專題17拋物線一、多選題1．（2024新高考Ⅱ卷·10）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當P，A，B三點共線時，C．當時，D．滿足的點有且僅有2個【答案】ABD【分析】A選項，拋物線準線為，根據圓心到準線的距離來判斷；B選項，三點共線時，先求出的坐標，進而得出切線長；C選項，根據先算出的坐標，然后驗證是否成立；D選項，根據拋物線的定義，，于是問題轉化成的點的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點個數即可，亦可直接設點坐標進行求解.【詳解】A選項，拋物線的準線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準線和相切，A選項正確；B選項，三點共線時，即，則的縱坐標，由，得到，故，此時切線長，B選項正確；C選項，當時，，此時，故或，當時，，，，不滿足；當時，，，，不滿足；于是不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉化根據拋物線的定義，，這里，于是時點的存在性問題轉化成時點的存在性問題，，中點，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個交點，即存在兩個點，使得，D選項正確.方法二：（設點直接求解）設，由可得，又，又，根據兩點間的距離公式，，整理得，，則關于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點，D選項正確.故選：ABD一、多選題1．（2022新高考Ⅰ卷·11）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯立，可得，解得，故B正確；設過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，所以，直線的斜率存在，設其方程為，，聯立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因為，，所以，而，故D正確.故選：BCD2．（2022新高考Ⅱ卷·10）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯立拋物線方程得，設，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.3．（2023新高考Ⅱ卷·10）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點坐標，從而求得，根據弦長公式求得，根據圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

一、拋物線的定義平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．注：若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點．二、拋物線的方程、圖形及性質拋物線的標準方程有4種形式：，，，，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數的符號決定開口方向圖形標準方程頂點范圍，，，，對稱軸軸軸焦點離心率準線方程焦半徑【拋物線常用結論】1、點與拋物線的關系（1）在拋物線內（含焦點）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點到準線的距離，即焦準距，越大，拋物線開口越大．4、焦點弦若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結論：（1）．（2）．（3）焦點弦長公式1：，，當時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則（1）弦長公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法（法）（1）焦點為，準線為（2）焦點為，準線為如，即，焦點為，準線方程為7、參數方程的參數方程為（參數）8、切線方程和切點弦方程拋物線的切線方程為，為切點切點弦方程為，點在拋物線外與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結果．9、拋物線的通徑過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．10、弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關系：11、焦點弦的常考性質已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設，為垂足，則、、三點在一條直線上一、單選題1．（2024·重慶·三模）已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于A，B兩點，點在第一象限，點為坐標原點，且，則直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．-1【答案】A【分析】設直線的傾斜角為，利用拋物線的焦半徑公式，表示出、，再根據，求出，利用同角三角函數的基本關系求，就是直線的斜率.【詳解】如圖：設直線傾斜角為，拋物線的準線：作于，根據拋物線的定義，，所以，類似的.由知，得，故.故選：A2．（2024·河南·三模）已知拋物線的焦點為，點在上．若以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長為，則該圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據拋物線的定義，可以得到該圓的半徑為，再利用弦長公式，結合已知即可解出，最后根據該圓的半徑計算面積即可.【詳解】由于在上，故，即，所以.根據拋物線的定義，就是點到直線的距離，從而該圓的半徑為.由于圓心到軸的距離為，故該圓被軸截得的弦長為.從而據已知有，故，解得.所以該圓的半徑為，故面積為.故選：C.3．（2024·山東濟南·二模）已知拋物線的焦點為，準線為是上一點，是直線與的一個交點，若，則（

）A． B．3 C． D．2【答案】D【分析】由題意解出點橫坐標，由拋物線的定義求解.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點為，準線為，設，，則，因為，則，得，由拋物線定義得.故選：D.4．（2024·北京順義·三模）設M是拋物線上的一點，F是拋物線的焦點，O足坐標原點，若，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】過點作拋物線準線的垂線，垂足為點，連接，分析出為等邊三角形，求出，即可得解.【詳解】過點作拋物線準線的垂線，垂足為點，連接，如下圖所示：因為，軸，則，由拋物線的定義可得，所以為等邊三角形，則，拋物線的準線方程為，設直線交軸于點，則，易知，，則.故選：B.5．（2024·江西景德鎮·三模）過拋物線上的一點作圓：的切線，切點為，，則可能的取值是（

