再考慮一個冰面上滑行的冰刀的簡化模型.假定將冰刀抽象為以剛性輕桿相連的兩個質點,并設兩質點質量相等,桿長為l,當冰刀在冰面上運動時,質心(桿的中點)的速度只能沿桿的方向.選兩質點在冰面上的坐標為(x1,y1)和(x2,y2)，則約束條件為前一個約束條件反映桿長不變,是幾何約束,即完整約束.后一個約束條件反映質心速度沿桿的方向,是運動約束;由于它是不可積的,即不能化為幾何約束,因而是非完整約束.后一個約束也可表為這意味著它是對無限小變化的限制.

約束還分為穩定約束和不穩定約束.穩定約束不直接依賴于時間,其數學表達式不顯含時間;不穩定約束則明顯依賴于時間,其數學表達式顯含時間.

此外，約束還可分為單側約束(可解約束)和雙側約束(不可解).單側約束只在某一側限制系統的運動,至于向另一側的運動則是完全自由的.例如單擺的不可伸長的懸繩限制擺球不得向繩伸長的方向運動，但向繩縮短的方向運動卻是自由的.單側約束的數學表示式是不等式,一般可寫為稱為約束不等式.單側約束是有可能解除的.約束是否解除或者何時解除,需要從運動方程解出約束力,再從約束力的指向是否正確來判斷.雙側約束限制著不論哪一側的運動,其數學表示式是(5.1)或(5.2)所示的約束方程.三、約束力

根據牛頓定律,一切影響質點機械運動的因素都歸結為力.因此約束作用也可以歸結為力.約束力的大小隨力學系統違背約束的趨勢的不同而自動調節,使約束條件總是得以滿足.因此出現在運動方程中的約束力不可能預先給定,它只能從運動方程并結合約束方程解出來.

一般將作用于第i個質點的約束力記作Ri,而把作用于同一質點的其余的力稱為主動力，記作Fi.有的資料把約束力稱為約束反力，因為這種力是體現約束條件的實體跟違背約束趨勢對抗的反作用力.阻礙物體運動的周圍物體——約束約束與約束反力的概念

約束對物體的作用力稱為約束反力簡稱反力約束反力的方向總是與約束所能阻止物體的運動方向相反幾類平面約束繩索、鏈條、皮帶1、柔性體約束

繩索的約束反力沿繩索中心線，離開物體，為拉力。2、光滑面約束

光滑接觸的約束反力通過接觸點，沿接觸面在該點的公法線方向，為壓力。3、圓柱鉸鏈約束上擺銷釘下擺固定鉸支座受力分析

固定鉸支座的約束反力通過銷釘中心，在垂直銷釘軸線的平面內，方向不定。銷釘中間鉸滾動鉸支座上擺銷釘底板滾輪滾動鉸支座的約束反力通過銷釘中心，垂直于支承面，指向物體。簡化表示：約束力表示：4、連桿支座

連桿支座的約束力沿連桿中心線，指向不定。二力構件：受兩力作用平衡的構件連桿5、固定端約束煙筒，電線桿，懸臂粱，機床的卡盤固定端約束的約束反力作用在固定端的一個力，和一個力偶，力的方向不定活動鉸支座固定鉸支座物體的受力分析確定構件受幾個力，每個力的作用位置和力的作用方向，這種分析過程稱為物體的受力分析。主動力：已知的力被動力：約束反力取分離體-----將所要研究的物體從周圍的物體中分離出來，單獨畫出它的簡圖。畫受力圖-----將施力物體對研究對象的作用力全部畫出來。受力分析的步驟：例.畫各構件的受力圖二力構件畫受力圖必須注意以下幾點：1.明確研究對象2.正確確定研究對象受力數目3.正確畫出約束反力4.注意物體間相互作用力的方向無論是靜力學問題還是動力學問題，在求解時，都需首先分析物體的受力情況。故而，物體的受力分析是力學的基礎，也是力學的重點。四、自由度和廣義坐標n個質點系統由n個位矢rl,r

2,…,rn確定，或由N＝3n個直角坐標，(x1，yl，z1),…,(xn，yn，zn)表示.如果該系統存在m個完整約束那么，在N個坐標之中，有m個坐標可以從方程組(5.4)

“解出”,即有m個坐標可用其余N-m個坐標表出，因此只剩下s=N-m個獨立坐標.

系統的獨立坐標的個數s叫作

系統在有限運動中的自由度——單值地確定一個系統的位形所必需的獨立量的數目.

每一個完整約束方程使力學系統減少一個獨立坐標,也就是說,使有限運動的自由度降低一.

獨立坐標并不一定在原來的N個坐標中挑選,完全可以自由地選定.這一組獨立參數叫作力學系統的廣義坐標.

既然廣義坐標描寫的力學系統的幾何形象一定滿足系統的完整約束條件,在引用廣義坐標之后,就不必再把完整約束方程另外提出來.

一般來說,

廣義坐標不再三個一組地組成矢量,

其量綱也不一定是長度量綱.例如被約束在球面上的質點可用經度和緯度這兩個角度作為廣義坐標.凡可以確定力學系統幾何形象的任何物理量,都可造作廣義坐標.

