高考數學復習-立體幾何與空間向量

一、單選題

1.（2020?山東高三下學期開學）設相〃,/為三條不同的直線，a,分為兩個不同的平面，則下面結論正確的

是（）

A.若mua,'nu0,a11f3,則用〃〃B.若則a_1_，

C.若zw_La,"_L/?,a_L夕，則〃z_L〃D.m!Ia,nl!a,lLm,lLn,貝i"_La

【答案】C

【解析】

A選項中，加，“可能異面；B選項中，名，也可能平行或相交；D選項中，只有以，〃相交才可推出/La.C

選項可以理解為兩個相互垂直的平面，它們的法向量相互垂直.

故選：C

2.（2020屆山東省濰坊市高三模擬二）已知三棱錐D-ABC的所有頂點都在球。的球面上，AB=BC=2,

AC=2日若三棱錐ABC體積的最大值為2,則球。的表面積為（）

【答案】D

【解析】

分析：根據棱錐的最大高度和勾股定理計算球的半徑，從而得出外接球的表面積.

詳解：因為AB=3C=2,AC=20，所以ABLBC,

過AC的中點M作平面ABC的垂下MN,則球心。在MN上，

設。/=〃，球的半徑為R,則棱錐的高的最大值為R+%,

因為%-ABC=—X2x2x（7?+/z）=2,所以R+/z=3,

由勾股定理得R2=（3—Ry+2,解得R=?,

6

［。11o1

所以球的表面積為s=4"X——=-故選D.

369

1

3.（2020.山東高三下學期開學）在四面體ABC。中，且A3，AC,ACLCD,AB,CD所成的角為

30°,AB=5,AC=4,CD=3,則四面體ABC。的體積為（）

A.8B.6C.7D.5

【答案】D

【解析】

由題意，如圖所示，AB1AC,ACLCD,過點A作C。的平行線AE,則AC,平面ABE,且NEA3

為30。或150°,

從3點向AE作垂線，垂足為E,

易證3E_L平面ACD.

則點B到平面ACD的距離BE=ABsinZEAB=5x-=-,

22

^\SMCD=^AC-CD=6,

則四面體ABCD的體積為V=g?SMCDBE=5.

故選：D.

4.（2020屆山東省濟寧市第一中學高三二輪檢測）已知四棱錐M—ABCD，跖1，平面ABCD,AB1BC,

ZBCD+ZBAD^180°,MA=2,BC=2屈,NA3M=30°.若四面體加AC。的四個頂點都在同一

個球面上，則該球的表面積為（）

A.20%B.22%C.40萬D.44萬

【答案】C

2

【解析】

因為/3。。+/明。=180°,所以A,B,C,。四點共圓，ZADC=ZABC=90°.

由tan30°=總，得AB=2?，所以AC=J（2逐『+（2通『=6.

設AC的中點為E,MC的中點為。，因為平面A3CD,所以OEL平面A3CD.

易知點。為四面體MACD外接球的球心，所以oc=J[￡|=回,S球=4小℃2=40心

故選C

5.（2020屆山東省煙臺市高三模擬）《九章算術》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底

面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵ABC—A4G中，AC1BC,4&=2,當陽馬

4

3—ACGA體積的最大值為I時，塹堵ABC—A4G的外接球的體積為（

48夜32D.鳴

A.—7tB.------兀C.----7T

3333

【答案】B

【解析】

由題意易得BC，平面ACCJA,

3

i9ii

當且僅當AC=BC時等號成立，

4

又陽馬3—ACG4體積的最大值為］，

所以AB=2,

所以塹堵ABC—44G的外接球的半徑R==&，

所以外接球的體積V=3?/=還〃，

33

故選:B

6.（2020屆山東省淄博市部分學校高三3月檢測）己知三棱錐尸-ABC的四個頂點在球。的球面上，

PA=PB=PC,AABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是朋，AB的中點，NCE~=90。，則球。的體積為

A.B.46乃C.2遙）兀D.后兀

【答案】D

【解析】

解法一：PA=PB=PC,AA8C為邊長為2的等邊三角形，ABC為正三棱錐，

PBLAC,又E,歹分別為PA、中點，

:.EF//PB,EF1AC,又EFLCE,CEAC=C,平面PAC,平面PAC,

.?.NAPB=90°,.\B4=P3=PC=J5，二尸―ABC為正方體一部分，2H=12+2+2=后即

尺邛，小=料=扣平=竭，故選D.

