地圖的數學基礎§1

地球體1.1地球的自然表面

——

為了了解地球的形狀，讓我們由遠及近地觀察一下地球的自然表面。浩瀚宇宙之中:

地球是一個表面光滑、藍色美麗的正球體。機艙窗口俯視大地:

地表是一個有些微起伏、極其復雜的表面。

——

珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。事實是： 地球不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。1.2地球的物理表面 當海洋靜止時，自由水面與該面上各點的重力方向（鉛垂線）成正交，這個面叫水準面。

在眾多的水準面中，有一個與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過大陸、島嶼形成一個閉合曲面，這就是大地水準面。它實際是一個起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包圍的形體稱為大地體。大地水準面的意義1.地球形體的一級逼近： 對地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當。2.起伏波動在制圖學中可忽略：

對大地測量和地球物理學有研究價值，但在制圖業務中，均把地球當作正球體。3.重力等位面： 可使用儀器測得海拔高程（某點到大地水準面的高度）。1.2地球的數學表面在測量和制圖中就用旋轉橢球體來代替大地球體，這個旋轉橢球體通常稱為地球橢球體，簡稱橢球體。

它是一個規則的數學表面，所以人們視其為地球體的數學表面，也是對地球形體的二級逼近，用于測量計算的基準面。橢球體

三要素:

長軸a（赤道半徑）、短軸b（極半徑）和橢球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f對

a，b，f

的具體測定就是近代大地測量的一項重要工作。

對地球形狀a，b，f

測定后，還必須確定大地水準面與橢球體面的相對關系。即確定與局部地區大地水準面符合最好的一個地球橢球體——

參考橢球體，這項工作就是參考橢球體定位。 通過數學方法將地球橢球體擺到與大地水準面最貼近的位置上，并求出兩者各點間的偏差，從數學上給出對地球形狀的三級逼近。

由于國際上在推求年代、方法及測定的地區不同，故地球橢球體的元素值有很多種。中國1952年前采用海福特（Hayford）橢球體；1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標原點是前蘇聯玻爾可夫天文臺）；自1980年開始采用GRS1975（國際大地測量與地球物理學聯合會IUGG1975推薦）新參考橢球體系，并確定陜西涇陽縣永樂鎮北洪流村為“1980西安坐標系”大地坐標的起算點。陜西省涇陽縣永樂鎮北洪流村為“1980西安坐標系”大地坐標的起算點——大地原點。

地球表面上的定位問題，是與人類的生產活動、科學研究及軍事國防等密切相關的重大問題。具體而言，就是球面坐標系統的建立。§2地球坐標系與大地定位2.1地理坐標

——用經緯度表示地面點位的球面坐標。①天文經緯度②大地經緯度③地心經緯度①

天文經緯度：表示地面點在大地水準面上的位置，用天文經度和天文緯度表示。2.1地理坐標天文經度：觀測點天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測點之間的兩面角。天文緯度：在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。②

大地經緯度：表示地面點在參考橢球面上的位置，用大地經度l

、大地緯度

和大地高h

表示。2.1地理坐標大地經度l

：指參考橢球面上某點的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經為正，西經為負。大地緯度

：指參考橢球面上某點的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負。③

地心經緯度：即以地球橢球體質量中心為基點，地心經度同大地經度l

，地心緯度是指參考橢球面上某點和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y

。2.1地理坐標在大地測量學中，常以天文經緯度定義地理坐標。在地圖學中，以大地經緯度定義地理坐標。在地理學研究及地圖學的小比例尺制圖中，通常將橢球體當成正球體看，采用地心經緯度。2.2

中國的大地坐標系統1.中國的大地坐標系1980年以前：參見電子教案本章第十三頁；1980年選用1975年國際大地測量協會推薦的參考 橢球：ICA-75橢球參數

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.2572.中國的大地控制網平面控制網:按統一規范，由精確測定地理坐標的地面點組成，由三角測量或導線測量完成，依精度不同，分為四等。2.2

中國的大地坐標系統由平面控制網和高程控制網組成，控制點遍布全國各地。高程控制網

:

