第3節向量復習題型匯總：1.向量的線性運算2.數量積3.向量取值范圍4.四心綜合題型總結1.向量的線性運算例1.（2023·全國·高一專題練習）“趙爽弦圖”是我國古代數學的瑰寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成.現仿照趙爽弦圖，用四個三角形和一個小平行四邊形構成如下圖形，其中，，，，分別是，，，的中點，若，則等于（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用平面向量線性運算法則以及平面向量基本定理，將用表示出來，求出，的值，即可求解．【詳解】由題意可得，因為是平行四邊形，所以，所以，所以，因為，所以，則．故選:D【變式11】.（2023春·陜西西安·高一西安建筑科技大學附屬中學校考階段練習）相傳，太極八卦圖是古代圣人伏羲氏首創，如圖2是八卦模型圖，其平面圖形記為圖3中的正八邊形，則給出下列結論：①；②；③．其中正確的結論為（

）A．①② B．②③ C．② D．③【答案】B【分析】根據平面向量的線性運算逐項進行化簡運算，由此確定出正確選項．【詳解】解：對于①：因為，故①錯誤，對于②：因為，且，所以，即，故②正確，對于③：因為，則以，為鄰邊的平行四邊形為正方形，又因為平分，所以，故③正確，故選：B【變式12】.（2023·江蘇·高一專題練習）衡量鉆石價值的4C標準之一是切工．理想切工是一種高雅且杰出的切工，它使鉆石幾乎反射了所有進入鉆石的光線．現有一理想切工的鉆石，其橫截面如圖所示，其中為等腰直角三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，且，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖，延長CD和BE交于點F，證明四邊形ABFC為正方形，再利用平面向量的線性運算求解.【詳解】解：如圖，延長CD和BE交于點F，由題得,所以四邊形ABFC為矩形，又,所以四邊形ABFC為正方形，又，所以分別是中點，所以．故選：C例2.（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，，，＝3，＝2，則＝（）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接按照平面向量的三角形法則及題目中比例關系進行化簡即可.【詳解】由平面向量的三角形法則，可知.故選：D.【變式21】．（2023春·河南南陽·高一統考期末）如圖，在中，點，分別在邊和邊上，，分別為和的三等分點，點靠近點，點靠近點，交于點，設，，則（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】利用表示，結合平面向量基本定理確定其表達式.【詳解】設，，所以，又，所以，因為，所以，所以，解得，所以，故選：B.【變式22】．（2024春·浙江·高一景寧中學校聯考階段練習）如圖所示，中，點是線段的中點，是線段上的動點，則，則的最小值（