B

4

p

設PA=PB=PC=2X,瓦/分別為PA,A5中點，

:.EF//PB,且==AA3C為邊長為2的等邊三角形，

2

:.CF=有又NCEF=90°:.CE=,3-、,AE=LPA=X

1+4—CT2)

AAEC中余弦定理cos/E4C=^_____~作尸。_LAC于。，PA=PC,

2x2xx

上/T7\A。1+4—3+九21

QDAC中點，cosNEAC——,-----------------=—,

PA2x4x2x

.-.2X2+1=2:.X2=-x=也，：.PA=PB=PC=拒，又AB3C6C=a,：.PA,PB,PC兩兩

22

垂直，.\2R=y/2+2+2=46>:.R=—,:.V=-nR3=3兀,6巫=又兀，故選D.

2338

7.(2020屆山東省濰坊市高三模擬一)在邊長為2的等邊三角形A5C中，點DE分別是邊AGA3上的

AT)

點，滿足DE//BC且——=2(2e(0,l)),將ADE沿直線DE折到A'DE的位置.在翻折過程中，下列

AC

結論成立的是()

A.在邊A'E上存在點歹，使得在翻折過程中，滿足〃平面A'CD

B.存在使得在翻折過程中的某個位置，滿足平面A3C，平面3CDE

C.若％=g，當二面角A—QE—3為直二面角時，|A@=平

D.在翻折過程中，四棱錐4-5CDE體積的最大值記為了(%),/(㈤的最大值為手

【答案】D

5

【解析】

對于A,假設存在歹eAE,使得BP〃平面A'CD，

如圖1所示，

因為RFu平面A’3E，平面43Ec平面AC￡>=A'A,故,BFIIA!A,

但在平面AZE內，3尸,4A是相交的，

故假設錯誤，即不存在BwAE,使得〃平面A'CD，故A錯誤.

對于B,如圖2,

取BC,DE的中點分別為I,H,連接IH,A'l,AH,AI,

因為AABC為等邊三角形，故A/LBC,

因為DE//BC,故ZADE=AA;DE=ZACB=60°,ZAED=ZAED=ZABC=60°,

所以AA'Z)E,AADE均為等邊三角形，故A'HLDE,AHLDE,

因為DE/IBC,AlLBC,AI±BC,故A,共線，

所以田_LDE,因為A'HcZH=H,故。E_L平面A'H/,

而DEu平面CBED,故平面A'HI±平面CBED,

若某個位置，滿足平面平面3CDE,則A在平面3CDE的射影在/”上，也在上，故A'在

平面BCDE的射影為H,所以AH>IH,

6

工ADAHA'H1

rI此n時2=----------->一這與矛盾，故B錯誤.

ACA'H+IH2

對于C,如圖3（仍取3C,DE的中點分別為1,H,連接出,4/7,43,9）

A'

因為。及田，8C,所以ZA,HI為二面角A'-DE-I的平面角，

因為二面角4—QE—3為直二面角，故NA'm=90°,所以A'HLAH,

而IHcDE=H,故平面C5ED,因BHu平面C5ED,故A'H,3H.

因為％=彳,所以A'H=IH=—AI=-

222

在RtAIHB中,BH=t!^+l=—,

V42

在放AA7/3中，A'B=J-+-=^-,故C錯.

V442

對于D,如圖4（仍取的中點分別為/,8,連接出

作A'在底面C3ED上的射影。，則。在田上.

ADA'H八DE

因為一=九,BCHDE,所以1^=4且——=4所以=其。E=2/L

ACJ32

又匕YBED=gxgx（DE+O?）x田xA,O

=1（22+2）X73（1-2）XA,O<1（2/1+2）X^/3（1-2）XV32=-23+2,

^/（2）=-23+2,2e（0,1）,則/'（4）=-322+1,

f

時，r（2）＞0;當X時，/（2）＜0.

7

273

所以/⑷在0,為增函數，在［二-』|為減函數，故/（%）max=/

~9~

故D正確.

