高等數學簡明教程第4版在科學技術和經濟管理中，有許多實際問題往往需要通過未知函數的導數(或微分)所滿足的等式來求該未知函數，這種等式就是微分方程。本章將介紹微分方程的基本概念，討論幾種簡單的微分方程的解法及其應用。第6章常微分方程

引例已知曲線上任意一點切線的斜率等于該點橫坐標的二倍，且曲線過點(2，4)，求該曲線的方程。設所求曲線的方程為y=y(x)，根據已知條件可知y'=2x兩邊積分∫y'dx=∫2xdx+C得y=x2+C其中C為任意常數，再將曲線過點(2，4)的條件代入，得4=22+C，C=0則y=x2即為所求的曲線的方程。引例中的方程y'=2x就是這一章要介紹的微分方程。6.1微分方程的概念定義1

含有未知函數的導數或微分的方程叫作微分方程。未知函數為一元函數的微分方程叫作常微分方程；未知函數為多元函數的微分方程叫作偏微分方程。本章我們只討論常微分方程。微分方程中出現的未知函數導數的最高階數叫作微分方程的階。例如y'=2x是一階微分方程，y″-2y=0是二階微分方程。

習題6-11.指出下列各微分方程的階數:(1)(y″)3-x=0；(2)xy'-y=x；(3)xyy?+y″+1=0；(4)y(5)+y(4)+y?=0。2.下列各題中的函數是否為所給微分方程的解?(1)y=ex，xy'-ylny=0；(2)y=xe2x，y″-4y'+4y=0；(3)y=x3+x2，y″=6x+2；(4)y=2sinx+cosx，y″+y=0。6.2一階微分方程本節介紹幾種典型的一階微分方程的求解方法。6.2.1

y'=f(x)型的方程此類題可通過兩端積分求得含一個任意常數的通解。例6-3求微分方程y'=sinx+2x-1的通解。解對所給的方程兩端積分，得y=∫(sinx+2x-1)dx=-cosx+x2-x+C

6.2.3一階線性微分方程形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程，稱為一階線性微分方程，Q(x)稱為自由項。當Q(x)≡0時，方程為y'+P(x)y=0，這時方程稱為一階齊次線性微分方程。當Q(x)≠0時，方程y'+P(x)y=Q(x)稱為一階非齊次線性微分方程。

6

6.3二階微分方程2.y″=f(x，y')型的不顯含y的方程此類方程的求解方法為:令y'=p(x)，則y″=p'(x)，這樣方程變為關于p和x的一階微分方程，進而用一階微分方程的求解方法來求解。

6.3.2

二階常系數線性微分方程解的性質形如y″+py'+qy=f(x)(1)稱為二階常系數線性微分方程，與其對應的二階常系數齊次線性微分方程為y″+py'+qy=0(2)其中p，q為實常數。若函數y1和y2之比為常數，則稱y1和y2是線性相關的；若函數y1和y2之比不為常數，則稱y1和y2是線性無關的。

定理3

若函數y1和y2分別是方程y″+py'+qy=f1(x)y″+py'+qy=f2(x)的解，則y=y1+y2是方程y″+py'+qy=f1(x)+f2(x)的解。6.3.3二階常系數齊次線性微分方程由定理1可知，求二階常系數齊次線性微分方程的通解，只需求出它的兩個線性無關的特解即可。如何找到齊次線性微分方程的兩個線性無關的解呢？觀察方程y″+py'+qy=0由于p，q是常數，所以方程中的y，y'，y″應具有相同的形式，而y=erx是具有這一特性的函數。故設y=erx是方程的解(r為待定常數)并代入方程得(erx)″+p(erx)'+qerx=0(r2+pr+q)erx=0

2.特征根為兩個相等的實數:r=r1=r2此時只能得到微分方程的一個解y1=erx，但通過直接驗證可知y2=xerx是齊次方程的另一個解，且y1和y2線性無關，從而微分方程的通解為y=C1erx+C2xerx=(C1+C2x)erx(6-3)3.特征根為兩個復數:r1，2=α±iβ(β≠0)此時微分方程得到兩個線性無關的解:y1=e(α+iβ)x，y2=e(α-iβ)x，因此微分方程的通解為y=Ae(α+iβ)x+Be(α-iβ)x=eαx(Aeiβx+Be-iβx) =eαx((A+B)cosβx+(A-B)isinβx)令C1=A+B，C2=(A-B)i，于是微分方程實數形式的通解為y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)(6-4)根據上述討論，求二階常系數齊次線性微分方程的通解的步驟為:(1)寫出微分方程的特征方程；(2)求出特征根；(3)根據特征根的情況寫出所給微分方程的通解。例6-16求微分方程y″-3y'+2y=0的通解。解所給微分方程的特征方程為r2-3r+2=0其根為r1=1，r2=2，故所求通解為y=C1ex+C2e2x