）

A．1 B．3 C．5 D．8【答案】D【分析】利用平面向量共線定理與線性運算即可得，且，再結合基本不等式“1”的代換即可求得最值.【詳解】因為點是線段的中點，所以，又是線段上的動點，則可設，且所以則，所以，則，且所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故選：D.2.數量積例3.（2023春·浙江紹興·高一統考期末）已知向量，滿足，，，則在上的投影向量的模長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結合平面向量數量積的定義以及運算律求出，進而求出和的值，然后結合平面向量數量積的幾何意義即可求出結果.【詳解】因為，所以，即，則，因此，即，又因為向量，滿足，，所以，所以，因此，，在上的投影向量的模長，故選：A.【變式31】.（2023春·河北衡水·高一校考期中）已知向量，滿足，且，則在方向上的投影為A．1 B．1 C． D．【答案】A【解析】先根據得到，可得,再根據向量投影的定義即可得結果.【詳解】因為平面向量是非零向量,,,即,因為，所以,所以，向量在向量方向上的投影為，故選A.【點睛】平面向量數量積公式主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.【變式32】.（2023春·山東德州·高一德州市第一中學校考階段練習）已知非零向量，滿足=2，則向量的模是（）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據向量的模長公式直接計算即可.【詳解】由已知得，故，所以，故選：D例4.（2024·高一課時練習）已知向量，且與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】A【分析】依據題給條件列出關于的不等式組，解之即可求得實數的取值范圍【詳解】向量，且與的夾角為鈍角則，則，且與不共線則，解之得故選：A【變式41】（2023春·全國·高一專題練習）已知平面向量，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的夾角公式求出，再由判斷出，即可得到答案.【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以.所以，即，解得：.而與反向時，，此時，即，解得：，不符合題意.所以且.故選：D【變式42】.(多選)（2024·高一課時練習）已知向量，，則正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若與的夾角為銳角，則 D．若向量是與同向的單位向量，則【答案】ABCD【分析】根據向量坐標的線性運算及向量的模的坐標表示即可判斷A；根據向量共線的坐標表示即可判斷B；若與的夾角為銳角，則，且與不共線，列出不等式組，即可判斷C；若向量是與同向的單位向量，則，從而可判斷D.【詳解】解：對于A，若，則，所以，故A正確；對于B，若，則，所以，故B正確；對于C，若與的夾角為銳角，則，且與不共線，即，解得，故C正確；對于D，若向量是與同向的單位向量，則，故D正確.故選：ABCD.3.向量取值范圍例5.（2024·高一課時練習）已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求實數的值；（3）若與的夾角是銳角，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量共線列方程，由此求得，進而求得.（2）利用向量垂直列方程，由此求得.（3）利用與的夾角是銳角列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）由于，所以，則.（2），由于，所以.（3）設與的夾角為，依題意為銳角，所以.【變式51】.（2023春·全國·高一專題練習）已知向量，.(1)若，求；(2)若和的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，再利用模長公式可得答案；（2）由夾角為銳角可得解不等式組可得答案.【詳解】（1）因為，所以，解得，所以，，，所以.（2）因為和的夾角為銳角，所以，即，解得且，所以的取值范圍是.【變式52】.（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，若向量與向量的夾角為鈍角，則實數t的取值范圍為_________．【答案】且【分析】根據向量與向量的夾角為鈍角，可得，且向量與向量不共線，即可求得答案.【詳解】由題意得，向量與向量的夾角為鈍角，即，且向量與向量不共線，則，且，故，且，解得且，故答案為：且例6.（2024秋·高二?？紗卧獪y試）如圖，分別是矩形的邊和的中點，與交于點．（1）若，求：的值；（2）設，試用表示；（3）若，是線段上的一動點，求的最大值．【答案】（1）1；（2）；（3）【分析】（1）以向量為基底，得，從而得到方程組（2）作輔助線，取的中點，連，利用向量加法法則和平面向量基本定理得；（3）建立坐標系，利用向量的坐標運算，把數量積的最值問題轉化成二次函數的最值問題.【詳解】（1），又，所以.（2）取的中點，連則，因為，所以.（3）以為原點，，分別為軸，建立直角坐標系，則，直線的方程為：，設，則，所以，當時等號成立.【變式61】．如圖，在四邊形中，，，，且，.

(1)求實數的值；(2)若，是線段上的動點，且，求的最小值.【答案】(1)(2)11【分析】（1）根據和向量的數量積定義求解即可；（2）方法1，以，所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，設，用表示出，根據二次函數的性質得出最小值；方法2：由向量的線性運算表示出，求出的最小值即可得出答案.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，又，∴，∴.（2）如圖，過點作，垂足為，