按統一規范，由精確測定高程的地面點組成，以水準測量或三角高程測量完成。依精度不同，分為四等。中國高程起算面是黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設立了水準原點，其他各控制點的絕對高程均是據此推

算，稱為1956年黃海高程系。1987年國家測繪局公布：啟用《1985國家高程基準》取代《黃海平均海水面》其比《黃海平均海水面》上升29毫米。

青島觀象山水準原點2.2

中國的大地坐標系統絕對高程相對高程國家水準原點

國家測繪局平面控制網國家測繪局高程控制網國家測繪局水準面示意圖國家測繪局GPS控制網國家測繪局

2.3全球定位系統-GPS

授時與測距導航系統/全球定位系統(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是以人造衛星為基礎的無線電導航系統，可提供高精度、全天候、實時動態定位、定時及導航服務。1.GPS系統由三個獨立的部分組成空間部分：21顆工作衛星，3顆備用衛星（白色）。它們在高度20200km的近圓形軌道上運行，分布在六個軌道面上，軌道傾角55°，兩個軌道面之間在經度上相隔60°，每個軌道面上布放四顆衛星。衛星在空間的這種配置，保障了在地球上任意地點，任意時刻，至少同時可見到四顆衛星。

地面支撐系統：1個主控站，3個注入站，5個監測站。它向GPS導航衛星提供一系列描述衛星運動及其軌道的參數；監控衛星沿著預定軌道運行；保持各顆衛星處于GPS時間系統及監控衛星上各種設備是否正常工作等。

用戶設備部分：GPS接收機——接收衛星信號，經數據處理得到接收機所在點位的導航和定位信息。通常會顯示出用戶的位置、速度和時間。還可顯示一些附加數據，如到航路點的距離和航向或提供圖示。2.GPS系統定位原理數據，組成3個方程式，就可以解出觀測點的位置（X,Y,Z）。考慮到衛星的時鐘與接收機時鐘之間的誤差，實際上有4個未知數，X、Y、Z和鐘差，因而需要引入第4顆衛星，形成4個方程式以求解，從而得到觀測點經緯度和高程。

通過測量衛星信號到達接收機的時間延遲，即可算出用戶到衛星的距離。再根據三維坐標中的距離公式，利用3顆衛星的3.常用GPS測量模式

常規靜態測量：采用兩臺(或兩臺以上)GPS接收機，分別安置在一條或數條基線的兩端，同步觀測4顆以上衛星，每時段根據基線長度和測量等級觀測45分鐘以上的時間。常用于建立全球性或國家級大地控制網、地殼運動監測網。

快速靜態測量：這種模式是在一個已知測站上安置一臺GPS接收機作為基準站，連續跟蹤所有可見衛星。移動站接收機依次到各待測測站，每測站觀測數分鐘。這種模式常用于控制網的建立及其加密、工程測量、地籍測量等。這種方法要求在觀測時段內確保有5顆以上衛星可供觀測；流動點與基準點相距應不超過20km。靜態測量模式準動態測量

在一已知測站上安置一臺GPS接收機作為基準站，連續跟蹤所有可見衛星。移動站接收機在進行初始化后依次到各待測測站，每測站觀測幾個歷元數據。這種方法不同于快速靜態，除觀測時間不一樣外，它要求移動站在搬站過程中不能失鎖，并且需要先在已知點或用其它方式進行初始化（采用有OTF功能的軟件處理時例外）。

這種模式可用于開闊地區的加密控制測量、工程定位及碎部測量、剖面測量及線路測量等。要求在觀測時段內確保有5顆以上衛星可供觀測；流動點與基準點相距應不超過20km。動態測量模式實時動態測量：DGPS和RTK

在一個已知測站上架設GPS基準站接收機和數據鏈，連續跟蹤所有可見衛星，并通過數據鏈向移動站發送數據。移動站接收機通過移動站數據鏈接收基準站發射來的數據，并在機進行處理，從而實時得到移動站的高精度位置。DGPS通常叫做實時差分測量，精度為亞米級到米級，這種方式是基準站將基準站上測量得到的RTCM數據通過數據鏈傳輸到移動站，移動站接收到RTCM數據后，自動進行解算，得到經差分改正以后的坐標。