）A．1 B．4 C． D．5【答案】D【分析】設，利用圓的切線性質，借助圖形的面積把表示為的函數，再求出函數的最小值即可.【詳解】設，則，圓的圓心，半徑由切圓于點，得，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為，ABC不是，D是.故選：D

6．（2024·河北張家口·三模）已知拋物線的焦點為F，O為原點，直線與該拋物線交于M，N兩點，且，則（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】將拋物線與直線聯立，利用韋達定理，求解出，利用垂直關系，求解，即可得到，代入即可得到答案.【詳解】設，將直線與拋物線聯立，消去有：，有，則,由于，因此，即，得到,因此，由于拋物線中，拋物線上點到焦點距離等于到準線的距離，因此.故選：B7．（2024·新疆·三模）已知拋物線C：的焦點為F，在拋物線C上存在四個點P，M，Q，N，若弦與弦的交點恰好為F，且，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由拋物線的方程可得焦點F的坐標，應用拋物線焦點弦性質，，，，結合三角的恒等變換的化簡可得，即可求解.【詳解】由拋物線得，則，，不妨設PQ的傾斜角為，則由，得，，所以，，得，，所以.故選：B.8．（2024·山西運城·三模）已知拋物線的焦點為，動點在上，點與點關于直線對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據對稱性可得，即點為的準線與軸的交點，作垂直于的準線于點，結合拋物線的定義可知()，結合圖象可得當直線與相切時，最小，求出切線的斜率即可得答案.【詳解】依題意，，，設，則，解得，即，點為的準線與軸的交點，由拋物線的對稱性，不妨設點M位于第一象限，作垂直于的準線于點，設，由拋物線的定義得，于是，當直線與相切時，最大，最小，取得最小值，此時直線的斜率為正，設切線的方程為，由消去x得，則，得，直線的斜率為，傾斜角為，于是，，所以的最小值為.故選：A二、多選題9．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線：的焦點為，為坐標原點，動點在上，若定點滿足，則（

）A．的準線方程為 B．周長的最小值為5C．四邊形可能是平行四邊形 D．的最小值為【答案】BD【分析】首先表示出拋物線的焦點坐標與準線方程，由距離公式得到方程，即可求出，求出拋物線方程，即可判斷A；根據拋物線的定義判斷B，求出點坐標，即可判斷C；設，結合數量積的坐標運算分析求解.【詳解】對于選項A：因為拋物線的焦點為，準線方程為，又點滿足，則，整理得，解得或（舍去），即拋物線，所以準線方程為，焦點為，故A錯誤；對于選項B：過點作準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可知，則周長，當且僅當、、三點共線時取等號，所以周長的最小值為，故B正確；對于選項C：過點作的平行線，交拋物線于點，即，解得，即，則，所以四邊形不是平行四邊形，故C錯誤；對于選項D：設，則，可得，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為，故D正確；故選：BD10．（2024·黑龍江·二模）拋物線的焦點到準線的距離為，過拋物線的焦點作兩條互相垂直的直線，與拋物線分別交于點，和點，，則（

）A．拋物線的準線方程是B．過拋物線的焦點的最短弦長為C．若弦的中點為，則直線的方程為D．四邊形面積的最小值為【答案】BCD【分析】首先表示出焦點坐標與準線方程，依題意求出，即可得到拋物線方程，從而判斷A，根據焦點弦的性質判斷B，利用點差法求出，即可判斷C，設直線為，聯立直線與拋物線方程，消元，列出韋達定理，由焦點弦公式表示出，，再由及基本不等式計算面積最小值，即可判斷D.【詳解】拋物線焦點，準線方程為，依題意可得，則拋物線方程為，所以準線方程為，故A錯誤；過拋物線的焦點且與軸垂直時弦長最短，最短弦長為，故B正確；設，，則，，所以，即，又弦的中點為，所以，所以，即，又弦過焦點，所以弦的方程為，即，故C正確；依題意直線的斜率存在且不為，設直線為，由，消去整理得，顯然，所以，所以，同理可得，所以，當且僅當，即時取等號，故D正確.故選：BCD11．（2024·遼寧大連·一模）已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于A，兩點，點為坐標原點，下列結論正確的是（