則，，，（方法1）以為原點，以，所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，則，設，，，∴，，∴，∴當時，取得最小值11.（方法2）設線段的中點為，則當于點時，，所以的最小值為.【變式62】．在平面直角坐標系中，已知，，，為軸上兩個動點，且，則的最小值為________.【答案】【分析】設，的坐標，利用向量的坐標運算求解.【詳解】設，1.若，則，可得，當時，取到最小值；2.若，則，可得，當時，取到最小值；綜上所述：取到最小值.故答案為：.例7.如圖，在菱形ABCD中，，.(1)若，，求；(2)若菱形的邊長為6，求的取值范圍.【答案】(1)16(2)【分析】（1）利用已知向量，表示要求數量積的兩個向量，然后求解即可；（2）利用向量的數量積，結合三角函數的有界性，求解即可.【詳解】（1）在菱形中，有，且，，又∵，∴，∴.（2）∵菱形，∴，，則，∵，∴，∵，∴，∴的取值范圍是：.【變式71】．已知正方形的邊長為，為該正方形內切圓的直徑，在的四邊上運動，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，利用平面向量的線性運算以及數量積的運算性質可得出，求得的最大值，由此可求得的最大值.【詳解】如下圖所示：由題可知正方形的內切圓的半徑為，設該內切圓的圓心為，，由圖象可知，當點為的頂點時，取得最大值，所以的最大值為.故選：B.【點睛】本題考查平面向量數量積最值的計算，考查計算能力，屬于中等題.【變式72】．梯形中，，，，，點在線段上運動.(1)當點是線段的中點時，求；(2)求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據題意求得，將目標向量表達為，結合向量的數量積運算即可求得結果；（2）選定，為基底，表達目標向量，再根據平面向量共線定理，設，將數量積表達為的函數，再求函數最大值即可.【詳解】（1）根據題意，作圖如下：由題意，，.（2）設，，所以時，的最大值是．4.四心綜合例8.（2023春·全國·高一專題練習）已知，是其內心，內角所對的邊分別，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結合平面向量線性運算以及正弦定理等知識求得正確答案.【詳解】延長，分別交于.內心是三角形三個內角的角平分線的交點.在三角形和三角形中，由正弦定理得：，由于，所以，，同理可得，，.所以，則.故選：C【變式81】．在△中，，，，O為△的內心，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據向量的減法法則化簡題中的等量關系，結合三角形內心的性質得到系數的關系求解.【詳解】由得，則，因為O為△的內心，所以，從而，解得，，所以.故選：C.【變式82】．O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根據是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，可知點軌跡，據此可求解.【詳解】，令，則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，即在的平分線上，，共線，故點P的軌跡一定通過△ABC的內心，故選：B例9.（2023春·天津靜海·高一靜海一中?？茧A段練習）設O是所在平面內一定點,P是平面內一動點,若,則點O是的A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】設的中點分別為，可得，再由已知可得，得，同理可得，即可得出結論.【詳解】設的中點分別為，，，所以，點在線段的垂直平分線上，同理點在線段的垂直平分線上，所以為的外心.故選:B.【變式91】.在中，為的外心，則__________.若，則的值為__________.【答案】/【分析】由余弦定理求得，利用正弦定理求得外接圓的半徑為，結合，再由外心是三邊中垂線的交點，結合向量數量積的幾何意義，列出方程組，求得，即可求解.【詳解】在中，因為，由余弦定理得，所以，設的外接圓的半徑為，可得，所以，如圖所示，因為外心是三邊中垂線的交點，則有，即，又因為，可得，所以，解得，所以.故答案為：，.

【變式92】在中，，，，為的外心，若，，，則______.【答案】【分析】利用三角形外心的性質及數量積的幾何意義計算即可.【詳解】如圖所示，取AB中點E，則由三角形的外心的性質及數量積的幾何意義，可得：，同理可知：，故，，而，，，則，即，，則，，則，所以.故答案為：例10.已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，點P滿足，則與面積比為（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2【答案】B【分析】利用三角形重心的性質及平面向量的線性運算，結合三角形的面積公式即可求解.【詳解】如圖所示是的重心，,,,,，即，點為的中點，即點為邊中線的兩個三等分點，，，故選：B.【變式101】（多選）已知點是所在平面內任一點，為的中點，，，且，則（

