]有意識到那個困難。”真值表顯示，p

≡~~p是重言式，兩者邏輯等價。真值表≡Tp~p~~pp≡~~pTFTTFTFT第十節邏輯等價

2.幾個重要的邏輯等價式“德·摩根定理”析取式：~（pVq）

（~p?~q）真值表≡Tpqp∨q~（p∨q）~p~q~p?~q~（pVq）≡（~p?~q）TTTFFFFTTFTFFTFTFTTFTFFTFFFTTTTT真值表顯示，兩者邏輯等價。否定一個析取陳述形式為真，必須同時否定其兩個析取支。析取式的自然語言表達：兩個陳述析取的否定邏輯等價于這兩個陳述否定的合取。第十節邏輯等價

2.幾個重要的邏輯等價式“德·摩根定理”合取式：~（p?q）

（~pV~q）真值表≡Tpqp·q~（p·q）~p~q~pV~q~（p?q）≡~pV~qTTTFFFFTTFFTFTTTFTFTTFTTFFFTTTTT真值表顯示，兩者邏輯等價。否定一個合取