2024－2025學年度第二學期九年級數學試卷（總分：150分，時長：120分鐘）一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分，每個小題只有一個選項是正確的，請把正確選項的字母涂在答題卡相應的位置）1.在、0、、這四個數中，為無理數的是（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數．如，，（每兩個1之間依次多1個0）等形式．無理數就是無限不循環小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數．由此即可判定選擇項．【詳解】解：A、是整數，屬于有理數，故本選項不符合題意；B、0是整數，屬于有理數，故本選項不符合題意；C、是分數，屬于有理數，故本選項不符合題意；D、無理數，故本選項符合題意．故選：D．2.下列計算正確的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別根據合并同類項的法則、同底數冪的除法法則、冪的乘方法則以及完全平方公式解答即可．【詳解】A、3a與2b不是同類項，故不能合并，故選項A不合題意；B、（a3）2=a6，故選項B符合題意；C、a6÷a3=a3，故選項C不符合題意；D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故選項D不合題意．故選B．【點睛】本題主要考查了冪的運算性質、合并同類項的法則以及完全平方公式，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．3.在“慶五四·展風采”的演講比賽中，七位評委給某同學打出的成績依次為：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一個最高分和一個最低分，則下列統計量不變的是（）A.平均數 B.中位數 C.眾數 D.方差【答案】B【解析】【分析】本題考查了中位數的定義．根據中位數的定義即可得．【詳解】解：將該同學的分數按從小到大進行排序為8.7，8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，94，則去掉前其中位數9.0分，去掉一個最高分和一個最低分，該歌手的分數為8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，則去掉后其中位數為9.0分，因此，去掉前與去掉后沒有改變的一個統計量是中位數，故選：B．4.實數，在數軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意可得，然后根據數的乘法和加法法則以及不等式的性質進行判斷即可.【詳解】解：由題意可得：，所以，∴，觀察四個選項可知：只有選項D的結論是正確的；故選：D.【點睛】本題考查了實數與數軸以及不等式的性質，正確理解題意、得出是解題的關鍵.5.二次函數，下列說法正確的是（）A.開口向上 B.對稱軸為直線C.頂點坐標為 D.當時，隨的增大而減小【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．根據解析式得出開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，隨的增大而增大，即可求解．【詳解】解：關于二次函數，，開口向下，A不符合題意；對稱軸為直線，B符合題意；頂點坐標為，C不符合題意；當時，隨的增大而增大，D不符合題意；故選：B6.中國古代《孫子算經》中有個問題：今天有四人共車，一車空；二人共車，八人步．問人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每4人乘一車，恰好剩余1輛車無人坐；若每2人共乘一車，最終剩余8個人無車可乘，問有多少人？多少輛車？如果設有輛車．則總人數可表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由4人乘一車，恰好剩余1輛車無人坐，求總人數為；若每2人共乘一車，最終剩余8個人無車可乘，求總人數為；依此即可求解．【詳解】解：∵有x輛車，∴總人數為或．故選：A．【點睛】本題考查列代數式，能夠根據題意，列出代數式是求解的關鍵．7.如圖，四邊形內接于，是直徑，，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據圓內接四邊形的性質可知，然后根據等腰三角形的性質可進行求解．【詳解】解：∵四邊形內接于，，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故選B．【點睛】本題主要考查圓內接四邊形的性質，熟練掌握圓內四邊形的性質是解題的關鍵．8.如圖1，在菱形中，，M是的中點，N是對角線上一動點，設長為x，線段與長度的和為y，圖2是y關于x的函數圖象，圖象右端點F的坐標為，則圖象最低點E的坐標為（）A.（2，3） B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查動點問題的函數圖象、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、解直角三角形，根據點F的坐標可得，連接，連接交于點，連接，由兩點之間線段最短可知，當點N在點時，取得最小值為，根據菱形的性質易得為等邊三角形，再利用等邊三角形的性質即可求出，由平行線和菱形的性質易得，進而求出，以此即可求解．【詳解】解：∵圖象右端點F的坐標為，M是的中點，∴，∴，如圖，連接，連接，交于點N′，連接，∴當點N在點時，取得最小值為，∵四邊形為菱形，，∴為等邊三角形，，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，在中，，∴點E的坐標為．故選：C．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9.若二次根式有意義，則x的取值范圍是_____．【答案】x≥1【解析】【分析】根據二次根式的性質可知，被開方數大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍．【詳解】解：根據二次根式有意義的條件，x﹣1≥0，∴x≥1，故答案為：x≥1．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關鍵是掌握被開方數大于等于0．10.分解因式：_____．【答案】【解析】【詳解】解：先提取公因式2后繼續應用完全平方公式分解即可：原式，故答案為：．11.2024年6月2日6時23分，“嫦娥六號”著陸器在月球背面預定著陸區域成功著陸．