RTK則是以載波相位觀測量為根據的實時差分GPS測量，它是GPS測量技術發展中的一個新突破。它的工作思路與DGPS相似，只不過是基準站將觀測數據發送到移動站（而不是發射RTCM數據），移動站接收機再采用更先進的在機處理方法進行處理，從而得到精度比DGPS高得多的實時測量結果。這種方法的精度一般為2cm左右。§3地圖投影3.1地圖表面和地球球面的矛盾

地圖通常是繪在平面介質上的，而地球體表面是曲面，因此制圖時首先需要把曲面展成平面，然而，球面是個不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要發生斷裂或褶皺。無論是將球面沿經線切開，或是沿緯線切開，或是在極點結合，或是在赤道結合，他們都是有裂隙的。

3.2地圖投影的意義

地球橢球體表面是不可展曲面，要將曲面上的客觀事物表示在有限的平面圖紙上，必須經過由曲面到平面的轉換。地圖投影：在地球橢球面和平面之間建立點與點之間函數關系的數學方法，稱為地圖投影。

地圖投影的實質：是將地球橢球面上的經緯線網按照一定的數學法則轉移到平面上。x=f1(j,l)

y=f2(j

,l)3.3地圖的比例尺

1.地圖比例尺的含義地圖比例尺：地圖上一直線段長度與地面相應直線水平投影長度之比。可表達為（d為圖上距離，D為實地距離）

根據地圖投影變形情況，地圖比例尺分為：主比例尺：

在投影面上沒有變形的點或線上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有變形處的比例尺。2.地圖比例尺的表示

①

數字式比例尺

如1:10000

②文字式比例尺

如百萬分之一

③

圖解式比例尺 直線比例尺 斜分比例尺 復式比例尺 ④

特殊比例尺 變比例尺 無級別比例尺3.3地圖投影變形1.投影變形的概念

把地圖上和地球儀上的經緯線網進行比較，可以發現變形表現在長度、面積和角度三個方面。2.變形橢圓 取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當作平面看待），它投影到平面上通常會變為橢圓，通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為經線長度比；為緯線長度比微小圓→變形橢圓該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會變為橢圓，即：以O'為原點，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標軸的橢圓方程式。代入：X2+Y2=1，得特別方向：變形橢圓上相互垂直的兩個方向及經向和緯向長軸方向（極大值）a短軸方向（極小值）b經線方向m；緯線方向n統稱主方向據阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq

=a·b3.投影變形的性質和大小

長度比和長度變形：投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應微小線段（球面上微小圓半徑，已按規定的比例縮小）之比。

m表示長度比，Vm表示長度變形

長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。=0不變>0變大<0變小面積比和面積變形：投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應的微小面積（微小圓面積）dF之比。

P

表示面積比

Vp

表示面積變形

P=a·b=m

·

n(q=90)

P=m

·

n

·

sinq

(q≠90)

面積比是變量，隨位置的不同而變化。=0不變>0變大<0變小 角度變形：投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以ω表示角度最大變形。 設A點的坐標為（x、y），A

′點的坐標為(x

′

、y

′)，則將上式兩邊各減和加

tana

即：將兩式相除，得：顯然當（a+a

′）=90°時，右端取最大值，則最大方向變形：以w表示角度最大變形：若已知

m,n,q，則：3.4地圖投影方法1.

幾何投影法地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把橢球面直接透視到平面上，或透視到可展開的曲面上，如平面、圓柱面和圓錐面。2.

數學解析法——以正軸圓錐投影為例經線

投影為放射直線，經差l與投影面上d成正比：d=c·l（c為圓錐系數，0<c<1）。緯線

投影為同心圓弧，其半徑r是緯度

的函數，r

=f（

）。圓錐投影的一般公式為：X=r

s-

r

cosδr

=f(

)

Y=r

sind

d

=c·l等角投影條件：ω=0，m=n，構成經移項、積分、整理得：3.5地圖投影分類1.按地圖投影的構成方法分類（1）幾何投影:

將橢球面上的經緯線網投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面。

方位投影:以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到平面上而成。 圓柱投影:以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。 圓錐投影:以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。（2）非幾何投影：