故選：D.

A'

二、多選題

8.（2020屆山東省淄博市部分學校高三3月檢測）如圖，正方體A3CD—A4G2的棱長為1，線段42

上有兩個動點E、F,且跖=工，則下列結論中正確的是（）

2

A.AC1BE

B.EF//平面ABC。

C.AEF的面積與BEF的面積相等

D.三棱錐A-8屈F的體積為定值

【答案】ABD

【解析】

8

可證AC，平面RDB耳，從而AC，BE,故A正確；由4口//平面ABC。，可知跳'//平面ABC。,

B也正確；連結8。交AC于。，則AO為三棱錐A—8E/的高，SABEF--x-xl--,三棱錐A—BEE

224

的體積為J_xLx，Z=變為定值，D正確；很顯然，點A和點3到的ER距離是不相等的，C錯誤.

34224

故選：ABD

9.（2020屆山東省荷澤一中高三2月月考）如圖,正方體A3CD-44G2的棱長為1,則下列四個命題正

確的是（）

7?

A.直線5c與平面ABG2所成的角等于了

B.點。到面A5C1A的距離為受

2

兀

C.兩條異面直線，。和8G所成的角為I

D.三棱柱AA2-3月和外接球半徑為走

2

【答案】ABD

【解析】

正方體A3CD—的棱長為1，

9

7C

對于A,直線3c與平面A5GQ所成的角為NCBG=i，故選項A正確；

對于B,因為4。，面ABC］。，點c到面ABC］。］的距離為4c長度的一半，即久二交，故選項B正

2

確；

對于C,因為BG//A0,所以異面直線。。和8G所成的角為NARC,而相＞。為等邊三角形，故兩

條異面直線2c和所成的角為故選項c錯誤；

對于D,因為AAA4，AR兩兩垂直，所以三棱柱&A2—外接球也是正方體ABC。—A4G2的

外接球，故y'F+'+A=@,故選項D正確.

22

故選：ABD.

10.（2020屆山東省濟寧市第一中學高三二輪檢測）如圖，在以下四個正方體中，直線與平面CDE垂

【答案】BD

【解析】

對于A,由AB與CE所成角為45°,

可得直線AB與平面CDE不垂直；

對于8,由ABACE,AB_LED,CEcED—E,

可得ABJ_平面CDE；

對于C,由AB與CE所成角為60。,

可得直線AB與平面CDE不垂直；

對于。，連接AC,由田，平面A5C,

10

可得EDJ_A8,同理可得EC_LAB,

又EDcEC—E,所以ABJ_平面CDE.

故選：BD

11.(2020屆山東省煙臺市高三模擬)如圖，在四棱錐尸―ABC。中，PCl^ABCD,四邊形ABC。

是直角梯形，AB//CD,AB±AD,AB=2AD=2CD=2,尸是A3的中點，E是尸3上的一點，則下列說法正

確的是()

A.若PB=2PE,則EP//平面PAC

B.若PB=2PE,則四棱錐尸―A5c。的體積是三棱錐E-AC8體積的6倍

C.三棱錐尸-ADC中有且只有三個面是直角三角形

D.平面3cp，平面ACE

【答案】AD

【解析】

對于選項A,因為尸3=2PE,所以E是P8的中點，

因為尸是AB的中點，所以EF//PA,

因為PAu平面P4C,EF<2平面PAC,所以EE//平面PAC,故A正確；

對于選項B,因為P3=2PE，所以/..⑺=2丫￡_2，

因為A2//CD,AB_LAD,AB=2A。=2CD=2,

所以梯形ABC。的面積為L(C￡?+A8).A￡)=LX(1+2)X1=3,S詆=工4aAD=^X2X1=1,所以

'2/2'2/2

3

^E-ABCD=萬^E-ABC'

