剛體力學基礎

形狀和大小都不改變的物體剛體：重點研究：剛體的定軸轉動（理想模型）§5—1剛體的平動和轉動1.平動剛體上任意兩點間的聯線在整個運動過程中，保持原方向不變。1動畫動畫2.轉動剛體上各質點都繞同一軸作圓周運動。如果轉軸固定不動，就稱定軸轉動。3.質心運動定理注意各量物理意義

例：

將一啞鈴拋出時，啞鈴上每個質點的軌道都不是拋物線，但質心然作拋物線運動。一般剛體運動很復雜，但可以看成是平動和轉動的合成?？梢宰C明，質心的運動遵循以下規律：

不管物體的質量如何分布、外力作用在什么地方，質心的運動就象物體的全部質量都集中于此，而且所有的外力都作用于其上的一個質點的運動一樣。2動畫動畫動畫炮彈在飛行軌道上爆炸成碎片，質心仍在拋物線上……質心：剛體的質量分布中心。通常以質心（c）的運動來代表整個剛體的平動。1.介紹幾個物理量角位置

rad角位移

(一般定逆時針為正)角速度dtdttq=DqD=w

D0lim角加速度220limdtddtdttq=w=DwD=b

D矢量描述:qrd方向由右手螺旋確定rqddtdq=wrr方向與相同qrdr22dtddtdq=w=brbrbr3§

5—2剛體的定軸轉動1-.srad2-s.rad標量描述:2.線量與角量的關系以圓運動為例

43.剛體的定軸轉動（1）特征:

轉軸上各點靜止，其它各質元都在垂直于轉軸的平面內作圓周運動。各質元的相同不同各質元的相同不同（2）勻加速定軸轉動的公式:（3）剛體的轉動動能

考慮剛體上第i

個質元，質量為

mi，速度為vi=Ri

，動能為整個剛體的動能為動畫

JEk221w=m：質點慣性的量度J：剛體慣性的量度如果剛體連續分布J

的大小與剛體總質量、質量分布、轉軸位置有關.kg.m2,標量。質量分布離軸越遠J越大.20同一剛體，轉軸位置不同，轉動慣量不一樣。10在總質量一定的情況下，剛體的轉動動能為（剛體對給定轉軸的轉動慣量）J小J大討論幾種常見剛體的轉動慣量：細棒細棒薄圓環或薄圓筒圓盤或圓柱體薄球殼球體*平行軸定理

以m表示剛體的質量，Jc表示它通過其質心c的軸的轉動慣量。若另一軸與此軸平行并且相距為d，則此剛體對于后一軸的轉動慣量為：*垂直軸定理例：4.剛體定軸轉動定律（1）力矩（力對轉軸的力矩）

在垂直于轉軸的平面內。注意：

則將分解為平行于轉軸的分量和垂直于轉軸的分量只有垂直于轉軸的分量對轉軸才有力矩。若不在（2）剛體定軸轉動第一定律類比有00=b=w=trrr

恒量時

繞定軸轉動的剛體所受的合外力矩為零時，將保持原有的運動狀態不變。（3）剛體定軸轉動第二定律J

t=brr類比有

繞定軸轉動的剛體獲得的角加速度大小與合外力矩的量值成正比。方向與合外力矩的方向相同。rrrb=w==trJdtdJdtLd類比有剛體轉動方程:由牛頓第一定律：5.轉動定律的應用用求導的方法積分加初始條件例1.一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪視為圓盤），繩的兩端分別懸有質量為m1和m2的物體，m1<m2，滑輪的質量為

m

，半徑為R，所受的摩擦阻力矩為

r

，繩與滑輪間無相對滑動。試求：物體的加速度和繩的張力。已知：m1，m2，m，R，

r求：.動畫剛體定軸轉動的兩類問題：解:研究對象m1

，m2，m建立坐標，受力分析如圖.對各隔離體寫出運動方程：對m1

：對m2：對m：

聯立求得：注意：當不計滑輪的質量及摩擦阻力時：這便是中學所熟知的結果問：如何求角加速度？根據可求得§

5—3剛體轉動的功和能1.力矩的功合外力對剛體所作的微功：（

與

互余）2.定軸轉動的動能定理由質點系：類比：

合外力矩對定軸轉動的剛體所作的功，等于剛體轉動動能的增量。A內力矩？3.剛體的機械能守恒定律剛體的勢能：設地面為零勢面，剛體的質心離地面的高度為hc則

若剛體轉動過程中只有重力矩作功，則機械能守恒。例2.一質量為m長為L的均勻細棒OA可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內轉動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細棒擺到豎直位置時（1）質心C和端點A的線速度（2）質心C的線加速度解法一（1）研究對象：細棒受力分析：（不考慮）力矩零勢面常數用動能定理作：=0方向：向左零勢面因豎直位置=0=0（2）解法二用機械能守恒作：（剛體只有重力矩作功）解法三用運動方程（轉動定律）求解：研究對象：細棒受力分析：mg（不考慮N）運動方程：零勢面回顧“剛體運動”中勻加速定軸轉動公式

