PAGE1PAGE2專題01銳角三角函數3大題型題型一求角的正弦值及已知正弦值求邊長1．（23-24九年級上·河南安陽·期末）如圖，在由小正方形組成的網格中，小正方形的邊長均為1，點，，都在小正方形的頂點上，則的正弦值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作于點．先利用勾股定理求出、的長，再利用的面積求出的長，最后在直角中求出的正弦值．本題考查了解直角三角形，構造直角三角形，利用的面積求出邊上的高是解決本題的關鍵．【詳解】解：過點作于點．

，．，．．．故選：B．2．（23-24九年級上·河南許昌·期末）如圖，在反比例函數的圖象上，軸于點H，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．利用銳角三角函數的定義求解，為的對邊比斜邊，求出即可．【詳解】解：點在反比例函數的圖象上，，軸于，，，，，故選：B3．（23-24九年級上·河南新鄉·期末）如圖，點，，均在正方形網格紙中的格點上，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了求正弦值，取格點，勾股定理求得的長，進而根據正弦的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，取格點，

在中，∴∴，故選：A．4．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在邊長為5的菱形中，對角線，點O為菱形的中心，作，垂足為E，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質、勾股定理以及銳角三角函數定義等知識，熟練掌握菱形的性質和銳角三角函數定義是解題的關鍵．由菱形的性質得，再由勾股定理得，然后由銳角三角函數定義，進而證，即可得出結論．【詳解】解：∵四邊形是菱形，邊長為5，，在中，由勾股定理得：，∵，∴，∴，∵，∴，故選：C．5．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖，點都在格點上，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作交延長線于點，根據勾股定理求出的長，然后根據即可得出答案．【詳解】解：過點作交延長線于點，則，則在中，∴，故選：D．6．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖所示，點在第一象限，射線OA與x軸所夾的銳角為a，，則t的值為（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】過點作軸的垂線，根據垂線的性質，得出，再根據題意，得出，，再根據正弦的定義，得出，進而得出，解得，再根據勾股定理，計算即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點作軸的垂線，∴，∵點在第一象限，∴，，∵，∴，即，解得：，∴，∴的值為．故選：A7．（22-23九年級上·河南鶴壁·期末）如圖是簡化的冬奧會跳臺滑雪的雪道示意圖，AB為助滑道，BC為著陸坡，著陸坡傾角為，A點與B點的高度差為h，A點與C點的高度差為120m，著陸坡BC長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點B作BF⊥DC，交DC的延長線于點F，求出BF=120-h，再根據正弦的定義可得結論．【詳解】解：過點B作BF⊥DC，交DC的延長線于點F，如圖，∵A點與C點的高度差為120m，且A點與B點的高度差為h，∴BF=120-h又∴故選：A8．（20-21九年級上·河南新鄉·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，則AC的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先由sinA及已知求得AB的值，再根據勾股定理可以得到AC的值．【詳解】解：∵∠C＝90°，sinA＝，∴AB＝BC＝×3＝5，∴AC＝＝＝4．故選：B．9．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中，點A，B，C，D，E都正方形的頂點上，則．【答案】【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質及求正弦值，利用三角形全等，將所求角進行轉化是解題關鍵，通過計算得，，即可通過SSS證明，即可將轉化為求，而在直角三角形中，即可求解．【詳解】解：如圖，