所以^P-ABCD~,故B錯誤；

對于選項C,因為PC,底面A8CQ,所以尸。，人。，尸。，。。,所以尸AC,PCD為直角三角形，

又AB//C￡>,AB，AD,所以則ACD為直角三角形，

所以PA?=+A(J2=p(：2++CD2p1f=CD2+p(：2

11

則PT=尸￡）2+A￡）2,所以APAD是直角三角形，

故三棱錐尸-ADC的四個面都是直角三角形，故C錯誤；

對于選項D,因為PC1底面A3CD,所以PC，AC,

在AtACD中,AC=4Alf+CD2=拒，

在直角梯形ABCD中,BC=^AD2+（AB-CD）2=J5,

所以AC?+3。2=鉆2,則A。1Be,

因為3CcPC=C，所以AC,平面5CP,

所以平面BCP±平面ACE,故D正確，

故選:AD

12.（2020?山東高三模擬）在正方體A3CD—A4GA中，如圖，分別是正方形A3CD,加工片的

中心.則下列結論正確的是（）

A.平面D】MN與B?的交點是4G的中點

B.平面QMN與的交點是的三點分點

C.平面QMN與AD的交點是AO的三等分點

D.平面。]MN將正方體分成兩部分的體積比為1：1

【答案】BC

【解析】

如圖，取的中點E,延長DE,D\N,并交于點尸，

連接并延長，設FMcBC=P,FMcAD=Q,

連接PN并延長交4G于點”?連接2Q，RH,

則平面四邊形D.HPQ就是平面D]MN與正方體的截面，如圖所示.

12

NE11CG11DD[,NE=；CG=^DDi'

.?.NE為ADD1歹的中位線，為DP中點，連BF,

ADCE三AFBE,BF=DC=AB,ZFBE=ZDCE=90°,

??.A3,/三點共線，取AB中點S,連MS,

1RpFR?

則MS/ABRMS=—BC,/.——=——=—,

2MSFS3

：.BP=-MS=-x-BC=-BC,:.PE=-BC,

33236

E為DP中點，PE11DQ,:.DQ=2PE=：BC=*AD

N分別是正方形3CG4的中心，.?.￡〃=SP=|ciB1

所以點尸是線段BC靠近點B的三等分點，

點Q是線段AD靠近點D的三等分點，

點”是線段B￡靠近點q的三等分點.

做出線段的另一個三等分點P,

做出線段4R靠近。的三等分點G,

連接Qp,HP',QG,GH,VH_QPP=VQ_G皿,

所以喔面體Q/WQGCD=腺方體QPHQ-DCCNi=耳KE方體

從而平面將正方體分成兩部分體積比為2：1.

故選:BC.

13

D,

G

/i,I

,也…

D

13.（2020屆山東省高考模擬）如圖，矩形ABCD中，M為的中點，將沿直線AM翻折成

連結。，為。的中點，則在翻折過程中，下列說法中所有正確的是（

AB}M,4N4

Bi

A.存在某個位置，使得CNLA3

B.翻折過程中，CN的長是定值

C.若AB=,則AM，BQ

D.若A3=3M=1,當三棱錐用-AMD的體積最大時，三棱錐4-AMD的外接球的表面積是4萬

【答案】BD

【解析】

如圖1,取AD中點E,取AB1中點K,連結EC交于點尸，連結NE,KN,BK,

圖1

14

則易知NE〃做，NFHBXM,EFI/AM,KN11AD,NE=^AB},EC=AM

由翻折可知，/MAB、=Z.MAB,ABX=AB,

對于選項A,易得KN//BC,則K、N、C、8四點共面，由題可知若OVSAB,可得AB,

平面3CNK,故AB_LBK,則=JAB?+BK?>AB，不可能，故A錯誤；

對于選項B,易得NNEC=/MAB],

在NEC中，由余弦定理得CN=《CE?+NE?—2NE-CE-cosZNEC，

整理得CN=JAM2+空_2—.AM-=-ylBC2+AB2>

V42AM2

故CN為定值，故B正確；

如圖2,取AO中點E,取AM中點。，連結4E,OE,BQ,DO,,

對于選項C,由=得若AMLgO,易得AM,平面耳。。，故有AM，。。,

從而AO=MD,顯然不可能，故C錯誤；

對于選項D,由題易知當平面與平面AMD垂直時，三棱錐AMD的體積最大，此時耳。_1_平面

AMD,則4(9_LOE,由A3=?W=1,易求得3。=等

DM=叵，故

因此EBl=EA=ED=EM,E為三棱錐Bx-AMD的外

接球球心，此外接球半徑為1,表面積為47，故D正確.

