第二章推理與證明第二章推理與證明第二章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理學習導航新知初探思維啟動1.歸納推理由某類事物的__________具有的某些特征,推出該類事物的__________都具有這些特征的推理,或者由______事實概括出__________的推理,稱為__________

(簡稱歸納).簡言之,歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.部分對象全部對象個別一般結論歸納推理想一想1.歸納推理所歸納的結論對已考定過的對象一定成立嗎？對未被考定的對象一定成立嗎？提示:一定成立;不一定成立.2.類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱_______).簡言之,類比推理是由特殊到特殊的推理.做一做下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對象較合適的是(

)A.三角形

B.梯形C.平行四邊形

D.矩形解析:選C.因為平行六面體相對的兩個面互相平行,類比平面圖形,則相對的兩條邊互相平行,故選C.類比3.合情推理歸納推理和類比推理都是根據已有的事實,經過觀察、分析、比較、聯想,再進行_______、________,然后提出_______的推理.我們把它們稱為合情推理.通俗地說,合情推理是指“__________”的推理.想一想2.合情推理在數學上有什么作用？提示:(1)猜想和發現結論;(2)提供證明的思路和方向.歸納類比猜想合乎情理典題例證技法歸納題型一代數中的歸納推理例1題型探究【名師點評】

歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別對象發現某些相同性質.(2)從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題(猜想).跟蹤訓練贈送精美圖標1、字體安裝與設置如果您對PPT模板中的字體風格不滿意，可進行批量替換，一次性更改各頁面字體。在“開始”選項卡中，點擊“替換”按鈕右側箭頭，選擇“替換字體”。（如下圖）在圖“替換”下拉列表中選擇要更改字體。（如下圖）在“替換為”下拉列表中選擇替換字體。點擊“替換”按鈕，完成。142、替換模板中的圖片模板中的圖片展示頁面，您可以根據需要替換這些圖片，下面介紹兩種替換方法。方法一：更改圖片選中模版中的圖片（有些圖片與其他對象進行了組合，選擇時一定要選中圖片本身，而不是組合）。單擊鼠標右鍵，選擇“更改圖片”，選擇要替換的圖片。（如下圖）注意：為防止替換圖片發生變形，請使用與原圖長寬比例相同的圖片。14PPT放映設置PPT放映場合不同，放映的要求也不同，下面將例舉幾種常用的放映設置方式。讓PPT停止自動播放1.單擊”幻燈片放映”選項卡，去除“使用計時”選項即可。讓PPT進行循環播放1.單擊”幻燈片放映”選項卡中的“設置幻燈片放映”，在彈出對話框中勾選“循環放映，按ESC鍵終止”。例2在平面內觀察:凸四邊形有2條對角線,凸五邊形有5條對角線,凸六邊形有9條對角線,…,由此猜想凸n邊形有幾條對角線？題型二幾何中的歸納推理【名師點評】

在幾何中,隨點、線、面等元素的增加,探究相應的線段、交點、區域部分等的增加情況常用歸納推理解決,尋找遞推關系是解決該類問題的關鍵.跟蹤訓練2.設平面內有n條直線(n≥3).其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點,若用f(n)表示這n條直線交點的個數,則f(4)＝________;當n≥3時,f(n)＝________(用n表示).解析:例3如圖,在△ABC中,O為其內切圓圓心,過O的直線將三角形分為面積相等的兩部分,且該直線與AC,BC分別相交于F,E,則四邊形ABEF與△CEF的周長相等.試將此結論類比到空間,寫出一個與其相關的命題.題型三類比推理及其應用【解】如圖,截面AEF經過四面體ABCD的內切球(與四個面都相切的球)的球心O,且與BC,DC分別交于E,F,若截面將四面體分為體積相等的兩部分,則四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC的表面積相等.【名師點評】