，，，，故答案為．10．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）學過三角函數之后，小明同學明白了梯子的傾斜程度和的三角函數值有關．根據如圖，請你用的正弦（或余弦，或余弦）的大小來描述梯子的傾斜程度．【答案】的正弦值越大，梯子越陡【分析】本題考查了銳角三角函數的定義：熟練掌握銳角的正弦、余弦是解決問題的關鍵．先利用正弦的定義得到，由于為定值，則越大，梯子越陡，所以的正弦值越大，梯子越陡．【詳解】解：∵，∴，∵為定值，∴越大，梯子越陡，即的正弦值越大，梯子越陡．故答案為：的正弦值越大，梯子越陡．題型二求角的余弦值及已知余弦求邊長11．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖，已知的終邊，直線的方程為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角函數的定義，一次函數的圖象和性質等知識．根據一次函數的性質，求出、的坐標，得到、、的長度，根據三角函數的定義即可求出的值,再證明即可得到答案．【詳解】解：根據題意：直線的方程為，令，則，令，則，∴點坐標為，點坐標為，故，；∴，，∵，∴∴，，∴，∴．故選：C．12．（22-23九年級上·河南平頂山·期末）如圖，中，，于點D，則下列比值：其中可以表示的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題主要考查了求角的余弦值，三角形內角和定理，根據余弦的定義可得在中，，在中，，利用三角形內角和定理證明，進而得到，據此可得答案．【詳解】解：在中，，在中，，∵，∴，∴，在中，，∴在中，可以表示的有，共3個，故選；B．13．（22-23九年級上·河南焦作·期末）如圖，的三個頂點都在正方形網格的格點上，則的值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理可求出的長，利用余弦的定義即可得答案．【詳解】由圖可知，∵，，∴，∴，故選：B．14．（22-23九年級上·河南洛陽·期末）在中，，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據勾股定理求出直角三角形的斜邊，再根據余弦的定義即可求得的值．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，故選．15．（22-23九年級上·河南南陽·期末）在矩形中，于點，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】易證，由矩形的性質得出，則，得出，由勾股定理得，即可得出結果．【詳解】解：如圖，，，，，矩形，∴，，，，，由勾股定理得，，四邊形是矩形，，故選：D．16．（22-23九年級上·河南新鄉·期末）如圖，在中，，如果，，那么等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據余弦的定義，得出，設，則，勾股定理得出，根據已知條件即可求解．【詳解】解：∵在中，，，設，則，∵∴∴，∴，故選：B．17．（21-22九年級上·河南洛陽·期末）如圖，中，，點D在AC上，．若，，則BD的長度為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根據三角函數的概念求出AB的長，再根據勾股定理求出的長，再證明，從而得出比例關系，求出BD的長．【詳解】解：∵，，∴∴∴∵，∴∴∴∴故選：C．18．（22-23九年級上·河南新鄉·期末）如圖，在正方形網格中，的頂點均在格點（網格線交點）上，則的值為．【答案】55/【分析】直接根據圖象計算即可．【詳解】解：∵正方形網格中，的頂點均在格點上，∴，，，∴∴，故答案為．19．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖，在網格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點若的頂點均是格點，則的值是．【答案】【分析】延長到，連接，由網格可得，即得，可求出答案．【詳解】解：延長到，連接，如圖：，，，，，，故答案為：．20．（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，將一塊含角的三角板的直角頂點C放置于直線n上，點A，點M在直線n上的正投影分別為點D，點N，若，，則在直線n上的正投影的長是．【答案】【分析】本題考查了正投影，直角三角形的特征，特殊角的三角函數，勾股定理；由之間三角形的特征得，的余弦得，由勾股定理得，求出，由余弦的定義可求，即可求解；理解正投影，將正投影的長轉化為的長是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，，，，，，，，解得：，，在直線n上的正投影的長是．21．（22-23九年級上·河南商丘·期末）在中，．則．【答案】/【分析】根據題意設，則，勾股定理求得，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，設，則∴,∴，故答案為：．題型三求角的正切值已知正切值求邊長22．（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，在中，延長斜邊到點D，使，連接，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，正切函數的計算，熟練掌握相似三角形的判定和性質和正切的定義是解題關鍵，過點C作交于點E計算即可．【詳解】解：如圖，過點C作交于點E．∵，，∴．∵，∴設，．∵，∴，∴．∵，∴，∴．故選：D．23．（22-23九年級上·河南鶴壁·期末）如圖，在中，，，垂足為D．如果，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了求角的正切值，三角形內角和定理，先由三角形內角和定理證明，得到，再解直角三角形得到，據此求出，則．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴，∴，故選：B．24．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如圖，為等邊三角形內一點，，將線段以點為旋轉中心逆時針旋轉，得到線段，連接，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理逆定理、正切的定義，先證明把逆時針旋轉后，與重合，與重合，再根據勾股定理逆定理得出為直角三角形，最后根據正切的定義即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【詳解】解：線段以點為旋轉中心逆時針旋轉，得到線段，，，為等邊三角形，，為等邊三角形，，,把逆時針旋轉后，與重合，與重合，，，，為直角三角形，，，故選：B．25．（23-24九年級上·河南商丘·期末）如圖，在矩形中，點E在上，使點D落在邊上的點F處，若，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據矩形的性質和翻折的性質以及勾股定理，求出，再求出，在中，根據勾股定理得：，可求出，再利用銳角三角形函數即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，由翻折可知：，，∴，∴，∵，在中，根據勾股定理得：，∴，解得：，∴故選：D．26．（23-24九年級上·河南洛陽·期末）如圖，在每個小方格均為小正方形的網格中，點都在格點上，則的正切值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正切函數的定義，勾股定理及其逆定理，正確理解正切函數的定義和勾股定理及其逆定理是解答本題的關鍵，先根據勾股定理計算，，的值，再利用勾股定理的逆定理證明，最后根據正切函數的定義，即可得到答案．【詳解】根據勾股定理計算得，，，，，，故選A．27．（21-22九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在平面直角坐標系系中，直線與軸交于點，與軸交于點，與反比例函數在第一象限內的圖象交于點，連接．若，，則的值是（