月球與地球之間的距離約為380000千米，將380000用科學記數法表示為_____【答案】【解析】【分析】此題考查了科學記數法的表示方法，科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正整數；當原數的絕對值時，是負整數．【詳解】解：用科學記數法表示是，故答案為：12.已知，，則______．【答案】24【解析】【分析】根據平方差公式計算即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：24．【點睛】本題考查因式分解的應用，先根據平方差公式進行因式分解再整體代入求值是解題的關鍵．13.已知圓錐的母線長為高為則該圓錐側面展開圖的圓心角是________________________．【答案】【解析】【分析】先根據勾股定理算出圓錐底面圓的半徑，然后算出弧長，再根據弧長公式反推出圓心角．【詳解】解：根據母線和高，用勾股定理可以算出圓錐底面圓的半徑，則展開之后扇形的弧長就等于底面圓的周長，再根據弧長公式，得到，算出．故答案是：．【點睛】本題考查扇形和圓錐有關的計算，解題的關鍵是要熟悉扇形和圓錐之間的關系以及有關的計算公式．14.已知a和b是方程的兩個解，則的值為________．【答案】2029【解析】【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數關系、代數式求值，熟練掌握一元二次方程的解和根與系數關系是關鍵．先根據方程的解滿足方程以及根與系數關系求得，，再將變形為，然后整體代入計算即可．【詳解】解：∵a和b是方程的兩個解，∴，，∴，∴，故答案為：2029．15.根據物理學規律，如果不考慮空氣阻力，以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間的函數關系是，當飛行時間t為___________s時，小球達到最高點．【答案】2【解析】【分析】將函數關系式轉化為頂點式即可求解．【詳解】根據題意，有，當時，有最大值．故答案為：2．【點睛】本題考查二次函數解析式的相互轉化及應用，解決本題的關鍵是熟練二次函數解析式的特點及應用．16.如圖，在中，，以點B為圓心，適當長為半徑作弧，分別交，于點D，E，再分別以點D，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點P，作射線交于點F．已知，，則的長為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了作圖基本作圖：作角平分線，角平分線的性質定理，勾股定理及全等三角形的判定與性質等知識．根據基本作圖可判斷平分，過F作于G，再利用角平分線的性質得到，根據勾股定理求出，證明，得出，設，則，，根據勾股定理得出，求出，根據勾股定理求出．【詳解】解：過F作于G，由作圖得：平分，，，∴，在中根據勾股定理得：，，，，，設，則，，在中，根據勾股定理得：，即：，解得：，，在中根據勾股定理得：．故答案為：．17.如圖，已知點，，，在平行四邊形中，它的對角線與反比例函數的圖象相交于點，且，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數與平行四邊形綜合，相似三角形的性質與判定，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，根據平行四邊形的性質得出，證明得出，，進而可得，即可求解．【詳解】如圖所示，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，∵四邊形是平行四邊形，點，，，∴，∴，即，則，∵軸，軸，∴∴∴∴，∴∴故答案為：．18.如圖，，為軸上一動點，將線段繞點順時針旋轉得．連接、，則當取最小值時，點的坐標是________．【答案】【解析】【分析】本題考查直線與圖形的變化，繞原點順時針旋轉等知識，熟練掌握是解題的關鍵．如圖，設點坐標為，將線段和線段向左平移，得到點、、，此時點與點重合，點，根據線段繞點順時針旋轉得，可得點，即點，則，顯然當時，取最小值，此時點．【詳解】解：如圖，設點坐標為，將線段和線段向左平移，得到點、、，作軸于點E，作軸于點F，將線段繞點順時針旋轉得，，，，坐標為，點坐標為，即點，則，當時取最小值時，此時點坐標為，故答案為．三、解答題（本題10小題，共96分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19.計算：．【答案】【解析】【分析】此題考查了二次根式運算，特殊角的三角函數值化簡，零指數冪，負指數冪，利用零指數冪，負指數冪，特殊角的三角函數值化簡，再加減，即可得到結果，熟練計算即可解答．【詳解】解：，，20.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】此題考查了分式的化簡求值和二次根式的混合運算．先利用分式的減法和除法法則化簡分式，把字母的值代入化簡計算即可．【詳解】解：，當時，原式.21.如圖，在中，于點E，于點F．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】只需要證明，得到，即可證明．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的性質與判定，證明，得到是解題的關鍵．22.某校決定加強羽毛球、籃球、乒乓球、排球、足球五項球類運動，每位同學必須且只能選擇一項球類運動，對該校隨機抽取部分學生進行調查，根據調查結果繪制了不完整的頻數分布表和扇形統計圖：運動項目頻數（人數）羽毛球30籃球a乒乓球m排球b足球12請根據圖表信息解答下列問題：（1）頻數分布表中的，；（2）在扇形統計圖中，“排球”所在的扇形的圓心角為度；（3）若全校有1200名學生，求選擇參加乒乓球運動的學生有多少名？【答案】（1）24，18（2）54（3）選擇參加乒乓球運動的人數是人【解析】【分析】本題考查扇形統計圖，解題關鍵是根據圖表求出總人數和每個部分的人數和占比，各部分所在的扇形的圓心角將百分比乘即可．（1）先求總人數，再求出每個部分的人數；（2）求出“排球”人數百分比，再乘即可；（3）學校總人數乘“乒乓球”人數的百分比即可．【小問1詳解】解：總人數：（人，籃球人數：（人，乒乓球人數：（人，排球人數：（人．故答案為：24，18；【小問2詳解】解：“排球”所在的扇形的圓心角為：．故答案為：54；【小問3詳解】解：（人．答：選擇參加乒乓球運動的人數是人．23.在項目化學習中，“水是生命之源”項目組為了解本地區人均淡水消耗量，需要從四名同學（兩名男生，兩名女生）中隨機抽取若干人，組成調查小組進行社會調查．