廣義坐標表征系統的位形，其隨時間的變化率稱為廣義速度.顯然,廣義速度的量綱也不一定是速度量綱.對于只有完整約束的力學系統來說不僅s個廣義坐標全是獨立的,而且s個廣義速度也全是獨立的.系統的運動可表達為廣義坐標q1,q2,…,qs隨時間的變化,即有

如果力學系統除了m個完整約束外，還存在k個非完整約束,則這時并不能解出k個坐標.所以非完整約束不能減少獨立坐標的個數,

但非完整約束卻會減少獨立速度分量的個數.這意味著減少獨立的坐標無限小變化的個數.我們稱獨立速度分量的個數為力學系統在無限小運動中的自由度.不論是完整約束還是非完整約束,都能使力學系統得無限小運動中的自由度降低一.

總之,n個質點的力學系統,若存在著m個完整約束和k個非完整約束,那么,質點的直角坐標數N＝3n,廣義坐標個數等于N-m,運動自由度等于N-m-k.對于只存在完整約束的系統(k＝0),廣義坐標的個數就是運動自由度.如果存在非完整約束(k>0),廣義坐標的個數大于運動自由度.運用廣義坐標后,不再需要考慮完整約束,但非完整約束仍需考慮,并應將它用相應的廣義速度表示.五、虛功原理1實位移和虛位移質點由于運動實際發生的位移,叫做實位移.用dr表示.想象的質點在約束許可情況下發生的位移,叫做虛位移.用

r表示.虛位移只決定于質點在此時的位置和加在它上面的約束,而不是由于時間變化所引起的.

虛位移和實位移的區別是實位移要滿足運動方程,而虛位移只需要滿足約束.在穩定約束下,實位移是無限多虛位移中的一個.而在不穩定約束時,可能二者不一致.設有n個質點的系統,存在m個完整約束,其約束方程設是滿足約束條件的虛位移,則對

ri作多元函數的泰勒展開(t被“凍結”),略去二次以上的項,滿足上式的一組

ri就是虛位移.

而真實位移dri是一個在時間dt間隔中完成的位移,

為使其滿足約束條件,必須于是得是約束對真實位移的限制條件,即時間不被“凍結”的可能位移應滿足的條件.如約束是穩定的,

虛實位移相同.虛位移與實位移比較表

虛位移實位移共同點為約束所允許為約束所允許不同點1）與主動力、作用時間、初始條件無關；

2）是可能位移，可有多個或無窮多個；

3）無限微量。與左邊三個因素有關唯一的，方向確定有限量表示方法用變分符號表示。如

等用微分符號表示。如

等相互關系在定常約束情況下，實位移是虛位移中的一個。虛位移的計算虛位移的計算主要指求質點系中各質點的虛位移之間的關系。有幾何法和解析法兩種。幾何法——直接利用約束條件求各點虛位移之間關系的一種方法。約束條件是指幾何關系、運動關系。解析法——用坐標變分的方法來求各點虛位移之間關系的一種方法。2虛功

作用在質點上的力在任意虛位移

r中所作得功,叫做虛功.

如果作用在一個力學系統上所有作用反力在任意虛位移中所作得虛功之和為零,即那么系統受到得約束叫做理想約束.一切光滑接觸以及剛體等都是理想約束.例1:質點沿固定的光滑曲面運動,約束方程為質點的虛位移應滿足即虛位移垂直于曲面的法向(

).由于約束面是光滑的,約束力沿曲面的法向,即因此虛功為例2:質點沿運動的光滑曲面運動,約束方程為質點的虛位移應滿足即虛位移仍垂直于曲面的法向.而約束力沿曲面的法向,所以虛功也仍為零.注意,這里約束力所作的真實的功并不為零,因為真實位移dr滿足它并不垂直于曲面的法向.

約束力的虛功為零,

這完全是因為虛位移在“凍結”了的(

t＝0)曲面的切平面上.例3:質點約束在光滑曲線上運動.這種情形可以看成質點約束在兩個光滑曲面上的運動,

其約束方程為質點的虛位移應滿足質點的虛位移應滿足這也是約束力和虛位移垂直的情況.故虛功為零.例4:剛性約束.剛體中兩質點的徑矢分別為ri和rj,則約束方程為因約束力是一對內力,大小相等方向相反,即Ri＝－Rj＝

(ri－rj).由約束方程可知虛位移滿足因此約束力的虛功3虛功原理

當系統處于平衡時,系統每一質點都是處于平衡.這樣,作用于第i個質點的主動力Fi和約束力Ri的合力應為零,即于是,作用于第i質點所有各力的虛功之和為零在理想約束條件下,如果系統處于平衡狀態,則其平衡條件為這稱為虛功原理.顯然:當一個只有理想約束的系統處于平衡狀態時,作用于該系統的所有主動力的虛功之總和為零.其實,即使是非理想的約束,仍然可以使用虛功原理.只要把F理解為既包括主動力又包括非理想約束反力即可.4廣義坐標下的虛功原理

由于虛位移不獨立,因而上述虛功原理不能消除虛位移來得出平衡時系統的受力.為解決這個困難,采用廣義坐標.任