這種類型的方程為y″+py'+qy=P(x)eαx其中P(x)是多項式，α是常數，則方程具有形如y*=xkQ(x)eαx的特解，其中Q(x)是與P(x)同次的待定多項式，而k的值可通過如下方法加以確定:(1)若α與兩個特征根都不相等，取k=0；(2)若α與一個特征根相等，取k=1；(3)若α與兩個特征根都相等，取k=2。例如:y″-2y'+y=xex其對應的齊次方程的特征方程為r2-2r+1=0特征根為r1=r2=1。由于α=1與r1，r2都相等，故取k=2。又由于P(x)=x是一次多項式，故取Q(x)=ax+b。因此，設原方程的一個特解為y*=xkQ(x)eαx=x2(ax+b)ex

6.4提示與提高

2.一階線性微分方程“湊”的解法先把一階線性微分方程y'+P(x)y=Q(x)變型為e∫P(x)dxy'+e∫P(x)dxP(x)y=e∫P(x)dxQ(x)得(e∫P(x)dxy)'=e∫P(x)dxQ(x)再兩邊積分、整理，即得方程的通解。其中P(x)的積分∫P(x)dx只取一個原函數。

3.非基本類型的微分方程的求解本章講解了微分方程的幾種基本類型，它們的解法相對固定，求解微分方程時，判斷其類型很重要，若出現不屬于幾種基本類型的情況時，應按以下兩種思考方法重新判別:1)把x當作未知函數，把y當作自變量，再判別；2)用適當的變量代換看能不能把方程化為可解方程。

5.型如f'(y)y'+P(x)f(y)=Q(x)的微分方程方程可化為(f(y))'+P(x)f(y)=Q(x)設f(y)=z，則方程化為關于z和x的線性微分方程z'+P(x)z=Q(x)

9.常數變易法本章前面求二階非齊次線性微分方程的通解時，采用了待定系數法求其特解，而待定系數法有其局限性，常數變易法求解可用于所有的線性微分方程，它比待定系數法應用范圍更廣。下面給出求二階常系數非齊次線性微分方程的常數變易法。設方程y″+py'+qy=z(x)對應的齊次方程的通解為y=C1y1+C2y2，把y變易為y=C1(x)y1+C2(x)y2代入方程可得C'1(x)y1+C'2(x)y2=0C'1(x)y'1+C'2(x)y'2=z(x)由上述方程可解出C1(x)，C2(x)，代回y中即可得到方程的通解。

10.微分方程的應用舉例應用微分方程解決具體問題的步驟是:(1)分析問題，建立微分方程，并確定初始條件；(2)求出該微分方程的通解；(3)根據初始條件確定所求的特解。

圖6-1

于是N=N0e0.347t當t=3時，N=20000，代入得20000=N0e0.347×3=N0×2.632，解得N0=7062所以該國最初人口為7062人。

11.二階線性微分方程y″+py'+qy=P(x)eαx中，α為虛數時的特解求法若二階線性微分方程y″+py'+qy=P(x)eαx中的α是虛數，其特解的求法與α是實數的求法一致例6-47求微分方程y″+y=3eix的一特解。解方程對應的齊次方程的特征方程為r2+1=0特征根為r1，2=±i由于α=i與一個特征根相等，故取k=1。因此，設特解為y*=xkQ(x)eαx=xaeix=axeix

定理4若y(x)=y1(x)+iy2(x)是方程y″+a1(x)y'+a2(x)y=f1(x)+if2(x)的解，則y1(x)和y2(x)分別是方程y″+a1(x)y'+a2(x)y=f1(x)和y″+a1(x)y'+a2(x)y=f2(x)的解。

課外學習61.在線學習網上課堂：（1）十大建筑中的數學美（網頁鏈接見對應配套電子課件）：/s?id=159100376