根據某些條件，用數學解析法確定球面與平面之間點與點的函數關系。 偽方位投影：在方位投影的基礎上，根據某些條件改變經線形狀而成，除中央經線為直線外，其余均投影為對稱中央經線的曲線。 偽圓柱投影：在圓柱投影基礎上，根據某些條件改變經線形狀而成，無等角投影。除中央經線為直線外，其余均投影為對稱中央經線的曲線。 偽圓錐投影：在圓錐投影基礎上，根據某些條件改變經線形狀而成，無等角投影。除中央經線為直線外，其余均投影為對稱中央經線的曲線。 多圓錐投影：設想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經線的延長線上。中央經線為直線，其余經線投影為對稱于中央經線的曲線。2.按地圖投影的變形性質分類

等角投影:投影面上某點的任意兩方向線夾角與橢球面上相應兩線段夾角相等，即角度變形為零ω=0（或a=b，m=n）。

等積投影:投影面與橢球面上相應區域的面積相等，即面積變形為零Vp=0（或

P=1，a=1/b）。

任意投影:投影圖上，長度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）。第四節常用地圖投影5.1地形圖投影

5.1地形圖投影

1.

高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影） 以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經線兩側各一定范圍內的地區投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。

由德國數學家、天文學家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）及大地測量學家克呂格（J.Krüger，1857—1923）共同創建。 此投影無角度變形，中央經線無長度變形。為保證精度，采用分帶投影方法： 經差6°或3°分帶，長度變形<0.14%中國國家基本比例尺地形圖采用高斯-克呂格6°分帶投影：

1∶1萬（3°分帶）

1∶2.5萬、1∶5萬、1∶10萬、1∶25萬、1∶50萬。高斯-克呂格直角坐標yA

=245863.7myB

=-168474.8myA通=20745863.7myB通=20331525.2m2.

通用橫軸墨卡托投影

——

UTM投影

以橫軸橢圓柱面割于地球橢球體的兩條等高圈，按等角條件，將中央經線兩側各一定范圍內的地區投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。又稱

UniversalTransverseMercator——

UTM投影。

此投影無角度變形，中央經線長度比為0.9996，距中央經線約±180km處的兩條割線上無變形。亦采用分帶投影方法：經差6°或3°分帶。長度變形<0.04%3.百萬分一地形圖投影新編國際百萬分一地圖采用雙標準緯線等角圓錐投影，自赤道起按緯差4°分帶，北緯84°以北和南緯80°以南采用等角方位投影。中國《1∶100萬地形圖編繪規范》規定采用邊緯線與中緯線長度變形絕對值相等的雙標準緯線等角割圓錐投影,按緯差4°分帶長度變形最大值:±0.03%面積變形最大值:±0.06%5.2區域圖投影

1.方位投影

正軸方位投影正軸等角方位投影正軸等距方位投影橫軸和斜軸方位投影4.3區域圖投影

2.圓錐投影

以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。①正軸圓錐投影 經線:投影為放射直線，經差l與投影面上d成正比：d=Cl

（C為常數）。

緯線:投影為同心圓弧，其半徑r是緯度

的函數，r

=f（

）

圓錐投影的各種變形均是緯度

的函數，與經度l無關。適于制作中緯度沿東西方向延伸地區的地圖4.3區域圖投影等角割圓錐投影條件：w=0;

m=n;

n1=n2=1相割緯線：

1=25°

；

2=45°

4.3區域圖投影等積割圓錐投影條件：P=mn=1;n1=n2=1

多用于要求面積對比正確的圖種，如分布圖、類型圖、區劃圖如1:800萬，1:600萬，1:400萬《中華人民共和國地圖》采用了(

1=25°；

2=47°)的該投影。等距割圓錐投影條件：m=1;n1=n2=1

原蘇聯出版的蘇聯全圖，采用(

1=47°；

2=62°)的該投影。4.3區域圖投影

3.