故選：BD.

14.（2020-2020屆山東省淄博市高三二模）如圖所示，在四棱錐E-A3CD中，底面ABCD是邊長為2的

15

正方形，ACDE是正三角形，M為線段DE的中點，點N為底面A3CD內的動點，則下列結論正確的是

)

A.若3CLDE時，平面CDEL平面ABCD

B.若3CLDE時，直線EA與平面A3C。所成的角的正弦值為典

4

C.若直線8腿和EN異面時，點N不可能為底面A3CD的中心

D.若平面CDE_L平面ABC。，且點N為底面ABC。的中心時，BM=EN

【答案】AC

【解析】

3。匚平面43。，所以平面A3C。，平面CDE,A項正確；

設CD的中點為p，連接EF、AF,則跖，CD.

平面ABC。，平面COE,平面A5CD平面CDE=CD,EFu平面CDE.

.?.E/，平面ABCD,設EA平面A3CD所成的角為。，則。=/胡/，

EF=NCE2-CF2=上,AF=7AD2+FD2=y/5>AE^^EF2+AF2=2A/2>則

sind=W￡=亞，B項錯誤；

EA4

16

E

連接3D,易知平面3OE,由3、M、E確定的面即為平面3DE,

當直線3M和EN異面時，若點N為底面ABCD的中心，則Ne50,

又Ee平面3DE,則EN與共面，矛盾，C項正確；

連接FN,ENu平面ABC。，E尸，平面A3CD,/.EF1FN,

F、N分別為CD、3。的中點，則FN=，BC=1,

2

又郎="，板EN={EF°+FN2=2,BM=JBC+CM?=&,則3M*EN，D項錯誤?

故選：AC.

15.（2020?山東高三下學期開學）在三棱錐。-48。中，46=3。=。。=￡乂=1,且圖4,CDLDA,

M,N分別是棱8C,C。的中點，下面結論正確的是（）

A.ACLBDB.MN〃平面AS。

C.三棱錐4cMN的體積的最大值為正D.A。與BC一定不垂直

【答案】ABD

【解析】

根據題意，畫出三棱錐。-ABC如下圖所示，取AC中點。，連接08,0。：

.D

B

對于A,因為43=30=8=2X4=1,且A5LBC,CDIDA,

17

所以AABCAAOC為等腰直角三角形，

則。且0。門30=0,

則AC，平面5。。，

所以ACJ_5。，即A正確；

對于B,因為M,N分別是棱BC,C。的中點，

由中位線定理可得MN//3。，而3Du平面ABD,MN（Z平面ARD,

所以MN//平面即B正確；

對于C,當平面D4C,平面ABC時，三棱錐A-CMN的體積最大，

則最大值為匕l-CAW=VN-ACM義I*1卜等xg=^，即C錯誤；

對于D,假設4OL8C,由A5L3C,且ADcA3=A,

所以BC_L平面ABD,則3C_LBD,

又因為AC，3D,且ACBC=C,

所以8。_L平面ABC,由05u平面ABC,則AD，03,

由題意可知03=OD,因而3D，03不能成立，因而假設錯誤，所以D正確；

綜上可知，正確的為ABD,

故選：ABD.

16.（2020屆山東省濰坊市高三模擬一）沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個

狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間

稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8c〃z,細沙全部在上

2

部時，其高度為圓錐高度的§（細管長度忽略不計）.假設該沙漏每秒鐘漏下0.02切3的沙，且細沙全部漏

入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結論正確的是（）

A.沙漏中的細沙體積為竺

O1

18

B.沙漏的體積是1281C”!3

C.細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4c機

D.該沙漏的一個沙時大約是1985秒（乃。3.14）

【答案】ACD

【解析】

A.根據圓錐的截面圖可知：細沙在上部時，細沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細沙的高與圓錐的

高之比，

所以細沙的底面半徑r=2x4=§an,所以體積V=--^r2?竺=L8生=U空工°療；

333339381

B.沙漏的體積V=x/z=2x—x^-x42x8=^^^cm3；

3[233

1024萬

c.設細沙流入下部后的高度為4,根據細沙體積不變可知:

81

「一，1024?16萬,“

所以------=----%,所以422.4。/；

813

10244

D.因為細沙的體積為———ctn3,沙漏每秒鐘漏下0.020?3的沙,

81

1024〃

所以一個沙時為：盛廠「024x3.14秒.

