第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省岳陽一中高一（下）開學數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合M為函數y=1?x2的值域，集合N為函數y=lnA.{x|x>?1} B.{x|?1≤x≤1} C.{x|?1<x≤1} D.{x|0≤x≤1}2.若某扇形的面積為8，弧長為8，則這個扇形的圓心角的弧度數是(

)A.2 B.3 C.4 D.53.設a,b都是非零向量，下列四個條件，使用a|aA.a與b同向 B.a=2b

C.a//b且4.在平面直角坐標系中，若角α的終邊經過點P(sin5π3,cosA.?32 B.?12 5.沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置.現有一個沙漏(如圖)上方裝有acm3的細沙，細沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經過tmin時剩余的細沙量為ycm3，且y=a?e?bt(b為常數)，經過A.16min B.21min C.26min D.29min6.若sin2α=55，sin(β?α)=1010，且α∈[A.4π3 B.5π3 C.7π47.設a>b>c，n∈N，且1a?b+1b?c≥nA.2 B.3 C.4 D.68.已知函數f(x)=cos(π2x)?1,x≥0?logaA.(0,66) B.(6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.偶函數f(x)的定義域為[2a?1,a]，則a=13

B.一次函數f(x)滿足f(f(x))=4x+3，則函數f(x)的解析式為f(x)=2x+1

C.奇函數f(x)在[2,4]上單調遞增，且最大值為8，最小值為?1，則2f(?4)+f(?2)=?15

D.若集合A={x|?a10.關于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是(

)A.若a?b=b?c，則a=c

B.非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a?b|，則a與a+b的夾角為30°

C.非零向量a和b滿足11.已知f(x)=1?2cos2(ωx+πA.若f(x1)=1，f(x2)=?1，且|x1?x2|的最小值為π，則ω=2

B.存在ω∈(1,3)，使得f(x)的圖象向右平移π6個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱

C.若f(x)在[0,2π]上恰有7個零點，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數f(x)=12tan13.已知集合A={x|x?1x+1<0}，B={x|(x?b)2<a}，若“a=1”是“14.定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x+1)=?f(x)，且在[2021,2022]上是減函數，若A、B是鈍角三角形的兩個銳角，對(1)f(k2)=0，k為奇數；(2)f(cosA)<f(cosB)；(3)f(sinA)>f(sinB)；(4)f(sinA)<f(cosB)；(5)f(cosA)>f(sinB).則以上結論中正確的有

.(填入所有正確結論的序號)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

命題甲：關于x的方程x2+4mx+m=0無實根；命題乙：關于x的方程x2?(m+1)x+m=0有兩個不相等的正根，設命題甲、命題乙為真命題時實數m的取值分別組成集合A、B．

(1)求集合A、B；

(2)16.(本小題15分)

已知函數f(x)=(sinx4+cosx4)2?23cos2x4+3?1．

(1)求函數f(x)的最小正周期及f(x)17.(本小題15分)

某科研部門有甲乙兩個小微研發項目，據前期市場調查，項目甲研發期望收益f(x)(單位：萬元)與研發投入資金x(單位：萬元)的關系為f(x)=log2x+1+ax+b,x≥0，項目乙研發期望收益g(x)(單位：萬元)與研發投入資金x(單位：萬元)的關系為g(x)=x?log2(32?x)+c，0≤x<32，且f(0)=g(0)=0，f(15)=17．

(1)求實數a，b，18.(本小題15分)

已知函數g(x)=ax2?2ax+1+b(a≠0,b>0)在區間[1,2]上有最大值2和最小值1．

(1)求a，b的值；

(2)不等式g(x)?kx≥0在x∈[1,2]上恒成立，求實數k的取值范圍；

(3)若f(x)=g(x)?1x且方程19.(本小題17分)

設n次多項式Pn(t)=antn+an?1tn?1+…+a2t2+a1t+a0(an≠0)，若其滿足Pn(cosx)=cosnx，則稱這些多項式Pn(t)為切比雪夫多項式.例如：由cosθ=cosθ可得切比雪夫多項式P1(x)=x，由cos2θ=2cos2θ?1可得切比雪夫多項式P2(x)=2x2?1．

(1)若切比雪夫多項式參考答案1.D

2.C

3.A

4.C

5.B

6.C

7.C

8.C

9.AC

10.BCD

11.BCD

12.(kπ6+13.(?2,2)

14.(1)(4)(5)

15.解：(1)命題甲：關于x的方程x2+4mx+m=0無實根；所以16m2?4m<0，

解得：0<m<14．

命題乙：關于x的方程x2?(m+1)x+m=0有兩個不相等的正根，

所以：(m+1)2?4m>0m+1>0m>0，解得m>0且m≠1．

故A={m|0<m<14}；B={m|m>0且m≠1}．

(2)命題甲、乙中有且僅有一個是真命題，

故16.解：(1)∵f(x)=(sinx4+cosx4)2?23cos2x4+3?1=1+2sinx4cosx4?3(1+cosx2)+3?1

=sinx2?3cosx2=2sin(x2?π317.解：(1)由f(0)=g(0)=0，f(15)=17，

可得log20+1+b=0log215+1+15a+b=17?log232+c=0，解得a=1b=0c=5，

故f(x)=log2x+1+x,g(x)=x?log2(32?x)+5；

(2)設項目甲研發投入資金為x萬元，則項目乙投入27?x萬元，投資收益為y，

則y=f(x)+g(27?x)

=log2x+1+x+27?x?log2(x+5)+5，其中0≤x≤27，

則y=lo18.解：(1)g(x)=ax2?2ax+1+b=a(x?1)2+1+b?a，

當a>0時，g(x)在[1,2]上單調遞增，由題意可得，g(1)=1+b?a=1g(2)=1+b=2，解得a=1b=1；

當a<0時，g(x)在[1,2]上單調遞減，由題意可得，g(1)=1+b?a=2g(2)=1+b=1，解得a=?1b=0.由于b>0，故應舍去，

綜上，a=1，b=1；

(2)由(1)知g(x)=x2?2x+2，

∴g(x)?kx≥0，即x2?2x+2?kx≥0在x∈[1,2]上恒成立，即(k+2)x≤x2+2，

∵x∈[1,2]，∴k+2≤x2+2x=x+2x在x∈[1,2]上恒成立，

又∵x+2x≥22，當且僅當x=2時取等號，∴k+2≤22，即k≤22?2，

∴實數k的范圍是(?∞,22?2]；

(3)方程f(|2x?1|)+t(2|2x?1|?3)=0，即|2x?1|+1+2t|2x?1|?(2+3t)=019.解：(1)依題意，P3(cosθ)=cos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθ?sin2θsinθ

=(2cos2θ?1)cosθ?2sin2θcosθ

=2cos3θ?cosθ?2(1?cos2θ)cosθ

=4cos3θ?3cosθ，

因此P3(x)=4x3?3x，

即ax3+bx2+cx+d=4x3?3x，則a=4，b=d=0，c=?3；

(2)因為cos54°=sin36°，

即cos(3×18°)=sin(2×18°)，

所以4cos318°?3cos18°=2