）A．4 B．6 C．8 D．2【答案】C【分析】首先根據直線求得點C的坐標，然后根據△BOC的面積求得BD的長，然后利用正切函數的定義求得OD的長，從而求得點B的坐標，求得結論．【詳解】解：如圖所示，過點B作BD⊥y軸于B，∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，∴點C的坐標為（0，2），∴OC＝2，∵，∴BD＝2，∵tan∠BOC，∴，∴OD＝4，∴點B的坐標為（2，4），∵反比例函數y在第一象限內的圖象交于點B，∴，故選C．28．（22-23九年級上·河南鶴壁·期末）如圖，已知正方形的邊長為2，如果將線段繞點B旋轉后，點D落在的延長線上的點處，那么等于．

【答案】/【分析】本題考查求角的正切值，根據正方形的性質和勾股定理求出的長，進而求出的長，再利用正切的定義，進行求解即可．【詳解】解：∵正方形的邊長為2，∴，，∴，，∵將線段繞點B旋轉后，點D落在的延長線上的點處，∴，∴∴；故答案為：．29．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，折疊矩形的一邊，使點落在邊的點處，若，，則折痕．【答案】【分析】由矩形的性質得，由折疊的性質得，，證得，再由，解得的值，設，則，利用矩形的性質求得，在中，由勾股定理計算求解即可．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，由折疊的性質得：，，∵，∴，∴，即，∵，∴，設，則，在中，由勾股定理得，∴，∴，解得，∴，∴，在中，由勾股定理得，故答案為：．30．（23-24九年級上·河南新鄉·期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，和，請按下列要求畫圖并填空．(1)平移線段AB，使點A平移到點C，畫出平移后所得的線段CD，并寫出點D的坐標為______；(2)將線段AB繞點A逆時針旋轉90°，畫出旋轉后所得的線段，連接，求的正切值；(3)在y軸上找出點F，使的周長最小，并直接寫出點F的坐標為______．【答案】(1)(2)圖見解析，2(3)【分析】題目主要考查正切的定義，圖形的平移、旋轉及最短路徑問題，理解題意，熟練掌握這些基礎知識點是解題關鍵．（1）根據圖形的平移作出相應圖形，然后讀出點的坐標即可；（2）先作出旋轉后的圖形，然后利用勾股定理逆定理及正切函數的定義求解即可；（3）利用軸對稱作出點B的對稱點，然后連接交y軸即為所求．【詳解】（1）如圖所示，，故答案為：；（2）如圖所示，，∴，∴的形狀為直角三