(1)本例是一道由平面圖形類比到空間圖形的問題,它的求解主要利用了平面與空間的以下類比:三角形與四面體,三角形內切圓與四面體內切球,面積與體積,周長與表面積等.(2)在推導空間中的結論時,可利用類似平面結論的推導方法,如等體積法類比等面積法,平面類比直線,空間的四面體類比三角形,球類比圓等.跟蹤訓練3.在三棱錐S－ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分別為α1、α2、α3,三側面△SBC、△SAC、△SAB面積分別為S1、S2、S3,類比三角形中的正弦定理,給出空間情形的一個猜想.1.歸納推理具有從特殊到一般,由具體到抽象的認知功能.在數列問題中,常用歸納推理猜測、求解數列的通項公式.2.類比推理的關鍵是根據當前問題的需要,選擇適當的類比對象,為了提高所得結論的準確性,常采用下列技巧(1)類比對象的共同屬性或相似屬性盡可能的多些.(2)這些共同屬性或相似屬性應是類比對象的主要屬性.(3)這些共同(相似)屬性應包括類比對象的各個方面,并盡可能是多方面.方法感悟精彩推薦典例展示等差數列、等比數列的性質類比問題在等差數列{an}中,若a10＝0,則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19,n∈N*)成立,類比上述性質,相應地,在等比數列{bn}中,若b10＝1,則有等式________成立.名師解題例4【解析】等差數列→用減法定義→性質用加法表述

(若m,n,p,q∈N*,且m＋n＝p＋q,則am＋an＝ap＋aq);等比數列→用除法定義→性質用乘法表述

(若m,n,p,q∈N*,m＋n＝p＋q,則am·an＝ap·aq).由此,猜測本題的答案為b1b2…bn＝b1b2…b19－n(n＜19,n∈N*).【答案】

b1b2…bn＝b1b2…b19－n(n＜19,n∈N*)信息提煉層層剖析找出等差、等比數列的相似性.

由給出的等差數列結論類比得出等比數列的結論.跟蹤訓練

答案:a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)注:填(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c),(a*b)＋c＝(b*a)＋c也對.知能演練輕松闖關本部分內容講解結束按ESC鍵退出全屏播放贈送精美圖標1、字體安裝與設置如果您對PPT模板中的字體風格不滿意，可進行批量替換，一次性更改各頁面字體。在“開始”選項卡中，點擊“替換”按鈕右側箭頭，選擇“替換字體”。（如下圖）在圖“替換”下拉列表中選擇要更改字體。（如下圖）在“替換為”下拉列表中選擇替換字體。點擊“替換”按鈕，完成。342、替換模板中的圖片模板中的圖片展示頁面，您可以根據需要替換這些圖片，下面介紹兩種替換方法。方法一：更改圖片選中模版中的圖片（有些圖片與其他對象進行了組合，選擇時一定要選中圖片本身，而不是組合）。單擊鼠標右鍵，選擇“更改圖片”，選擇要替換的圖片。（如下圖）注意：為防止替換圖片發生變形，請使用與原圖長寬比例相同的圖片。34PPT放映設置PPT放映場合不同，放映的要求也不同，下面將例舉幾種常用的放映設置方式。讓PPT停止自動播放1.單擊”幻燈片放映”選項卡，去除“使用計時”選項即可。讓PPT進行循環播放1.單擊”幻燈片放映”選項卡中的“設置幻燈片放映”，在彈出對話框中勾選“循環放映，按ESC鍵終止”。贈送精美圖標1、字體安裝與設置如果您對PPT模板中的字體風格不滿意，可進行批量替換，一次性更改各頁面字體。在“開始”選項卡中，點擊“替換”按鈕右側箭頭，選擇“替換字體”。（如下圖）在圖“替換”下拉列表中選擇要更改字體。（如下圖）在“替換為”下拉列表中選擇替換字體。點擊“替換”按鈕，完成。372、替換模板中的圖片模板中的圖片展示頁面，您可以根據需要替換這些圖片，下面介紹兩種替換方法。方法一：更改圖片選中模版中的圖片（有些圖片與其他對象進行了組合，選擇時一定要選中圖片本身，而不是組合）。單擊鼠標