--------------------X3\J?1J7OJ

0.0281

故選：ACD.

17.（2020屆山東省濰坊市高三模擬二）如圖,正方體A3CD-A4GA的棱長為1，則下列四個命題正確的

A.直線與平面ABC］，所成的角等于:

19

B.點。到面A5C］。的距離為克

2

TT

C.兩條異面直線2c和8G所成的角為］

D.三棱柱A41r>1-BBG外接球半徑為B

2

【答案】ABD

【解析】

正方體A3CD—的棱長為1,

77

對于A,直線BC與平面ABG2所成的角為NCBG=］，故選項A正確；

對于B,因為4。，面ABC］。］,點c到面ABGA的距離為4。長度的一半，即/2=交，故選項B正

2

確；

對于C,因為BG//A。，所以異面直線qc和8cl所成的角為NARC,而為等邊三角形，故兩

條異面直線2c和8G所成的角為：，故選項C錯誤；

對于D,因為AAA4，A〃兩兩垂直，所以三棱柱A4R—34G外接球也是正方體A5CD—A4G2的

外接球，故=B,故選項D正確.

22

故選：ABD.

18.（2020屆山東省六地市部分學校高三3月線考）已知正四棱柱A3CD-的底面邊長為2,側

棱A4=1,P為上底面AMGDI上的動點，給出下列四個結論中正確結論為（）

A.若PD=3,則滿足條件的尸點有且只有一個

B.若PD=#>，則點P的軌跡是一段圓弧

C.若PO〃平面AC21,則。尸長的最小值為2

D.若尸。〃平面AC4,且PD=6，則平面3D尸截正四棱柱ABCD—A4G2的外接球所得平面圖形

9%

的面積為下

4

20

【答案】ABD

【解析】

如圖:

???正四棱柱A5CD—44GA的底面邊長為2,

片口=2夜，又側棱朋=1,

:.DB]=J（26j+B=3，則P與4重合時PD=3,此時「點唯一，故A正確；

VPD=^e（l,3）,DR=1,則？DI=0,即點尸的軌跡是一段圓弧，故3正確；

連接DA,DC],可得平面ADCJI平面AC耳，則當P為AG中點時，DP有最小值為'（句+儼=,

故C錯誤；

由C知，平面BOP即為平面,平面截正四棱柱A3CD—A4G。]的外接球所得平面圖形為

外接球的大圓，其半徑為1萬F萬==,面積為學，故。正確.

224

故選：ABD.

19.（2020屆山東濟寧市兗州區高三網絡模擬考）如圖，在四棱錐P-A3CD中，底面A3CD為菱形，

ZDAB=60°，側面為正三角形，且平面PA。JL平面ABC。，則下列說法正確的是（）

A.在棱AD上存在點使平面

B.異面直線AD與所成的角為90。

21

C.二面角尸―3C—A的大小為45。

D.BD工平面PAC

【答案】ABC

【解析】

如圖，對于A,取AD的中點M,連接:側面為正三角形,

/.PMJ_AD,又底面ABC。是菱形，/LDAB-60>ABD是等邊二角形，

ADLBM,又PMCBM=M,PM,四（=平面PMB,

AD±平面PBM,故A正確.

對于B,AOJ_平面PBM,,即異面直線AD與PB所成的角為90。，故3正確.

對于C,1/平面PBC平面ABCD=BC,BC//AD,/.BC1平面PBM,/.BC1PBBC1BM,

.?./尸3"是二面角P—3C—A的平面角，設43=1,則=Y3,PM=—,

22

PM

在中，tanZPBM=——=1,即NPBM=45°，故二面角尸—BC—A的大小為45。，故。正

BM

確.

對于。，因為8。與PA不垂直，所以3D與平面PAC不垂直，故。錯誤.

故選：ABC

20.（2020屆山東省濟寧市第一中學高三一輪檢測）如圖，在正方體A3CD—中，尸是棱AR上

動點，下列說法正確的是（）.