）A．是的外心 B．是的重心C． D．【答案】BCD【分析】根據平面向量的共線定理及運算法則結合三角形面積公式逐項判斷即可得答案.【詳解】因為為的中點，，，所以，，，因為，所以，如圖，取中點為，中點為，連接所以，所以所以三點共線，三點共線，又中點為，中點為，所以O是的重心，故A不正確，B正確；則，，故C，D正確.故選：BCD.【變式102】.（2023·全國·高一專題練習）設為所在平面內一點，滿足，則的面積與的面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】延長到，使，延長到，使，連接，則由已知條件可得為的重心，由重心的性質可得，再結合中點可求出，的面積，進而可求得答案【詳解】解：延長到，使，延長到，使，連接，因為，所以，所以為的重心，所以設，則，,所以,所以，故選：D鞏固練習1.（2023春·河南南陽·高一統考期中）在平行四邊形中，點為的中點，點在上，三點共線，若，則_______________.【答案】2【分析】由已知可推得，.結合圖象及已知，用表示出以及.然后根據三點共線，得出，有.然后列出方程組，即可求出答案.【詳解】取基底，由圖可知，因為，所以，所以，顯然.又是的中點，所以，所以.又，三點共線，所以，有，即.因為不共線，所以有，解得.故答案為：.2.（2023春·廣東東莞·高一校考階段練習）如圖，在中，，若，則__________．【答案】【分析】利用平面向量的線性運算求出，得，即得解.【詳解】解：又，.∴．故答案為：．3.（2023·全國·高一專題練習）已知向量，，.若，則_____.【答案】【分析】根據向量共線得坐標表示，求解出，然后求模.【詳解】∵，∴2×m2×1=0解得，m=1.∴∴故答案為：.4.（2024·河南·校聯考一模）設，，，若，則______.【答案】/【分析】根據向量的坐標運算求出，然后根據，即可解出.【詳解】由題意可得：，因為，所以，即，解得，.故答案為：.5.（2024春·江蘇南京·高一南京市中華中學?？计谥校┢叫兴倪呅沃校?，E是的中點，F是的中點，則向量的模長是______．【答案】【分析】利用向量的運算法則將,用已知向量表示,再利用向量數量積的運算律求解即可.【詳解】.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：解決本題主要掌握兩點：一是數量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.6.（2023春·江蘇淮安·高一?？茧A段練習）若向量，已知與的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．【答案】【分析】根據與的夾角為鈍角，由，且與的不共線求解.【詳解】解：由，得．又與的夾角為鈍角，∴，得，若，則，即．當時，與共線且反向，不合題意．綜上，k的取值范圍為，故答案為：．7.（2024春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學?？茧A段練習）已知點是所在平面內的一定點，是平面內一動點，若，則點的軌跡一定經過的（

）A．重心 B．垂心 C．內心 D．外心【答案】A【分析】設D是BC的中點，由，，知，所以點P的軌跡是射線AD，故點P的軌跡一定經過△ABC的重心．【詳解】如圖，設D是BC的中點，∵，，∴，即∴點P的軌跡是射線AD，∵AD是△ABC中BC邊上的中線，∴點P的軌跡一定經過△ABC的重心．故選：A．【點睛】本題考查三角形五心的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．8.（2024春·湖南懷化·高一懷化市第三中學校考期中）已知，為三角形所在平面上的一點，且點滿足：，則點為三角形的A．外心 B．垂心 C．重心 D．內心【答案】D【分析】在上分別取單位向量，記，則平分，用表示出，代入條件所給等式，用表示出，則可證明三點共線，即平分.同理證得在其它兩角的平分線上，由此求得是三角形的內心.【詳解】在，上分別取點使得，則，作菱形，則由所以為的平分線.因為，所以，所以，所以三點共線，即在的平分線上..同理證得在其它兩角的平分線上，由此求得是三角形的內心.，故選D.【點睛】本小題主要考查平面向量的加法運算，考查三點共線的證明，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.9.（2023春·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┰谥苯亲鴺讼抵?，向量，，，，其中，，.(1)若，，三點共線，求實數的值；(2)若四邊形為菱形，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據，，三點共線，可得共線，根據向量共線的坐標表示列式計算，可得答案；（2）根據菱形的性質，結合向量模以及向量的線性運算，列出方程，求得m的值，即可求得答案.【詳解】（1）由已知得，，因為，，三點共線，共線，所以；（2）,,由四邊形為菱形得，即，即①，由菱形得,將代入①，解得，所以.10.（2023春·江蘇揚州·高一揚州中學校考階段練習）設兩個向量滿足，(1)求方向的單位向量；(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據，求得的坐標和模后求解；（2）根據向量與向量的夾角為鈍角，由，且向量不與向量反向共線求解.【詳解】（1）由已知，所以，所以，即方向的單位向量為；（2）由已知，，所以，因為向量與向量的夾角為鈍角，所以，且向量不與向量反向共線，設，則，解得，從而，解得.11.（2024春·廣東東莞·高一校考階段練習）如圖，在四邊形中，E是的中點，設，(1)用，表示(2)若，與交于點O，求【答案】(1)(2