線量和角量的關系定軸轉動第二定律rrrb=w==trJdtdJdtLd定軸轉動的動能定理若剛體轉動過程中只有重力矩作功，則機械能守恒。常數=w+221JmghcrrcamF=合外力質心運動定理§

5—4剛體的角動量和角動量守恒定律1.

剛體的角動量2.角動量定理微分形式積分形式3.角動量守恒定律10

對“剛體”“定軸”轉動，J

是常數。“角動量守恒”就是角速度守恒。20

若變，仍成立演示實驗30適用范圍:慣性系,宏觀、微觀都適用。討論剛體定軸轉動與質點一維運動的對比位移角位移速度角速度加速度角加速度質點一維運動剛體定軸轉動質量轉動慣量力力矩運動定律轉動定律動量動量角動量角動量動量定理角動量定理動量守恒定律角動量守恒定律質點一維運動剛體定軸轉動力的功力矩的功動能轉動動能（平動動能）動能定理轉動動能定理重力勢能重力勢能機械能守恒定律機械能守恒定律例3.

如圖，質量為

M

半徑為

R

的轉臺初始角速度為

0,有一質量為m

的人站在轉臺的中心,若他相對于轉臺以恒定的速度u沿半徑向邊緣走去,求人走了t

時間后,轉臺轉過的角度。（豎直軸所受摩擦阻力矩不計）解：人與轉臺系統對軸角動量守恒設t

時刻人走到距轉臺中心r=ut

處，轉臺的角速度為.對小球：動量定理對棒：角動量定理例4.一根質量為M，長為l的均勻細棒，可繞通過棒中心的垂直軸Z，在xy平面內轉動。開始時靜止，今有質量為m

的小球以速度逆著軸的方向碰撞棒的端點，假設碰撞是彈性的，試求碰撞后小球的彈回速度和棒的角速度（1）、（2）聯立：受力分析：小球棒解法一研究對象：小球，棒球、棒、地系統機械能守恒：（3）（4）聯立將代入，舍棄的解方向：沿y正向方向：沿z正向解法二:應用角動量守恒和機械能守恒定律研究系統：小球、細棒（內力矩很大，小球重力忽略）碰撞前后，角動量守恒：Z的負方向Z的正方向Z的正方向（4）（5）聯立可求彈性碰撞，球、棒、地系統機械能守恒：例5.一質量為M、長l

的均勻細桿，以0點為軸，從靜止在與豎直方向成

0角處自由下擺，到豎直位置時，與光滑桌面上一質量為m的靜止物體（質點）發生彈性碰撞。求碰撞后M的角速度

M

和m的線速度v

m

動畫解:桿自由下擺,機械能守恒.（設桿擺到豎直位置時角速度為

0）桿與物彈性碰撞過程系統對軸的角動量守恒,機械能守恒:零勢面(1)、(2)、(3)式聯立解得：§

5—5剛體的平面運動1.純滾動S=2

RAcccRAA0可看成質心平動剛體繞定軸轉動合成（或整個剛體繞瞬心0轉動）運動方程質心平動rrcamF=合外力cyycxxmaFmaF==定軸轉動b=tb=tJJrr合外力矩

注意：10角量是對質心而言的，可以證明：b=w=RaRvcc20瞬心“0”的速度v0=0！30S=R

因軸上各點靜止28演示動畫例6.一個質量為m半徑為R的均勻圓柱體，從傾角為

的斜面上由靜止開始無滑動地滾下，求質心的加速度。cR解法一：研究對象：圓柱體建立坐標、受力分析：如圖運動方程：平動：轉動：聯立，求得：將

ac

代入（1）可得維持圓柱體滾動的最小靜摩擦力動畫解法二：研究對象：圓柱體、三角塊、地球組成的系統。圓柱體受力：N，f，mg只有mg作功，機械能守恒。初態：頂部末態：底部cR零勢面Rv

c=w,

mRJ=2210注意解法一可以求力，解法二則不能，說明運動定律的作用。N，f

都作用在瞬心上，無滑動，不作功。§

5—6進動1.進動：陀螺在繞本身的對稱軸線轉動的同時，對稱軸還將繞豎直軸OZ轉動