偽圓錐投影

由法國彭納（R.Bonne）在圓錐投影的基礎上，根據某些條件改變經線形狀設計而成，故又稱彭納投影。緯線長度比

n=1，同心圓弧中央經線

m0=1其他經線為對稱m0的曲線常用于編制中緯度地區小比例區域圖4.3區域圖投影5.3世界地圖投影主要類型：多圓錐投影、圓柱投影和偽圓柱投影

具體方案：等差分緯線多圓錐投影正切差分緯線多圓錐投影墨卡托（Mercator）投影摩爾威特（Mollweide）投影古德（Goode）投影4.4世界地圖投影

1.多圓錐投影 設想更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經線的延長線上。中央經線為直線，其余經線投影為對稱中央經線的曲線。

普通多圓錐投影（1820年美國Hasslar

所創）m0=1n=1m>1任意投影適于南北方向延伸地區地圖普通多圓錐分帶投影圖將整個地球按一定經差分為若干帶，每帶中央經線投影為直線，各帶在赤道相接。用于制作地球儀。等差分緯線多圓錐投影

中國地圖出版社1963年設計，其經線間隔隨距中央經線距離的增大而呈等差遞減，屬任意投影。正切差分緯線多圓錐投影

中國地圖出版社1976年設計，其經線間隔按與中央經線經差的正切函數遞減。屬任意投影。世界圖

2.

圓柱投影 設想以圓柱面為投影面，使圓柱面與地球表面相切或相割，將地球表面上的經緯線投影到圓柱面上，再把圓柱面沿一條母線剪開展為平面而成。4.4世界地圖投影

①正軸等角圓柱投影（墨卡托投影）

由荷蘭地圖學家墨卡托（MercatorGerardus，1512—1594）于1569年所創設，故又名墨卡托投影。特點:不僅保持了方向和相對位置的正確，而且使等角航線在圖上表現為直線。這一特性對航海具有重要的實用價值。4.4世界地圖投影墨卡托投影等角航線：是地球表面上與經線相交成相同角度的曲線。在地球表面上除經線和緯線以外的等角航線，都是以極點為漸近點的螺旋曲線。大圓航線：地球面上兩點間最短距離是通過兩點間的大圓弧，也稱為大圓航線。4.4世界地圖投影墨卡托投影等角航線在圖上表現為直線。這一特性對航海具有很重要的意義。地球面上兩點間最短距離是通過兩點間的大圓弧，也稱為大圓航線4.4世界地圖投影3.偽圓柱投影 是在圓柱投影的基礎上，規定緯線仍然為平行直線，而經線則根據某些特定條件改變經線形狀而設計成對稱于中央經線的各類曲線的非幾何投影，在具體應用中以等積性質居多，而無等角投影。⑴桑遜（Sanson）投影⑵摩爾威特（Mollweide）投影⑶古德（Goode）投影常用的投影方案：4.4世界地圖投影

⑴桑遜（Sanson-Flamsteed）投影 經線為正弦曲線的等積偽圓柱投影，緯線為間隔相等的平行直線，每條緯線上經線間隔相等。由法國桑遜于1650年設計。投影特點：P=1無面積變形n=1緯線長度比為1m0=1中央經線長度比=1m>1經線長度比>14.4世界地圖投影該投影最初用于世界地圖中，也適用于赤道附近和沿中央經線方向延伸的地圖，如非洲地圖、南美洲地圖等。⑵摩爾威特（Mollweide）投影 經線為正弦曲線的等積偽圓柱投影，緯線為間隔相等的平行直線，每條緯線上經線間隔相等。由德國摩爾威特于1805年設計。投影特點：P=1無面積變形S90=Searth

/2赤道長度=中央經線×2常用于編制世界地圖及東、西半球地圖S90=Searth

/240°44′11.8″4.4世界地圖投影半球面積⑶古德（Goode）投影

美地理學家古德（J.PaulGoode）于1923年提出在整個制圖區域主要部分中央都設置一條中央經線，分別進行投影，則全圖就分成幾瓣，各瓣沿赤道連接在一起。投影特點：分瓣、組合投影，變形減小且均勻大陸完整，大洋割裂大洋完整，大陸割裂常用于編制世界地圖4.4世界地圖投影摩爾威特—

古德投影4.4世界地圖投影第五節地圖投影的應用5.1地圖投影的選擇依據

1.制圖區