22

A.對任意動點/，在平面AOPA內存在與平面尸平行的直線

B.對任意動點歹，在平面A3CD內存在與平面垂直的直線

C.當點P從A運動到Q的過程中，FC與平面A3CD所成的角變大

D.當點尸從4運動到。的過程中，點。到平面C8F的距離逐漸變小

【答案】AC

【解析】

因為40在平面AD￡>iA內，且平行平面C8F,故A正確；

平面CBF即平面ARCB,又平面ARCB與平面ABCD斜相交，所以在平面ABCD內不存在與平面CBF

垂直的直線，故8錯誤；

下到平面ABCD的距離不變且FC變小，FC與平面ABC。所成的角變大，故C正確；

平面C8F即平面ARCB,點。到平面AQCfi的距離為定值，故。錯誤.

故選：AC.

21.（2020屆山東省青島市高三上期末）如圖,正方體ABCD-A4G。的棱長為1,則下列四個命題正確的

23

7T

A.直線BC與平面ABC］，所成的角等于］

B.點。到面A4G〃的距離為YZ

2

JT

c.兩條異面直線和8G所成的角為I

D.三棱柱M2—54G外接球半徑為立

2

【答案】ABD

【解析】

正方體A3CD—A4C2的棱長為1,

7C

對于A,直線與平面所成的角為NC3G=1，故選項A正確；

對于B,因為4。，面點。到面A5GQ的距離為4c長度的一半，即丸=交，故選項B正

2

確；

對于C,因為BG//A。］，所以異面直線。。和8cl所成的角為NAQC，而為等邊三角形，故兩

一7T

條異面直線〃。和所成的角為故選項c錯誤；

對于D,因為AA44,AA兩兩垂直，所以三棱柱4A2—外接球也是正方體ABC。—A4G2的

外接球，故JF+F+F=亙故選項D正確.

22

故選：ABD.

22.（2020屆山東省泰安市肥城市一模）在空間四邊形ABCD^,E,F,G,H分別是AB,BC,O）,ZM上的點，

當3。//平面所GH時，下面結論正確的是（）

A.E,￡G,〃一定是各邊的中點

B.G,H一定是CD,DA的中點

C.AE:EB=AH:HD,且BF:FC=DG.GC

D.四邊形MG”是平行四邊形或梯形

【答案】CD

【解析】

24

由BDII平面EFGH，所以由線面平行的性質定理，得BD//EH,BD//FGAE:EB=AH:HD，且

BF:FC=DG:GC,且四邊形EFGH是平行四邊形或梯形.

故選：CD.

23.（2020屆山東省泰安市肥城市一模）如圖,正方體A3CD-44。1口的棱長為1,則下列四個命題正確的

A.直線與平面ABGR所成的角等于I

B.點C到面A5C12的距離為克

2

兀

C.兩條異面直線2c和8G所成的角為I

D.三棱柱AAQ-84G外接球半徑為走

2

【答案】ABD

【解析】

正方體A3CD—的棱長為1,

71

對于A,直線與平面A5GQ所成的角為NCBG=i，故選項A正確；

對于B,因為4。，面ABG。，點c到面ABG2的距離為4c長度的一半，即”=交，故選項B正

2

確；

對于C,因為BG//A0，所以異面直線。。和8G所成的角為NA0C,而為等邊三角形，故兩

條異面直線。c和所成的角為三，故選項C錯誤；

25

對于D,因為AAAg,AR兩兩垂直，所以三棱柱MR—54G外接球也是正方體ABCD—的

外接球，故r=+F+F=亙故選項D正確.

故選：ABD.

24.（2020屆山東省濰坊市高三下學期開學考試）三棱錐P-ABC的各頂點都在同一球面上，PC1底面ABC,

若PC=AC=1,AB=2,且NBAC=60。，則下列說法正確的是（）

A.APA3是鈍角三角形B.此球的表面積等于5萬

C.8C_L平面B4CD.三棱錐A-P8C的體積為

【答案】BC

【解析】

如圖,

C

在底面三角形ABC中，由AC=1,AB=2,ZBAC=60°,

利用余弦定理可得：BC=Jl2+22-2xlx2x1=V3，

AC2+BC2=AB2,即