）A．存在點A、，使B．若點是弦的中點，則點M到直線的距離的最小值為C．平分D．以為直徑的圓與軸相切【答案】BCD【分析】設，直線m的方程為，聯立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，根據判斷A，根據焦半徑公式判斷B，通過計算即可判斷C；結合題意結合拋物線的定義分析判斷D；【詳解】對于A，由題意可知：拋物線C的焦點F的坐標為，準線，直線的斜率一定存在且與拋物線C相交，設，直線m的方程為，與拋物線聯立，得，則，，可得，所以為鈍角，故A錯誤；對于B，因為，當且僅當時，等號成立，所以點M到直線的距離為，故B正確；對于C，因為點，因為，即直線和直線的傾斜角互補，所以平分，故C正確；對于D，由題意可知：的中點到x軸距離，可知以為直徑的圓與軸相切，故D正確．故選：BCD．12．（2024·河北·二模）已知為坐標原點，焦點為的拋物線過點，過且與垂直的直線與拋物線的另一交點為，則（

）A． B．C． D．直線與拋物線的準線相交于點【答案】ACD【分析】將點代入拋物線方程可確定拋物線方程，可判斷A；由拋物線定義可求，可判斷B；求出直線的方程，與拋物線方程聯立解得點，從而求出，可判斷C；易求出直線與準線交點，可判斷D.【詳解】由拋物線過點，可得，則，故A正確；由上可知拋物線，準線方程為，所以，故B錯誤；由已知可得，所以直線的方程為，即，聯立方程組，得，解得或，故，所以，故C正確；由直線的方程，令，得，所以直線與拋物線的準線相交于點，故D正確.故選：ACD13．（2024·河南·二模）已知是坐標原點，過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，其中在第一象限，若，點在拋物線上，則（

）A．拋物線的準線方程為 B．C．直線的傾斜角為 D．【答案】AC【分析】由拋物線方程可判斷AD，聯立直線與拋物線方程，由結合韋達定理及兩點間距離公式可判斷BC，，【詳解】選項A：因為拋物線，所以，準線方程為，故A正確；選項B：設，設直線，與聯立得，所以，由得，即，所以，所以，可得，則，故錯誤；選項C：直線的斜率為，傾斜角為，故C正確；選項D：，故，故D錯誤.故選：AC.

14．（2024·河北滄州·二模）已知為拋物線的焦點，直線過且與交于兩點，為坐標原點，為上一點，且，則（

）A．過點且與拋物線僅有一個公共點的直線有3條B．當的面積為時，C．為鈍角三角形D．的最小值為【答案】ACD【分析】由拋物線的定義及點到準線的距離可求解拋物線的方程，判斷點與拋物線的位置關系即可判斷A；聯立直線與拋物線方程，得韋達定理，即可根據弦長公式求解面積，利用焦半徑公式即可求解B；根據數量積的坐標運算即可求解C；根據焦半徑公式，結合基本不等式即可求解D.【詳解】如圖①所示，因為，所以，解得，所以拋物線的標準方程為.對于A，因為，當時，，故點在拋物線的外部，所以與僅有一個公共點的直線有3條，故A正確；對于B，由拋物線的方程可知，焦點，設的方程為，聯立消去，整理得，所以，又，所以，解得，則，則，故B錯誤；對于C，由選項B可知，所以，故為鈍角，所以為鈍角三角形，故C正確；對于D，由選項B可知，所以，當且僅當，即時等號成立，故D正確.故選：ACD.圖①15．（2024·湖北襄陽·二模）拋物線的焦點為，為其上一動點，當運動到時，，直線與拋物線相交于兩點，下列結論正確的是（

）A．拋物線的方程為：B．拋物線的準線方程為：C．當直線過焦點時，以AF為直徑的圓與軸相切D．【答案】BC【分析】根據焦半徑即可求解A，根據準線方程即可求解B，求解圓心和半徑即可判斷C，設出直線方程，與拋物線方程聯立，韋達定理，利用焦半徑公式求出，即可判斷D.【詳解】對于A：當運動到時，，故，即拋物線為，故A錯誤；對于B：由，故拋物線的準線方程為：，故B正確；對于C：當直線過焦點時，設為，則，故以為直徑的圓的半徑為，又，故以為直徑的圓的圓心坐標為，圓心到軸的距離與該圓半徑相等，即該圓與軸相切，故C正確；對于D：由題意直線斜率存在，設的方程為，聯立，整理得，，即，所以，所以，，所以，不能確定什么時候最小，則D錯誤.故選：BC16．（2024·河北·三模）已知F為拋物線的焦點，，為拋物線上不同的兩動點，分別過M，N作拋物線C的切線，兩切線交于點P，則（