（1）隨機抽取一人，恰好是男生的概率是；（2）隨機抽取兩人，請用畫樹狀圖或者列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用簡單地概率計算公式求解即可；（2）利用畫樹狀圖法計算概率．本題考查了概率的計算，畫樹狀圖，熟練運用公式，畫樹狀圖法求概率是解題的關鍵．【小問1詳解】4名同學報名（2名男生和2名女生），分配1個名額，則抽到男生的概率是，故答案為：．【小問2詳解】根據題意，畫樹狀圖如下：共有12個等可能的結果，其中抽到一名男生和一名女生的等可能性有8個，故抽到一名男生和一名女生的概率，故答案為：．24.為了增強學生體質、錘煉學生意志，某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，A點為出發點，途中設置兩個檢查點，分別為點和點，行進路線為．點在點的南偏東方向處，點在A點的北偏東方向，行進路線和所在直線的夾角為．（1）求行進路線和所在直線的夾角的度數；（2）求檢查點和之間的距離（結果保留根號）．【答案】（1）行進路線和所在直線的夾角為（2）檢查點和之間的距離為【解析】【分析】（1）根據題意得，，，再由各角之間的關系求解即可；（2）過點A作，垂足為，由等角對等邊得出，再由正弦函數及正切函數求解即可．【小問1詳解】解：如圖，根據題意得，，，，．在中，，．答：行進路線和所在直線的夾角為．【小問2詳解】過點A作，垂足為．，，．,在中，，．,在中，，，．答：檢查點和之間的距離為．【點睛】題目主要考查解三角形的應用，理解題意，作出相應輔助線求解是解題關鍵．25.如圖，在中，O為上一點，以點O為圓心，為半徑作圓，與相切于點C，過點A作交BO的延長線于點D，且．（1）若，則°；（2）求證：為的切線；（3）若，，求的長．【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據切線的性質、垂線的定義以及三角形內角和定理進行計算即可；（2）過點O作的垂線，證明即可；（3）根據銳角三角函數定義以及勾股定理可求出，，，進而求出，再由相似三角形的性質可得答案．【小問1詳解】解：∵，∴，即，∴，∵為的切線，點是切點，∴，即，∴，又∵，∴，故答案為：30；【小問2詳解】證明：如圖，過點O作于點E，由（1）可得，∵，∴，即，，∵，∴，∴，即是的平分線，又∵，，∴，∵是半徑，∴點到的距離等于半徑，∴為的切線；【小問3詳解】解：∵，，∴，在中，由于，設，則，∴，∵，∴，即，，在中，，∵，，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查切線的判定和性質，直角三角形的邊角關系以及相似三角形的判定和性質，掌握切線的判定方法以及直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．26.2023年5月30日上午9點31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發射中心發射升空，某中學組織畢業班的同學到當地電視臺演播大廳觀看現場直播，學校準備為同學們購進A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業班同學一共有300人，學校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？（3）在實際購買時，由于數量較多，商家讓利銷售，A款七折優惠，B款每件讓利m元，采購人員發現（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，（2）一共有六種購買方案（3）【解析】【分析】（1）設A款文化衫每件x元，則B款文化衫每件元，然后根據用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數量相同列出方程求解即可；（2）設購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，然后根據，學校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫列出不等式組求解即可；（3）設購買資金為W元，購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，求出，根據（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，可得W的取值與a的值無關，由此即可求出．【小問1詳解】解：設A款文化衫每件x元，則B款文化衫每件元，由題意得，，解得，檢驗，當時，，∴是原方程的解，∴，∴A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，答：A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元；【小問2詳解】解：設購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，由題意得，，解得，∵a是正整數，∴a的取值可以為275，276，277，278，279，280，∴一共有六種購買方案；【小問3詳解】解：設購買資金為W元，購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，由題意得，，∵（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，∴W的取值與a的值無關，∴，∴．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的實際應用，分式方程的實際應用，整式的加減的實際應用，正確理解題意列出方程和不等式組是解題的關鍵．27.某校數學活動小組在一次活動中，對一個數學問題作如下探究：（1）問題發現：如圖1，在等邊中，點是邊上任意一點，連接，以為邊作等邊，連接，與的數量關系是；（2）變式探究：如圖2，在等腰中，，點是邊上任意一點，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數量關系，并說明理由；（3）解決問題：如圖3，在正方形中，點是邊上一點，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長為10，，求正方形的邊長．【答案】（1）（2），理由見解析（3）【解析】【分析】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質，證明三角形相似是解題的關鍵．（1）利用定理證明，根據全等三角形的性質解答；（2）先證明，得到，再證明，根據相似三角形的性質解答即可；（3）連接、，證明，由相似三角形的性質得出，可求出，根據勾股定理列出方程，解方程得到答案