）A．若，則直線MN的傾斜角為B．直線PM的方程為C．若線段MN的中點為Q，則直線PQ平行于y軸D．若點P在拋物線C的準線上，則【答案】BD【分析】由點在拋物線上，聯立方程組，作差結合斜率公式，可判定A不正確；求得，利用導數的幾何意義，求得切線方程，可判定B正確；聯立方程組，求得點的橫坐標為及，得到，由時，可得直線與軸重合，可判定C不正確；求得點，得到和，結合，可判定D正確.【詳解】對于A中，由點，為拋物線上，可得，兩式相減得，因為，可得，即的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以A不正確；對于B中，由，可得，則，所以，即過點的切線的斜率為，所以切線的方程為，即，又因為，所以切線方程為，所以B正確；對于C中，同理可得，切線方程為，聯立方程組，解得，所以點的橫坐標為，又因為為的中點，可得，所以，當時，可得軸，；但當時，可得直線與軸重合，所以C不正確；對于D中，由拋物線，可得焦點，準線方程為，若點在拋物線的準線上，可得點，所以，又由A項，可得，即直線的斜率為因為，所以，所以，所以D正確.故選：BD.17．（2024·黑龍江佳木斯·三模）過拋物線C：上的一點作兩條直線，，分別交拋物線C于A，B兩點，F為焦點（

）A．拋物線的準線方程為B．過點與拋物線有且只有一個公共點的直線有1條C．若，則D．若，則【答案】AD【分析】將代入拋物線方程，求出，即可判斷A；分直線斜率是否為零討論即可判斷B；設，根據，求出，再根據焦半徑公式即可判斷C；設直線的方程為，則的方程為，聯立方程，求出兩點的坐標，再根據斜率公式即可判斷D.【詳解】由題意可得，所以，則拋物線C的方程為，準線方程為，故A正確；當過點的直線斜率等于零時，直線方程為，直線與拋物線的交點坐標為，只有一個交點，當過點的直線斜率不等于零時，設直線方程為，聯立，消得，當過點與拋物線有且只有一個公共點時，，解得，綜上所述，過點與拋物線有且只有一個公共點的直線有2條，故B錯誤；設，，由，得，所以，即，所以，故C錯誤；對于D選項，由題意，直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，則的方程為，聯立，消得，則，所以，則，所以，同理可得，則，故D正確.

故選：AD.18．（2024·安徽·三模）已知拋物線和的焦點分別為，動直線與交于兩點，與交于兩點，其中，且當過點時，，則下列說法中正確的是（

）A．的方程為B．已知點，則的最小值為3C．D．若，則與的面積相等【答案】ACD【分析】對于A，設，聯立拋物線的方程，結合韋達定理求出即可判斷；對于B，結合拋物線定義、三角形三邊關系即可判斷；對于C，設，分別聯立拋物線方程，結合韋達定理即可判斷；對于D，由C選項分析可得，結合以及韋達定理即可得出兩個三角形的高相等，顯然三角形同底，由此即可判斷.【詳解】當過點時，設，聯立，可得，，故，解得，則，故A正確；過點向的準線引垂線，垂足分別為，點到的準線的距離，由拋物線定義可知，等號成立當且僅當點為與拋物線的交點，故錯誤；設，由，可得，，由，可得，，故，同理可得，故正確；，故，注意到，可得，所以，從而與的面積相等，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：判斷D選項的關鍵是得出，由此即可順利得解.三、填空題19．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點為，則的坐標為；過點的直線交拋物線于兩點，若，則的面積為．【答案】【分析】由給定的拋物線方程直接求出焦點坐標；利用拋物線定義求出點的縱坐標，再求出三角形面積.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，設，則，解得，于是，，所以的面積為.故答案為：；20．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點為F，準線與x軸的交點為A，點B在C上.若，則直線AB的方程為.【答案】或【分析】先根據焦半徑公式求出點坐標，進而可得直線方程.【詳解】設，則，則，此時，所以